Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo Phù Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo Phù Ninh (Có đáp án)

1. Câu 1. Chứng minh rằng: a) Nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9. b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. 1 x3 1 x2 Câu 2. Cho biểu thức B x : 2 3 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức B 2 b) Tính giá trị của biểu thức B tại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để B 0 Câu 3 3 3 a) Giải phương trình x2 5x 6 1 x2 7 5x 3 x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AD. Chứng minh EF / / AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm , . Tính độ dài các cạnh của hình chữ PB 16 nhật ABCD. Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện: x y z 11 và 8x 9y 10z 100
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU 8 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Câu 1: (4 điểm) Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3. 0,25 0,25 Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b) (a 2 2ab b 2 ) 3ab = 0,5 a. = (a + b)(a b) 2 3ab 0,5 0,25 (2,0) 0,5 Vì a + b chia hết cho 3 nên (a + b)2 - 3ab chia hết cho 3; 0,5 Do vậy (a + b)(a b) 2 3ab chia hết cho 9 Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n N). 0,25 Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 0,25 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) 0,5 b. Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 0,25 (2,0) = (n2 + 3n + 1)2 0,25 Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương 0,5 Câu 2 ( 4,0 điểm ) . a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì: 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A = : 2 1 x (1 x)(1 x x ) x(1 x) 0,5 2 (1 x)(1 x x x) (1 x)(1 x) 2 1 = : (1 x ) : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) (1 x) = (1 x 2 )(1 x ) 1,0 0,5 2 5 5 2 5 0,25 b, (1 điểm) Tại x = 1 = thỡ A = 1 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 34 8 272 2 0,75 = (1 )(1 ) . 10 9 3 9 3 27 27 c, (1 điểm) Với x khác -1 và 1 thì B < 0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25
3. Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5 KL: B 1 0,25 Câu 3: (4,0 điểm) Đặt x2 - 5x + 6 = a, 1 - x2 = b thì a + b = 7 - 5x 0,5 Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3 a. Biến đổi thành ab(a + b) = 0 (2,0) a = 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0 0,5 Từ đó tìm được S = 2; 3; -1; 1; 1,2 1,0 a b c ayz+ bxz+ cxy Từ : 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,5 b x y z x y z 2 (2,0) Ta có : 1 ( ) 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 0,5 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 2 2 2 1(dfcm) a b c 0,5 Câu 4. (6,0 điểm): Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,25 D C P M O I F E A B a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. PO là đường trung bình của tam giác CAM ( ) AM//PO Tứ giác AMDB là hình thang. 1,0 b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA. Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1,75 MF AB c) Chứng minh MAF ~ DBA (g-g) nên => không đổi. FA AD 1,0
4. PD 9 PD PB d) Nếu thì k PD 9k, PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thì CBD ~ DCP (g-g) => PD CP do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm); PB = 16k = 3,2 (cm => BD = 5 (cm) C/m BC2 = BP.BD = 16 do đó BC = 4 (cm); CD = 3 (cm) 2,0 Câu 5. (2,0 điểm) 100 0,5 Ta có: 8x + 8y + 8z x + y + z x + y + z = 12 0,5 Ta có hệ: x + y + z = 12 (1); 8x + 9y + 10z = 100 (2). 0,25 Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), được: y + 2z = 4 (3) 0,25 Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn) 0,25 Với z = 1, tìm được y = 2 và x = 9. 0,25 Thử lại, thấy đúng. Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn.