Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Võ Xán (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Võ Xán (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TÂY SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS VÕ XÁN NĂM HỌC: 2018 - 2019 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang, 5 bài ) Bài 1 : (4.0 điểm) abc n2 1 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa: (n N; n 2) 2 cba (n 2) Bài 2 : (5.0 điểm) a-Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 ab ac ad b- Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức A = x4 + y4 + z4 Bài 3 :(3.0 điểm) Giải phương trình x 1 2x 1 5 Bài 4 (4,0 điểm ) Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tứ giác, kẻ MH, MK, ML vuông góc với các cạnh AB, BC , AC và có độ dài lần lượt là x, y, z. Gọi h là độ dài đường cao của tam giác đều ABC. 1 Chứng minh rằng : x2 y2 z2 h2 3 Bài 5 (4,0 điểm) Cho đường tròn (O,r) .Xét hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn nói trên,trong đó BC //AD ; B·AD = ; ·ADC = với 900 ,  900 . 1 1 1 1 a. Chứng tỏ: OA2 OB 2 OC 2 OD 2 b. Tính S ABCD theo r , ,  . Với các góc , bằng bao nhiêu thì hình thang ABCD có diện tích nhỏ nhất và tính S nhỏ nhất theo r. ( S là diện tích của hình thang ABCD ) Hết Chú ý : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : . Chữ kí giám thị 1: . Số báo danh : Chữ kí giám thị 2: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2018 - 2019 Bài Đáp án Điểm Ta có: abc 100a 10b c n2 1 (1) 0.5 cba 100c 10b a n2 4n 4 (2) 0.5 Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5 4n 5M99 (3) 0,5 1 Mặt khác: 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31 0.5 39 4n 5 119 (4) . 1,0 Từ (3) và (4) suy ra n = 26. 0.5 Vậy abc 675 . 0.5 Ta có a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 2 2 2 2 a 2 a 2 a 2 a 1,0 a = ab b ac c ad d 4 4 4 4 2 2 2 a a a a2 b c d 0 1,0 2 2 2 4 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,0 1 xy yz zx x y z x y z x y z 2 2 2 2 4 4 4 1,0 b 1 x y z 1 1 1 x y z 1 1 3 1,0 P minP = khi x = y = z = 3 3 3 x 1 2x 1 5 x 1 x 1 1,0 3x 2 2 (x 1)(2x 1) 25 2 2x2 3x 1 27 3x 3 1 x 9 1 x 9 1,0 2 2 2 . 4(2x 3x 1) (27 3x) x 150x 725 0 x 5 1,0 G o ïi c a ïn h c u ûa V ñ e àu A B C l a ø a t a c o ù: S V A B C S V B M C S V A M C S V A M B a h a x a y a z h x y z 4 2 2 h x y z 1,0 h 2 x 2 y 2 z 2 2 x y x z y z M a ø: x 2 y 2 2 x y ; y 2 z 2 2 y z; x 2 z 2 2 x z 1,0 x 2 y 2 z 2 x y x z y z
3. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,0 h x y z 2 x y x z y z x y z 2 x y z 2 2 2 2 1,0 h 3 x y z x 2 y 2 z 2 1 h 2 3 -Từ O hạ OI , OM, OT,.ON lần lượt vuông góc với AB ,BC,CD,DA . -Chứng minh AOB và COD vuông tại O. 1,0 1 1 1 1 1 1 -Chứng minh ; OA2 OB 2 OI 2 OC 2 OD 2 OT 2 a Mà OI = OT 1 1 1 1 Nên OC 2 OD 2 OA2 OB 2 1,0 5 Ta có : AI = AN = OI cot = r cot ; BI =BM = OI tan = r tan 2 2 2 2 0,5 r tan r cot BM AN 2 2 2 1,0 Ta cũng có: S ABMN = .MN = . 2r = r ()tan cot 2 2 2 2 2   Tương tự :S MCDN == r ()tan cot b 2 2 2   Suy ra: S ABCD = r (tan cot +tan cot ) 2 2 2 2     Vì : tan cot 2tan .cot = 2; tan cot 2tan .cot = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 2 2 0 Suy ra: SABCD 4r Vậy Min SABCD = 4r  = 90 * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở bài 4; bài 5 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. Phú Phong, ngày 28 tháng 9 năm 2018 Giáo viên ra đề Xét duyệt Ban Giám Hiệu TRẦN NGỌC MINH