Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Huyện Bình Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Huyện Bình Giang (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HSG TOÁN 6 HUYỆN BÌNH GIANG – HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Bài 1. 2 điểm. 1 1 1 1 1) Tính A 1.4 4.7 7.10 2014.2017 2) Cho số nguyên x sao cho x chia cho 7 dư 2. Chứng tỏ rằng 2x + 3  7. Bài 2. 2 điểm. 2 2 3 16 1) Tìm x, biết: 1 7 17 x 5 5 5 5 7 17 2) Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào trước số đó thì được số mới có 4 chữ số gấp 9 lần số ban đầu. Bài 3. 2 điểm. 1) Chứng minh rằng 20 + 21 + 22 + 23 + . + 25n-3 + 25n-2 + 25n-1 chia hết cho 31 với n là số nguyên dương bất kì. 2) Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố và là hai số lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng số tự nhiên lớn hơn 4 và nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Bài 4. 3 điểm. Cho tam giác ABC có A = 800. Điểm D nằm giữa B và C sao cho BAD = 200. Trên nửa mặt phẳng chứa B bờ AC, vẽ tia Ax sao cho CAx = 250, tia này cắt CB ở E. 1) Chứng tỏ rằng E nằm giữa D và C. 2) Tính EAD 1 3 3) Xác định vị trí của tia Ay nằm giữa hai tia AB và AC sao cho BAy CAy 4 8 Bài 5. 1 điểm. 1) Tìm số có ba chữ số abc , biết rằng ab,c 3.b,c 0,8 2) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn (2014a + 1)(2014a + 2) = 3b + 5
2. SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI Bài 1. 2 điểm. 1 1 1 1 1 1 1) Tính 3A 1 4 4 7 2014 2017 1 1 2016 672 3A A 1 2017 2017 2017 2) Cho số nguyên x sao cho x chia cho 7 dư 2. Chứng tỏ rằng 2x + 3  7. Vì x chia 7 dư 2 x = 7k + 2 (k Z) 2x + 3 = 2(7k + 2) + 3 = 14k + 7  7. Bài 2. 2 điểm. 2 2 3 16 1) Tìm x, biết: 1 7 17 x 5 5 5 5 7 17 1 1 2 3 7 17 16 1 x 5 1 1 5 5 7 17 8 2 16 x x = 4. 5 5 5 2) Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào trước số đó thì được số mới có 4 chữ số gấp 9 lần số ban đầu. Gọi số cần tìm là abc (a, b, c là chữ số, a 0). Theo bài ra ta có 1abc 9.abc 1000 + abc = 9. abc abc = 125. Bài 3. 2 điểm. 1) Chứng minh rằng 20 + 21 + 22 + 23 + . + 25n-3 + 25n-2 + 25n-1 chia hết cho 31 với n là số nguyên dương bất kì. Đặt A = 20 + 21 + 22 + 23 + . + 25n-3 + 25n-2 + 25n-1 A = (20 + 21 + 22 + 23 + 24) + . + (25n-4 + 25n-3 + 25n-2 + 25n-1) A = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + . + (25n-5 + 25n-4 + 25n-3 + 25n-2 + 25n-1) A = 31 + + 25n-4(20 + 21 + 22 + 23 + 24) 5n-4 5n-4 A = 31 + + 31.2 = 31.(1 + + 2 )  31. 2) Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố và là hai số lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng số tự nhiên lớn hơn 4 và nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
3. Gọi hai số nguyên tố sinh đôi đó có dạng 2m + 1 và 2m + 3 (m N, m > 1) số tự nhiên lớn hơn 4 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi đó là 2m + 2. Nếu m = 3k (k N*) thì 2m + 3 = 2.3k + 3  3 và 2m + 3 > 3 nên 2m + 3 là hợp số (không thỏa mãn đề bài). Nếu m = 3k + 1 (k N*) thì 2m + 1 = 2.3k + 3  3 và 2m + 1 > 3 nên 2m + 1 là hợp số (Không thỏa mãn đề bài). m = 3k + 2 (k N*). Khi đó ta có: 2m + 2 = 2.(3k + 2) + 2 = 6k + 6  6. Bài 4. 3 điểm. Cho tam giác ABC có A = 800. Điểm D nằm giữa B và C sao cho BAD = 200. Trên nửa mặt phẳng chứa B bờ AC, vẽ tia Ax sao cho CAx = 250, tia này cắt CB ở E. 1) Chứng tỏ rằng E nằm giữa D và C. 2) Tính EAD 1 3 3) Xác định vị trí của tia Ay nằm giữa hai tia AB và AC sao cho BAy CAy 4 8 A E B C D x y 1) Vì D nằm giữa B và C nên tia AD nằm giữa hai tia AB và AC góc BAD + góc DAC = góc BAC góc DAC = 600. Trên cùng nửa mặt phẳng chứa B bờ AC có góc CAE = 250; góc CAD = 600 góc CAE < góc CAD tia AE nằm giữa hai tia AC và AD E nằm giữa D và C. 2) Vì E nằm giữa D và C góc CAE + góc EAD = góc CAD góc EAD = 350. 1 3 3) Vì BAy CAy 2. góc BAy = 3. góc CAy 4 8 Vì tia Ay nằm giữa hai tia AB và AC góc BAy + góc CAy = góc BAC = 800 2. góc BAy + 2. góc CAy = 1600 3. góc CAy + 2. góc CAy = 1600 góc CAy = 320 góc BAy = 480.
4. Bài 5. 1 điểm. 1) Tìm số có ba chữ số abc , biết rằng ab,c 3.b,c 0,8 ab,c 3.b,c 0,8 abc 3.bc 8 100a +bc = 3bc + 8 100a = 2 bc + 8 50a = bc + 4. * Nếu a 3 thì bc +4 = 50a 150 bc 146 loại. * Nếu a = 2 thì bc + 4 = 100 bc = 96. * Nếu a = 1 thì bc + 4 = 50 bc = 46 Vậy số cần tìm là 296 hoặc 146. 2) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn (2014a + 1)(2014a + 2) = 3b + 5 a a Với a, b N, ta có 2014 chia 3 dư 1 2014 chia 3 dư 1 2014 + 2  3 (2014a + 1)(2014a + 2) 3. b  b * Nếu b 0 thì 3  3; 5 không chia hết cho 3 3 + 5 không chia hết cho 3 mà (2014a + 1)(2014a + 2) 3 không thỏa mãn. a  a * Nếu b = 0 ta có (2014 + 1)(2014 + 2) = 30 + 5 = 6 a a (2014 + 1)(2014 + 2) = 2.3 a a Mà (2014 + 1)(2014 + 2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên 2014a + 1 = 2 và 2014a + 2 = 3 a = 0 Vậy a = b = 0.