Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Đề 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Đề 1 (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHềNG GD&ĐT NĂM HỌC MễN THI: TOÁN, LỚP 8 Thời gian 150 phỳt(Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 Cõu 1. (4 điểm) Cho biểu thức x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 A = 2  x 1 x 1 x 1 x a) Tỡm điều kiện của x để biểu thức xỏc định. b) Rỳt gọn biểu thức A. c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn. Cõu 2. (4 điểm) a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x4 + 2013x2 + 2012x + 2013. b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để đa thức f(x) = x3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1 Cõu 3. (4 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau : x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 17 19 21 23 b) Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh. Một phõn số cú tử số bộ hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lờn 4 đơn vị thỡ sẽ được phõn số nghịch đảo của phõn số đó cho. Tỡm phõn số đú. Cõu 4. (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EãAD EãCB ã 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tớnh SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Cõu 5. (2 điểm) Cho a,b, c, là cỏc số dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 1 1 1 P = (a + b + c)( ). a b c Hết Họ và tờn học sinh: , Số bỏo danh: .
2. UBND HUYỆN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH PHềNG GD&ĐT GIỎI CẤP HUYỆN MễN THI: TOÁN, LỚP 8 Ngày thi: Cõu 1. (4 điểm) Cho biểu thức ĐỀ 1 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 A = 2  x 1 x 1 x 1 x d) Tỡm điều kiện của x để biểu thức xỏc định. e) Rỳt gọn biểu thức A. f) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn. Đỏp ỏn Thang điểm x 1 a) Điều kiện: x 0 0,5 điểm (x 1)2 (x 1)2 x2 4x 1 x 2013 b) A =  x2 1 x 0,5 điểm (x 1 x 1)(x 1 x 1) x2 4x 1 x 2013 =  x2 1 x 1,0 điểm 4x x2 4x 1 x 2006 = 2  0,5 điểm x 1 x x 2006 = 0,5 điểm x c) Ta cú A nguyờn (x + 2013) Mx 2013Mx 0,5 điểm Vậy x là ước của 2013 ; x 1 0,5 điểm Cõu 2. (4 điểm) a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = x4 x 2013x2 2013x 2013 ( 0,75 điểm) = x x 1 x2 x 1 2013 x2 x 1 ( 0,75 điểm) = x2 x 1 x2 x 2013 ( 0,5 điểm) b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để đa thức f(x) = x 3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1 Thực hiện phộp chia ta cú: x3 - 3x2 - 3x - 1 x2 + x + 1 x3 + x2 + x - 4x2 - 4x – 1 x - 4 - 4x2 - 4x – 4 3
3. Để f(x)  g(x) thỡ 3  x2 + x + 1 ( 0,5 điểm ) x 2 x 1 -1 2 x x 1 -3 Vậy x 2 x 1 1 2 x x 1 3 ( 0,5 điểm ) 1 3 Do x2 +x + 1 = (x+ ) 2 + > 0 nờn loại x2 + x + 1 = -1 và x2 + x + 1 = -3 2 4 Suy ra x 2 x 1 1 x 1; x 0 2 ( 0,75 điểm ) x x 1 3 x 1; x 2 Vậy cú 4 giỏ trị của x là 0 ; -1 ; 1 ; -2 thỡ f(x) chia hết cho g(x) ( 0,25 điểm ) Cõu 3. (4 điểm) Giải phương trỡnh x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 ( 0,75 điểm) 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 ( 0,5 điểm) 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 ( 0,5 điểm) 17 19 21 23 x 258 ( 0,25 điểm) b) Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh. Một phõn số cú tử số bộ hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lờn 4 đơn vị thỡ sẽ được phõn số nghịch đảo của phõn số đó cho. Tỡm phõn số đú. 0,25đ Gọi tử số của phõn số cần tỡm là x thỡ mẫu số của phõn số cần tỡm là x+11. Phõn số cần tỡm là x (x là số nguyờn khỏc -11) x 11 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phõn số x 7 0,25đ x 15 (x khỏc -15) Theo bài ra ta cú phương trỡnh x = x 15 0,5đ x 11 x 7 Giải phương trỡnh và tỡm được x= -5 (thoả món) 0,75đ 5 Từ đú tỡm được phõn số 0,25đ 6
4. Cõu 4. (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EãAD EãCB ã 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tớnh SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . E D A M Q B C P I H - Vẽ hỡnh chớnh xỏc (0,5 điểm) a) 1,5 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (0,75 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đú suy ra EA.EB ED.EC 0,25 điểm EC EA * Chứng minh EãAD EãCB (0,75 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EãAD EãCB 0,25 điểm b) 1,5 điểm - Từ BãMC = 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o 0,5 điểm - Xột EDB vuụng tại D cú Bà = 30o
5. 1 ED 1 ED = EB 0,5 điểm 2 EB 2 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho từ đú SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB c) 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 cú giỏ trị khụng đổi 0,5 điểm Cỏch 2: Cú thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 d) 1,0 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) BH BD 2BP BD BP BD 0,5 điểm DH DC 2DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) ã ã BDP DCQ   CQ  PD 0,5 điểm ã ã o ma`BDP PDC 90  Cõu 5. (2 điểm) Cho a,b, c, là cỏc số dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 1 1 1 P = (a + b + c)( ). a b c a a b b c c a b a c b c P 1 1 1 3 (1,0 điểm) b c a c a b b a c a c b x y Mặt khỏc 2 với mọi x, y dương. y x P ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (0,75 điểm) Vậy Pmin = 9 khi a = b = c (0,25 điểm)