Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HOÁ Năm học 2010- 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Số báo danh Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (5,0 điểm). 1) Cho phương trình: xm2 −+−2210xm=. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 23xx12+ x12, x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 22 khi m thay đổi. x12++xx2(1 + 12x ) 111 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn + = . Chứng minh rằng A =++abc222 abc là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ x,,yz đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 111 B =++ là số hữu tỉ. ()()()x−−−yyzzx222 22 ⎛⎞⎛⎞xx10 Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: ⎜⎟⎜⎟+=. ⎝⎠⎝⎠xx−+119 ⎧ 2 11⎛⎞ ⎪xx+ ++=⎜⎟14 ⎪ yy⎝⎠ 2) Giải hệ phương trình: ⎨ 2 ⎪ 3 xx 1 x + 23++=4. ⎩⎪ yyy Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE฀ . Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (OAB∉ ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( PAB≠ , và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( NP≠ ). 1) Chứng minh rằng ฀ANP= BNP฀ và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm). 1) Cho aa12, , , a 45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn aa12< << a 45 ≤ 130. Đặt dajj=−+1 a j, ( j = 1,2, ,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít ất 10 lần. 2) Cho ba số dương abc,, thoả mãn: ab22++ bc 22 ++ ca 22 +=2011. abc2221 2011 Chứng minh rằng: ++≥ . bc++ ca ab +22 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP: 9 THCS (Gồm có 3 trang) Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm Câu I 1) Ta có Δ='(mm − 1)0,2 ≥ ∀ nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5 6 đ 2,5đ 41m + 1,0 Theo định lí viet, ta có xx+ ==2, mxxm 2− 1, suy ra P = 12 12 42m2 + (2m − 1)2 1 1,0 =−11 ≤.Max P =1, khi m = . 42m2 + 2 2a) Từ giả thiết suy ra 2220ab− bc−= ca 0,5 1,5đ Suy ra Aabcabc=+−=+−()2 là số hữu tỉ 1,0 2b) 111 111 0,5 Đặt abc===,, suy ra + = . 1,0đ x −−−yyzxz abc 111 0,5 Áp dụng câu 2a) suy ra B =++ là số hữu tỉ. ()()()x −−−yyzzx222 Câu II 1) Đk: x ≠±1. Phương trình tương đương với 1,0 6 2,5 2 222 2 đ đ ⎛⎞xx x10⎛⎞ 2 x 2 x 10 ⎜⎟+−2022 =⇔⎜⎟ −−2=. ⎝⎠xx+−11 x − 19⎝⎠ x − 1 x − 19 2x2 10 5 −2 0,5 Đặt t = , ta được phương trình tt2 − −=⇔=0 t hoặct = x2 −1 933 5 25x2 0,5 Với t = , ta được = (vô nghiệm) 3 x2 −13 2 22x2 1 0,5 Với t =− , ta được = − suy ra x = ± . 3 x2 −13 2 2) ⎧ 11 0,5 xx2 +++=4 2,5đ ⎪ 2 ⎪ yy Đk: y ≠ 0. Hệ tương đương với ⎨ ⎪ 3 11x ⎛⎞ xx+ 3 ++=⎜⎟4. ⎩⎪ yy⎝⎠ y ⎧ 1 1,0 ux=+ ⎪ 22 ⎪ y ⎧⎧⎪⎪uuv+ −=24 u −+= 440 u⎧ u = 2 Đặt ⎨ ta được hệ ⎨⎨⎨⇔⇔ x 32v = 1. ⎪v = , ⎩⎩⎪⎪uu−=24v uu +−= 42 v⎩ ⎩⎪ y
3. ⎧ 1 1,0 ⎪x +=2 ⎧u = 2 ⎪ y ⎧x = 1 Với ⎨ ta được ⎨⎨⇔ (thoả mãn điều kiện) v = 1, xy= 1. ⎩ ⎪ = 1 ⎩ ⎩⎪ y Câu Kẻ EF⊥ AC tại F, DGBC⊥ tại G. 0,5 III Theo giả thiết SS()()ADPE= BPC 2đ ⇒=SS()ACE () BCD . Mà ACBCEFDG=⇒= và ฀AC= ฀ 0,5 Suy ra Δ=AEFΔ CDG ⇒= AE CG. Do đó Δ=AECΔ CDB() c −−⇒= g c DBC฀ ECA฀ 0,5 ⇒=+=+=BPE฀ PBC฀ PCB฀ PCD฀ PCB฀ 600 0,5 Câu 1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 1,0 IV 3,0đ chung của (O) với (C), (D) tại A, B 4,0 đ tương ứng. ฀ ฀฀฀ Suy ra ANP=== QAP QBP BNP. N H O D C Ta có A B P 0,5 ฀฀ANB=+=+ ANP BNP฀ QAP฀฀ QBP =−1800 ฀AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1). E Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B 0,5 cùng nằm trên một đường tròn. Q Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên 0,5 một đường tròn. Ta có OCN฀ ===22 OAN฀฀ OBN ODN฀ , suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm 0,5 trên một đường tròn. 2) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 1,0 1,0đ các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định. Câu V 1) dd1+++= 2 d 44 ( aa 2 − 1 ) + ( aa 3 − 2 ) ++ ( a 45 − a 44 ) = a 45 −≤ a 1 130 −= 1 129. (1) 0,5 2đ 2,0 Nếu mỗi hiệu djj (= 1,2, ,44) xuất hiện không quá 10 lần thì đ dd+++≥ d 9(1 ++++ 2 3 4) 8.5 = 130 mâu thuẫn với (1). 12 44 1,5 Vậy phải có ít nhất một hiêụ djj (= 1, ,44) xuất hiện không ít hơn 10 lần 2) Ta có 2(ab22+≥+ ) ( ab ) 2. 0,5 2,0đ
4. abc222 a 2 b 2 c 2 Suy ra ++≥ + + bc++ ca ab + 222()bc22+++() ca 2 2() ca 2 2 Đặt x =+bcy22,,, =+ caz 22 =+ ab 22 yzx222+− zxy 22 +− 2 xyz 2 +− 22 suy ra VT ≥++ 1,0 22x 22yz 22 1(⎡⎤⎛⎞yz+++ )22⎛⎞ () zx⎛⎞ ( xy ) 2 ≥−⎢⎥⎜⎟x +⎜⎟−yz+⎜⎟− 22xyz 2 22⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 1(⎡⎤⎛⎞yz++ )22⎛⎞ () zx⎛⎞ ( xy + ) 2 ≥+⎢⎥⎜⎟23x −xy+⎜⎟+ 23−yz+⎜⎟+ 23−z 22 22xyz 2 ⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠0,5 1 ≥+⎣⎦⎡⎤()2(yz )− 3 x+() 2( zx+ )− 3 y+() 2( xy+− 3 z 22 1 1 2011 Suy ra VT≥+() x y+ z = 22 22 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.