Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án)

1. Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT MễN TOÁN (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề). Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). (Đại học ngoại thương khối A năm 2000). Bài 2: (4 điểm). 3 1. Tính I= x3 2x2 x dx. 0 2 2. Cho f(x) = 2x + m + log2mx - 2(m – 2)x+ 2m-1. Tìm m để f(x) có tập xác định là R. Bài 3: (4 điểm). Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1. Bài 4: (2 điểm). x y 1 Giải hệ phương trình: y z 1 z x 1 Bài 5: (4 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD', N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a2 ). a 2 1. Chứng minh với x= thì MN ngắn nhất. 3 2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD' và DB. Bài 6: (2 điểm). Cho x,y,z ; Chứng minh: 6 2 2 sin x sin y sin y sin z sin z sin x 1 1 sin z sin x sin y 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Nội dung Điểm Bài Bài1 1 Tập xác định: x . (4điểm) (2điểm) Chiều biến thiên: y'=3x2-12x+9 y'=0 x=1, x=3 0,5 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lõm và điểm uốn y''=6x-12 Hàm số lồi x ( ,2) Hàm số lõm x (2,+ ) Điểm uốn x=2, y=1 0,5 limy=+ ; limy=- x->+ x->- Bảng biến thiên x - 1 3 + y' + 0 - y'' 3 + 0,5 - -1 Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp 0,5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. 2 Xét A(2,a) trên đường x=2. Tiếp tuyến tại A có phương trình là: 2 3 2 (2điểm) y=(3x0 -12x0+9)(x-x0)+x0 -6x0 +9x0-1 0,5 Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi 2 3 2 a=(3x0 -12x0+9)(2-x0)+x0 -6x0 +9x0-1 3 2  2x0 -12x0 +24x0-17+a=0 (1) 0,5 Số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A Xét g(x)= -2x3+12x2-24x+17 g'(x)=-6(x-2)2 0 x 0,5  g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (- ,+ ) do đó phương trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (1) 0,5 Bài 2 1 3 3 0,5 2 (4điểm) (2điểm) I= x(x 1) dx = x x 1 dx 0 0 1 3 = x 1 x dx + x x 1 dx 0,5 0 1 1 1 1 3 3 3 3 1 = x 2 dx - x 2 dx+ x 2 dx - x 2 dx 0,5 0 0 1 1 8 8 3 0,5 = + 15 5 2 Ta chỉ cần mx2-2(m-2)x+2m-1>0 Rx 0,5 (2điểm) m 0 Khi 0,5 ' 2 m 3m 4 0 m 0 0,5  m 4 =>m >1 m 1 0,5 Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. Bài 3 Điều kiện sinx -1, x - k2 (kZ) (4điểm) 2 0,5 Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey esinx y 1(1) ta có hệ y 0,5 e sin x 1(2) Lấy (1) trừ (2) ta có phương trình 0,5 esinx – ey = y-sinx sinx y Nếu sinx > y thì e > e Phương trình không có nghiệm 0,5 sinx y Nếu sinx x=k (kZ) 0,5 Bài 4 x 1 y(1) (2điểm) 0,5 Ta có y 1 z(2) điều kiện x,y,z 1 z 1 x(3) Nếu (x,y,z) là một nghiệm của hệ gọi x= min(x,y,z) thì x y,x z (4) 0,5  z 1+y =x =>z x Vậy z=x x y => x y =>1+x 1+ z  z y (5) 0,5 3 5 Từ (4) và (5) ta có x=y=z nên x=1+x => x=y=z= 2 0,5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. Bài5 1 Dựng MM'  AD; NN'  AD (4điểm) (2điểm) DNN' vuông cân nên AM'=MM' x 2 Ta có AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'= 2 x 2 0,5 Vì N 'DN cân => N 'D=N'N= 2 =>  cân MM'A =  cân NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x 2 x 2 M'N'=a - 2(a- )= x2 - a 2 MM'N tại M' nên MN 2 x2 x2 x2 =M'M2+M'N2= +(M'N'2+N'N2)= +(x2 -a)2 + 0,5 2 2 2 =3x2 -2ax2 +a2 Đặt f(x)=3x2 -2ax2 +a2 xét trên 0,a 2 a 2 f'(x)= 6x- 2a2 =0 x= 0,5 3 a 2 Vậy f(x) nhỏ nhất khi x= 3 2 a 2 a 2 2 2 MN =3 - 2a2 +a 3 3 2a2 4a2 a2 a = - +a2 = => MN= 2 3 3 3 0,5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 2 Xét  MM'D: MD2=MM'2+M'D2 (2điểm) 2 2 1 a 2 a 2 2 a2 4a2 5a2 = + a = 2 3 3 2 9 9 9 a2 2a2 và MN2= DN2=x2= 3 9 0,5 5a2 =>MN2+DN2= 9 5a2 Ta lại có MD2=MN2+DN2= 9 Vậy MDN tại N =>MN DB 2 2 2 0,5 a 2 2 x 5a 2 2 2 Xét  AN'N ta có AN =AN' +N'N = a + = 3 2 2 9 a 2 a 5a2 0,5 AM=x= MN= nên AM2+MN2= do đó 3 3 9 0,5 AN2=AM2+MN2 => AMN tại M MN AD Vậy MN là đường vuông góc chung Bài6 1 Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c ,1 (2 điểm) 2 a b b c c a (a b)(b c)(c a) Ta có c a b abc 2 (a b)(b c)(c a) 1 1 0,5 Ta chứng minh 1  a,b,c ,1 abc 2 2 a b 1 1 Đặt u= ; v= ; do a b c 1 thì u v 1 ta chứng minh: c c 2 2 2 0,5 (v u)(1 u)(1 v) 1 1 uv 2 1 1 0,5 (v )(1 )(1 v) (v u)(1 u)(1 v) ta có: 2 2 1 uv v 2 2 1 1 1 1 1 = 1+ -v- 1 2 v = 1 2 2v 2 v 2 0,5 1 1 Dấu = khi u= ; v= hay x= ; y= ; z= 2 2 6 4 2 Tài liệu tham khảo: 1. Đề thi Đại học của Bộ giáo dục xuất bản năm 1996. 2. Báo toán học và tuỏi trẻ năm 2000 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất