Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Vĩnh Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Vĩnh Yên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay) Câu 1 (2 điểm): Cho các số A và B. Hãy tính tỉ số A biết: B 4 6 9 7 7 5 3 11 a) A = + + + ; B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 1 1 1 1 2014 2013 2012 1 b) A = + + + + ; B= + + + + 2 3 4 2015 1 2 3 2014 Câu 2 (2 điểm): Tìm số tự nhiên x, y, z biết: a) 2x 2 y 2z 10368 b) 2x 5 13 c) x 5 6 x 5 8 Câu 3 (1,5 điểm): Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000? Câu 4 (1 điểm): Tìm hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện: a + 2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114 Câu 5 (2,5 điểm): Cho tam giác MNO có MON =125 0 ; OM = 4cm , ON = 3cm a) Trên tia đối của tia ON xác định điểm B sao cho OB = 2cm .Tính độ dài NB. b) Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OM bờ là đường thẳng ON vẽ tia OA sao cho MOA =800 .Tính số đo các góc AON và MOB. c) Cho 10 đường thẳng cùng đi qua điểm O. Chứng minh rằng trong các góc tạo bởi 10 đường thẳng đã cho cùng với các tia OA, OB, OM, ON luôn tồn tại một góc có số đo không vượt quá 150. Câu 6 (1 điểm): a) Viết số 2007 thành tổng của k số tự nhiên đều là hợp số. Tìm giá trị lớn nhất của k. 2015 730 b) Chứng minh rằng: 2 < 7 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ, tên học sinh: , SBD:
2. PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN HƯỚNG DẪN HSG THI GIAO LƯU NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN LỚP 6 Chú ý: -Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa. - Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm. - Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu học sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó. - Nếu bài toán tính toán mà học sinh không trình bày cách giải (chỉ ghi kết quả) thì không cho điểm. Nếu học sinh không tính hợp lý nhưng kết quả đúng thì cho một nửa số điểm trong thang điểm của phần đó Thang Câu Ý Nội dung điểm 4 6 9 7 7 5 3 11 Câu 1 A = + + + B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 Nên: 1 4 6 9 7 A = + + + 5 35.31 35.41 50.41 50.57 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 1 7 5 3 11 1 1 Tương tự ta có: B = + + + = - 2 19.31 19.43 23.43 23.57 31 57 1 1 A 5 A = B = 5 2 B 2 1 1 1 1 2014 2013 2012 1 A = + + + + B= + + + + 2 3 4 2015 1 2 3 2014 Ta có: 2014 2013 2012 1 2013 2012 1 2015 B= + + + + 1 1 1 b 1 2 3 2014 2 3 2014 2015 1 1 1 1 1 A 1 2015 + + + + 2015A = 2 3 4 2015 B 2015 A 1 Vậy = B 2015 2x 2 y 2z 10368 Không mất tính tổng quát, giả sử x y z. Khi đó x y z x y x z x 7 Câu 2 a 2 2 2 10368 2 1 2 2 2 .81 0,5 Do 1 2 y x 2z x là số lẻ nên 2x = 27 và 1 2 y x 2z x = 81. Suy ra x = 7
3. Ta có 1 2 y x 2z x 81 2 y 7 2z 7 80 2 y 7 1 2z y 24.5 Mà 1 2z y là số lẻ nên 2y-7 = 24 và 1 2z y = 5 suy ra y – 7 = 4 => y = 11 và z = 13 Vậy (x,y,z) = (7; 11; 13) 2x 5 13 2x 18 x 9 2x 5 13 b 2x 5 13 2x 8 x 4 0,75 Mà x là số tự nhiên nên x = 9 x 5 6 x 5 8 x 5 8 x 5 6 0 x 5 x 5 0 x 5 6 1 (x 5)2 0 x 6 2 c (x 5) 1 0,75 x 4 Vậy x 4,5,6 Câu 3 Gọi số người của đơn vị bộ đội là x (x N*) x : 20 dư 15 x – 15  20 x : 25 dư 15 x – 15  25 x : 30 dư 15 x – 15  30 Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35) 0,5 Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5; BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 17 300k + 15 < 1000 300k < 985 k < 3 (k N) 0,5 60 Suy ra k 1,2,3 Chỉ có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615  41 Vậy đơn vị bộ đội có 615 người 0,5 Câu 4 Ta thấy: a+2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114 1 Mà 114  3 ; 3[a,b]  3 (a,b)  3 và a + 2b = 48 a  2 a  6 a { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42} a 6 12 18 24 30 36 42 b 21 8 15 12 9 6 3 (a,b) 3 16 3 12 3 6 3 [a,b] 42 36 90 24 90 36 42 3[a,b] 126 108 270 72 270 108 126 (a,b)+ 129 114 360 84 360 114 168 3[a,b]
4. Câu 5 B thuộc tia đối của tia ON nên O nằm giữa B và N. Suy ra a BN = BO + ON hay BN = 2 + 3 = 5 (cm) 1 Do MOA =800 , MON =125 0 nên MON MOA b HS tính được góc AON =125 0 800 450 1 MOB=1800 125 0 550 Ta có 10 đường thẳng cùng đi qua O kết hợp với 4 tia OB, OM, ON, OB c tạo thành 24 góc không có điểm trong chung có tổng bằng 3600. 0,5 Suy ra luôn tồn tại một góc có số đo 3600 : 24 = 150 Câu 6 Vì 2015 là số lẻ nên trong k số tự nhiên có tổng bằng 2015 phải có ít nhất một số là số lẻ. Vì hợp số lẻ nhỏ nhất là 9 và hợp số chẵn nhỏ nhất là 4 nên a 2015 9 4 k 1 k 503 k 502 (Vì k N * ) 0,5 Với k = 502 ta chọn được 500 số 4; 1 số 6 và 1 số 9 là các hợp số có tổng bằng 2015. Vậy giá trị lớn nhất của k là 502. 10 2 1025 238 238 Ta có 210 3.73 210 3238 . 73 3 7 343 22380 3238 .7714 8 mà 2 256 5 8 3 2 35 243 b 0,5 Mặt khác 47 47 3238 33 .3235 33 . 35 33 28 25.2376 2381 3238 2381 22380 3238 .7714 22380 2381 .7714 21999 7714 Ta lại có 216 < 716 suy ra 21999.216 < 7714.716suy ra 22015 < 7730