Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 2 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 2 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đề thi thử 2 Mụn thi: TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 1 1 1 Cõu 1. Tớnh hợp lý: A= 1 . 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2006 Cõu 2. Tỡm x, y, z biết: 2x = 3y =5z và x 2y =5 Cõu 3. Tỡm x, y để C = 18 2x 6 3y 9 đạt giỏ trị lớn nhất. Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm) Cõu 1. Tỡm hai số dương x, y biết rằng tổng, hiệu và tớch của chỳng tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. Cõu 2. So sỏnh: 230 330 430 và 3.2410 Bài 3 : ( Hỡnh học : 2 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) ABE ADC b) BãMC 1200 Bài 4 : ( Hỡnh học : 5 điểm) Cho tam giỏc ABC cú àA 900 . Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB; AE vuụng gúc và bằng AC . a. Chứng minh rằng: .DC = BE và DC  BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trờn tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh rằng: AB = ME và ABC EMA . c. Chứng minh: MA  BC . Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Cõu 1. Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y biết 51x + 26y = 2000 Cõu 2. Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z). Hết (Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh)
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 1 1 1 Cõu 1. Tớnh hợp lý: A= 1 . 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2006 1 1 2 Ta cú 1 2 n n n 1 n n 1 2 2 n n 1 2 n2 n 2 n2 2n n 2 n n 2 n 2 n 1 n 2 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 2 1 2 2 3 1 3 2 2006 1 2006 2 1.4 2.5 2005.2008 A . . 2 2 1 3 3 1 2006 2006 1 2.3 3.4 2006.2007 2.3 2005 . 4.5 2008 2008 1004 2.3 2006 . 3.4.5 2007 2006.3 3009 Cõu 2. Tỡm x, y, z biết: 2x = 3y =5z và x 2y 5 x 2y 5 neu x 2y x 2y 5 x 2y 5 neu x 2y TH1: x 2y 5 (x 2y ) x y z 2y x 2y 5 2x 3y 5z 30 1 1 1 2 1 2 1 2 3 5 3 2 3 6 x 15; y 10; z 6 (thỏa x 2y ) TH2: x 2y 5 (x 2y ) x y z 2y x 2y 5 2x 3y 5z 30 1 1 1 2 1 2 1 2 3 5 3 2 3 6 x 15; y 10; z 6 (thỏa x 2y ) Vậy x, y, z  15;10;6 ; 15; 10; 6  Cõu 3. Tỡm x, y để C = 18 2x 6 3y 9 đạt giỏ trị lớn nhất. 2x 6 0; 3y 9 0 x, y Ta cú 2x 6 3y 9 0 x, y 18 2x 6 3y 9 18 x, y 2x 6 0 x 3 Vậy GTLN của C là 18 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3y 9 0 y 3 Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm)
3. Cõu 1. Tỡm hai số dương x, y biết rằng tổng, hiệu và tớch của chỳng tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. Theo bài ra ta cú: 35 x y 210 x y 12xy 7 35 x y 210 x y 35x 35y 210x 210y 175x 245y x y 5 7 7 2 35 x y 12xy 35. y y 12. .y.y y 5y 5 5 2 y 0 x 0 loai y 5y 0 y y 5 0 y 5 x 7 Vậy x, y 7;5 Cõu 2. So sỏnh: 230 330 430 và 3.2410 3.2410 3.310.810 311.230 311.415 415.415 430 230 330 430 430 Vậy 230 330 430 > 3.2410 Bài 3 : ( Hỡnh học : 2 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) ABE ADC b) BãMC 1200 A E 1 3 1 2 2 D M 1 1 2 B C Dã AC àA ảA  1 2 ã à ả ã ã a) BAE A3 A2  DAC BAE => ABE ADC c g c (1) àA àA 600 1 3  M 1 E 2 N 1 D 1 A 3 2 1 1 G 2 1 F 1 B H C
4. A E 1 3 1 2 D 1 N 2 M 1 2 1 B C à à b) Từ (1) suy ra E1 C1 (2 cạnh tương ứng) ả ã ả à ả ả à ả ả ã ả 0 M1 MCE E2 C1 C2 E2 E1 C2 E2 AEC C2 120 Bài 4 : ( Hỡnh học : 5 điểm) Cho tam giỏc ABC cú àA 900 . Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB; AE vuụng gúc và bằng AC . a. Chứng minh rằng: .DC = BE và DC  BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trờn tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh rằng: AB = ME và ABC EMA . c. Chứng minh: MA  BC . M 1 E N 2 1 D 1 A 3 2 1 1 G 2 1 F 1 B H C Dã AC àA BãAC 1 ã ả ã ã ã a) BAE A2 BAC  DAC BAE DAC BAE C G C àA ảA 900 1 2  => DC = BE(2 cạnh tương ứng) ả à => D1 B1 (2 gúc tương ứng) à ả Mà G1 G2 (2 gúc đối đỉnh) à à 0 => F1 A1 90 BE  DC b) NAD NME c g c AD ME Mà AD = AB => AB = ME
5. ã ã 0  BAC DAE 180 ã ã  BAC MEA => ABC EMA (1) ã ã 0 MEA DAE 180 do AD / /ME  ã ả  ABC M1 ã à  ABC A3 ả à M1 A3  à ã 0 ã ã 0 c) Từ (1) => A3 BAH 90 ABC BAH 90 MA  BC Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Cõu 1. Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y biết 51x + 26y = 2000 Ta cú 26yM2;2000M2 51xM2 Mà 51;2 1 xM2 Mà x là số nguyờn tố nờn x = 2 => y = 73 Cõu 2. Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3 c  17 (a, b, c Z). Ta cú a 11b 3cM17 2 a 11b 3c M17 2a 22b 6cM17 2a 5b 6c 17bM17 do17bM17 2a 5b 6cM17 HS cú thể làm cỏch khỏc, nhưng sử dụng phự hợp kiến thức chương trỡnh vẫn chấm điểm tối đa.