Đề thi học kì I môn Toán Lớp 9 (Có đáp án và biểu điểm)

Nội dung text: Đề thi học kì I môn Toán Lớp 9 (Có đáp án và biểu điểm)

1. Họ và tờn: ĐỀ THI HỌC Kè 1 MễN TOÁN LỚP 9 Cõu 1 (2,5 điểm): Rỳt gọn biểu thức 1 x x x x A =4 9 ; B 6 27 2 75 300 ; C 1 1 với x>0, x 1 2 x 1 x 1 Cõu 2 (3 điểm): Cho hàm số y = (m – 1)x + 2 – m (với m 1) (1) cú đồ thị là (d) a) Tỡm m để hàm số (1) đồng biến. b) Tỡm m để (d) đi qua điểm A(-1; 2). c) Tỡm m để (d) song song với đồ thị hàm số y = 3x – 11 d) Tỡm điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m? x 2y 3 Cõu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trỡnh sau 2x 3y 1 Cõu 4 (3 điểm): Cho đường trũn (O) và một điểm A nằm ngoài đường trũn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường trũn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh OA vuụng gúc với BC tại H b) Từ B vẽ đường kớnh BD của (O), đường thẳng AD cắt (O) tại E (khỏc D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO c) Qua O vẽ đường thẳng vuụng gúc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường trũn (O). Cõu 5 (0,5 điểm): Cho ba số thực a, b, c thoả món a 1;b 4;c 9 bc a 1 ca b 4 ab c 9 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:P abc ĐỀ II Bài 1. (1,5 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức a) A 2 8 50 b) B 2 3 2 3 c) C 3 2 50 2 18 98 x 1 1 2 Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức: A ( ) : ( ) x 1 x x x 1 x 1 a) Tỡm điều kiện của x để A xỏc định. Rỳt gọn A b) Tớnh giỏ trị của A khi x = 3 + 2 2 c)Tỡm x để A < 0 Bài 3. (1,5 điểm) Cho hàm số y 2 3 x 3 cú đồ thị là (d1)
2. a) Nờu tớnh chất biến thiờn của hàm số b)Với giỏ trị nào của m thỡ (d1) song song với (d2) là đồ thị của hàm số y m 3 x 5 c) Tỡm giao điểm của đường thẳng (d1) với trục hoành và trục tung Bài 4. (1,5 điểm) Cho ABC vuụng tại A cú đường cao AH. Biết AB = 3, AC = 4. a) Tớnh độ dài cạnh BC. b)Tớnh diện tớch tam giỏc ABH. Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại C, đường cao CH, O là trung điểm của AB. Đường thẳng vuụng gúc với CO tại C cắt AB tại D cắt cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn (O; OC) lần lượt tại E, F. a) Chứng minh CH2 + AH2 = 2AH.CO b) Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O; OC) từ đú suy ra AE + BF = EF 1 c) Khi AC AB = R, tớnh diện tớch tam giỏc BDF theo R. 2 ĐỀ III 1 1 . 3 3 Cõu 1. ( 2 điểm )1) Tớnh 3 12 . 2) So sỏnh 2 5 và 311 . 27 2 1 3)Trục căn thức ở mẫu . 3 5 7 Cõu 2. ( 1,5 điểm ) 1) Tỡm cỏc số thực a để 9 3a cú nghĩa. 2 15 10. a 1 2) Cho số thực a 1 . Rỳt gọn biểu thức P . . 2 3 Cõu 3.( 2,5 điểm )Cho hai hàm số: y = 3x cú đồ thị là ( p )và y = –2x + 3 cú đồ thị là ( q ) 1) Vẽ hai đồ thị ( p ) và ( q ) trờn cựng một mặt phẳng tọa độ. 2) Tỡm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( p ) và ( q ). 3) Cho hàm số y = ( m2 – 1 )x + m – 2 cú đồ thị là ( d ), với m là số thực cho trước. Tỡm cỏc giỏ trị của m để ( d ) song song với ( p ). Cõu 4. ( 2,0 điểm ) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú đường cao AH. Biết AB = 20a, AC = 21a, với a là số thực dương. Gọi M là trung điểm cạnh BC. 1) Tớnh BH theo a. 2) Chứng minh tam giỏc ABM là tam giỏc cõn. Tớnh tan BãAM Cõu 5. ( 2,0 điểm ) Cho tam giỏc ABC cú đỉnh C nằm bờn ngoài đường trũn ( O ), đường kớnh AB. Biết cạnh CA cắt đường trũn ( O ) tại điểm D khỏc A, cạnh CB cắt đường trũn ( O ) tại E khỏc B. Gọi H là giao điểm của AE và BD. 1) Chứng minh tam giỏc ABD là tam giỏc vuụng. Chứng minh CH vuụng gúc với AB. 2) Gọi F là trung điểm đoạn CH. Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường trũn ( O ).
3. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ 1 HỌC Kè 1 TOÁN 9 TT Nội dung Điểm A =4 9 = 2- 3 = - 1 1 1 1 0,5 B = 6 27 2 75 300 6 9.3 2 25.3 100.3 2 2 0,5 18 3 10 3 5 3 3 3 Cõu 1 (2.5đ) x x x x x x 1 x x 1 C 1 1 1 1 0,25 x 1 x 1 x 1 x 1 0,25 C 1 x 1 x 1 x với x>0, x 1 Cho hàm số y = (m – 1)x + 2 - m. (1) cú đồ thị là (d) a) Hàm số (1) đồng biến m 1 0 m 1 0,75 Vậy hàm số (1) đồng biến với m> 1 0,25 b) (d) đi qua điểm A(-1; 2) 2=(m – 1).(-1) + 2-m m = 0,5 0,75 Vậy (d) đi qua điểm A(-1; 2) m = 0,5 0,25 m 1 3 c) (d) song song với đồ thị hàm số y = 3x m=4 0,5 2 m 11 Cõu 2 (3đ): Vậy (d) song song với đồ thị hàm số y = 3x – 11 m=4 d) Gọi A(x0;y0 ) là điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m Thỡ phương trỡnh y = (m-1)x +2-m (2) đỳng với  m 0 0 0,25 Vỡ phương trỡnh (2) đỳng với  m nờn Cho m = 1 ta cú: y0 = 1 (3) Cho m = 2 ta cú y0 = x0 (4) 0,25 Từ (3) và (4) ta cú y0 = x0 = 1. Vậy A(1;1) Cõu 3 x 2y 3 x 3 2y x 1 0,75 (1đ): PT: 2x 3y 1 2. 3 2y 3y 1 y 1 x 1 0,25 Vậy hệ cú nghiệm duy nhất là y 1 Cõu + Vẽ hỡnh đỳng: 0.25 4 a) Ta cú: AB = AC B (tớnh chất hai tiếp tuyến (3đ): cắt nhau) OB = OC (= bỏn O kớnh) H A AO là đường trung trực của đoạn E K 0,75 thẳng BC D C OA  BC tại H F
4. TT Nội dung Điểm b) Ta cú BED nội tiếp đường trũn (O) đường kớnh BD BED vuụng tại E; BE  AD tại E 0,25 Vỡ AB là tiếp tuyến của (O) nờn AB  OB ABO vuụng tại B 0,25 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc vuụng ABO cú AH.AO = AB2 (1) 0,25 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc vuụng ABD cú AE.AD = AB2 (2) Từ (1) và (2) suy ra AE.AD = AH.AO 0,25 c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc vuụng ABO cú OH.OA OB2 (3) 0,25 OH OF Chứng minh OHF  OKA (g-g) OK.OF OH.OA (4) 0,25 OK OA Từ (3) và (4) suy ra: OK.OF OB2 2 OK OD 0,25 Mà OD = OB (bỏn kớnh) OK.OF OD OD OF  Chứng minh OKD  ODF (c-g-c)Từ đú suy ra OD DFF  9OD00 tại D Mà D thuộc (O) FD là tiếp tuyến đường trũn (O) 0,25 bc a 1 ca b 4 ab c 9 a 1 b 4 c 9 Ta cú P abc a b c Vỡ a 1; b 4; c 9 Áp dụng bất đẳng thức Cụ – si cho cỏc số dương ta được: 1 a 1 a a 1 =1. a 1 = Dấu ‘‘=’’ xảy ra a=2 2 2 a 1 1 (1) a 2 Cõu 5 2 b 4 4 b 4 b b 4 1 (0,5đ) b 4 = = Dấu ‘‘=’’ xảy ra b=8 (2) 2 4 4 b 4 3 c 9 9 b 9 c c 9 1 c 9 = = Dấu ‘‘=’’ xảy ra c=18 (3) 3 6 6 c 6 11 0,5 Cộng từng vế (1); (2) ; (3) ta cú P 12 11 Vậy giỏ trị lớn nhất của P = khi a=2; b= 8; c=18 12 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ 2 HỌC Kè 1 TOÁN 9 Bài 1. (1,5 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức a) A 2 8 50 2 2 2 5 2 2 2 b) B 2 3 2 3 4 3 1 c) C 3 2( 50 2 18 98) =3 2(5 2 6 2 7 2) 3 2.6 2 =18.2 = 36 x 1 1 2 Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức: A : ( ) x 1 x x x 1 x 1 x 1 a) Tỡm được điều kiện. Rỳt gọn: A x
5. b) Thay x = 3 + 2 2 vào biểu thức tớnh được A = 2 c) Tỡm được 0 < x < 1 Bài 3. (1,5 điểm) a) a 2 3 0 . Vậy hàm số: y (2 3)x 3 đồng biến trờn R b) Để d1 / /(d2 ) thỡ: m 3 2 3 m 2 . Vậy khi m = 2 thỡ d1 / /(d2 ) c) Giao điểm với trục tung: khi x = 0 y (2 3).0 3 3 Vậy A 0; 3 là giao điểm của (d1) với trục tung Giao điểm vởi trục hoành: 3 3(2 3) Khi y = 0 (2 3)x 3 0 x 3 2 3 2 3 4 3 Vậy B(3 2 3;0) là giao điểm của (d1) với trục hoành. Bài 4. (1,5 điểm) a) ĐS: BC = 5 12 9 54 b) Tớnh được AH ,BH . Từ đú tớnh được S . 5 5 ABH 25 Bài 5. (3,5 điểm) F a) Trong tam giỏc vuụng ACH AC2 = AH2 +HC2 Trong tam giỏc vuụng ACB AC2 = AH.AB mà AB = 2CO (T/c trung tuyến của tam giỏc vuụng) C CH2 + AH2 = 2AH.CO b) Chứng minh được DE là tiếp tuyến E EA = EC, FB = FC 2 AE + BF = EF 1 D à 0 à 0 O B c) Sin B1= 1/2 B1 30 B2 60 A H Tam giỏc BCF đều giải cỏc tam giỏc vuụng ABC, BDF BC = BF = R 3 3 2 BD = 3R SBDE = 3 R (đvdt) 2
6. ĐỀ 3 Cõu Nội dung Biểu điểm Tớnh: 1 1 3 12 3 12 3 27 27 ( 0,25điểm ) Cõu 1.1 1 1 36 6 ( 0,75 điểm ) 9 3 ( 0,25điểm ) 17 3 ( 0,25điểm ) So sỏnh: 2 3 5 3 23.5 3 40 ( 0,25điểm ) 3 Cõu 1.2 1 3 1 311 311 3 .311 3 ( 0,75 điểm ) 2 2 8 ( 0,25điểm ) 311 1 Vỡ 40 nờn 2 3 5 > 3 311 8 2 ( 0,25điểm ) Trục căn thức ở mẫu : 1 3 5 7 2 Cõu 1.3 3 5 7 3 5 72 ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) 3 5 7 4 ( 0,25điểm ) Tỡm a : 9 3a cú nghĩa 9 3a 0 ( 0,25điểm ) Cõu 2.1 ( 0,5 điểm ) a 3 Vậy 9 3a cú nghĩa a 3 ( 0,25điểm ) Rỳt gọn biểu thức: 2 2 15 10. a 1 150. a 1 P . Cõu 2.2 2 3 6 ( 0,25điểm ) ( 1,0 điểm ) 2 25. a 1 ( 0,25điểm )
7. 5. a 1 ( 0,25điểm ) 5. 1 a ( Vỡ a 1 ) ( 0,25điểm ) Vẽ hai đồ thị: y = 3x ( p ) ( 0,25điểm ) Đồ thị ( p ) là đường thẳng đi qua 2 điểm O( 0 ; 0 ) , ( 1; 3 ) y = –2x + 3 ( q ) 3 Đồ thị ( q ) là đường thẳng đi qua 2 điểm O( 0 ; 3 ) , ( ; 0 ) ( 0,25điểm ) 2 Cõu 3.1 ( 1,0 điểm ) ( 0,5điểm ) Tỡm tọa độ giao điểm: Phương trỡnh hoành độ giao điểm của ( p ) và ( q ): ( 0,25điểm ) 3x = –2x + 3 3 5x = 3 x = ( 0,25điểm ) Cõu 3.2 5 ( 0,75 điểm ) 9 y = 5 3 9 ( 0,25điểm ) Vậy tọa độ giao điểm của ( p ) và ( q ) là: ; 5 5 Tỡm m: y = ( m2 – 1 )x + m – 2 ( d ) m2 1 3 ( 0,25điểm ) Cõu 3.3 ( d ) // ( p ) m 2 0 ( 0,75 điểm ) m2 4 m 2 m = –2 ( 0,25điểm ) m 2 m 2 Vậy khi m = –2 thỡ ( d ) // ( p ) ( 0,25điểm )
8. Tớnh BH: ( 0,25điểm ) Cõu 4.1 ( 1,25 điểm ) Xột ABC vuụng tại A, đường cao AH cú: ( 0,25điểm ) BC2 = AB2 + AC2 = (20a)2 + (21a)2 = 841a2 BC = 29a mà AB2 = BH.BC ( 0,25điểm ) AB2 BH ( 0,25điểm ) BC 2 20a 400a nờn BH ( 0,25điểm ) 29a 29 Chứng minh ABM cõn: AM là đường trung tuyến của ABC vuụng tại A (giả thiết) ( 0,25điểm ) AM = BM ABM cõn tại M Cõu 4.2 Tớnh tanBãAM : ( 0,75 điểm ) Vỡ ABM cõn tại M nờn: BãAM ÃBM ÃBC ( 0,25điểm ) AC 21a 21 tanBãAM = tanÃBC = ( 0,25điểm ) AB 20a 20 Chứng minh ABD vuụng: ( 0,25điểm ) Cõu 5.1 ( 1,25 điểm ) Vỡ ABD nội tiếp đường trũn ( O ) cú cạnh AB là đường kớnh ( 0,5điểm ) ABDvuụng tại D. Chứng minh CH vuụng gúc với AB:
9. Vỡ ABD vuụng tại D ( cmt ) nờn BD AC ( 0,25điểm ) Chứng minh tương tự: AE BC H là trực tõm của ABC nờn CH AB. ( 0,25điểm ) Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường trũn ( O ): Gọi K là giao điểm của CH và AB. Ta cú DF là đường trung tuyến của CDH vuụng tại D FD = FH ã ã FDH cõn tại F D1 H1 ( 0,25điểm ) ã ã mà H1 H2 ( đối đỉnh ) Cõu 5.2 nờn ãD ãH ( 1 ) ( 0,75 điểm ) 1 2 Xột OBD cú OB = OD ( bỏn kớnh ) ã ả ( 0,25điểm ) OBD cõn tại O D2 B1 ( 2 ) ã ả 0 Vỡ HBK vuụng tại K nờn H2 B1 90 ( 3 ) ã ã 0 Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) suy ra D1 D2 90 ( 0,25điểm ) DF OD tại điểm D thuộc đường trũn ( O ). Do đú DF là tiếp tuyến của đường trũn ( O ), tiếp điểm D