Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Vòng 1) - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Vòng 1) - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A ) Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011 Câu 1: ( 5,0 điểm ) a. Giải phương trình sau: 4 x2 x 1 1 5x 4x2 2x3 x4 với x R . b. Giải phương trình: 2sin2 x 3sin 2x 1 3 cos x 3sin x . Câu 2: ( 5,0 điểm ) a. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh AB 2 . Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 MB2 MC 2 . Tìm quỹ tích của điểm M. b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng 600 , BM 6,CN 9 . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC. Câu 3: ( 4,0 điểm ) 2 Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 với mọi n 1 . a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số un . 2 2 2 2 b. Tính tổng S u1 u2 u3 u2011 . Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho a,b,c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M a b c 3 a b c 6abc Câu 5: ( 3,0 điểm )
2. 3 2 x y 2 x 2xy 2m 3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: với x, y là các số 2 x 3x y m thực. . Hết . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh:
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang ) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Câu Đáp án Thang điểm 1 a. ( 3,0 điểm ) (5,0 3 điểm) Đặt t x2 x 1, t . Khi đó phương trình trở thành: 2 4t t 4 7t 2 5 t 4 6t 2 9 t 2 4t 4 0 0,5 2 t 2 3 t 2 2 0 t 2 t 1 t 2 t 5 0 (*) 0,5 t 2 t 1 0 0,5 (*) 2 t t 5 0 3 1 5  Với t thì t 2 t 1 0 có một nghiệm là t 2 2 0,5 3 1 21  Với t thì t 2 t 5 0 có một nghiệm là t 2 2 1 5  Khi t thì 2 0,5
4. 2 2 1 5 2 x x 1 2x 2x 1 5 0 2 1 3 2 5 1 3 2 5 x hoặc x . 2 2 1 21 Khi t thì 2 2 1 21 x2 x 1 2x2 2x 9 21 0 2 0,5 1 19 2 21 1 19 2 21 x hoặc x . 2 2 b. ( 2,0 điểm ) Phương trình đã cho được viết lại: 3sin2 x 2 3 sin x cos x cos2 x 3 3 sin x cos x 0,5 2 3 sin x cos x 3 3 sin x cos x 0 0,5 3sin x cos x 0 hoặc 3sin x cos x 3 0,5 1  3 sin x cos x 0 tan x x k , k Z 3 6  3 sin x cos x 3 phương trình vô nghiệm. 0,5 2 a. (2,0 điểm )
5. (5,0  Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua điểm) A và tia By qua C. Ta có: B 0;0 , A 2;0 , C 0;2 . Giả sử 0,5 M x; y .  MA2 MB2 MC 2 2 x 2 y2 x2 y2 x2 2 y 2 2 2 0,5 x y 4x 4y 0 .  Phương trình trên là phương trình của một đường tròn 0,5 tâm I 2; 2 , bán kính R 2 2 .  Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I 2; 2 , 0,5 bán kính R 2 2 . b. ( 3,0 điểm ) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.  Xét trường hợp: B· GC 1200 Ta có: BC2 GB2 GC2 2GB.GC.cos1200 76 AC2 MC2 GM 2 GC2 2GM.GC.cos600 28 4 0,5 Vậy AC2 = 112 AB2 NB2 GB2 GN 2 2GB.GN.cos600 13 Vậy AB2 = 4 0,5 52 Vậy độ dài trung tuyến còn lại : 2 2 2 2 AC AB BC ma 63 ma 3 7 2 4 0,5
6.  Xét trường hợp: B· GC 600 Ta có : BC2 GB2 GC2 2GB.GC.cos600 28 AC2 0,5 MC2 GM 2 GC2 2GM.GC.cos1200 52 4 Vậy AC2 = 208 AB2 NB2 GB2 GN 2 2GB.GN.cos1200 37 4 Vậy AB2 = 148 0,5 Vậy độ dài trung tuyến còn lại : 0,5 AC2 AB2 BC2 m2 171 m 171 a 2 4 a Câu Đáp án Thang điểm 3 a. 2,0 điểm (4,0 * Dễ thấy u 0,n N điểm) n 2 2 2 0,5 Từ un 1 3un 2 un 1 3un 2 . 2 Đặt vn un thì có: vn 1 3vn 2 vn 1 1 3 vn 1 . 0,5 Đặt xn vn 1 thì ta có: 0,5 xn 1 3xn . Từ đây suy ra xn là cấp số nhân với x1 2 , công bội là 3. n 1 n 1 n 1 Nên: xn 2.3 vn 2.3 1 un 2.3 1 . 0,5
7. b. 2,0 điểm S 2.30 2.31 2.32 2.32010 2011 0,5 2 30 31 32 32010 2011 0,5 2 32011 1 2011 3 1 0,5 32011 2012 0,5 Chứng minh được: a b c 2 3 a2 b2 c2 3 0,5 4 (3,0 3 Suy ra: a b c 3 và a b c 3 a b c 0,5 điểm) 3 a b c 8 3 0,5 + 0,5 M 2 a b c 6abc 2 3 6 3 3 0,5 Vậy GTLN của M là 8 3 3 1 Giá trị này đạt được khi a b c . 0,5 3 2 5 x 2x x y 2m 3 Viết lại hệ: 2 (3,0 x 2x x y m 0,5 điểm)
8. Đặt u x2 2x,v x y . Dễ có: u 1 . u.v 2m 3 0,5 Hệ trở thành: u v m u2 3 Suy ra: u m u 2m 3 u2 3 m u 2 m u 2 0,5 u2 3 Xét hàm f u với u 1 . u 2 u2 4u 3 f / u 0,u 1 u 2 2 0,5 Bảng biến thiên: u 1 f / u + f u 0,5 2
9. Kết luận : m 2 . 0,5