Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Lần 1) - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Hoằng Phụ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Lần 1) - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Hoằng Phụ (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS HOẰNG PHỤ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: TOÁN - Lớp 6 ( Lần 1) ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1 (1,0 điểm) Cho tổng A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 Tính giá trị biểu thức: B = 8A - 32010 Bài 2 (4,0 điểm) 1. Cho A = 1.4.7.10 58 + 3.12.21.30 174 a. Tìm chữ số tận cùng của A. b. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377. 2. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. 3. Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y Bài 3 (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: a. x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. b. 3.(5x - 1) - 2 = 70. c. 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 Bài 4 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Biết rằng: hai chữ số của số đó đều là số nguyên tố. Tích của số đó với các chữ số của nó là số có 3 chữ số giống nhau được tạo thành từ chữ số hàng đơn vị của số đó. b. Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Bài 5 (5,0 điểm) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. a. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n. b. Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2017 được không? Vì sao? Bài 6 ( 3 điểm) 201899 1 201898 1 a) So sánh: E = và F = . 2018100 1 201899 1 b) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0 ), biết ab ba là số chính phương. c) Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. abc Tìm giá trị lớn nhất của A 1918 . a b c
2. Hướng dẫn giải A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 9A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 32010 Tính được 8A = 32010 - 1 B = 8A - 32010 = 32010 - 1 - 32010 = -1 a.Tìm chữ số tận cùng của A - Tìm được chữ số tận cùng của tích B = 1.4.7.10 58 là 0 - Tìm được chữ số tận cùng của tích C = 3.12.21.30 174 là 0 - Tìm được và kết luận chữ số tận cùng của A là 0 Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377 - Nhận xét 377 = 13.29 - Tìm được quy luật của các thừa số trong tích B là các số tự nhiên chia 3 dư 1, nên B chứa thừa số 13. Do đó B = 1.4.7.10.13 58 B = 1.4.7.10.13 29.2 Suy ra B chia hết cho 377 - Tìm được quy luật của các thừa số trong tích C là các số tự nhiên chia 9 dư 3, nên C chứa thừa số 39. Do đó C = 3.12.21.30.39 17 C = 3.12.21.30.(3.13) (6.29) Suy ra C chia hết cho 377 - Kết luận A chia hết cho 377 Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 Nên a 12 ;a 13 ; a 45 ; a 37 a 12 ;a 23 ; a 15 ; a 47 a 112 ;a 113 ; a 115 ; a 117 a 11 BC 2;3;5;7 . Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất a 11 BCNN 2;3;5;7 . Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau BCNN 2;3;5;7 2.3.5.7 210 a 11 210. a 199. Vậy số tự nhiên cần tìm là 199. Ta có x.y 12 x y x.y x y 12 0 x. y 1 y 12 0 x. y 1 y 1 11 0 x 1 . y 1 11 1 Vì x, y Z nên x 1 Z; y 1 Z Do đó từ 1 x 1; y 1 là các ước của -11 Các ước của -11 là -11; -1;1;11 Vậy x; y  10;2 ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0 . Bài 3 a. x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. 100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450 Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950 khi đó 100x + 4950 = 5450 =>100x = 500 =>x = 5 b. 3.(5x - 1) - 2 = 70. 3.(5x - 1) = 70 + 2 => 3.(5x - 1) = 72 5x - 1 = 72 : 3 => 5x - 1 = 24 =>5x = 25 => 5x = 52 => x = 2 c. 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 => 2x .15 = 960 => 2x = 960: 15 2x = 64 => 2x = 26 =>x = 6
3. Bài 4 a.Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau - Gọi số cần tìm là ab , (điều kiện của a, b ) - Theo đề bài ta có ab .a.b = bbb Suy ra ab .a.b = 111.b Hay ab .a = 111 Mà 111 = 3.37 Trong đó: 3 là số nguyên tố; 7 là số nguyên tố; 3 7 thỏa mãn đề bài nên ab = 37 Kết luận số cần tìm là 37 b. Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với k N, k 1) Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1) và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3) và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số 5. a. Với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Số giao điểm được xác định như sau: Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo ra n - 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n.(n - 1) giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần, nên số giao điểm là n.(n - 1):2 giao điểm - Khi số giao điểm là 1128 ta có: n(n - 1):2= 1128 Lý luận tìm được n = 48 b. - Giả sử số giao điểm bằng 2017 Áp dụng kết quả câu a ta có n(n - 1):2 = 2017 - Lý luận tìm ra điều vô lý - Kết luận: Số giao điểm không thể bằng 2017 201899 1 2018100 2018 2017 6a. Ta có E = 2018.E = 2018.E = 1- 2018100 1 2018100 1 2018100 1 201899 1 201899 2018 2017 F = 2018.F = 2018.F = 1- 201899 1 201899 1 201899 1 2017 2017 2017 2017 Vì 1- 2018100 1 201899 1 2018100 1 201899 1 hay 2018 E > 2018 F E > F . Vậy E > F b. Ta có ab ba 9.(a b) . Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 b 9.(a - b) là số chính phương khi a - b 1;4 + Với a - b =1 mà ab là số nguyên tố ta được số ab = 43 + Với a - b = 4 mà ab là số nguyên tố ta được số ab = 73 Vậy ab 43;73 abc 100a 10b c c. A 1918 1918 a b c a b c + Nếu b = c = 0 thì A = 100 + 1918 = 2018 100a 100b 100c + Nếu b hoặc c khác 0 thì A 1918 100 1918 2018 a b c Nên A 2018 . Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a 1;2; ;9 ; b = c = 0