Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Bảng B - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Gia Lai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Bảng B - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Gia Lai (Có đáp án)

1. Vũ Ngọc Thành Latex húa KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 MễN THI: TOÁN 12-BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ 2x 1 Cõu 1. Cho hàm số y + cú đồ thị (H) và đường thẳng d : y (m2 1)x 2 (với m là = x 1 = + − − tham số). Tỡm tất cả giỏ trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức P 12(x1 x2) 11x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất. = + + Lời giải Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (H) và d là 2x 1 + (m2 1)x 2 (m2 1)x2 (m2 5)x 1 0 x 1 = + − ⇔ + − + + = − (do x = 1 khụng là nghiệm phương trỡnh) Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phõn biệt 2 2 (m2 5) 4(m2 1) 0 (m2 3) 12 0 ⇔ + − + > ⇔ + + > Suy ra m R thỡ d luụn cắt (H) tại hai điểm phõn biệt. ∀ ∈ m2 5 1 Ta cú x1 x2 + ; x1.x2 + = m2 1 = m2 1 + à m2 +5ả à 1 ả 59 P 12(x1 x2) 11x1.x2 12 + 11 12 71 = + + = m2 1 + m2 1 = + m2 1 ≤ Do đú P đạt giỏ trị lớn nhất là 71+ khi m = 0.+ + Vậy m = 0 là giỏ trị cần tỡm. ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 2. Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập hợp cỏc số thực 1. x4 6x3 6x2 9x 2px2 3x . − + + = − 2. 7x 6log (6x 1) 1 0 . − 7 + − = Lời giải 2 1. x4 6x3 6x2 9x 2px2 3x (x2 3x) 3(x2 3x) 2px2 3x 0 − + + = − ⇔ − − − − − = Đặt t px2 3x , t 0 , phương trỡnh trở thành t4 3t2 2t 0 t 0; t 2; t 1 (loại) = − ≥ − − = ⇔ = = = − Với t 0 suy ra x 0, x 3 = = = Với t 2 suy ra x 1, x 4 = = − = Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm x 0, x 3 ,x 1, x 4 = = = − = 1
2. Vũ Ngọc Thành Latex húa 1 2. Điều kiện x . Đặt y log (6x 1) , khi đú 7y 6x 1 . > −6 = 7 + = + (7x 6y 1 Kết hợp với phương trỡnh đó cho ta cú hệ = + . 7y 6x 1 = + Suy ra 7x 7y 6y 6x 7x 6x 7y 6y (1). Xột hàm số f (t) 7t 6t . − t= − ⇔ + = + = + Ta cú f 0(t) 7 ln7 6 0, t R nờn hàm số f đồng biến trờn R . = + > ∀ ∈ Do đú (1) f (x) f (y) x y . Suy ra 7x 6x 1 0 (*) ⇔ = ⇔ = −à 1− =ả Xột hàm số g(x) 7x 6x 1 trờn khoảng ; . = − − −6 +∞ à ả x x 2 1 Ta cú g0(x) 7 ln7 6; g00(x) 7 (ln7) 0 nờn đồ thị hàm số g lừm trờn khoảng ; = − = > −6 +∞ à 1 ả . Do đú (*) cú khụng quỏ hai nghiệm thuộc ; −6 +∞ Mà g(0) 0, g(1) 0 nờn x = 0, x = 1 là tất cả cỏc nghiệm của (*). Vậy nghiệm của = = phương trỡnh đó cho là x = 0, x = 1. ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ n Cõu 3. Tỡm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1 x x2) , biết n là số tự nhiờn + + thỏa món hệ thức C0 C2 C4 C2n 512 . 2n + 2n + 2n + ããã + 2n = Lời giải Ta cú 1 C0 C2 C4 C2n 512 .(C0 C1 C2 C2n) 512 2n + 2n + 2n + ããã + 2n = ⇔ 2 2n + 2n + 2n + ããã + 2n = 1 .22n 512 ⇔ 2 = n 5 ⇔ = 5 5 Ã k ! 2 5 5 X k k k X X k i k i (1 x x ) [1 x(1 x)] C5 x (1 x) C5 Ck x + , (i, k N, i k) + + = + + = k 0 + = k 0 i 0 ∈ ≤ = = = ( i k 5 ( i 0 ( i 1 ( i 2 Vỡ số hạng chứa x5 nờn + = , giải ra ta được = ; = ; = i, k N, i k k 5 k 4 k 3 ∈ ≤ = = = Hệ số cần tỡm là C5C0 C1C4 C2C3 51 5 5 + 4 5 + 3 5 = ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cú AB c,BC a,CA b , ha là độ dài đường cao xuất phỏt a = = = từ đỉnh A và b c hap3 . Chứng minh rằng tam giỏc ABC đều. + = 2 + Lời giải 2
3. Vũ Ngọc Thành Latex húa Ta cú a a 2SABC b c ha.p3 b c .p3 + = 2 + ⇒ + = 2 + a a b c (bsinC).p3 ⇒ + = 2 + sin(B C) sinB sinC + p3sinBsinC ⇒ + = 2 + 1 p3 1 p3 sinB sinC sinB( cosC sinC) sinC( cosB sinB) ⇒ + = 2 + 2 + 2 + 2 h ³ π´ i h ³ π´ i sinB cos C 1 sinC cos B 1 0 ⇒ − 3 − + − 3 − = ³ π´ ³ π´ cos B cos C 1 ⇒ − 3 = − 3 = π B C ⇒ = = 3 Vậy tam giỏc ABC đều. ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 5. Một quả búng cao su được thả rơi từ độ cao h 18m . Sau mỗi lần chạm đất, quả 3 = búng lại nảy lờn cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đú. Giả sử quả búng khi rơi và 4 nảy đều theo phương thẳng đứng. Tớnh tổng độ dài đoạn đường quả búng đó di chuyển từ lỳc được thả đến lỳc quả búng khụng nảy nữa. Lời giải 3 Sau lần chạm đất đầu tiờn, quả búng nảy lờn độ cao là h1 h . Tiếp theo, búng rơi từ độ = 4 3 cao h1 , chạm đất và nảy lờn độ cao h2 h1 . Sau đú búng lại rơi từ độ cao h2 và cứ tiếp tục = 4 3 như vậy Sau lần chạm đất thứ n, quả búng nảy lờn độ cao hn hn 1 . = 4 − Tổng độ dài đoạn đường quả búng đi được từ lỳc thả đến lỳc quả búng khụng nảy nữa là d (h h1 h2 hn ) (h1 h2 hn ) = + + + ããã + + ããã + + + ããã + + ããã 3 d là tổng của hai cấp số nhõn lựi vụ hạn cú cụng bội q , cú số hạng đầu lần lượt là h, h1 = 4 h h Do đú d 1 126 m. = 1 q + 1 q = ọ − − STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn tõm I cú phương trỡnh (x 1)2 (y 1)2 5 − + + = , tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn và đường phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh x y 1 0 . Biết rằng hai điểm A và I cỏch đều đường thẳng BC và điểm A cú hoành độ − − = dương. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC . 3
4. Vũ Ngọc Thành Latex húa Lời giải Ta cú I(1; 1) . Tọa độ giao điểm của đường phõn giỏc trong gúc A và (I) là nghiệm của hệ − phương trỡnh ((x 1)2 (y 1)2 5 ( x 2; y 1 − + + = = = x y 1 0 ⇔ x 1; y 2 − − = = − = − Suy ra cú hai giao điểm A(2;1), A0( 1; 2) − − Đường thẳng BC vuụng gúc A’I nờn phương trỡnh BC cú dạng: 2x y m 0 (BC A0 I ) 4 1 m 2 1 m + + = ⊥ d(A;BC) d(I;BC) | + + | | − + | m 3 = ⇔ p5 = p5 ⇔ = − Phương trỡnh BC: 2x y 3 0 + − = 9 p21 3 2p21 9 p21 3 2p21 Tỡm được tọa độ điểm B, C là: ( − ; − + ), ( + ; − − ) . 5 5 5 5 1 1r84 2 2p21 Vậy diện tớch tam giỏc ABC là SABC BC.d(A;BC) . = 2 = 2 5 p5 = 5 ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , chiều cao h khụng đổi. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trờn hai cạnh BC,CD sao cho gúc àMAN 450. = Đặt BM x . Tỡm x theo a sao cho thể tớch của khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. = Lời giải 4
5. Vũ Ngọc Thành Latex húa 1 hp2 Ta cú Vs.AMN .h.SAMN .AM.AN = 3 = 12 Đặt Mƒ AB α ,00 α 450 , NADƒ 450 α =AB ≤ AD≤ = a2p−2 2a2p2 AM.AN . = cosα cos(450 α) = cosα(cosα sinα) = 1 p2sin(2α 450) − + + 0 + 0 Vs.AMN nhỏ nhất AM.AN nhỏ nhất 1 p2sin(2α 45 ) lớn nhất α 22,5 ⇔ ⇔ + + ⇔ = Vậy với x a.tan22,50 a(p2 1) thỡ thể tớch của khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. = = − ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 8. Cho a, b, c là ba số thực tựy ý thỏa món điều kiện a b c 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ 1 à b c ả 5a ≥ ≥ > nhất của biểu thức M . = 2 b a + c b + a c + + + Lời giải   1  1 1  5 Biến đổi M   = 2  a + b  + c 1 1 1 + b + c + a 1 1 2 Ta cú bất đẳng thức , ( x, y 0, xy 1) 1 x + 1 y ≥ 1 pxy ∀ > ≥ + + + 1 1 2 Ă Â2 Thật vậy px py (pxy 1) 0, đỳng x, y 0, xy 1 . 1 x + 1 y ≥ 1 pxy ⇔ − − ≥ ∀ > ≥ 1+ 2 + 5+ Do đú M . ≥ 2 r a + c 1 1 + c + a a 1 5t 5t 1 Đặt t . Vỡ a b c 0 nờn t 1 t pt . Suy ra M + = c ≥ ≥ > ≥ ⇒ ≥ ≥ 1 t + 1 t = t 1 5t 1 4 + + + Xột hàm số f (t) + , ta cúf 0(t) 0, t [1; ) nờn f (t) đồng biến trờn [1; ) . = t 1 = (t 1)2 > ∀ ∈ +∞ +∞ Do đú f (t) f (1), t +1 + ≥ ∀ ≥ Vậy Mmin f (1) 3 , khi t 1 a b c = = = ⇔ = = ọ 5