Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2021 -2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2021 -2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. Toán Thầy Tuấn SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2021 – 2022 Thành phố Hồ Chí Minh Môn: Toán 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày 30/3/2022 (Thời gian: 120 phút – không kể giao đề) Bài 1.(3đ) Cho các số a, b thỏa mãn các điều kiện: 2a2 7ab 3b2 0,b 2a,b 2a . 8a 3b 2a 5b Tính giá trị của biểu thức M . 2a b 2a b Bài 2.(3đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 2022. a2 2022 b2 2022 c2 2022 Chứng minh: 2 . ab bc ca 4x 5 Bài 3.(3đ) Giải phương trình sau: x . x 1 1 x Bài 4.(5đ) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Gọi C là điểm di động trên (O) (C khác A và B), vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC, AD lần lượt tại E và F. Gọi H là trung điềm của đoạn thẳng BF; K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH. a) Chứng minh năm điểm E, C, D, F, K cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thằng cố định khi C di động trên đường tròn (O). Bài 5.(3đ) Qua điềm M thuộc cạnh BC của ABC ta kẻ các đương thẳng song song với các cạnh AB, AC; chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành đó có diện tích lớn nhất. Bài 6.(3đ) Tìm tất cả các cập số tự nhiên (m;n) với m n sao cho A (m n)3 là ước của B 2n 3m2 n2 8.  HẾT  Sir 1
2. Toán Thầy Tuấn LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1.(3đ) Cho các số a, b thỏa mãn các điều kiện: 2a2 7ab 3b2 0,b 2a,b 2a . 8a 3b 2a 5b Tính giá trị của biểu thức M . 2a b 2a b Bài 2.(3đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 2022. a2 2022 b2 2022 c2 2022 Chứng minh: 2 . ab bc ca 4x 5 Bài 3.(3đ) Giải phương trình sau: x . x 1 1 x Giải Sir 2
3. Toán Thầy Tuấn Bài 4.(5đ) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Gọi C là điểm di động trên (O) (C khác A và B), vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC, AD lần lượt tại E và F. Gọi H là trung điềm của đoạn thẳng BF; K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH. a) Chứng minh năm điểm E, C, D, F, K cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thằng cố định khi C di động trên đường tròn (O). Giải Sir 3
4. Toán Thầy Tuấn Bài 5.(3đ) Qua điềm M thuộc cạnh BC của ABC ta kẻ các đương thẳng song song với các cạnh AB, AC; chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành đó có diện tích lớn nhất. Giải Bài 6.(3đ) Tìm tất cả các cập số tự nhiên (m;n) với m n sao cho A (m n)3 là ước của B 2n 3m2 n2 8. Giải  HẾT  Sir 4