Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 4 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 4 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đề thi thử 4 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 1 1 1 1 Câu 1. Tính 1.6 6.11 11.16 96.101 1+3y 1+5y 1+7y Câu 2. Tìm các cặp (x, y) biết 12 5x 4x Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x x 8 Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm) Câu 1. Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân? Câu 2. Chứng minh ba điểm A(1;2); B(3;6); C(4;8) thẳng hàng Bài 3 : ( Hình học : 2 điểm) Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 52cm, độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông. Bài 4 : ( Hình học : 5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A (Bµ Cµ 400 ). Kẻ phân giác BD (D AC ). Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = BC. a) Chứng minh BD + AD = BC b) Tính ·AMC Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Câu 1. Tìm x, y nguyên biết xy – 2x + 4y = 9 Câu 2. Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 + + 42 +4 +1) + 25 là số chia hết cho 100. Hết (Học sinh không được sử dụng máy tính)
2. 1. Tính độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông cân biết cạnh góc vuông bằng 2dm. 1. Xét ΔABC vuông cân tại A. BC² = 2² + 2² = 8 ⇒ BC ≈ 2,8 (dm) 2. Tính độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân biết cạnh huyền bằng: a) 2m ; b) m. a) Xét ΔABC vuông cân tại A. AB² + AC² = BC² = 2² = 4 ⇒ 2AB² = 4 ⇒ AB² + AC² = BC² = 2² = 4 ⇒ 2AB² = 4 ⇒ AB² = 2 ⇒ AB = ≈ 1,4 (m) b) Đáp số : 3m. 3. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 52cm, độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông. Gọi a và b là độ dài các cạnh góc vuông (đơn vị xentimet). 4. Cho tam giác ABC cân tại B, AB = 17cm, AC = 16cm. Gọi M là trung điểm của AC. Tính BM. ΔABM = ΔCBM (c.c.c) ⇒ =
3. Ta lại có + = 180º nên = 90º BM² = AB² – AM² = 17² – 8² = 289 – 64 = 225 = 15² Vậy BM = 15cm 5. Tính các cạnh của một tam giác vuông biết tỉ số các cạnh góc vuông là 3 : 4, chu vi của tam giác bằng 36cm. Gọi a và b là độ dài các cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền, đơn vị xentimet. 6. Tính độ dài x trên hình bên. Tính BH, được BH = 9cm. Sau đó tính được x = 40. 7. Tam giác ABC cân tại A có AB = 9cm, BC = 15cm. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng 4,9 < AD < 5cm. Ta chứng minh được: = 90º BD = 7,5cm. AD² = 9² – 7,5² = 24,75 Ta thấy: 24,01 < 24,75 < 25, suy ra 4,9² < AD² < 5² ⇒ 4,9 < AD < 5. 8. Tìm số tự nhiên a cùng với các số 24 và 25 làm thành một độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. – Trường hợp a là độ dài của cạnh góc vuông. Ta có: a² + 24² = 25² ⇒ a² + 576 = 625 ⇒ a² = 49 = 7². Vậy a = 7. – Trường hợp a là độ dài cạnh huyền, ta có: a² = 24² + 25² = 576 + 625 = 1201 Ta thấy 34² = 1156 < 1201 < 1225 = 35² nên không phải là số tự nhiên. Loại trường hợp a là độ dài cạnh huyền. Kết luận a = 7 9.* Tam giác ABC có = 90º, = 30º, AB = 3cm. Tính các độ dài AC, BC.
4. Ta chứng minh được: AC = 1/2BC (xem bài 21 – Luyện tập về tam giác cân tại đây ) Đặt AC = x thì BC = 2x. Ta có: AC² + AB² = BC² ⇒ x² + 3² = (2x)² ⇒ x² + 9 = 4x² ⇒ 3x² = 9 ⇒ x² = 3 ⇒ x = (cm) BC = 2 (cm). 10. Tính độ dài x trên hình dưới đây. Kẻ CH ⊥ AD Ta chứng minh được CH = AB Lần lượt tính được HD = 5, CH = 12. Vậy x = 12. 11. Tính độ dài x trên hình dưới đây.
5. Kẻ AH ⊥ BC. Ta tính được: BH² + AH² = AB² ⇒ 2AH² = ( )² = 18 ⇒ AH² = 9 ⇒ AH = 3. HC = 7 – 3 = 4. Ta tính được: x = 5. 12. Tính độ dài x trên các hình sau: a) Kẻ AH ⊥ BC. Ta tính được BH = 2,5; AH² =AB² – BH² = 25 – 6,25 = 18,75 AC² = AH² + HC² = = 18,75² + 5,5² = 49. Vậy AC = 7. b) Kẻ AH ⊥ BC. Ta tính được BH = 1,5 ; AH² = AB² – BH² = 9 – 2,25 = 6,75 AC² = AH² + ² = 6,75² + 6,5² = 49 Vậy AC = 7. 13.* Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC) Biết HB = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài AH. Đặt AH = x. Ta có: AB² = 9² + x² = 81 + x² AC² = 16² + x² = 256 + x² Suy ra: AB² + AC² = 337 + 2x² (1) Ta lại có: AB² + AC² = BC² = 625 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2x² + 337 = 625. Từ đó x² = 144 = 12². Vậy AH = 12cm. 14. Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, vẽ điểm A có tọa độ (3;5). Tính khoảng cách từ điểm A đến gốc tọa độ.
6. OA² = 3² + 5² = 34. OA = ≈ 5,8 15. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, sẽ điểm A có tọa độ (1;1). Đường tròn tâm O với bán kinh Oa cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự B và C. Tìm tọa độ của các điểm B, C. OB = OC = OA = Vậy B( ;0), C(0; ) 16. Tính độ dài của các đoạn thẳng AB, BC, CD, CD trên mặt phẳng tọa độ (Hình vẽ bên, với đơn vị là đơn vị dài của hệ trục tọa độ). AB² = 2² + 3² = 13 ⇒ AB = ; BC = 5; CD = ; DA = Dạng 2. 17. Bạn Mai vẽ tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 8cm, BC = 9cm rồi đo thấy = 90º và kết luận rằng tam giác ABC vuông. Điều đó có đúng không? Góc A chỉ xấp xỉ 90º chứ không đúng bằng 90º. Thật vậy AB² + AC² = 4² + 8² = 80 ; BC² = 9² = 81. AB² + AC² ≠ BC² . Vậy ≠ 90º 18. Chọn trong các số 5, 8, 9, 12, 13, 15 các bộ ba số có thể là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.
7. Ta thấy: 225 = 144 + 81 ⇒ 15² = 12² + 9² 169 = 144 + 25 ⇒ 13² = 12² + 5² Bộ ba số 9, 12, 15 và bộ ba số 5, 12, 13 có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông. 19.* Cho hình vẽ bên , trong đó BC = 6cm, AD = 8cm. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD ở E. Ta chứng minh được DE = AB = 3, BE = AD = 8. Tam giác BCE có BC = 6, BE = 8, CE = 10 nên ta chứng minh được = 90º. Để cm ba điểm thẳng hàng, ta lập tỉ số x/y nếu chúng có cùng một hệ số tỉ lệ thì suy ra ba điểm đó cùng thuộc một đồ thị, ngược lại thì 3 điểm không thẳng hàng Viết đồ thị đi qua 1 điểm rồi thay 2 điểm còn lại vào, nếu 2 điểm này cùng thỏa đẳng thức thì 3 điểm thảng hàng, nếu có mkotj điểm không thỏa thì 3 điểm không thẳng hàng Ví dụ: Chứng minh ba điểm A(1;2); B(3;6); C(4;8) thẳng hàng x 1 3 4 C1: Lập tỉ số: suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng (cùng nằm trên đồ thị hàm y 2 6 8 số y = 2x) Ví dụ: Cho A(1;2); B(2;4); C(2a;a + 1). Tìm a để 3 điểm A, B, C thẳng hàng. C1: Để A, B, C thẳng hàng thì:
8. x 1 2 2a 1 2a 1 a 1 4a a y 2 4 a 1 2 a 1 3 x 1 2 C2: nên A, B nằm trên đường thẳng y = 2x. Để A, B, C thẳng hàng thì C phải y 2 4 thuộc hầm y = 2x. Tức là a + 1 = 2.2a => a = 1/3 Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: HMN cân. a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác: ABK và DCK có: 0,25đ BK = CK (gt) BKˆ A CKˆ D (đối đỉnh) 0,25đ AK = DK (gt) 0,25đ ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ DCˆ K DBˆ K ; mà ABˆ C ACˆ B 900 ACˆ D ACˆ B BCˆ D 900 0,25đ ACˆ ABD 9//0 CD0 B (ABAˆ C  AC và CD  AC). 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25đ BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,25đ ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ c. Chứng minh: HMN cân.
9. Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: AB = CD; ACˆ D 900 BAˆ C ; AC cạnh chung: ABC = 0,25đ CDA (c-g-c) ACˆ B CAˆ D 0,25đ mà: AH = CH (gt) và MHˆ A NHˆ C (vì ABH = CDH) 0,50đ AMH = CNH (g-c-g) 0,50đ MH = NH. Vậy HMN cân tại H 0,50đ A E D B F C M a) Từ D kẻ DE//BC, trên BC lấy điểm F sao choN BD = BF (1) Chứng minh được DE = BE (tam giác BED cân) Do tam giác AED cân nên AD =AE suy ra BE = CD Vậy DE = CD Tam giác BDF cân có D· BF 200 nên B·FD 800 D· FC 1000 suy ra D· FC E·AD 1000 Vậy tam giác DFC có F·DC 400 Chứng minh được ADE FCD (g.c.g) AD CF (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. b) Dựng tam giác đều AMN sao cho N và C ở cùng một phía so với AB. c) Vì AC chung;BC AN( AM ); ·ACB C·AN 400 d) BAC NCA Suy ra AC = CN = AB e) vậy MC là trung trực của AN
10. 1 Nên ·AMC ·AMN 300 2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 1 1 1 Câu 1. Tính hợp lý: A= 1 . 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2006 Câu 2. Tìm x, y, z biết: 2x = 3y =5z và x 2y =5 Câu 3. Tìm x, y để C = 18 2x 6 3y 9 đạt giá trị lớn nhất. Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm) Câu 1. Tìm hai số dương x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. Câu 2. So sánh: 230 330 430 và 3.2410 Bài 3 : ( Hình học : 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) ABE ADC b) B·MC 1200 Bài 4 : ( Hình học : 5 điểm) Cho tam giác ABC có µA 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . a. Chứng minh rằng: .DC = BE và DC  BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh rằng: AB = ME và ABC EMA . c. Chứng minh: MA  BC . Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Câu 1. Tìm các số nguyên tố x, y biết 51x + 26y = 2000 Ta có 26yM2;2000M2 51xM2 Mà 51;2 1 xM2 Mà x là số nguyên tố nên x = 2 => y = 73 Câu 2. Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z).
11. Câu a) 5x2 – 26x + 24 = 5x2 – 20x – 6x + 24 = 5x(x – 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(5x – 6) 0,5 1 x5 x 1 x5 x4 x3 x4 x3 x2 x2 x 1 0,5 4 b) 3 2 2 2 2 2 3 2 điểm x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 0,5 c) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 0,5 Đặt x2 2x t 0,5 t t 1 6 t 2 t 6 t 2 3t 2t 6 t t 3 2 t 3 t 3 t 2 2 2 2 2 2 x 2x 3 x 2x 2 x 3x x 3 x 2x 2 x x 3 x 3 x 2x 2 0,5 x 3 x 1 x2 2x 2 Câu 1) A= (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ( 2256 + 1) + 1 2 2 1 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 0,5 3 điểm 22 1 22 1 24 1 2256 1 1 24 1 24 1 2256 1 1 0,5 256 256 512 512 0,5 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2) 2x 3 x 2 x 2 2 x 3 3 x 4 3 x 3 x2 3x 9 9x2 110x 2x 3 x2 4 2 x3 9x2 27x 27 x3 12x2 48x 64 x3 27 9x2 110x 2x3 8x 3x2 12 2x3 18x2 54x 54 x3 12x2 48x 64 x3 27 9x2 110x 5 Câu 1) 3 a) x 1 x 2 x 4 x 5 40 4 x 1 x 5 x 2 x 4 40 điểm x2 6x 5 x2 6x 8 40 t t 3 40 voi t=x2 6x 5 0,25 t 2 3t 40 0 t 2 8t 5t 40 0 t t 8 5 t 8 0 t 8 t 5 0 0,25 2 t 8 x2 6x 5 8 x2 6x 13 0 x 3 4 0 Voli t 5 2 2 x 6x 5 5 x 6x 0 x x 6 0 x 0 x 6 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 6 x 2 x 4 x 6 x 8 b) 0,25 98 96 94 92 x 2 x 4 x 6 x 8 1 1 1 1 98 96 94 92 x 100 x 100 x 100 x 100 0,25 98 96 94 92 1 1 1 1 x 100 0 98 96 94 92 x 100 0 x 100 0,25
12. S  100 3x 1 2x 5 4 2 1 0,25 c) x 1 x 3 x 2x 3 ĐKXĐ: x 1; 3 3x 1 x 3 2x 5 x 1 4 x 1 x 3 0,25 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 3x 1 x 3 2x 5 x 1 4 x2 2x 3 0,25 3x2 8x 3 2x2 3x 5 4 x2 2x 3 0 3x 9 0,25 x 3(loại) S  0,25 2) Lúc 7 giờ sáng một ô tô xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Cũng cùng thời gian ấy một xe máy xuất phát từ tỉnh B về tỉnh A với vận tốc 50 km/h . Biết hai tỉnh A và B cách nhau 220 km . Hỏi sau bao lâu 2 xe gặp nhau và gặp nhau lúc mấy giờ ? S v t Ô tô x 60 x 0,25 60 Xe máy 220 – x 50 220 x 0,25 50 Gọi quãng đường ô tô đi đến khi gặp xe máy là x (km); 0 < x < 220 Quãng đường xe máy đi đến khi gặp ô tô là 220 – x (km) x Thời gian ô tô đi là (km/h) 60 220 x Thời gian xe máy đi là (km/h) 50 x 220 x Theo bài ra ta có phương trình = 60 50 5x = 6(220 – x) x = 120 (nhận) Thời gian ô tô gặp xe máy là 120:60 = 2(h) Vậy sau 2 giờ 2 xe gặp nhau và gặp nhau lức 9h Câu 4 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD. CMR: 2 1 2 0,25 S AM AN điểm ABCD 2 0,25 0,25 0,25
13. B A B A M D M N C 0,25 D N C 0,25 2) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc 0,25 với AD. CMR: AB.AE + AD.AF = AC2. 0,25 E B C A D F AC 2 AE 2 CE 2 AE 2 BC 2 BE 2 AE BE AE BE BC 2 (3) AB AE BE BC 2 AB.AE AB.BE BC 2 AB.AE CD.BE AD2 Ta cần chứng minh CD.BE AD2 AD.AF (1) BE BC Thật vậy EBC : FDC BE.DC BC.DF DF DC Do đó CD.BE AD2 BC.DF AD2 AD.DF AD2 AD DF AD AD.AF (2) Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm
14. Câu H 5 5 điểm B C F O E A K D a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) => BE = DF 0,5 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,5 b) Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K·DC Chứng minh : CBH : CDK(g g) 0,5 CH CK CH.CD CK.CB CB CD 0,5 c) Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,5 0,5 AF AK AD.AK AF.AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,5 CF AH CD AC 0,5 CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC AB AC 0,5 Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 . Câu 1) 6 Ta có 2 0,25 a 13k 2 a2 132 k 2 2.13k.2 4 điểm 0,25 b 13l 3 b2 132 l 2 2.13l.3 9 a2 b2 13 13k 2 4k 13l 2 6l 13 M 13 0,5 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x 1 x2 x 4 x2 x x2 x 4 0,25 2 Đặt x + x – 2 = t 0,25 A t 2 t 2 t 2 4 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4 0,25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0
15. x2 x 2 0 0,25 x 1 x 2 0 x 1 x 2 HS có thể làm cách khác, nhưng sử dụng phù hợp kiến thức chương trình vẫn chấm điểm tối đa.