Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo Tam Dương (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu 1: (2,5 điểm ) a) Phân tích đa thức a2(b c) b2(c a) c2(a b) thành nhân tử. b) Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn (a b)3 (b c)3 (c a)3 210 . Tính giá trị của biểu thức A a b b c c a . Câu 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 3 xy. b) Giải phương trình: (6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 . Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x 2012)2 (x 2013)2 . b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . x2 x y2 y z2 z 2 Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi. c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . === HẾT === Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD
2. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm 2 trang Câu Nội dung chính Điểm a) Ta có a2(b c) b2(c a) c2(a b) a2(b c) b2(c a) c2(b c c a) 0,5 (b c)(a2 c2 ) (c a)(b2 c2 ) (b c)(a c)(a c) (c a)(b c)(b c) 0,5 0,25 1 (b c)(a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) . (2,5đ) b) Đặt a b x; b c y ; c a z x y z 0 z (x y) 0,25 Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 (x y)3 210 3xy(x y) 210 xyz 70. Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70 ( 2).( 5).7 nên 0,5 x, y, z  2; 5;7 A a b b c c a 14. 0,5 a) x2 y2 3 xy 2 2 2 0,25 Ta có: (x y) 0 x y 2xy 3 xy 2xy xy 1 2 2 2 Lại có: (x y) 0 x y 2xy 3 xy 2xy xy 3. 0,5 Suy ra 3 xy 1 . Mà x, y Z xy  3; 2; 1;0;1 0,5 Lần lượt thử ta được (x, y) ( 2;1);(1; 2);(2; 1);( 1;2);(1;1) là nghiệm của phương 2 trình. (2,5đ) b) (6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 Đặt 6x 7 t. Ta có (t 1)(t 1)t 2 72 (t 2 1)t 2 72 t 4 t 2 72 0 0,5 t 4 9t 2 8t 2 72 0 t 2 (t 2 9) 8(t 2 9) 0 (t 2 9)(t 2 8) 0 0,5 2 5 Mà t 2 8 0 nên t 2 9 0 t 2 9 t 3 x hoặc x . 3 3 2 5 0,25 PT có nghiệm là x ;  . 3 3  a) Ta có: P (x 2012)2 (x 2013)2 x2 4024x 4048144 x2 4026x 4052169 0,5 2 2 1 0,5 2x 2x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 2 1 0,25 Vậy Min P 8100312,5 x . 2 1 1 1 1 1 1 b) Đặt P x2 x y2 y z2 z x(x 1) y(y 1) z(z 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 3 (2,5đ) 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương, dấu bằng a b c a b c a b 4 a b 0,25 xảy ra a b c. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z 0,5 2
3. Bởi vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 = . . . (ĐPCM) 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 0,25 E D A M Q B C P I H a) Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) 0,25 4 EB ED - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC 0,25 EC EA b) Kẻ MI vuông góc với BC (I BC) . Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g) BM BI BM.BD BI.BC (1) 0,5 BC BD CM CI Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) CM.CA CI.BC (2) 0,25 BC CA Từ (1) và (2) suy ra BM.BD CM.CA BI.BC CI.BC BC(BI CI) BC 2 (không 0,25 đổi) c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 0,25 BH BD 2BP BD BP BD 0,25 DH DC 2DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) B·DP D·CQ 0,25 · · o · · o mà BDP PDC 90 DCQ PDC 90 CQ  PD 0,25 Ghi chú : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn. === 3