Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề này có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (6,0 điểm). a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2x y 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị x2 xy y2 nhỏ nhất của biểu thức P . x2 xy y2 b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 3mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành. Bài 2 (5,0 điểm). * a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết u1 2 và un 1 2un 5, n ¥ . 1 2vn * b) Cho dãy số vn thỏa mãn v1 , vn 1 2 , n ¥ . Chứng minh 2018 1 2018vn * rằng vn 1 vn, n ¥ . Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 xy x y 1 x y . 2 2 2 2 x y y 1 x 1 x y x Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB AC và hai đường cao BE, CFcắt nhau tại H. Các đường tròn O1 , O2 cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B, C. Gọi D là giao điểm thứ hai của O1 và O2 . a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC; b) Chứng minh ba đường thẳng EF, BC, HD đồng quy. HẾT Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm 1 6,0 a t 2 t 1 x 1 Ta có P , với t . t 2 t 1 y 2 0,5 t 2 t 1 1 Xét hàm số f (t) với t . t 2 t 1 2 0,5 f (t) 0 2t 2 2 1,0 Tính được f (t) 2 2 , 1 t 1. (t t 1) t 2 0,5 Bảng biến thiên 1 Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng , không có giá trị lớn nhất. 0,5 3 b Tập xác định D ¡ y ' 3x2 6x 3m 0,25 Yêu cầu bài toán Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt 0,5 x1, x2 thỏa mãn y x1 .y x2 0. Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 m 0 (*) 0,25 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A x1; y1 , B x2 ; y2 . 0,25 x 1 Ta có y .y 2 m 1 x 3 3 0,25 Do đó y y x 2 m 1 x 1 1 1 0,25 y2 y x2 2 m 1 x2 0,5 y x .y x 0 4 m 1 2 x .x 0 1 2 1 2 0,5 x1.x2 0 m 0 m 0 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) ta có m 0 thỏa mãn bài toán 2 5,0 a * 0,5 n ¥ , ta có un 1 2un 5 un 1 5 2 un 5 * Đặt wn un 5, n ¥ . * Khi đó wn 1 2wn , n ¥ . 0,5 0,5 Do đó wn là cấp số nhân có w1 u1 5 7, công bội q 2. n 1 n 1 * Suy ra wn w1.q 7.2 , n ¥ . 0,5 n 1 * Vậy un 7.2 5, n ¥ . 0,5 b * 0,5 Chứng minh được vn 0, n ¥ . 2vn 2vn 1 * Khi đó vn 1 2 , n ¥ . (1) 1,0 1 2108vn 2 2018.vn 2018 Mặt khác, n ¥ *, ta có 3 v 1 2018v2 2vn vn 2018vn n n vn 1 vn 2 vn 2 2 0 1 2018vn 1 2018vn 1 2018vn 1,0
3. 3 2 2 4,0 2 xy x y 1 x y (1) . 2 2 2 2 x y y 1 x 1 x y x (2) Điều kiện xy 0 0,25 Ta có x2 1 x 0, x ¡ nên y 0 không thỏa mãn (2). Do đó y 0. Suy ra x 0 không thỏa mãn (1). 0,5 Nếu x, y cùng âm thì (1) vô lí. Do đó x, y cùng dương. 0,25 1 Suy ra (2) x2 1 x y y2 1 1 x2 1 1 1 1 y y2 1 y (3) 0,5 x x2 x Xét hàm số f (t) t t 2 1 t trên khoảng 0; . 0,25 t 2 Ta có f (t) t 2 1 1 0, t 0 0,5 t 2 1 Suy ra f (t) đồng biến trên 0; 0,5 1 1 Do đó (3) f f y y xy 1 0,5 x x Thay xy 1 vào phương trình (1) ta được 2 x y 1 x2 y2 x 1 2 y 1 2 0 x y 1 0,5 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1;1 0,25 4 5,0 a Gọi I là giao điểm của AD và BC. 0,25 Ta có IB2 IA.ID IC 2. 0,75 Suy ra IB IC. 0,25 Do đó I là trung điểm của BC. Hay đường thẳng AD đi qua trung 0,25 điểm I của BC. b A E F H D K B I C Chứng minh được B· HC B· DC. Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp. 1,0 Chứng minh AFHD nội tiếp 1,0 Chứng minh EF, BC, HD đồng qui 1,5