Đề thi học kỳ I môn Toán Lớp 11 - Đề số 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học kỳ I môn Toán Lớp 11 - Đề số 1 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 1 Thời gian làm bài 90 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm): Câu I: (2,0 điểm) 1 sin5x 1) Tìm tập xác định của hàm số y . 1 cos2x 2) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số khác nhau, trong đó chữ số hàng trăm là chữ số chẵn? Câu II: (1,5 điểm) Giải phương trình: 3 sin 2x 2 cos2 x 2 . Câu III: (1,5 điểm) Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng (chúng chỉ khác nhau về màu). Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để được: 1) Ba viên bi lấy ra đủ 3 màu khác nhau. 2) Ba viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh. Câu IV: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v (1; 5) , đường thẳng d: 3x + 4y 4 = 0 và 2 2 đường tròn (C) có phương trình (x + 1) + (y – 3) = 25. 1) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v . 2) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = – 3. II. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO HỌC SINH TỪNG BAN (3 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao 1. Theo chương trình Chuẩn u2 u3 u5 4 Câu V.a: (1,0 điểm) Tìm cấp số cộng (un) có 5 số hạng biết: . u1 u5 10 Câu VI.a: (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA. 1) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MBD) và (SAC). Chứng tỏ d song song với mặt phẳng (SCD). 2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MBC). Thiết diện đó là hình gì ? 2. Theo chương trình Nâng cao Câu V.b: (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; P là một BP DR điểm trên cạnh BC (P không trùng với điểm B và C) và R là điểm trên cạnh CD sao cho . BC DC 1) Xác định giao điểm của đường thẳng PR và mặt phẳng (ABD). 2) Định điểm P trên cạnh BC để thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP) là hình bình hành. n 0 n 1 1 n 2 2 n 1 20 Câu VI.b: (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 3 Cn 3 Cn 3 Cn  3Cn 2 1 . k (trong đó Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử) Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 1 Thời gian làm bài 90 phút Câu Ý Nội dung Điểm I (2,0 điểm) 1 sin5x Tìm TXĐ của hàm số .y 1 1 cos2x 1,0 điểm Ta có: sin5x 1 1 sin5x 0 x ¡ (do đó 1 sin5x có nghĩa) 0,25 Hàm số xác định 1 cos2x 0 cos2x 1 0,25 2x k2 x k , k ¢ 2 0,25  TXĐ: D ¡ \ x k , k ¢  . 0,25 2  Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số khác nhau, trong đó chữ số hàng trăm 2 là chữ số chẵn ? 1,0 điểm Mỗi số x cần tìm có dạng: x abc . Vì x là số lẻ nên: c có 5 cách chọn (c {1; 3; 5; 7; 9}) 0,25 a là chữ số chẵn và khác 0 nên a có 4 cách chọn (a {2; 4; 6; 8}, a c) 0,25 b có 8 cách chọn (b a và b c) 0,25 Vậy có tất cả: 5.4.8 = 160 số. 0,25 II Giải phương trình: . 3 sin2x 2cos2 x 2 1,5 điểm Pt 3 sin2x (1 cos2x) 2 0,25 3 sin2x cos2x 1 0,25 3 1 1 sin2x cos2x sin 2x sin 0,50 2 2 2 6 6 2x k2 x k 6 6 (k ¢ ). x k 0,50 2x k2 3 6 6 III Tính xác suất để: 1,5 điểm 1 Ba viên bi lấy ra đủ 3 màu khác nhau ? 0,75 điểm Gọi A là biến cố “Ba viên bi lấy ra đủ 3 màu khác nhau”. 3 0,25 Ta có số phần tử của không gian mẫu  là: C12 220 . 1 1 1 0,25 Số cách chọn 3 viên bi có đủ ba màu khác nhau là: C5C3C4 5.3.4 60 . A n(A) 60 3 Vậy P(A) . 0,25 n( ) 220 11  2 Ba viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh ? 0,75 điểm Gọi B là biến cố đang xét. Lúc đó B là biến cố “ba viên bi lấy ra không có viên bi nào màu xanh”. 0,25 Số cách chọn 3 viên bi không có viên bi xanh nào là: C3 35 . 7 0,25 35 7 P(B) 220 44 7 37 Vậy P(B) 1 P(B) 1 . 44 44 0,25 IV v (1; 5) , d: 3x + 4y 4 = 0, (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25 (2,0 điểm) 2
3. 1 Viết pt đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v . 1,0 điểm Lấy điểm M(x; y) thuộc d, gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua T . Lúc đó M’ thuộc v x' 1 x x 1 x' d’ và: 0,50 y' 5 y y 5 y' Vì M(x; y) d nên: 3(x’ 1) + 4(y’ + 5) 4 = 0 3x’ + 4y’ + 13 = 0. 0,25 Vậy d’ có pt: 3x + 4y + 13 = 0. 0,25 Chú ý: Học sinh có thể tìm pt của d’ bằng cách khác:  Vì vectơ v không cùng phương với VTCP u (4; 3) của d nên d’ // d, suy ra pt của d’: 3x + 4y + C = 0 (C 4) (0,25) (1,0 điểm)  Lấy điểm M(0; 1) d, gọi M’ là ảnh của M qua T . Ta có: M’(1; 4) v d’. Thay tọa độ điểm M’ vào pt của d’, ta được C = 13. (0,50)  Vậy pt d’: 3x + 4y + 13 = 0. (0,25) 2 Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua V(O, 3) 1,0 điểm (C) có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5. 0,25 Gọi I'(x; y) là tâm và R' là bán kính của (C'). Ta có: R' = |k|R = 3.5 = 15; 0,25   OI ' 3OI , I '(3; 9) 0,25 Vậy (C') có pt: (x – 3)2 + (y + 9)2 = 225. 0,25 u2 u3 u5 4 V.a Tìm cấp số cộng (un) có 5 số hạng biết: (*) 1,0 điểm u1 u5 10 Gọi d là công sai của CSC (un). Ta có: (u d) (u 2d) (u 4d) 4 0,25 (*) 1 1 1 u1 (u1 4d) 10 u1 d 4 u1 d 4 u1 1 0,50 2u1 4d 10 u1 2d 5 d 3 Vậy cấp số cộng là: 1; 2; 5; 8; 11. 0,25 VI.a (2,0 điểm) S Chú ý: Hình vẽ có từ 02 lỗi trở lên thì không cho điểm M N phần hình vẽ. 0,25 A D O B C 1 Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MBD) và (SAC). Chứng tỏ d // mp(SCD). 1,0 điểm Ta có M mp(MBD); M SA M mp(SAC) Suy ra M là một điểm chung của hai mp trên. 0,25 Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có O là điểm chung thứ hai của hai mp trên. 0,25 Vậy giao tuyến là đường thẳng MO. 0,25 Ta có d chính là đường thẳng MO, mà MO // SC nên MO // mp(SCD). 0,25 2 Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MBC). Thiết diện đó là hình gì ? 0,75 điểm Ta có M là điểm chung của hai mp (MBC) và (SAD) 0,25 3
4. BC  (MBC); AD  (SAD) và BC // AD nên giao tuyến của hai mp này là 0,25 đường thẳng đi qua M và song song với AD cắt SD tại N. Vì MN // BC nên thiết diện cần tìm là hình thang BCNM (hai đáy là MN và BC). 0,25 V.b (2,0 điểm) 1 Xác định giao điểm của đường thẳng PR và mp(ABD). 1,0 điểm A Chú ý: Hình vẽ có từ 02 lỗi trở lên thì M không cho điểm N phần hình vẽ. 0,25 B D I R P Q C BP DR Vì nên PR/ / BD. Trong mp (BCD), gọi I = BD  PR. BC DC 0,50 Ta có: I PR và I BD, suy ra I mp(ABD). Vậy PR  mp(BCD) I . 0,25 2 Định điểm P trên cạnh BC để thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP) là hình bình hành. 1,0 điểm Ta có MN  (MNP); BD  (BCD) và MN // BD. Do đó giao tuyến của mp(MNP) và mp(BCD) là đường thẳng đi qua P song song với MN cắt CD 0,25 tại Q. Thiết diện là hình thang MNQP (MN // PQ). 0,25 Để thiết diện trên là hình bình hành thì PQ = MN = ( ½) BD 0,25 Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác BCD, hay P là trung điểm của BC. Vậy khi P là trung điểm của BC thì thiết diện là hình bình hành. 0,25 [ Chú ý: Nếu học sinh chỉ ra trung điểm sau đó c/m hình bình hành thì chỉ cho ý 2/: 0,75 điểm.] Tìm số nguyên dương n biết: VI.b n 0 n 1 1 n 2 2 n 1 20 1,0 điểm 3 Cn 3 Cn 3 Cn  3Cn 2 1 (*) n 0 n 1 1 n 2 2 n 1 n 20 0,25 Ta có (*) 3 Cn 3 Cn 3 Cn  3Cn Cn 2 (3 1)n 220 4n 220 22n 220 0,50 n 10 . Vậy n = 10 là giá trị cần tìm. 0,25 4