Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A - Vũ Đoàn Kết (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A - Vũ Đoàn Kết (Có đáp án)

1. Kì thi học sinh giỏ lớp 12 Môn Toán-Bảng A (Thời gian 180 phút,không kể giao đề ) Người ra đề: Vũ Đoàn Kết Bài 1 . Cho hàm số : f(x) = x(x-1)(x-2) (x-2006). Tính f'(0). 1 (x 2 1)dx Bài 2. Tính I = 4 0 x 1 x x 2 Bài 3 . Tìm m để phương trình : 4 m.2 m 3 0 có nghiệm duy nhất. Bài 4. Giải phương trình : x3 1 2 2x 1 . Bài 5. Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] của phương trình: 3 2 2 sin x 1 2 cos x cot g x sin 2 x abc . Cho ABC, Chứng minh rằng (p-a)(p-b)(p-c) Bài 6 8 a b c với p . 2 n Tính L= lim [(1+x)(1+x2)(1+x4) (1+x2 )], với x <1. Bài 7. n 21 x 2x 1 0 Bài 8. Giải bất phương trình: 2x 1 Bài 9. Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10. Tìm quỹ tích điểm M sao cho AM=3BM. Bài10. Chứng minh rằng: Nếu n,k N thì: n n n c2 n k .c2 n k (c2 n )2. hết – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Nguồn tư liệu: Bài 1,bài 9: Sáng tác Bài2,bài 8 : Bộ đề thi đại học(BGD-1996) Bài 3,bài 6:Các bài giảng luyện thi môn toán(Đào Tam chủ biên) Bài 4,bài 7: Phương pháp mới giải đề thi đại học(Trần Phương) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán-Bảng A Người làm đáp án: Vũ Đoàn Kết Đáp án –thang điểm này gồm có : 4 trang. Bài Nội dung điểm Bài 1 2.0 Cho x0=0 một số gia x=x-x0=x. 0.5 Ta có y=f(x0+ x)-f(x0) = f( x)-f(0)= x( x 1)( x 2) ( x 2006) y Suy ra ( x 1)( x 2) ( x 2006) x y 1.0 ' lim lim ( x 1)( x 2) ( x 2006) f(0) = x 0 = x x 0 =(-1)(-2) (-2006)=2006 ! 0.5 vậy f' (0) =2006! Bài 2 2.0 Phân tích x4+1 =(x2+2 x+1)( x2-2 x+1) 0.5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. x2 1 Ax B Cx D Phân tích x4 1 x2 2x 1 x2 2x 1 1 A 2 1 B 1.0 Đồng nhất hai vế ta được 2 1 C 2 1 D 2 1 dx 1 1 (2x 2)dx 1 1 (2x 2)dx Vậy I= + 4 2 2 0 x 1 2 2 0 x 2x 1 2 2 0 x 2x 1 0.5 1 1 1 1 1 2 2 =ln(x2 2x 1) ln(x2 2x 1) = ln( ) 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 Bài 3 2.0 Giả sử x0 là nghiệm của phương trình thì -x0 cũng là nghiệm . Do tính duy nhất nghiệm nên x0=-x0 x0=0 0.5 Thay x0=0 vào phương trình ta được m= -1, m=2 0.5 Với m=-1, ta có pt: 0.5 4x 2x 2 0 (2x 1)(2x 2) 0 2x 1 0 x 1 Với m=2, ta có pt: 0.5 4 x 2.2 x 1 0 (2 x 1)2 0 2 x 1 0 x 1 Vậy m=-1,m=2 là giá trị cần tìm. Bài 4 2.0 3 3 0.5 Đặt t= 2x 1 t 2x 1 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 3 3 3 1.0 x 1 2t x 1 2t x 1 2t Pt 1 2 3 2 x3 t 3 2(t x) (x t)[(x ) t 2] 0 x t 2 4 1 5 1 5 x3-2x+1=0 x=1, x= , x= . 2 2 0.5 1 5 1 5 Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x=1, x= , x= . 2 2 Bài 5 2.0 ĐK:sinx 0,PT 2cos2x+cotg2x=sin x +1+ cotg2x 2sin2x+sinx-1=0 3 4k x 1 2 0.5 sin x 1 1 x2 2k sin x 6 2 5 x 2k 3 6 3 4k 40 k 0,1,2,3,4,5 a.Cho 2 2 5 (4k 3) 39 0.5 Vậy tổng các nghiệm của họ x1 là :  2 k 0 6 ( 2k ) 43 b.Tương tự tổng các nghiệm của họ x2 là :  0.5 k 1 6 5 5 ( 2k ) 35 c.tổng các nghiệm của họ x3 là :  0.5 k 0 6 Vậy tổng các nghiệm là 39 +43 +35 =117 Bài 6 2.0 (2p a b)2 c2 Theo BĐT CôSi ta có: (p-a)(p-b) 4 4 0.5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. (2p b c)2 a2 Tương tự: (p-b)(p-c) 4 4 2 2 (2p a c) b 1.0 (p-a)(p-c) 4 4 Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta được : abc 2 1 2 ( ) . [(p-a)(p-b)(p-c)] 4 4 abc ( p a)( p b)( p c) 8 (Đpcm) 0.5 Bài 7 2.0 Nhân và chia biểu thức lấy giới hạn với (1-x) ta được : 0.5 2 4 2n 1 L= lim[(1 x)(1 x)(1 x )(1 x ) (1 x )]. n (1 x) 1.0 2 2 4 2n 1 =lim[(1 x )(1 x )(1 x ) (1 x )]. = n (1 x) n [1 (x 2 ) 2 ] = lim n 1 x 2n 2 1 Vì x 1 nên lim(x ) =0. Vậy L= n 1 x 0.5 Bài 8 2.0 2 1-x Vì f(x)=2 -2x+1=-2x+1+2 x là hàm nghịch biến và f(1)=0 nên f(x)>f(1)=0 1.0 x 0. Vậy f(x) cùng dấu với (1-x). Vì g(x)=2x-1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0 x>0. Vậy g(x) cùng dấu với x. 0.5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. f (x) 1 x 0 0 0 x 1 Suy ra BPT g(x) x . 0.5 Vậy tập nghiệm của BPT là: (0;1] Bài 9 2.0 Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0). 0.5 Gọi M(x;y;z) là điểm thoã mãn AM=3BM AM2=9BM2 (x+5)2+y2+z2=9(x-5)2+9 y2+9z2 1.0 25 x2+y2+z2- x +25 =0 (*) Đây là phương trình mặt cầu. 2 Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phương trình (*). 0.5 Bài 10 2.0 Cố định n, với 0 k n , xét dãy số {uk} n n (2n k)! (2n k)! u . . Ta có k c2n c2n k n!(n k)!n!(n k)! 0.5 n n (2n k 1)! (2n k 1)! u . . k 1 c2n k 1 c2n k 1n!(n k 1)!n!(n k 1)! uk 1 (2n k 1)(n k) 1 uk (n k 1)(2n k) (2n+k+1)(n-k) (n+k+1)(2n-k) 1.0 2nk+n 0 đúng vì 0 k n . Vậy {uk} là dãy số giảm. cn .cn n 2 Suy ra với k 0 ta có uk=2n k 2n k (c2n) =u0 (đpcm) 0.5 Hết – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất