Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs năm học 2008-2009 đề chính thức môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có một trang câu 1 (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz x y z. câu 2 (2 điểm) 1 a) Giải phương trình x3 x2 x . 3 b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức x y 10 z A . xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10 câu 3 (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì x3 y3 z3 3xyz. 1 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện mn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 m2 n2 m2n2 P . m2n2 m2 n2 câu 4 (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. câu 5 (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO. Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2. Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ Hướng dẫn chấm thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs năm học 2008-2009 môn Toán (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 4 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic. Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số. II. Đáp án và biểu điểm câu 1 (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz x y z . Đáp án biểu điểm Phương trình đã cho tương đương với 1 1 1 0,25 điểm 1. xy yz zx Không mất tính tổng quát, giả sử x y z (*) 0,25 điểm 1 1 1 3 1 - Nếu z 3 thì 1 (loại). 0,25 điểm xy yz zx z2 3 - Nếu z 2 thì phương trình đã cho trở thành 2xy x y 2 . 0,25 điểm Hay 2x 1 2y 1 5. Do (*) nên chỉ có trường hợp 2x - 1 = 5 và 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 1 0,25 điểm - Nếu z 1 thì phương trình đã cho trở thành xy x y 1 0,25 điểm x 1 y 1 2 . Do (*) nên chỉ có trường hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2. 0,25 điểm Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3). 0,25 điểm 1 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
3. CÂU 2 (2 điểm) 1 a) Giải phương trình x3 x2 x . 3 b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức x y 10 z A . xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10 Đáp án biểu điểm a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình 0,25 điểm 4x3 x3 3x2 3x 1 4x3 x 1 3 0,25 điểm x 3 4 x 1 0,25 điểm 3 4 1 x 1 1 Nghiệm của phương trình: x 0,25 điểm 3 4 1 b) Ta có xyz 10 0,25 điểm x xy 10 z A 0,25 điểm xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz x xy 10 z A 0,25 điểm xy x 10 10 xy x z x 10 xy x xy 10 A = 1 0,25 điểm xy x 10 10 xy x x 10 xy CÂU 3 (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì x3 y3 z3 3xyz. 1 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện mn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 m2 n2 m2n2 P . m2n2 m2 n2 Đáp án biểu điểm a) (1,25 điểm). Ta cú P x3 y3 z3 3xyz 0,25 điểm x y 3 3xy x y z3 3xyz 3 3 x y z 3xy x y 3xyz 0,25 điểm x y z x y 2 z2 x y z 3xy x y z 2 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
4. x y z x y 2 z2 x y z 3xy 0,25 điểm x y z x2 y2 z2 xy yz zx 1 2 2 2 x y z x y y z z x 0 (Do giả thiết x + y + z 0 ) 0,25 điểm 2 Suy ra P x3 y3 z3 3xyz 0 và do đó x3 y3 z3 3xyz 0,25 điểm b) Từ m2 n2 2mn m n 2 0 và giả thiết suy ra m2 n2 2mn 1. 0,25 điểm 2 2 m2 n2 m2n2 m2 n2 m2n2 15 m n Do đó P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 0,25 điểm m n m n 16m n m n 16m n áp dụng BĐT a b 2 ab với a, b không âm, đấu đẳng thức có khi a = b, ta có. 1 15 17 P 2 4 4 0,25 điểm 17 1 Kết luận: P , đạt được khi m n . min 4 2 câu 4 (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Đáp án biểu điểm b) Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0). m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1). 0,50 điểm m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2). m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại 1 1 0,25 điểm A 0; và B ; 0 . m 3 m 4 Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có 1 1 OA , OB m 3 m 4 0,50 điểm 2 1 1 1 2 2 2 7 1 1 2 2 2 m 3 m 4 2m 14m 25 2 m . OH OA OB 2 2 2 Suy ra OH2 2 OH 2 (3). 7 Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2 , đạt được khi và chỉ khi m = . 2 0,25 điểm 7 Kết luận: m = . 2 3 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
5. CÂU 5 (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO. Đáp án biểu điểm P A E B C O H EH CH a) Ta có AH // PB (vì AH, PB cùng vuông góc với BC) (1) 0,25 điểm PB CB Lại có AC // PO (vì AC, PO cùng vuông góc với AB) nên hai tam giác vuông AH CH 0,50 điểm AHC và PBO đồng dạng (2) PB BO Mà CB = 2.BO nên AH = 2. EH hay E là trung điểm của AH. 0,25 điểm b) Ta có AH2 = HB. HC = (2R – HC)HC 0,25 điểm 2 EH.CB EH.CB AH.CB AH.CB AH 2R . = 2R . 0,25 điểm PB PB 2PB 2PB 2 2 4PB .AH (4R.PB AH.2R).AH.2R 0,25 điểm 2 2 2 PB .AH 2R .PB R .AH 0,25 điểm R 2 PB2 .AH 2R 2.PB 0,25 điểm 2R 2 Mà PB2 d2 R 2 nên AH . d2 R 2 0,25 điểm d2 Hết 4 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009