Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đề thi thử 8 Mụn thi: TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 Cõu 1. Tớnh nhanh: ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 x 4 4 Cõu 2. Tỡm x, y biết: = và x + y = 22 7 y 7 Cõu 3. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau : 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 . Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm) 2 3 1 Cõu 1. Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của 5 4 6 ba số đú bằng 24309. Tỡm số A Cõu 2 Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2. 1 a) Hóy tớnh : f(0) ; f( ) 2 b) Chứng minh: f(x – 1) = f(1 – x) Bài 3 : ( Hỡnh học : 2 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH vuụng gúc với BC tại H, M là trung điểm của BC. Biết AH = 40; AM = 41. Tớnh tỉ số độ dài 2 cạnh gúc vuụng AB và AC. Bài 4 : ( Hỡnh học : 5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB > AC. M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. a) Chứng minh: AB = DC và AB // DC. BC b) Chứng minh rằng: ABC = CDA từ đú suy ra AM . 2 c) Trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng: BE // AM. BC d) Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để AC . 2
2. e) Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: E, O, D thẳng hàng. Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Cõu 1. Tỡm x, y nguyờn biết x – 2xy + y = 0 Cõu 2. Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) Hết (Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh) Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) = ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các tr-ờng hợp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 1 2y 1 x 1 Hoặc 2x 1 1 y 1 Vậy có 2 cặp số x, y nh- trên thoả mãn điều kiện đầu bài .(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2; 1 1 7 f( ) = 2 – ( ) 2 = 2 2 4 b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2 do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nờn bỡnh phương bằng nhau. Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x). Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta cú: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đú (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đú ta cú sú A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 .
3. 5z 6y 6x 4z 4y 5x Từ 4 5 6 20z 24y 30x 20z 24y 30x => 16 25 36 =>10z = 12y = 15x x y z 3x 2y 5z => => và 3x – 2y + 5z = 96 4 5 6 12 10 30 Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18 Ta cú H = 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - xy - 24 2 2 2 2 = 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24 = - 3. 3x - 2y 2 - xy - 24 = - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 Ta cú 3. 3x - 2y 2 0 với mọi giỏ trị của x, y xy - 24 0 với mọi giỏ trị của x, y 2 Do đú 3. 3x - 2y + xy - 24 0 với mọi giỏ trị của x, y Nờn - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 0 với mọi giỏ trị của x, y Hay H ≤ 0 với mọi giỏ trị của x, y Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi 3x - 2y 0 và xy - 24 0 (1) x y + Với 3x - 2y = 0 thỡ 3x = 2y = 2 3 x y Đặt = = k . Khi đú x = 2k ; y = 3k 2 3 Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k . 3k - 24 = 0 6k2 = 24 k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2 + Với k = 2 thỡ x = 2.2 = 4 y = 3.2 = 6 + Với k = - 2 thỡ x = 2.(-2) = - 4 y = 3.(-2) = - 6 Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6
4. HS cú thể làm cỏch khỏc, nhưng sử dụng phự hợp kiến thức chương trỡnh vẫn chấm điểm tối đa.