Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH Năm học 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi 11/09/2018 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (6,0 điểm). y y2 1 (x y)(x2 xy y 2 2) 2ln Giải hệ phương trình: x x2 1 . x y 3 .2x 3 2y 1 Câu 2 (4,0 điểm). 2 3 Xét sự hội tụ của dãy số xn biết x0 2 , xn 1 2  n . xn x n Câu 3 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP. Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O)). a) Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn. Câu 4 (4,0 điểm). Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3, , 2019. Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và ab b bất kỳ trên bảng và viết thêm số . Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau a b 1 1 khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số . 2019 Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2:
2. Câu Nội dung Điểm y y2 1 (x y )( x2 xy y 2 2) 2ln 1 x x2 1 x y 3 .2x 3 2 y 1 2 Điều kiện xác định: x, y . Phương trình 1 x3 y 3 2( x y ) 2ln( y y 2 1) 2ln( x x 2 1) x3 2 x 2ln( x x 2 1) y 3 2 y 2ln( y y 2 1) Xét f( t ) t3 2 t ln( t t 2 1) , ta có: 2 2 f ( t ) 3 t 2 t 2 1 21 1 2 (t 1) 2 t 3 t2 1 t 2 1 2t2 0  t 1 Suy ra f t là hàm số đồng biến trên . Do đó (1) f x f y x y x Thay x y vào phương trình 2 ta được 3 2x 1 2 x 1 (3) 6 điểm 1 Nhận xét: x không là nghiệm của (3) 2 x 2x 1 Do đó (3) 3 0 2x 1 x 2x 1 Xét g(x) 3 , ta có: 2x 1 x 4 g ( x ) 3 ln 3 (2x 1)2 1 1 g ( x ) 0  x ( ; )  ( ; ) 2 2 1 1 Suy ra g(x) đồng biến trên mỗi khoảng ( ; ),( ; ) 2 2 Suy ra phương trình (3) có không quá 2 nghiệm. Mà g 1 g 1 0 do đó 3 có đúng 2 nghiệm là x 1 . Kết luận: Tập nghiệm của hệ là (1;1);( 1; 1) . * Nhận xét: xn 0 n . 2 3 Đặt g x 2 , ta có g(x) nghịch biến trên 0; 2 x x Do g() x nghịch biến trên 0; nên g g là hàm đồng biến trên 0; . 4 điểm Suy ra x2n đơn điệu. 4 3 32 24 3 Mà x , x x x 14 2(4 3)2 0 2
3. Do đó x2n là dãy đơn điệu tăng. Suy ra x2n 2  n . Giả sử tồn tại giới hạn lim xn a limx2n a a 2 * . 2 3 2 3 Từ lim xn a và xn 1 2 , cho n dần đến vô cùng ta được: a 2 . xn x n a a 2 3 a a 3 a2 a 3 1 0 a a2 a 3 Suy ra a < 2 (Mâu thuẫn) Vậy dãy xn không hội tụ. F Q N A P C 3 M E O G H B 6 điểm D a. 3,5 điểm Gọi (O1), (O2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP suy ra EF là trục đẳng phương của (O1), (O2). Gọi D là giao điểm của BM và CP suy ra AGDH là hình bình hành Vì ABN CAP (AB, AN) = (CA, CP) (BA, BD) = (AB, AN) = (CA, CP) = (CA, CD) A, B, C, D đồng viên. Suy ra (CA, CB) = (DA, DG), (AB, AC) = (DG, DC)=(GD, GA) suy ra hai tam giác ABC và GAD đồng dạng. AB GD AH AC GA AG AB CP Mà ABN CAP CA AN
4. AH CP AQ AG AN AN AH AN AG AQ PP AA/(O1 ) /(O 2 ) Mà EF là trục đẳng phương của (O1), (O2) A EF . Vậy A, E, F thẳng hàng. b. 2,5 điểm Gọi F MN  PQ . Ta có: FMFQ , AB,, AC GM GQ . Suy ra FO 1 . Tương tự FO 2 . Suy ra FF  . Ta có E, F, M, G đồng viên (GB, GE) = (GM, GE) = (FM, FE)= (AB,AE) suy ra A, B, E, G đồng viên Tương tự A, C, E, H đồng viên. Suy ra (EB, EC) = (EB,EA) + (EA, EC) = (GB, GA) + (HA, HC) = 2(DB,DC) Mà A, B, C, D đồng viên suy ra D thuộc (O) (OB, OC) = 2(DB, DC) (EB, EC) = (DB, DC) Suy ra B, C, E, O đồng viên. Với mỗi tập T  a1; a 2 ; ; an các số viết trên bảng thì đặt 1 1 1 AT 1 1  1 a1 a 2 an A 1;2; ;2019 2020 1 1 a 1 b 1 Ta thấy: 1 1 a b ab 1 5 1 ab a b 1 ab 4 điểm Suy ra nếu xóa hai số a và b và thay bởi , tập T biến thành tập T thì a b 1 ATAT () . 1 Giả sử sau khi thực hiện 2018 bước ta được số thực x ta có: A  x 1 2020 x 1 x 2019 1 Vậy trên bảng luôn còn lại số . 2019 HẾT
5. SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi:12/09/2018 (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (4,0 điểm). Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P(a) 1, P(b) 2 và P(c) 3. Chứng minh rằng: a + c = 2b. Câu 2 (5,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 ab bc ca a b c 4 22 2 2 9 4 2 . a b c a b c Câu 3 (6,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T. Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N (M, N khác T). a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng. b) Đường phân giác của góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q. Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau. Câu 4 (5,0 điểm). Với số n nguyên dương, đặt f(n) là số ước nguyên dương của n. Xét tập hợp * * G {n : f (m) f (n),  m ,0 m n} và gọi pi là số nguyên tố thứ i (i ). a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và pm là ước nguyên tố của n thì ( p1 p 2 p m ) là ước của n. b) Với số nguyên tố p , gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k p và m m 2k M (p1 p 2  p m 1 ) . Chứng minh rằng: Nếu n M và n thuộc G thì n chia hết cho pm . Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2:
6. Câu Nội dung Điểm Vì P(b) = 2 nên ta có P x x b . q x 2 với q() x  x . Suy ra 1 P a a b  q a 2 a b  q a 1 1 3 P c c b  q c 2 c b  q c 1 4 Vì a – b, c – b, q(a), q(c) là những số nguyên nên a – b và c – b là ước của 1. điểm a b 1 a b 1 Ta có P a P c a c . Suy ra: hoặc c b 1 c b 1 a c 2 b 1 1 1 ab bc ca a b c 4 22 2 2 9 4 2 a b c a b c 1 1 1 ab bc ca a b c 9 4 2 4 2 a b c a2 b 2 c 2 ab 2 bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 bc 2 2 2 (*) ab bc ca a2 b 2 c 2 a b 2 a c 2 Không mất tính tổng quát giả sử a b c b c Áp dung bất đẳng thức Chebyshev ta có: 2 2 a b a c 2 2 b c 2 a b a c b c 2 2 2 2 2 a b a c 2 a b a c (1) ab ac a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ b = c 5 2 Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM: 2a2 b 2 c 2 2 a 2 b c điểm 2 2a b c 2 2 2 a b c a2 b 2 c 2 2 2 2 a b a c 2 2 a b a c Suy ra 2 2 (2) a b c a2 b 2 c 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a2 b c 2 2 2 a b c 3 bc 2 2bc (vì a b c ) b c 2 b c 2 2 2 (3) bc a2 b 2 c 2 Từ (1), (2), (3) suy ra BDT (*) đúng. Suy ra điều phải chứng minh.
7. Dấu bằng xảy ra khi a b c hoặc a 2 b 2 c và các hoán vị. M E B A L O N F IX K D T a) 3,0 điểm Phép vị tự tâm T , tỉ số k biến đường tròn I thành đường tròn O . k Khi đó vì T , E , M thẳng hàng và EI , MO nên VEMT : T , F , N thẳng hàng và FI , NO nên VFNk : T Gọi L là giao điểm của AT và (I) suy ra VLAk : T Tiếp tuyến tại E , F của I và TL đồng qui tại A 3 TELF là tứ giác điều hòa. 6 Phép vị tự tâm T , tỉ số k biến tứ giác TELF thành TMAN nên TMAN là tứ giác điểm điều hòa. Suy ra K , M , N thẳng hàng. b) 3,0 điểm M B E A PI r O 1 N J F Q IX C K D T Từ IE// OM nên OM AB M là điểm chính giữa cung AB của O .
8. Tương tự: N là điểm chính giữa cung AD của O . Phân giác góc BAC cắt CM tại P , mà CM là phân giác góc ACB nên P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Ngoài ra, Q thuộc CN là phân giác góc ACD và NQ NA ND nên Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD . Gọi r , r là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ADC . 1 2 Do K , P , Q thẳng hàng nên theo định lý Menelaus cho tam giác MCN với cát PC KM QN tuyến KPQ,, ta có: . . 1. PM KN QC Tam giác KAM KNA . 2 KM KM KA AM Mặt khác:  . KN KA KN AN QC AMsin ACM Suy ra QC.sin NCA PC .sin MCA . PC AN sin ACN Suy ra r1 r 2 . Ta có điều phải chứng minh a) 3 điểm k1 k 2 k Giả sử n p1p 2  p ( ki , i 1, ) f( n ) ( k1 1)( k 2 1)  ( k 1) Giả sử n chia hết pm , tồn tại i thỏa mãn 1 i m mà n không chia hết cho pi . Suy ra km 1, k i 0 n Xét n0 . pi ta có: pm (ki 2) k m 2 k m n0 n và f( n0 ) f (n) f (n) (ki 1)(k m 1) k m 1 Do km 1 2 km km 1 nên f()() n0 f n mâu thuẫn. Vậy n chia hết cho pi với mọi i 1,2,  , m . 4 b) 2 điểm Xét n G và n M . Giả sử n không chia hết cho pm thì mọi ước của n đều thuộc tập {,,,}p p p . 5 1 2m 1 (Thật vậy, giả sử n có ước p p thì theo ý (a) n chia hết cho điểm j m p1,,,,, p 2  pm  p j . Mâu thuẫn.) k1 k2 km 1 Suy ra n p1p 2  pm 1 (ki ,i 1, m 1) Vì n M nên tồn tạii : 1 i m 1 sao cho ki 2 k . n k k Đặt n1 k và n0 n 1. pm . Do pi 2 p m suy ra n0 n . pi f( n ) ( k1 1)( k 2 1)  ( kt 1) f( n0 ) ( k 1 1)( k 2 1)  ( ki 1 1)(ki k 1)( k i 1 1)  ( k t 1).2 Vì k 1 2 k 2( k k 1) k 1 f()() n f n . Mâu thuẫn. i i i 0 Vậy có điều phải chứng minh. HẾT