Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Hương Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Hương Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HƯƠNG SƠN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 24/04/2014 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm). 1) Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 2.(62 24) : 4 2014 .   1 1 7 1 b) 1 2 3 : 1 3 4 . 3 4 12 2 5 2 2) Tìm x, biết: x x x 6 3 Câu 2: (4,5 điểm). 1) Tìm x Z , biết: x x x ( x 1) 1 . 2) Tìm các chữ số x, y sao cho 2014xy  42 a 1 1 3) Tìm các số nguyên a, b biết rằng: 7 2 b 1 Câu 3: (4,0 điểm). 1) Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố. 2) Cho n 7a5 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b. a 4 6 3) Tìm phân số tối giản lớn nhất a,b N* sao cho khi chia mỗi phân số ; b 75 165 cho a ta được kết quả là số tự nhiên. b Câu 4: (5,0 điểm). 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP. c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN. 2) Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó. Câu 5: (2,0 điểm). 1 2 3 4 2014 1 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S . Chứng minh rằng: S . 4 42 43 44 42014 2 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng: n +S(n) = 2014, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n. Hết. Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:
2. Câu Nội dung cần đạt 1) a) (1,5đ) 2.(62 24) : 4 2014 2. (36 24) : 4 2014 2. 12 : 4 2014       2.3 2014 6 2014 2020 b) (1,5đ) 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 1 2 3 : 1 3 4 : : 1 1 3 4 12 2 3 4 12 2 12 12 (4,5đ) 5 2 5 2 x ( x) x x x x 6 3 6 3 5 2 2) (1,5đ) x 6 3 1 x 6 1) (1,5đ) x x x ( x 1) 1 x x x x 1 1 x x 2x 1 1 x x 2x 1 1 2x 2 x 1 2) (1,5đ) 2014xy 201400 xy 42.4795 10 xy 42 10 xy 42 2   Do 0 xy 100 nên xy 32;74 . Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4) (4,5 đ)   3) (1,5đ) a 1 1 2a 7 1 (2a 7)(b 1) 14. 7 2 b 1 14 b 1 Do a,b Z nên 2a – 7 Ư(14) =  1; 2; 7; 14. Vì 2a – 7 lẻ nên 2a – 7  7; 1;1;7 a 0;3;4;7. Từ đó tính được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1) 1) (1,0đ). Để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố thì một trong hai thừa số n + 3 hoặc n + 1 phải bằng 1. Mà n + 3 > n + 1 1 . Suy ra n + 1 = 1 n 0 . Khi đó n + 3 = 3 là số nguyên tố. Vậy n = 0 thì (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố 3 2) (1,5đ). Ta có: n = 7a5 8b4 9 7 a 5 8 b 4 9 (4,0 đ)   24 a b9 a b 3;12 (vì a + b 3. Do đó a + b = 12. Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3. 14 a 14b 3) (1,5đ). Ta có: : N 14 a và b 75 75 b 75a  
3. 16 a 16b Tương tự: : N 16 a và b 175 165 b 165a   Để a là số lớn nhất thì a = ƯCLN(14; 16) = 2 b Và b = BCNN(75; 165) = 825. a 2 Vậy b 825 P O M P N x 1) (1,5đ). a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N OM MN ON 3 MN 7 MN 7 3 4(cm) Vậy MN = 4(cm) b) (1,5đ). TH1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P OP = OM + MP OP = 3 + 2 = 5(cm). TH2: Nếu Nếu P nằm giữa O và M OM = OP + PM 3 = OP + 2 OP = 1(cm). c) (1,0 đ). M nằm giữa O và P OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm giữa O và N 4 suy ra OP + PN = ON 5 + PN = 7 PN = 2(cm) (5,0 đ) Do đó: MP = PN, mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN 2) (1,0 đ). Cách 1: Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm n(n 1) với nhau cho ta đoạn thẳng. 2 n(n 1) Chọn một đoạn thẳng trong đoạn thẳng này và từng n – 2 điểm còn lại, 2 n(n 1) ta được n – 2 tam giác. Có đoạn thẳng nên có 2 n(n 1) n(n 1)(n 2) .(n 2) tam giác. Tuy nhiên mỗi tam giác được tính ba 2 2 lần( Chẳng hạn: ABC, ACB, BCA ). n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) Do đó số tam giác được tạo thành là: :3 . 2 6 Áp dụng với n = 2014 thì số tam giác được tạo thành là: 2014.2013.2012 1359502364 6
4. Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có (n -1) cách chọn, đỉnh C có (n -2) cách chọn. Như vậy có: n(n – 1)(n – 2) tam giác. Nhưng mỗi tam giác được tính 6 lần ( ABC, ACB, BAC, BCA, CAB , CBA ). n(n 1)(n 2) Do đó số tam giác có được là: 6 2 3 4 2014 1) (1,5đ). Ta có 4S 1 . 4 42 43 42013 1 1 1 1 2014 Suy ra: 3S 4S S 1 4 42 43 42013 42014 1 1 1 1 1 1 1 1 3S 1 . Đặt M = 1 . 4 42 43 42013 4 42 43 42013 1 1 1 1 4M 4 1 4 42 43 42012 1 4 Ta có: 3M 4M M 4 4 M 42013 3 4 4 4 1 Do đó: 3S S 3 9 8 2 2) (1,5 đ). Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n 999 và S(n) 27 5 Suy ra: n + S(n) 999 + 27 = 1026 < 2014( không thỏa mãn ). (2,0 đ) Mặt khác n n S(n) 2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra S(n) 9.4 = 36. Do vậy n 2014 – 36 = 1978. Vì 1978 n 2014 nên n = 19ab hoặc n = 20cd * Nếu n = 19ab . Ta có: 19ab + (1 + 9 + a + b) = 2014 1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a2 và 11a = 104 – 2b 104 – 2.9 = 86 8 10 a , mà a2 nên a = 8 b 8 n 1988 (thỏa mãn). * Nếu n = 20cd . Ta có: 20cd + (2 + 0 + c + d) = 2014 2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c2 Và 11c 12, nên c = 0 hoặc c = 1. + Với c = 0 thì d = 6, ta có n = 2006 (thỏa mãn) + Với c = 1 thì 2d =1 ( không thỏa mãn). Vậy n 1988; 2006