Đề thi chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán - Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán - Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

1. TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KÌ THI THỬ CHUẨN BỊ KÌ THI THPT QUỐC GIA TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 ( ID: 79392 ) (4 điểm)Cho hàm số: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A (1; 4) có hệ số góc k. Tìm giá trị của k để đường thẳng Δ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B và D có hệ số góc bằng nhau. Câu 2 ( ID: 79393 ) (4 điểm) Giải các phương trình 1) ( )( ) 2) √ √ √ √ Câu 3 ( ID: 79394 ) (1.5 điểm)Giải phương trình: ( ) ( ). √ Câu 4 ( ID: 79395 ) (1.5 điểm)Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) trên đoạn [-1; 1] Câu 5 ( ID: 79396 ) (1.5 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = AD = a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SC. Câu 6 ( ID: 79397 ) (1.5 điểm) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 tới 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ.Tính xác suất để bốn thẻ được chọn đều đánh số bởi các số chẵn. Câu 7 ( ID: 79398 ) (2.5 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH, BH và AD. Biết rằng E( ), F ( ) và G(1; 5). 1) Tìm tọa độ điểm A. 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. Câu 8 ( ID: 79399 ) (2 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là A (5; 1; 3), B (1; 6; 2), ( ) và D (4; 0; 6). 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua đỉnh D và song song với mặt phẳng (ABC). 2) Tính thể tích tứ diện ABCD. Câu 9 ( ID: 79400 ) (1.5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng. ( )( ) √ ( )( ) >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 1
2. Đáp án: Đề trường ĐHSP Hà Nội Câu 1: 1. Khảo sát 1) TXĐ: D = R 2) Sự biến thiên ( ) * BBT: x -∞ 0 2 +∞ y’ 0 + 0 y +∞ 6 2 -∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = 2 Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = 6 3. Đồ thị =>U (1; 4) là điểm uốn. Đồ thị giao với Oy tại điểm (0; 2) x 1 3 y 4 2 Đồ thị: >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 2
3. y 6 4 2 x -2 0 1 2 3 -1 Đồ thị nhận điểm U (1; 4) làm tâm đối xứng 2) Phương trình đường thẳng Δ: y = k (x – 1) + 4 Δ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt. ( ) ( ) (1) (0.5 điểm) ( )( ) * (0.5 điểm) PT (1) có 3 nghiệm phân biệt PT (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. ( ) { (0.5 điểm) Gọi xB; xD là nghiệm của PT (2). Theo hệ thức Vi ét ta có: xB + xD = 2 (*) Ta có . Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B, D là: ( ) ( ) (0.5 điểm) Sử dụng kết quả (*) ta có: ( ) ( ) ( )( ) Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại 2 điểm B và D bằng nhau (0.5 điểm) Câu 2: PT (sin x + cos x)2. (cosx – sin x) = cos 2x (cos2x – sin2x) (sinx + cosx) = cos2x (0.5 điểm) cos2x (sinx + cosx) – cos2x = 0 >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 3
4. cos2x (sinx + cosx – 1) = 0 (0.5 điểm) * [ (0.5 điểm) ( ) √ [ (0.5 điểm) [ 2) ĐK: (0.25 điểm) PT √( )( ) √ (√ ) (√ ) √( )( ) √ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )(√ √ ) √ √ √ ( ) ( ) √ √ √ (thỏa mãn) Vậy PT có 1 nghiệm Câu 3: ĐK: (0.25 điểm) PT (0.5 điểm) ( ) (0.25 điểm) * * (thỏa mãn) (0.5 điểm) Vậy, nghiệm của phương trình là: x = -1; x = 2 Câu 4: Đặt Do nên (0.5 điểm) Ta có: ( ) với ( ) (0.5 điểm) ( ) [ >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 4
5. ( ) ( ) ( ) (0.5 điểm) Vậy max f(x) = 24 tại x = 1; min f(x) = 0 tại x = 0 Câu 5: S Trong mặt phẳng (SAD) vẽ AH ⊥SD; H∊SD Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên CD⊥(SAD); AH⊥(SCD) H Vậy khoảng cách giữa AB và SC chính là AH A B (1.0 điểm) Trong tam giác vuông SAD có AH là đường cao Nên => √ D C Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC bằng √ (0.5 điểm) Câu 6: Số phần tử của không gian mẫu Ω là |Ω| = (0.5 điểm) Gọi A là biến cố chẵn Ω, là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A. Khi đó số phần tử của là (0.5 điểm) =>Xác suất để bốn thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là: ( ) (0.5 điểm) Câu 7: 1) Ta có EF là đường trung bình của ΔBCH nên ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Mặt khác: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ D C =>⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ A (x; y) ta có: ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ E G { A (1; 1) (1.0 điểm) H 2) Do EF // BC, AH ⊥ BC nên EF ⊥AB, A F B Từ giả thiết ta có: BH ⊥AC =>E là trực tâm của ΔABE. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng BH với đường thẳng đi qua A vuông góc với EF. Ta có: ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( ) nên đường thẳng đi qua A vuông góc với EF có phương trình: >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 5
6. ( ) ( ) y = 1. Phương trình đường thẳng BH vuông góc với AE là: ( ) ( ) Vậy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT: { ( ) (1.0 điểm) Gọi O (x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE; kẻ đường kính EK. Ta có tứ giác AKBF là hình bình hành, khi đó 2 đường chép KF và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ta có I (3; 1) Mặt khác O là trung điểm của EK, suy ra IO là đường trung bình của ΔEFK Hay ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ { ( ) Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE là O (3; 3) (0.5 điểm) Câu 8: 1) Ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] ( ) Suy ra mp (ABC) có véc tơ pháp tuyến là ⃗ ( ). Mặt phẳng ( ) đi qua D song song với mp(ABC) cũng có véc tơ pháp tuyến là ⃗ ( ). Vậy PT mp ( ): ( ) ( ) (1.0 điểm) 2) Trong 2 số ab + cd và ad + bc không mất tính Tổng quát giả sử ab + cd ad + bc. Khi đó ab + cd (ab + cd + ad + bc) = ( )( ) (1.0 điểm) ( ) ( ) => ( ) √ (0.5 điểm) ( )( ) >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 6
7. >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 7