Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoằng Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoằng Hóa (Có đáp án)

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014-2015 MễN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi này cú 05 cõu, gồm 01 trang) Cõu 1: (4,5 điểm). 4 2 2 3 3 2 a) Tớnh giỏ trị của biểu thức A : : 7 5 3 7 5 3 1 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với x . 2 x y y z c) Tỡm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110. 3 7 2 5 Cõu 2: (4,5 điểm). a) Tỡm tập hợp cỏc số nguyờn x, biết rằng: 5 5 1 31 1 4 : 2 7 x 3 :3,2 4,5.1 : 21 9 18 5 45 2 1 1 1 1 1 b) Tìm x, biết: x x x x x 11x 2 6 12 20 110 c) Tớnh giỏ trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa món: x 1 + (y + 2)20 = 0 Cõu 3: (3,5 điểm). a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45. Cõu 4: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Chứng minh rằng: Dã IB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. Cõu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3, , a20 cú cỏc tớnh chất sau: * a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. * Tổng của 20 số đú là số õm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. Hết Giỏm thị xem thi khụng giải thớch gỡ thờm! Họ và tờn thớ sinh:: SBD Giỏm thị 1: Giỏm thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2014-2015 MễN : TOÁN. Nội dung Điểm 4 2 2 3 3 2 4 2 3 3 2 A : : = : 0,75 đ a 7 5 3 7 5 3 7 5 7 5 3 0,5đ (1,5) 4 3 2 3 2 2 0,25đ : 0: 0 Vậy : A = 0 7 7 5 5 3 3 1 1 1 1 1 1 0,75 đ Vỡ x nờn x = hoặc x = - Với x = thỡ: A = 2.( )2 – 3. + 1 = 0 0,25đ b 2 2 2 2 2 2 CÂU 1 (1,5) 1 1 1 1 1 0,25đ (4,5đ) x = - thỡ: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + 1 = 3Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = - 0,25đ 2 2 2 2 2 x y x y y z y z x y z 0,5đ Từ ; . Suy ra 3 7 6 14 2 5 14 35 6 14 35 0,5đ c Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: 0,25đ (1,5) x y z x y z 110 = -2 Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; 0,25đ 6 14 35 6 14 35 55 z = -2.35 = - 70. Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70. 5 5 41 18 0,5đ 2) Ta cú: 4 : 2 7 . 7 2 7 5 9 18 9 41 0,5đ a 1 31 1 16 5 9 76 43 38 2 43 2 2 Lạicú: 3 :3,2 4,5.1 : 21 . . : 1 . . (1,5) 5 45 2 5 16 2 45 2 5 43 5 43 5 0,5đ 2 Do đú: - 5 < x < mà x Z nờn x {-4; -3; -2; -1} 5 a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 suy ra 11x 0 hay x 0. 0,75đ 1 1 1 1 1 CÂU 2 x x x x x 11x (4,5đ) 2 6 12 20 110 b với x 0 ta có: 0,75đ (2,0) 1 1 1 1 1 x x x x x 11x 2 6 12 20 110 0,25đ 1 10 10 suy ra x = 1- = (TM) Vậy:x = 0,25đ 11 11 11 1) Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 x 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y. 0,25 đ 0,25đ c 20 20 Kết hợp x 1 + (y + 2) = 0 suy ra x 1 = 0 và (y + 2) = 0 0,25 đ (1,0) x = 1; y = - 2. Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 0,25đ là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057 Vậy C=2057
3. Gọi a, b, c là cỏc chữ số của số cú ba chữ số cần tỡm. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a 0,25 đ b c 9. Ta cú 1 a + b + c 27 . Mặt khỏc số cần tỡm là bội của 18 nờn là bội của 9, 0,5 đ do đú a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. 0,25 đ a a b c a b c (1,5) Theo đề bài ta cú: ; Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nờn 0,25 đ 1 2 3 6 a + b + c = 18. Từ đú suy ra a = 3, b = 6, c = 9. 0,25 đ Do số phải tỡm là bội của 18 nờn chữ số hàng đơn vị chẵn, CÂU 3 vỡ vậy hai số cần tỡm là: 396; 936. (3,5đ) Nhận xột: Với x ≥ 0 thỡ x + x = 2x 0,5 đ Với x 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + 0,5 đ a > 0 => a a13 + a14 0 => a12 > 0. 0,25 đ Từ cỏc điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm). 0,25 đ Chỳ ý:
4. +)Nếu HS làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. +)Nếu HS thiếu đỏp số trừ 0,25 điểm. +)Cõu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giỏ trị trừ 0,1 điểm. +)Cõu 2b);3b) Khụng kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.