Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào Lớp 10

45 trang thaodu 3130

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào Lớp 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_cac_dang_toan_on_thi_vao_lop_10.docx

Nội dung text: Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào Lớp 10

Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 CHỦ ĐỀ I : CĂN THỨC I.BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai a. §a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n - Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã A2 B A B , tøc lµ + NÕu A 0 vµ B 0 th× A2 B A B + NÕu A 0, ta cã A A B B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B2 , ta cã C C( A B) A B A B2 - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A B , ta cã C C( A B) A B A B x 1 2 x 2 Bµi 23 :Cho biÓu thøc:A = ( x 2; x 3) a) Rót gän A.b) TÝnh A khi x=6 x 2 1 x 2 x 1 x 1 Bµi 24 :Cho biÓu thøc: B= a) Rót gän B b) CMR 3B < 1 víi x x 1 x x 1 x 1 ®iÒu kiÖn thÝch hîp cña x 2x 1 1 x 4 Bµi 25: Cho biÓu thøc: C= : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän C.b) T×m x Z sao cho C Z. 2 x x 3x 3 2 x 2 Bµi 26 Cho biÓu thøc: D= : 1 ( x 0; x 9) x 3 x 3 x 9 x 3 1 a) Rót gän D.b) T×m x sao cho D< . c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D. 3 1
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3x 9x 3 x 1 x 2 Bµi 27 Cho biÓu thøc: E= ( x 0; x 1) a) Rót gän E b) T×m x x 2 x 2 1 x x Z sao cho E Z. 3 3 Bµi 28 Cho biÓu thøc: F= 1 x : 1 (-1 1; x 10) a) Rót gän F 2 x 1 3 x 1 1 x b) CMR: F 0 - NghÞch biÕn trªn R khi a < 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) lµ mét ®êng th¼ng - C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b - Song song víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b 0, trïng víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b = 0 d. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng Cho hai ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi ®ã a a ' + d // d ' b b' + d ' d ' A a a ' a a ' + d  d ' b b' + d  d ' a.a ' 1 e. HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b (a 0) Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox. - Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, trong ®ã A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox, T lµ ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax + b vµ cã tung ®é d¬ng HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b -HÖ sè a trong y = ax + b ®îc gäi lµ hÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax +b II. Hµm sè bËc hai a. §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b. TÝnh chÊt 2
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x 0 + NÕu a 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - §å thÞ hµm sè y = ax2 (a 0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa dêi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ d.Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã - Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai. Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. BAÌ TẬP Bµi 1. Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®ã trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy b. §êng th¼ng song song víi trôc Ox, c¾t Oy t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 6, c¾t c¸c ®êng th¼ng: y = x vµ y = 3x lÇn lît ë A vµ B. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A vµ B, tÝnh chu vi, diÖn tÝch tam gi¸c OAB 1 Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ y x . 2 a. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy ®å thÞ cña hai hµm sè trªn; 1 b. Qua ®iÓm (0; 2) vÏ ®êng th¼ng song song víi trôc Ox c¾t ®êng th¼ng y x vµ y = 2 - 2x lÇn lît t¹i A vµ B. Chøng minh tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c vu«ng vµ tÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã. Bµi 3: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, biÕt r»ng ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1; 2). VÏ ®å thÞ cña hµm sè víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m. c. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× c¸c ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 4: Cho ba ®êng th¼ng y = -x + 1, y = x + 1 vµ y = -1. a. VÏ ba ®êng th¼ng ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 lµ A, giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = -1 víi hai ®êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 theo thø tù lµ B vµ C. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B, C. c. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bµi 5: Cho ®êng th¼ng (d): ;y = - 2x + 3. 3
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 a. X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®êng th¼ng d víi hai trôc Ox, Oy, tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm O(0; 0) ®Õn ®êng th¼ng d. b. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm C(0; -2) ®Õn ®êng th¼ng d. Bµi 6: T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó ba ®êng th¼ng: 1 7 2 1 y = 2x + 7 (d1)y x (d2)y x (d3) 3 3 k k ®ång quy trong mÆt ph¼ng täa ®é. Bµi 7: Cho hai ®êng th¼ng: y = (m + 1)x - 3 vµ y = (2m - 1)x + 4. 1 a. Chøng minh r»ng khi m th× hai ®êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau. 2 b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau. Bµi 8: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b trong mçi trêng hîp sau: a. Khi a 3 , ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 3 . b. Khi a = - 5, ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm A(- 2; 3). c. §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(1; 3) vµ N(- 2; 6). d. §å thÞ hµm sè song song víi ®êng th¼ng y 7x vµ ®i qua ®iÓm 1;7 7 . Bµi 9: Cho ®êng th¼ng: y = 4x (d). a. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) song song víi ®êng th¼ng (d) vµ cã tung ®é gèc b»ng 10. b. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d2) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng – 8. c. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d3) song song víi ®êng th¼ng (d) c¾t trôc Ox t¹i A, c¾t trôc Oy t¹i B vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOB b»ng 8. 1 Bµi 10: Cho hµm sè: y = 2x + 2 (d1)y x 2 (d2). 2 a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) víi trôc Oy lµ A, giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d2) víi trôc Ox lµ B, cßn giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) lµ C. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B, C. c. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. 1 Bµi 11: Cho c¸c hµm sè sau: y = - x - 5 (d1) ; y x (d2) ; y = 4x (d3) 4 a. VÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) víi ®êng th¼ng (d2) vµ (d3) lÇn lît lµ A vµ B. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B. c. Tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g×? V× sao? d. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB. Bµi 12: Cho hai ®êng th¼ng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). T×m c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó: a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau. b. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. c. (d1) vµ (d2) song song víi nhau. d. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau. 4
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 e. (d1) vµ (d2) trïng nhau. Bµi 13: Cho hµm sè bËc nhÊt: y = (m + 3)x + n (d). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, n ®Ó ®êng th¼ng (d): a. §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3). b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 3 , c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 3 3 . c. C¾t ®êng th¼ng 3y - x - 4 = 0. d. Song song víi ®êng th¼ng 2x + 5y = - 1. e. Trïng víi ®êng th¼ng y - 3x - 7 = 0. Bµi 14: Cho hµm sè: y = (m2 - 6m + 12)x2. a. Chøng tá r»ng hµm sè nghÞch biÕn trong kho¶ng (-2005; 0), ®ång biÕn trong kho¶ng (0; 2005). b. Khi m = 2, h·y t×m x ®Ó y = 8; y = 2 vµ y = - 2. 1 2 c. Khi m = 5, h·y t×m gi¸ trÞ cña y, biÕt x 1 2, x = 1- 2 vµ x . 1 2 Bµi 15. Cho ®êng th¼ng (d): y = (k - 2)x + q. T×m c¸c gi¸ trÞ cña k vµ q biÕt r»ng ®êng th¼ng (d) tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a. §i qua ®iÓm A(-1; 2) vµ B(3; 4) b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é 1 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 2 2 c. C¾t ®êng th¼ng -2y + x - 3 = 0 d. Song song víi ®êng th¼ng 3x + 2y = 1 Bµi 16. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho parabol (P): y = x2/4 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n biÕt ®êng th¼ng (d) tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a. Song song víi ®êng th¼ng y = x vµ tiÕp xóc víi (P) b. §i qua ®iÓm A(1,5; -1) vµ tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm cña (P) vµ (d) trong mçi trêng hîp trªn. 1 Bµi 17. Cho hµm sè: y x2 . 2 1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. 2. Trªn (P) lÊy hai ®iÓm M vµ N lÇn lît cã hoµnh ®é lµ - 2; 1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng MN. 3. X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ (D) cña nã song song víi ®êng th¼ng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i 1 ®iÓm. Bµi 18. Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè). 1. T×m m sao cho ®å thÞ (P) cña hµm sè y = x2 vµ ®å thÞ (D) cña y = x + m cã hai giao ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. 2. T×m phong tr×nh cña ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (D) vµ (d) tiÕp xóc víi (P). 3. a). ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm theo täa ®é cña hai ®iÓm Êy. b). ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ 3 3 . Bµi 19. Trong cïng hÖ trôc täa ®é gäi (P) lµ ®å thÞ hµm sè y = ax2 vµ (D) lµ ®å thÞ hµm sè y = - x + m. 1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua A(2; -1) vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc. 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 1) vµ t×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 1. Gäi B lµ giao ®iÓm cña (D) (ë c©u 2) víi tung ®é. C lµ ®iÓm ®èi xøng cña A 5
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1 Bµi 20. Cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D) qua 2 ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é 4 lÇn lît lµ - 2 vµ 4. 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. 2. ViÕt phong tr×nh cña (D). 3. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) (t¬ng øng hoµnh ®é) x  2;4 sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 Bµi 21. Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D): 4 y = mx - 2m - 1. 1. VÏ (P). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. Chøng tá r»ng (D) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh A thuéc (P). 1 Bµi 22.Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc cã parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D) qua ®iÓm 4 3 I( ; 1) cã hÖ sè gãc m. 2 1. VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cña (D). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. T×m m sao cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt. 1 1 Bµi 23. Trong cïng hÖ trôc täa ®é cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D):y x 2 . 4 2 1. VÏ (P) vµ (D). 2. B»ng phÐp to¸n, t×m täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D). 3. T×m täa ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (D). Bµi 24. Cho hä ®êng th¼ng cã phong tr×nh: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1). 1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(2; 1). 2. Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng trªn lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M víi mäi m. T×m täa ®é cña M. Bµi 25. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3. 1. Chøng minh ®êng th¼ng y = 2x - 6 tiÕp xóc víi (P). 2. Gi¶i b»ng ®å thÞ bÊt phong tr×nh: x2 - 4x + 3 > 2x - 4. 1 Bµi 26. Cho parabol y x2 (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m kh¸c 0. 2 1. VÏ (P). 2. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) ®i qua hai ®iÓm M, I. 3. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B víi mäi m kh¸c 0. 4. Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh. Chøng minh r»ng tam gi¸c IHK lµ tam gi¸c vu«ng. 5. Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n AB > 4 víi mäi m kh¸c 0. 1 Bµi 27. Trong mÆt ph¼ng täa ®é vu«ng gãc Oxy, cho parbol (P): y x2 vµ ®iÓm I(0; -2). Gäi 4 (D) lµ ®êng th¼ng ®i qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 1. VÏ ®å thÞ (P). 6
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2. Chøng tá r»ng víi mäi m, (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AB. 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× AB ng¾n nhÊt? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Bµi 28. Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ (P) trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy. 1. VÏ (P). 2. Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm n»m trªn (P) lÇn lît cã hoµnh ®é -1 vµ 2. Chøng minh r»ng; tam gi¸c OAB vu«ng. 3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). 4. Cho ®êng th¼ng (d): y = mx + 1 (víi m lµ tham sè). a. Chøng minh r»ng; (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. 1 1 b. T×m m sao cho (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é x1, x2 tháa m·n: 2 2 11 . x1 x2 VÏ (d) víi m t×m ®îc. Bµi 29. Cho hµm sè: y = 2x2 (P). 1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè. 2. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M sao cho qua M cã thÓ kÎ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng gãc vµ cïng tiÕp xóc víi (P). Bµi 30. Trong cïng mÆt ph¼ng täa ®é cho parabol (P): y = - x2 + 4x - 3 vµ ®êng th¼ng (D); 2y + 4x - 17 = 0. 1. VÏ (P) vµ (D). 2. T×m vÞ trÝ cña A thuéc (P) vµ B thuéc (D) sao cho ®é dµi ®o¹n AB ng¾n nhÊt. Bµi 31. Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5. Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua A(3; 2) vµ cã hÖ sè gãc m. 1. Chøng tá r»ng víi mäi m, ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt B, C. 2. X¸c ®Þnh ®êng th¼ng (d) sao cho ®é dµi ®o¹n BC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1 1 Bµi 32. Cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã phong tr×nh: y mx . 2 2 1. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. 2. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN. 2 Bµi 33. Cho hai ®êng th¼ng (d1): y = (m + 2m)x vµ (d2): y = ax (a 0). 1. §Þnh a ®Ó (d2) ®i qua A(3; -1). 2. T×m c¸c gi¸ trÞ m ®Ó cho (d1) vu«ng gãc víi (d2) ë c©u 1). Bµi 34. Cho hµm sè: y = ax + b. 1. T×m a vµ b cho biÕt ®å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(- 1; 1) vµ N(2; 4). VÏ ®å thÞ (d1) cña hµm sè víi a, b t×m ®îc. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = (2m2 – m)x + m2 + m lµ mét ®êng th¼ng song song víi (d1). VÏ (d2) võa t×m ®îc. 3. Gäi A lµ ®iÓm trªn ®êng th¼ng (d1) cã hoµnh ®é x = 2. T×m phong tr×nh ®êng th¼ng (d3) ®i qua A vu«ng gãc víi c¶ hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) vµ (d2). Bµi 35. Cho hµm sè: y = mx - 2m - 1 (1) (m 0). 1. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua gèc täa ®é O. VÏ ®å thÞ (d1) võa t×m ®îc. 2. TÝnh theo m täa ®é c¸c giao ®iÓm A, B cña ®å thÞ hµm sè (1) lÇn lît víi c¸c trôc Ox vµ Oy. X¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng 2 (®.v.d.t). 3. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (1) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi. Bµi 36. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0). 7
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua ®iÓm M(1; 2). Kh¶o s¸t vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc. 2. T×m phong tr×nh ®êng th¼ng AB råi t×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng nµy víi (P) (ë c©u 1). 3. Gäi C lµ giao ®iÓm cã hoµnh ®é d¬ng. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng qua C vµ cã víi (P) mét ®iÓm chung duy nhÊt. Bµi 37: 1. Cho parabol (P): y = ax2; cho biÕt A(1; -1) (P). X¸c ®Þnh a vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc. 2. BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng (d): y = 2mx - m + 2. 1 3. Chøng tá r»ng, I ;2 thuéc (d) víi mäi m. T×m phong tr×nh c¸c ®êng th¼ng ®i qua I 2 vµ cã víi (P) ®iÓm chung duy nhÊt. Bµi 38. x2 1 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y vµ ®êng th¼ng (d): y x . 2 2 2. Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P). 3. BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d’): y = x - m b»ng hai c¸ch (®å thÞ vµ phÐp to¸n). Bµi 39. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5). 1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng AB. X¸c ®Þnh a ®Ó ®êng th¼ng AB tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 2. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) víi a võa t×m ®îc. 3. Mét ®êng th¼ng (D) di ®éng lu«n lu«n vu«ng gãc víi AB vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm M vµ N. 5 X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña (D) ®Ó MN . 2 Bµi 40. Cho hµm sè: y = x2 - 2x + m - 1 cã ®å thÞ (P). 1. VÏ ®å thÞ (P) khi m = 1. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh. 3. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè c¾t ®êng th¼ng (d) cã phong tr×nh: y = x + 1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. CHỦ ĐỀ III : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. NỘI DUNG: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a/x + b/y = c/. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c (I) / / / a x b y c * Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (xo;y0) thì (xo;y0) được gọi là một nghiệm của hệ (I). * Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. + Định nghĩa hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 2x y 1 2x y 1 Ví dụ: x 2y 1 x y 0 Vì chúng có cùng một nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1) 2.- Bài tập: 8
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 1: Giải các hệ phương trình x 2 x 5 (1 3)y 1 0,2x 0,1y 0,3 5) 6) 7) y 3 (1 3)x y 5 1 3x y 5 x y 10 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 2y 5x y 27 5 2x (2x 3)(2y 4) 4x(y 3) 54 3 4 3) 4) (x 1)(3y 3) 3y(x 1) 12 x 1 6y 5x y 3 7 1 1 (x 2)(y 3) xy 50 2 2 (x 20)(y 1) xy 5) 6) 1 1 (x 10)(y 1) xy xy (x 2)(y 2) 32 2 2 1 1 1 2 1 3x 2 3 4 x y 12 x 2y y 2x x 1 y 4 1) 2) 3) 8 15 4 3 2x 5 1 1 9 x y x 2y y 2x x 1 y 4 x 2 y 2 13 3 x 2 y 16 x 4 y 18 4) 5) 6) 2 2 3x 2y 6 2 x 3 y 11 3 x y 10 2 2(x 2x) y 1 0 5 x 1 3 y 2 7 7) 8) 2 2 2 3(x 2x) 2 y 1 7 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO THAM SỐ ax by c / / / Hệ phương trình / / / (a,b,c,a ,b ,c khác 0) a x b y c a b * Có nghiệm duy nhất Nếu a / b / a b c * Có vô số nghiệm nếu a / b / c / a b c * Vô nghiệm Nếu a / b / c / Phương pháp giải: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm b ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy a nhất. 9
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 mx y 2m(1) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 4x my m 6(2) Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m 3)(m 2) 2m 3 i) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x = m 2 4 m 2 m 2m 3 m Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: ( ;- ) m 2 m 2 m 2 ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm 2m 3 m Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( ;- ) m 2 m 2 - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx y 3m 1 mx 4y 10 m (m 1)x my 3m 1 1) 2) 3) x my m 1 x my 4 2x y m 5 x my 3m x my 1 m 2 2x y 3 2m 4) 5) 6) 2 2 2 mx y m 2 mx y 1 m mx y (m 1) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 2.-Nội dung cụ thể: Định giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số k Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: mx 2y m 1 2x my 2m 1 HD Giải: mx 2y m 1 2mx 4y 2m 2 2 2 2x my 2m 1 2mx m y 2m m (m 2 4)y 2m 2 3m 2 (m 2)(2m 1) 2x my 2m 1 để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất 10
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 (m 2)(2m 1) 2m 1 3 y 2 m 2 4 m 2 m 2 m 1 3 x 1 m 2 m 2 Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: (m 1)x 2y m 1 2 2 m x y m 2m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1) 2mx (m 1)y m n (m 2)x 3ny 2m 3 Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx 4y 9 Cho hệ phương trình: x my 8 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 38 2x + y + = 3 m 2 4 : BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx 4y 10 m Cho hệ phương trình (m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: (m 1)x my 3m 1 Cho hệ phương trình : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: 11
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3x 2y 4 Cho hệ phương trình 2x y m a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: mx 4y 9 Cho hệ phương trình: x my 8 a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 5: x my 9 Cho hệ phương trình: mx 3y 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 28 x - 3y = - 3 m 2 3 Bài 6: mx y 2 Cho hệ phương trình: 3x my 5 a) Giải hệ phương trình khi m 2 . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức m 2 x y 1 . m 2 3 Bài 7: 3x my 9 Cho hệ phương trình mx 2y 16 a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7 12
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. §Þnh nghÜa : Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 bx c 0 trong ®ã x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè vµ a 0 II. C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai : Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac *) NÕu 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : b b x ;x 1 2a 2 2a *) NÕu 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : b x x 1 2 2a *) NÕu 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. III. C«ng thøc nghiÖm thu gän : Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) vµ b 2b' ' b'2 ac b' ' b' ' *) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x ;x 1 a 2 a b' *) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 a *) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. IV. HÖ thøc Vi - Et vµ øng dông : 2 1. NÕu x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax bx c 0(a 0) th× : b x x 1 2 a c x x 1 2 a 2. Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 Sx P 0 (§iÒu kiÖn ®Ó cã u vµ v lµ S2 4P 0 ) 3. NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : c x 1;x 1 2 a NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : c x 1;x 1 2 a 13
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) 0 2. V« nghiÖm 0 5. Hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu > 0 vµ P 0 vµ P > 0 8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) 0; S 0 9. Hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0 10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau 0 vµ P = 1 11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n a.c 0 BÀI TẬP 2 Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh : m 2x 2 1 2 x m2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m 2 1 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 3 2 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : m 4 x2 2mx m 2 0 (x lµ Èn ) a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2 .T×m nghiÖm cßn l¹i b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm ph©n biÖt 2 2 c) TÝnh x1 x2 theo m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : x2 2 m 1 x m 4 0 (x lµ Èn ) a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm tr¸i dÊu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M=x1 1 x2 x2 1 x1 kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 4: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : a) x2 x 2 m 1 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) 4x2 2x m 1 0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) m2 1 x2 2 m 1 x 2m 1 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : x2 a 1 x a2 a 2 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a 2 2 b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 .T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 1 1 1 Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: b c 2 x2 bx c 0 CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm x2 cx b 0 Bµi 7:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 14
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2x2 3m 2 x 12 0(1) 4x2 9m 2 x 36 0(2) Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 2mx m2 2 0 a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x2 4x m 1 0 a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 2 x1 x2 10 Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh x2 2 m 1 x 2m 5 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cung dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ? Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x2 2 m 1 x 2m 10 0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1; x2 ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m 2 2 c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 10x1x2 x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh m 1 x2 2mx m 1 0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt m 1 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m dÓ ph¬ng tr×nh cã tÝch hai nghiÖm b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tæng hai nghiªm cña ph¬ng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n hÖ thøc: Bµi 2. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : x2 mx m 3 0 (1) a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 2. 2 2 3 3 b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. TÝnh x1 x2 ;x1 x2 theo m. 2 2 c/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. e/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i. f/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m 2 2 d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 +x2 10. e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m lµ tham sè) a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau 15
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1 1 1 c) LËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y1 x1 ; y2 x2 víi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng x2 x1 tr×nh ë trªn x x 5 1 2 0 x2 x1 2 Bµi 13: A) Cho ph¬ng tr×nh : x2 mx m 1 0 (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng 2 2 b) §Æt A x1 x2 6x1x2 Chøng minh A m2 8m 8 T×m m ®Ó A=8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia B) Cho ph¬ng tr×nh x2 2mx 2m 1 0 a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m. 2 2 b) §Æt A= 2(x1 x2 ) 5x1x2 CMR A=8m2 18m 9 T×m m sao cho A=27 c)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia. 2 n n Bµi 14: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a.x bx c 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 .§Æt Sn x1 x2 (n nguyªn d¬ng) a) CMR a.Sn 2 bSn 1 cSn 0 5 5 1 5 1 5 b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= 2 2 Bµi 15: Cho 2 f(x) = x - 2 (m+2).x + 6m+1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m b) §Æt x=t+2 .TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã 2 nghiÖm lín h¬n 2 Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh : x2 2 m 1 x m2 4m 5 0 a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng c) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau vµ tr¸i dÊu nhau 2 2 d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh . TÝnh x1 x2 theo m 2 Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh x 4x 3 8 0 cã hai nghiÖm lµ x1; x2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y 2 2 6x1 10x1 x2 6x2 tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M 3 3 5x1x2 5x1 x2 Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh 16
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 x x 2 m 2 x m 1 0 1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m= 2 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó : 2 x1(1 2x2 ) x2 (1 2x1) m Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh x2 mx n 3 0 (1) (n , m lµ tham sè) Cho n=0 . CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m T×m m vµ n ®Ó hai nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n hÖ : x1 x2 1 2 2 x1 x2 7 Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh: x2 2 k 2 x 2k 5 0 ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho 2 2 x1 x2 18 Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh 2m 1 x2 4mx 4 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k× c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng m Bµi 22:Cho ph¬ng tr×nh : x2 2m 3 x m2 3m 0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 1 x1 x2 6 Bµi tËp vÒ hµm sè bËc nhÊt VẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương pháp chung: Bước 1: Gọi ẩn phù hợp, đơn vị tính, điều kiện cho ẩn nếu có. Bước 2: Biểu đạt các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết. Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình lập được ở bước 3. Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết lu DẠNG 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH: Bµi 1: Hai ngêi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. VËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h nªn hä ®Õn B sím muén h¬n nhau 30phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi, biÕt qu·ng ®êng AB dµi 30 km. Bµi 2: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A. Sau 5h30p mét ca n« ®uæi theo vµ ®uæi kÞp thuyÒn t¹i mét ®Þa ®iÓm c¸ch bÕn s«ng A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn biÕt vËn tèc cña ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12km/h. 17
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bµi 3: Hai ngêi ®i xe ®¹p khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai ®Þa ®iÓm A, B c¸ch nhau 54 km, ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2h. TÝnh vËn tèc cña hai ngêi ®ã biÕt r»ng vËn tèc cña 4 ngêi ®i tõ A b»ng vËn tèc cña ngêi ®i tõ B. 5 Bµi 4: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 50 km. Sau ®ã 1h30p, mét ngêi ®i xe m¸y còng ®i tõ A ®Õn B vµ ®Õn B tríc ngêi ®i xe ®¹p 1h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe biÕt vËn tèc cña xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc xe ®¹p. Bµi 5: Mét «t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®· ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu·ng ®êng 120km. §i ®îc nöa qu·ng ®êng, xe nghØ 3p nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ®· ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6km/h trªn nöa qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®êng. Bµi 6: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Khi cßn c¸ch B 30 km, ngêi ®ã nhËn thÊy r»ng sÏ ®Õn B muén nöa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®¹ng ®i, nhng nÕu t¨ng vËn tèc thªm 5km/h th× sÏ ®Õn B sím nöa giê. TÝnh vËn tèc cña xe trªn qu·ng ®êng ®i lóc ®Çu. Bµi 7: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 33 km víi vËn tèc x¸c ®Þnh. Khi tõ B trë vÒ A ngêi Êy ®i b»ng con ®êng kh¸c dµi h¬n tríc 29 km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i 1h30p. Bµi 8: Hai bÕn s«ng A, B c¸ch nhau 40 km. Cïng mét lóc víi ca n« xu«i bÕn tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A víi vËn tèc 3km/h. Sau khi ®Õn bÕn B, ca n« trë vÒ bÕn A ngay vµ gÆp bÌ khi ®· tr«i ®îc 8km. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n«, biÕt r»ng vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi. Bµi 9: Mét ca n« ch¹y xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B, råi l¹i ch¹y ngîc dßng tõ bÕn B trë vÒ bÕn A mÊt tÊt c¶ 4h. tÝnh vËn tèc cña can« khi níc yªn lÆng, biÕt qu·ng s«ng AB dµi 30km vµ vËn tèc cña dßng níc lµ 4km/h. Bµi 10: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 134m. nÕu gi¶m mçi kÝch thíc cña vên ®i 1m th× diÖn tÝch cña vên b»ng diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 28m. TÝnh c¸c kÝch thíc cña h×nh ch÷ nhËt ®ã. Bµi 11: Mét tÊm t«n h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 48 cm. Ngêi ta c¾t bá mçi gãc mét h×nh vu«ng cã c¹nh 2cm råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép ch÷ nhËt kh«ng cã n¾p cã thÓ tÝch 96 cm3. TÝnh c¸c kÝch thíc cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 12: Mét m¶nh vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 34m, nÕu t¨ng chiÒu dµi 3m vµ t¨ng chiÒu réng 2m th× diÖn tÝch t¨ng thªm 45m2. H·y tÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu. Bµi 13: Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi lµ 30m, c¹nh huyÒn 13 cm. TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng ®ã. Bµi 14: Mét s©n h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lµ 240 m2. NÕu t¨ng chiÒu réng thªm 3m, gi¶m chiÒu dµi 4m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng. Bµi 15: Hai m¸y cµy cïng cµy mét ®¸m ruéng. NÕu c¶ hai m¸y cïng lµm th× sÏ cµy song trong 4 ngµy. NÕu cµy riªng th× m¸y 1 sÏ cµy song nhanh h¬n m¸y 2 lµ 6 ngµy. Hái nÕu cµy riªng th× mçi m¸y cµy song ®¸m ruéng sau bao nhiªu ngµy. Bµi 16: Mét tæ may mÆc ®Þnh may 600 ¸o trong thêi gian ®· ®Þnh. Nhng do c¶i tiÕn kü thuËt nªn n¨ng suÊt t¨ng lªn, mçi ngµy lµm thªm 4 ¸o, nªn thêi gian s¶n xuÊt gi¶m 5 ngµy. Hái mçi ngµy tæ dù ®Þnh may bao nhiªu ¸o. Bµi 17: Mét tæ may mÆc ®Þnh may 150 bé quÇn ¸o trong thêi gian ®· ®Þnh. Nhng do c¶i tiÕn kü thuËt nªn n¨ng suÊt t¨ng lªn, mçi ngµy lµm thªm 5 bé quÇn ¸o, nªn thêi gian s¶n xuÊt gi¶m 1 ngµy so víi dù ®Þnh. Hái mçi ngµy tæ dù ®Þnh may bao nhiªu ¸o. Bµi 18: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc th× sau 4h ®Çy bÓ. NÕu cho ch¶y riªng ®Çy bÓ th× vßi 1 cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi 2 lµ 6h. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ sau bao l©u. 18
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bµi 19: Mét tæ may mÆc cè kÕ ho¹ch may 720 bé quÇn ¸o theo n¨ng xuÊt dù kiÕn. Thêi gian lµm theo n¨ng xuÊt t¨ng 10 s¶n phÈm mçi ngµy kÐm 4 ngµy so víi thêi gian lµm theo n¨ng xuÊt gi¶m ®i 20 s¶n phÈm mçi ngµy ( t¨ng, gi¶m so víi n¨ng xuÊt dù kiÕn ). TÝnh n¨ng xuÊt dù kiÕn. DẠNG 2: LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Bài 1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h. Bài 2: Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu? Bài 3: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m2. Tính kích thước của hình chữ nhật đó. Bài 5: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? Bài 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km. Bài 8: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Bài 9: Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định. Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà còn sản xuất thêm 10 tấn ngoài kế hoạch. Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ? Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân đều các phòng. Nếu xếp mỗi phòng thi thêm 4 thí sinh thì số phòng thi sẽ giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu mỗi phòng thi dự định xếp bao nhiêu thí sinh ? Bài 11: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu? Bài 12: Một hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi 5 mét thì diện tích chỉ còn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều? Vận tốc điểm A hơn điểm B là 2,5cm/phút. Tìm vận tốc của mỗi điểm? Tính các chiều của công viên? Bài 13: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuông góc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h. Bài 14: Một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 150km. Nếu mỗi giờ xe tăng thêm 10km thì đến B sớm hơn thời gian dự định là 30 phút. Tìm vận tốc ban đầu? Bài 15: Hai tỉnh A và B cách nhau 42km. Một chiếc tàu đi từ tỉnh nọ đến tỉnh kia. Khi đi ngược dòng sông từ A tới B thì vận tốc của nó nhỏ hơn vận tốc lúc xuôi dòng là 4km/h. Tính vận tốc của chiếc tàu khi xuôi dòng và khi ngược dòng, biết rằng thời gian ngược dòng nhiều hơn thời gian xuôi dòng là 1 giờ 12 phút. Bài 16: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. 19
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km. Bài 18: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. CHỦ ĐỀ IV: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC Bài 1:  x, y, z chứng minh rằng : a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx , b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 c) x + y + z +3 2 (x + y + z) 1 Giải:a) Ta xét hiệu x 2 + y2 + z2 - xy – yz – zx = .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y) 2 (x z) 2 (y z) 2  0 đúng với mọi x;y;z R Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi 2 x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z, (y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệux2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz )= x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Xét hiệu x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 = (x-1)2 + (y-1) 2 +(z-1)2 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a b a b c a b c Bài 2: chứng minh rằng : a) b) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 Giảia) Ta xét hiệu = = 2a 2b a b 2ab 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 a b a b = a b 0 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 1 2 2 2 b)Ta xét hiệu =  a b b c c a  0 3 3 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c Vậy Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 3 3 Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng b 2 a) a 2 ab b)a 2 b 2 1 ab a b c) 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e b 2 Giải:a) a 2 ab 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 2 0 (bất đẳng thức này luôn 4 đúng) b 2 Vậy a 2 ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 4 20
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy a 2 b 2 1 ab a b Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 Giải: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 a12 a10b 2 a 2b10 b12 a12 a8b 4 a 4b8 b12 a8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. x 2 y 2 Bài 5: Cho x.y =1 và x.y Chứng minh 2 2 x y Giải: x 2 y 2 2 2 vì :x y nên x- y  0 x2+y2 2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 2 x+2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2 y -2 0 x2+y2+(2 )2- 2 2 x+2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y-2 )2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: a) x 2 y 2 2xy b) x 2 y 2 xy dấu( = ) khi x = y = 0 a b c) x y 2 4xy d) 2 b a a a a a n 2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): 1 2 3 n a a a a Với a 0 n 1 2 3 n i 2 2 2 2 2 2 2 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) a2 a2 an . x1 x2 n a1x1 a2 x2 an xn 4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép: a b c aA bB cC a b c A B C Nếu . A B C 3 3 3 a b c aA bB cC a b c A B C a b c Nếu . Dấu bằng xảy ra khi A B C 3 3 3 A B C Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy Tacó a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Vậy a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 a3 b3 c3 1 Bài 7: Cho a>b>c>0 và a 2 b 2 c 2 1chứng minh rằng b c a c a b 2 2 2 2 a b c Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b c a c a b 21
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a 2 b 2 c 2 a b c 1 3 1 a 2 . b 2 . c 2 . . =. = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a 3 b3 c 3 1 1 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= b c a c a b 2 3 Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1.Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 1 Giải:Ta có a 2 b 2 2ab , c 2 d 2 2cd Do abcd =1 nên cd = ab 1 Ta cóa 2 b 2 c 2 2(ab cd) 2(ab ) 4 (1) ab Mặt khác: a b c b c d d c a = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 = 6 (2) ab ac bc Cộng (1), (2) ta được điều cần chứng minh. Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Giải:Ta có: a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2 Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Bài 10: Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 ab bc ac Giải:Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có: 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c 2 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c a b c d Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 1 2 a b c b c d c d a d a b a a a d Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có 1 (1) a b c a b c a b c d a a a a Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 22
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 0 a b c a2 a(b c) 2 Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0 b a c b b(a c) 2 0 c a b c c(a b) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2 b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b2 b2 (c a)2 > 0 c > a-b c2 c2 (a b)2 0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được a 2b 2 c 2 a 2 b c 2 b 2 c a 2 c 2 a b 2  a 2b 2 c 2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abc a b c . b c a . c a b a b c 3 Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1) b c c a a b 2 y z x z x y x y z Giải :Đặt x = b+c ; y = c+a ;z = a+b ta có a = ; b = ; c = 2 2 2 y z x z x y x y z 3 ta có (1) 2x 2y 2z 2 y z x z x y y x z x z y 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 6 x x y y z z x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( 2; 2 ; 2 nên ta có điều phải chứng minh x y x z y z 1 1 1 Bài 13: Cho a,b,c > 0 và a+b+c 0 x y z 1 1 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi ta có x y z 3.3 xyz , 3. . 3 x y z xyz 1 1 1 1 1 1 x y z . 9 Mà x+y+z y và xy =1 .Chứng minh rằng 8 x y 2 2 Giải :Ta có x2 y 2 x y 2 2xy x y 2 2 (vì xy = 1) x2 y 2 x y 4 4. x y 2 4 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4 4 x y 2 4 8. x y 2 2 x y 4 4 x y 2 4 0  x y 2 2 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. 1 1 2 Bài 15: Cho xy 1 .Chứng minh rằng 1 x2 1 y 2 1 xy 1 1 2 1 1 1 1 Giải :Ta có 0 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 xy 1 x 1 y 1 y 1 xy xy x2 xy y 2 x(y x) y(x y) 0 0 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy 23
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 y x 2 xy 1 0 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh. 1 x2 . 1 y 2 . 1 xy 1 Bài 16: a. Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 1 1 1 b. Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng a b c . 9 a b c Giải : a. áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có 1.a 1.b 1.c 2 1 1 1 . a2 b2 c2 a b c 2 3. a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 3 1 1 1 a a b b c c b. a b c . 9 1 1 1 9 a b c b c a c a a a b a c b c 3 9 b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ 2 Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng y x 1 1 1 Vậy a b c . 9 (đpcm) a b c Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Và x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1 (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 1 x 4 (2) Dấu bằng xảy ra khi 2 x 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 x 3 Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1 1 1 Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z 33 xyz 3 xyz xyz 3 27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y . y z . z x 33 x y . y z . x z 1 2 33 x y . y z . z x Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 3 8 1 8 8 1 Vậy S . Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z= 27 27 729 729 3 Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4 Giải : áp dụng BĐTBunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) 2 2 Ta có xy yz zx 2 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x2 , y2 , z2 ) và (1,1,1) Ta có (x2 y2 z2 )2 (12 12 12 )(x4 y4 z4 ) (x2 y2 z2 )2 3(x4 y4 z4 ) 1 Từ (1) và (2) 1 3(x4 y4 z4 ) x4 y4 z4 3 1 3 Vậy x4 y4 z4 có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z= 3 3 24
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 20: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 Giải : Vì x,y,z là các số nguyên nên: x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 2 2 2 2 2 2 y 3y 2 x y z xy 3y 2z 3 0 x xy 3y 3 z 2z 1 0 4 4 2 2 y y 2 x 3 1 z 1 0 (*) 2 2 2 2 2 2 y y 2 y y 2 Mà x 3 1 z 1 0 x, y R x 3 1 z 1 0 2 2 2 2 y x 0 2 x 1 x 1 y 1 0 y 2 Các số x,y,z phải tìm là y 2 2 z 1 z 1 z 1 0 II-CÁC BÀI VỀ BĐT- CỰC TRỊ BIỂU THỨC ( MỨC ĐỘ, YÊU CẦU, BIỂU ĐIỂM ) THI VÀO LỚP 10 : 2012-2013 Câu 5 (1,0 điểm).Hải Dương 2011Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. x y z Chứng minh rằng:. 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy 2 Từ x yz 0 x2 yz 2x yz (*) Dấu “=” khi x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz Suy ra 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z) (Áp dụng (*)) x x x 3x yz x ( x y z) (1) x 3x yz x y z y y z z Tương tự ta có: (2), (3) y 3y zx x y z z 3z xy x y z x y z Từ (1), (2), (3) ta có 1Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy Câu 5(1,0 điểm): HDương . 2- 2012 6 Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S, trong đó S 2 3 . 6 Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S, trong đó S = 2+ 3 2 Đặt x1 2 3; x2 2 3 thì x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình x 4x 1 0 2 n 2 n 1 n Suy ra x1 4x1 1 0 x1 4x 1 x 1 0(n N) n 2 n 1 n Tương tự có x1 4x 1 x 1 0(n N) k k Do đó Sn 2 4Sn 1 Sn 0(n N) Trong đó Sk x1 x2 (k N) 25
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2 Có S1 x1 x2 4;S2 (x1 x2 ) 2x1x2 16 2 14 Từ đó S3 4S2 S1 52;S4 4S3 S2 194; S5 724;S6 2702 Vì 0 (*) nên suy ra: 2 a 5 0 , 2 b 5 0 , 2 b 5 2 c 5 2 a 5 4 2 c 5 0 a Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: 2 b 5 2 a (1), 2 b 5 b 2 c 5 2 b (2) 2 c 5 c 2 a 5 2 c (3)Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q 5.3 15 . 2 a 5 Dấu “=” xẩy ra a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 a b c 25 x2 2x 2011 Baøi 5: (1,0 ñieåm) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = (vôùi x 0 ) x2 x2 2x 2011 ∙ Baøi 5: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = (vôùi x 0 ) x2 * Caùch 1: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá lôùp 8) 2 2 x 2x 2011 1 1 2 1 A = 2 vôùi x 0 = 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (vôùi t = 0) x x x x 2 1 1 1 = 2011 t 2t  2 1 2011 2011 2011 2 1 2010 2010 1 = 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; thoõa x 0 2011 2011 2011 2011 2010 * Vaäy MinA = x = 2011. 2011 * Caùch 2: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá 9) 26
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 x2 2x 2011 A = vôùi x 0 x2 A.x2 x2 2x 2011 A 1 x2 2x 2011 0 * coi ñaây la ø phöông trình aån x 2011 Töø (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1) 2 Neáu A 1 0 thì (*) luoân laø phöông trình baäc hai ñoái vôùi aån x. x toàn taïi khi phöông trình (*) coù nghieäm. / 0 12 2011 A 1 0 2010 b/ 1 1 A daáu "=" (*) coù nghieäm keùp x = 2011 ; thoõa x 0 (2) 2010 2011 a A 1 1 2011 So saùnh (1) vaø (2) thì 1 khoâng phaûi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A maø: 2010 MinA = x = 2011. 2011 Bµi 5 : ( 1 ®iÓm ) Thanh Hóa-2011 Cho c¸c sè d-¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : x y z 2 y z x z x y Áp dông B§T Cosi ta cã : y z 1 y z x y z x 2x .1 x x 2 2x y z x y z x z 1 x z y x y z y 2y .1 y 2 2y x z x y z y x 1 y x x y z z 2z .1 z z 2 2z y x x y z x y z 2(x y z) Céng vÕ víi vÕ ta cã : 2 dÊu b»ng x¶y ra y z x z y x x y z y+ z = x x+ z = y  x + y + z = 0 y+ x = z V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra . x y z => 2 víi mäi x, y , z > 0 ( §pcm ) y z x z y x C©u 5: (0,5 ®iÓm) Bắc Giang 2011 Cho hai sè thùc d-¬ng x, y tho¶ m·n: x3 y3 3xy x2 y2 4x2 y2 x y 4x3 y3 0 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y. 27
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Câu 5: §Æt a = x+y = M; b = xy; a2 4b Tõ gi¶ thiÕt cã: a 2b 3 2 2 2 3 (a 2b)(a2 ab 2b2 3b) 0 a 3ab 3a b 6b 4ab 4b = 2 2 a ab 2b 3b 0 +) NÕu a =2b Th×: x+y = 2xy. Mµ (x+y)2 4xy nªn (x+y)2 2(x y) M x y 2;" "khi : x y 1. (*) +) NÕu a2 ab 2b2 3b 0 a2 ab 2b2 3b 0 2b2 (a 3)b a2 0 (1) a2 a 3 a2 Gi¶ sö (1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b th× b= 4 2 4 a2 2a 6 0 a 1 7;(Do : a 0) vµ 3 (a 3)2 8a2 0 (a 3 2a 2)(a 3 2a 2) 0 a 2 2 1 VËy a 1 7 ( ) Tõ (*) vµ ( ) suy ra a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi x = y =1. 1 Bài V (0,5 điểm) Hà Nội 2011.Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M 4x2 3x 2011 . 4x Bài 5: 1 1 1 Cách 1: M 4x2 3x 2011 4x2 4x 1 x 2010 (2x 1)2 (x ) 2010 4x 4x 4x 1 1 1 1 Vì (2x 1)2 0 và x > 0 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 2 x. 2. 1 4x 4x 4x 2 1  M =(2x 1)2 (x ) 2010 0 + 1 + 2010 = 2011 4x 1 x 1 2 x 2x 1 0 2 1 2 1 1 1  M 2011 ; Dấu “=” xảy ra  x x = x x 4x 4 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 0 1 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 2 Bài 5: Cách 2: 2 1 2 1 2 1 1 1 M 4x 3x 2011 3 x x x 2010 4x 4 8x 8x 4 2 1 2 1 1 1 M 3 x x 2010 2 8x 8x 4 28
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1 1 Áp dụng cô si cho ba số x 2 , , ta có 8x 8x 1 1 1 1 3 x 2 33 x 2 . . Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 8x 8x 8x 8x 4 1 mà x 0 Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 2 3 1 Vậy M 0 2010 2011 4 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M = 2 2 1 3 1 Nam Định 2011 ( 0,5đ)Chứng minh rằng : Với mọi x 1, ta luôn có 3 x 2 2 x 3 . x x 2 1 3 1 1) Chứng minh rằng : Với mọi x 1, ta luôn có 3 x 2 2 x 3 (1) x x 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 x 2 2 x 3 3 x x 2 x x 2 1 x x x x x x 1 2 1 1 3 x 2 x 2 1 (vì x 1 nên x 0) (2) x x x 1 1 Đặt x t thì x2 t2 2 , ta có (2) 2t2 3t 2 0 t 2 2t 1 0 (3) x x2 2 1 Vì x 1 nên x 1 0 x2 1 2x x 2 hayt 2 => (3) đúng . Vậy ta có đpcm x «n tËp h×nh häc 9 PhÇn 1 : h×nh häc ph¼ng A. lý thuyÕt: I.§êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm 0 cho tríc mét kho¶ng c¸ch R > 0 kh«ng ®æi gäi lµ ®êng trßn t©m 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R) 2, VÞ trÝ t¬ng ®èi: * Cña mét ®iÓm víi mét ®êng trßn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× vÞ trÝ t¬ng ®èi HÖ thøc M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O OM = R ; R) 29
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 M n»m trong ( O ; R ) OM R nhau * Cña hai ®êng trßn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai ®êng trßn c¾t nhau 2 R – r R + r nhau : +®êng trßn lín ®ùng ®êng trßn nhá : d < R -r 3 . TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn : a. §Þnh nghÜa : ®êng th¼ng d ®îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn nÕu nã chØ cã mét ®iÓm chung víi ®êng ®ã . b, TÝnh chÊt : + TÝnh chÊt 1 : NÕu mét ®êng th¼ng lµ mét tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®I qua tiÕp ®iÓm . + TÝnh chÊt 2 : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th× giao ®iÓm nµy c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm vµ tia kÎ tõ giao ®iÓm ®ã qua t©m ®êng trßn lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn . 30
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 c, C¸ch chøng minh : C¸ch 1 : chøng minh ®êng th¼ng ®ã cã mét ®iÓm chung víi ®êng trßn ®ã . C¸ch 2 : chøng minh ®êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã t¹i mét ®iÓm vµ ®iÓm ®ã thuéc ®êng trßn . 4 . Quan hÖ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y cung : * §Þnh lÝ 1 : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy ra thµnh hai phÇn b»ng nhau . * §Þnh lÝ 2 : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. 5 . Quan hÖ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m : * §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m . * §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cña mét ®êng trßn, d©y cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n . II. Gãc trong ®êng trßn: 1, C¸c lo¹i gãc trong ®êng trßn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®êng trßn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn: a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr¬ng hai cung b»ng nhau. * §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n. 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tø gi¸c néi tiÕp mét ®êng trßn lµ tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn . §¬ng trßn ®ã ®îc gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. b, C¸ch chøng minh : * C¸ch 1: chøng minh bèn ®Ønh cña tø gi¸c cïng thuéc mét ®êng trßn * C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800 * C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 31
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1. Tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 1 3. Chứng minh ED = BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh COD = 900. AB2 3.Chứng minh AC. BD = . 4 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 5.Chứng minh MN  AB. 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 32
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Lời giải: Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 1.Chứng minh tam giác BEC cân. 2.Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3.Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). 4.Chứng minh BE = BH + DE. Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh  ABD =  DFB. 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB. 1.Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân. 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn . Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. BD BM 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. CB CF 33
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. 1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2. BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 3. AC // FG. 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 21
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1.Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3.Chứng minh OH  PQ. Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . Bài 19. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 20. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MDGC nội tiếp . 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn 3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 4. B, E, F thẳng hàng 5. DF, EG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF là tiếp tuyến của (O’). Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2. Chứng minh IP // OQ. 3. Chứng minh rằng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 2. Tính góc CHK. 3. Chứng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào? Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng. 2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân. 35
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3. Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đường tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1. Chứng minh AE = EB. 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ BDE. . Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC C. Chứng minh OAH = B - C. 36
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3. Cho BAC = 600 và OAH = 200. Tính: a)B và C của tam giác ABC. b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600. 1.Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2.Vẽ đường kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH và AD // BH. 3.Tính AH theo R. Bài 32 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. 1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định. 2. Từ A kẻ Ax  MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành. 3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. 4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào. 5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN. Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. 1. Chứng minh OM  BC. 2. Chứng minh MC2 = MI.MA. 3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn . Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của đường tròn (O). 2. Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 3. Kẻ AK  CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao? 4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC. Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh AM2 = AE.AC. 4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh : 1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật. 2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. 37
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 37 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp . 2. Chứng minh  BAC = 900 . 3. Tính số đo góc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B (O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh : 1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . 2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. 3. Chứng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 40 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N. 1.Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB. 2.Chứng minh AM. BN = R2. S R 3.Tính tỉ số MON khi AM = . S APB 2 4.Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra. Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho  DOE = 600 . 1)Chứng minh tích BD. CE không đổi. 2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE 3)Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE. Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh : 1. BD2 = AD.CD. 2. Tứ giác BCDE nội tiếp . 38
Tuyển tập các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3. BC song song với DE. Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . 2. Chứng minh NE  AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O). 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. 1. Chứng minh CO = CD. 2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi. 3. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH. 4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng. Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 39
Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 40 - 1.Chứng minh BC // AE. 2.Chứng minh ABCE là hình bình hành. 3.Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. So sánh BAC và BGO. Bài 46: Cho đường trũn (O) và một điểm P ở ngoài đường trũn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C A). Đoạn PC cắt đường trũn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. B Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. b. Chứng minh tứ giỏc ABCE là tứ giỏc nội tiếp. c. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. d. Cho A·BC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ADEF. C Bài 48: Cho ∆ABC vuụng ( A·BC = 900; BC > BA) nội tiếp trong đường trũn đưũng kớnh AC. Kẻ dõy cung BD vuụng gúc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường trũn đường kính EC cắt BC tại I (I C). B CI CE a. Chứng minh CB CA b. Chứng minh D; E; I thẳng hàng. I c. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường trũn đường kính EC. H Bài 49: Cho đường trũn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH (d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường trũn. b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP P c. Giả sử P·MQ = 600. Tớnh tỉ số diện tớch 2 tam giỏc: ∆MPQvà ∆OPQ. Bài 50: Cho nửa đường trũn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường trũn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường trũn. Chứng minh tứ giỏc ACMO nội tiếp được trong một đường trũn. DM CM b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . D DE CE c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 1 d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. M e. Đặt A·OC = ỏ. Tớnh theo R và ỏ các đoạn AC và BD. C Chứng tỏ rằng tớch AC.BD chỉ phụ thuộc giỏ trị của R, khụng phụ thuộc vào ỏ. 2 3 1 4 Bài 51: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. a. Chứng minh tứ giỏc HA1BC1 nội tiếp được trong đường trũn. Xỏc định tâm I của đường trũn ấy. · b. Chứng minh A1A là phõn giỏc của B1A1C1 . c. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1.A
Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 41 - MH 1 d. Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho . MC 3 So sỏnh diện tớch của 2 tam giỏc: ∆HAC và ∆HJM. B1 C1 Bài 52: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. a. Chứng minh tứ giỏc MABP nội tiếp được và tâm O của đường trũn này nằm trờn một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. b. Kẻ PI  Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. c. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH  PM. d. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng. z Bài 53: Cho nửa đường trũn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a. So sỏnh hai tam giỏc: ∆AKN và ∆BKM. b. Chứng minh: ∆KMN vuụng cõn. c. Tứ giỏc ANKP là hỡnh gỡ? Vỡ sao? Bài 54: Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. a. Chứng minh: tia MD là phõn giỏc của gúc AMB. b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi. c. Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ONMA, I di động như thế nào? C Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường trũn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường trũn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường trũn (O) tại A. b. Tứ giỏc ABCE là hỡnh gỡ? Tại sao? c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sỏnh B·GO với B·AC . A E d. Cho biết DF // BC. Tớnh cosA·BC . Bài 56: Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường trũn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F.E a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. b. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được. D c. Chứng minh: A là tâm đường trũn nội tiếp ∆BDE. A d. Tỡm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). Bài 57: Cho đường trũn (O; R) cú 2 đường kính cố định AB  CD. O’ a) Chứng minh: ACBD là hỡnh vuụng. b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E B; E C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của A· EB và ED // MB.
Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 42 - c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường trũn mà ta phải xỏc định tâm và bán kính theo R. C Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phía ngoài của tam giác, tạo với cạnh AC một góc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kéo dài ở D. Đường trũn tõm O đường kính CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuông góc với CD tại O cắt AD ở M. a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xác định tâm I của đường trũn đó. b. Chứng minh: CA = CM. c. Đường thẳng HE cắt đường trũn tõm O ở K, đường thẳng HI cắt đường trũn tõm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp. Bài 59: BC là một dây cung của đường trũn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong ∆ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. b. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. c. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN. Bài 60: Cho đường trũn tõm (O; R) cú AB là đường kính cố định cũn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường trũn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P. a. Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được. b. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuụng gúc với DC. c. Tỡm tập hợp cỏc tõm E của đường trũn ngoại tiếp ∆CPD. Bài 61: Cho ∆ABC cõn (AB = AC; Aµ< 900), một cung trũn BC nằm bờn trong ∆ABC tiếp xỳc với AB, AC tại B và C. Trờn cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK. a. Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được. b. Chứng minh: tia đối của tia MI là phân giác H·MK . c. Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp được PQ // BC. Bài 62: Cho nửa đường trũn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường trũn (O) tại M. Hạ CI AMC (I AM). a. Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp được trong 1 đường trũn. b. Chứng minh: Tứ giỏc BMCI là hỡnh bỡnh hành. M · · = c. Chứng minh: MOI CAI . 1 d. Chứng minh: MA = 3.MB. N 2 I = Bài 63: Cho ∆ABC cú Aµ=600 nội tiếp trong đường trũn (O), đường cao AH cắt đường trũn ở D, đường cao BK cắt AH ở E. a. Chứng minh: B·KH B·CD . b. Tớnh B·EC .
Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 43 - c. Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hỏi tâm I của đườngtrũn nội tiếp ∆ABC chuyển động trên đường nào? Nêu cách dựng đường đó (chỉ nêu cách dựng) và cách xác định rừ nú (giới hạn đường đó). d. Chứng minh: ∆IOE cõn ở I. A Bài 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa trong hỡnh vuụng dựng cung một phần tư đường trũn tõm B, bỏn kớnh AB và nửa đường trũn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK AD và PH  AB. Nối PA, cắt nửa đường trũn đường kính AB tại I và PB cắt nửa C đường trũn này tại M. Chứng minh rằng: D a. I là trung điểm của AP. b. Các đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = PK = AH. d. Tứ giỏc APMH là hỡnh thang cõn. K P Bài 65: Cho đường trũn tõm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường trũn. b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB. c. Tỡm vị trớ của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN. là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D A và DH C).O A · a. Tớnh cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phõn giỏc củaB AC . D b. Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI  CE. c. Suy ra E di động trên đường trũn mà ta phải xỏc định tâm và giới hạn. d. Tớnh theo R diện tớch ∆ADI lỳc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC. = E O = Bài 67: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a. Trờn AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho : a AE = DF = . 3 a. So sỏnh ∆ABE và ∆DAF. Tớnh cỏc cạnh và diện tớch của chỳng. b. Chứng minh AF  BE. c. Tớnh tỉ số diện tớch ∆AIE và ∆BIA; diện tớch ∆AIE và ∆BIA và diện tớch cỏc tứ giỏc IEDF và IBCF. Bài 68: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn; Aµ= 450. Vẽ các đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD, CE. a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường trũn.; b. Chứng minh: HD = DC. DE c. Tớnh tỷ số: d. Gọi O là tâm đường trũn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: BC OA DE Bài 69: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đỉnh D nằm trên đường trũn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường trũn. b. Khi điểm D di động trên đường trũn thỡ (B·MD +B·CD ) không đổi. c. DB.DC = DN.AC
Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 44 - Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường trũn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường trũn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh: a. BC // DE. b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được. c. Tứ giỏc BCQP là hỡnh gỡ? Bài 71: Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; cỏc tiếp tuyến tại A của cỏc đường trũn (O) và (O’) cắt đường trũn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a. ∆ABD ~ ∆CBA. b. B·QD = A· PB c. Tứ giỏc APBQ nội tiếp. Bài 72: Cho nửa đường trũn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường trũn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được. b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giỏc MPOQ là hỡnh gỡ? Tại sao? c. Kẻ MH AB (H AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường trũn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh: 1 r 1 . 3 R 2 Bài 73: Từ điểm A ngoài đường trũn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I. a. Nờu cỏch vẽ cỏt tuyến AKD sao cho BD//AC. b. Chứng minh: IC2 = IK.IB. c. Cho B·AC = 600. Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O. Bài 74: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F. a. Tỡm những tứ giỏc cú thể nội tiếp đường trũn. Giải thớch vỡ sao? Xỏc định tâm các đường trũn đó. b. Chứng minh: EB là tia phõn giỏc của AEF . c. Chứng minh: M là tâm đường trũn ngoại tiếp VAFN . Bài 75: Cho nửa đường trũn tõm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường trũn đó. Dựng hỡnh vuụng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, khụng chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường trũn (O). K là giao điểm của CF và ED. a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường trũn. b. ∆BKC là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? c. Tỡm quỹ tớch điểm E khi A di động trên nửa đường trũn (O).
Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 45 - 1 Bài 76: Cho ∆ABC vuụng tại C, cú BC = AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). 2 Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K. a. Tính độ lớn góc C· IK . b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK. c. Gọi H là giao điểm của đường trũn đường kính AK với cạnh AB. Chứng minh: H, E, K thẳng hàng. d. Tỡm quỹ tớch điểm I khi E chạy trên BC. Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường trũn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được. b. Kộo dài DE cắt AC ở K. Tia phõn giỏc của C·KD cắt EF và CD tại M và N. Tia phõn giỏc của C·BF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giỏc MPNQ là hỡnh gỡ? Tại sao? c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường trũn nội tiếp cỏc tam giỏc ABC, 2 2 2 ADB, ADC. Chứng minh: r = r1 + r2 . Bài 78: Cho đường trũn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a. Tam giỏc CEF và EMB là cỏc tam giỏc gỡ? b. Chứng minh: Tứ giỏc FCBM nội tiếp. Tỡm tõm đường trũn đó. c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy. Bài 79: Cho đường trũn (O; R). Dõy BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn BC; E, F thứ tự là hỡnh chiếu của B, C trờn đường kính AA’. a. Chứng minh: HE AC. b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC. c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường trũn ngoại tiếp ∆HEF cố định. Bài 80: Cho ∆ ABC vuụng ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường trũn nội tiếp ∆ ABH và ∆ ACH . 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK. 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường trũn. b) Chứng minh AM = AN. 1 c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đó S, S’ lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN. 2