Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)3x2 7x 2 b) a x2 1 x a2 1 Câu 2. (5,0 điểm) 2 x 4x2 2 x x2 3x Cho biểu thức : A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 c) Tính giá trị của A trong trường hợp x 7 4 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 x y z x2 y2 z2 1 1 a b c 2 2 2 b) Cho a b c và 0.Chứng minh rằng: a b c x y z Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh rằng : CH.CD CB.CK 2 c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC ĐÁP ÁN Câu 1. a)3x2 7x 2 3x2 6x x 2 3x x 2 x 2 3x 1 x 2 b)a x2 1 x a2 1 ax2 a a2 x x ax x a x a x a ax 1 Câu 2. ĐKXĐ: x 0; 2;3 2 2 2 x 4x2 2 x x2 3x 2 x 4x2 2 x x2 2 x a)A 2 : 2 3 . 2 x x 4 2 x 2x x 2 x 2 x x x 3 4x2 8x x 2 x 4x x 2 x 2 x 4x2 . 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 x 3 4x2 b) A 0 0 x 3 0 x 3(tmdk) x 3 Vậy x 3thì A 0 x 7 4 x 11(tm) 121 c) x 7 4 A khi x 11 x 7 4 x 3(ktm) 2
2. Câu 3. 2 2 2 a) 9x y 2z 18x 4z 6y 20 0 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0(*) 2 2 2 Do x 1 0; y 3 0; z 1 0 Nên : x 1; y 3; z 1 a b c ayz bxz cxy 0 0 b) Từ x y z xyz ayz bxz cxy 0 2 x y z x y z Ta có: 1 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 Câu 4. H B C F O E A D K a) Ta có BE  AC(gt);DF  AC(gt) BE / /DF Chứng minh BEO DFO(g.c.g) BE DF Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành · · · · b) Ta có : ABC ADC HBC KDC CH CK Chứng minh CBH : CDK(g.g) CH.CD CK.CB CB CD
3. AF AK AFD : AKC g.g AD.AK AF.AC c) Chứng minh AD AC CF AH Chứng minh CFD : AHC(g.g) CD AC CF AH Mà CD AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra AB.AH AB.AH CF.AC AF.AC CF AF .AC AC 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1. (2,0 điểm) x3 y3 z3 3xyz Rút gọn biểu thức B x y 2 y z 2 x z 2 Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 9 cho x2 8x 12. 3 2 2 b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x 2x 7x 7 chia hết cho x 3 Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình: 3 3 1 3 3 x 3 x 4 1 x 0 a) 4 4 3 x 3 x x x 2 b) x 1 x 1 Câu 4. (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: A 3x 1 x 2 4x 3 a) 14x2 8x 9 B 2 b) 3x 6x 9 Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. M,Dtương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng a) MHD : CMD b) E là trực tâm ABN Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho B· NM 900.Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng FB  AC. ĐÁP ÁN Câu 1. Ta có:
4. x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3 x y z x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz *) x y 2 y z 2 x z 2 x2 2xy y2 y2 2yz z2 x2 2xz z2 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 2 2 x y z x y z xy yz xz x y z Vậy B 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 Câu 2. f x x 1 x 3 x 5 x 7 9 a) Đặt Ta có: A x 1 x 7 x 3 x 5 9 x2 8x 7 x2 8x 15 9 2 2 x 8x 7 x 8x 12 3 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 7 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 12 9 15 x2 8x 12 x2 8x 10 6 Vậy số dư trong phép chia f x cho x2 8x 12 là 6 3 2 2 b) Thực hiện phép chia đa thức B x 2x 7x 7 cho C x 3, ta được: Đa thức thương: x 2;đa thức dư: 4x 1 Suy ra : x3 2x2 7x 7 x2 3 x 2 4x 1 Do đó BM x2 3 4x 1 M 3x2 3 (1) Vì 4x 1 vs 4x 1 nên: 1 4x 1 4x 1 Mx2 3 16x2 1 M x2 3 16 x2 3 49M(x2 3) 49M(x2 3) Vì x2 3 3nên xảy ra một tong hai trường hợp sau: x2 3 49, không có giá trị nào thỏa mãn 2 2 x 2(tm) x 3 7 x 4 x 2(ktm) Vậy x 2 Câu 3.
5. 1 3 a x 3;b x 4 a b x 1 1 x a b a) Đặt 4 4 3 Ta có (pt đề) a3 b3 a b 0 a3 b3 a3 b3 3ab a b 0 3ab a b 0 1 x 3 0 4 x 12 a 0 3 16 b 0 x 4 0 x 4 3 a b 0 x 1 0 x 1 16  Vậy S 12; ;1 3  b) ĐKXĐ: x 1 3 x 3 x 3x x2 x2 x 3 x x x 2 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3x x2 x2 3 2 x 1 2 3x3 9x x4 3x2 2x2 4x 2 x4 3x3 5x2 5x 2 0 x 1 2 . x2 x 2 0 x 1 0 x 1(tm) 2 x x 2 0 VN Vậy S 1 Câu 4. a) Áp dụng tính chất a a,dấu " "xảy ra a 0,ta có: A 3x 1 x 2 4x 3 3x 1 x 2 4x 3 6 A 6 1 1 Dấu “=” xảy ra 3x 1 0 và x 2 0 x và x 2 x 3 3 1 Vậy min A 6 x 3 2 14x2 8x 9 2 B 2 b) Ta có 3 3x 6x 9 3 2 2 2 14x 8x 9 2 x 2x 3 12x2 12x 3 2x 1 3 x2 2x 3 3 x2 2x 3 x 1 2 2 2 2 Với mọi x, ta có: 3 2x 1 0, x 1 2 2 0
6. 2 2x 1 2 2 1 0 B 0 B x x 1 2 2 3 3 2 Câu 5. A D H E C N B M a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của ABC Mà ABC cân tại A (gt) nên AM là đường cao của ABC Xét MHD và CMD có: M· HD C· MD 900;M· DH C· DM MHD : CMD g.g b) MHD : CMD (câu a) HD HM HD HM (Vi MD AD,CM BM ) MD CM AD BM Mặt khác ta có: ·ADH 900 D· MH B· MH Suy ra HDA : HMB(c.g.c) Do đó: ·AHD B· HM ·AHB D· HM 900 BH  AN Kết hợp với AM  BC E là trực tâm ABN. Câu 6.
7. B E C I M F N A D Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E Ta có: F đối xứng với A qua N (gt) N là trung điểm của AF Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình ABF 1 NI / / AB, NI AB 2 Mặt khác AB / /CD; AB CD (ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của CD) CD AB  BC;CM suy ra NI  BC;NI / /CM và NI CM 2 Tứ giác CINM là hình bình hành CI / /MN Mà MN  BN B· NM 900 CK  BN tại K Do đó I là trực tâm BCN BF  AC. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 5x 5y b) 2x2 5x 7 4x2 16 A Bài 2. Tìm đa thức A, biết rằng x2 2 x 5x 5 Bài 3. Cho phân thức 2x2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 x 2 1 2 Bài 4. a) Giải phương trình : x 2 x x x 2 b) Giải bất phương trình : x 3 x 3 x 2 2 3 Bài 5. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và
8. còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày Bài 6. Cho ABC vuông tại A, có AB 15 cm, AC 20cm.Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM a) Chứng minh ABC : HBA b) Tính BC; AH; BH; CH c) Tính diện tích AHM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CẤP HUYỆN Bài 1. a) x2 y2 5x 5y x2 y2 5 x y x y x y 5 x y x y x y 5 b) 2x2 5x 7 2x2 2x 7x 7 2x2 2x 7x 7 2x x 1 7 x 1 x 1 2x 7 Bài 2. A 2 x 4x 16 x 2x 4 2x 4 4x(x 2)(x 2) 4x 8 x2 2x x(x 2) x(x 2) Bài 3. a) 2x2 2x 2x(x 1) 0 2x 0 va x 1 0 x 0 và x 1 b) Rút gọn 5x 5 5(x 1) 5 2x2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (t / m) 2x 2 5 x 2 Bài 4. a) Điều kiện xác định x 0; x 2 x(x 2) (x 2) 2 x2 2x x 2 2 x(x 2) x(x 2) x 0(loai)vs x 1 Vậy S 1 2 b) x 3 x 3 x 2 3 x2 9 x2 4x 7 x2 x2 4x 7 9 4x 16 x 4 Vậy nghiệm của phương trình là x 4 Bài 5. - Gọi số ngày tổ dự đinh sản xuất là : x ngày ( x ¥ *, x 1) - Vậy số ngày tổ đã thực hiện x 1 (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực hiện là : 57.(x 1) (sản phẩm) Theo đề bài ta có phương trình : 57(x 1) 50x 13 57x 57 50x 13 7x 70 x 10 (thỏa mãn) Vậy số ngày dự định sản xuất là 10 ngày Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là : 50.10 500 (sản phẩm) Bài 6
9. A C B H M µ µ 0 a) Xét ABC và HBA có: A H 90 ; Bµ chung ABC : HBA(g.g) b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có BC AB2 AC 2 152 202 625 25(cm) AB AC BC 15 20 25 Vì ABC : HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.15 15.15 AH 12(cm) ; BH 9(cm); HC BC BH 25 9 16(cm) 25 25 BC 25 c) HM BM BH BH 9 3,5(cm) 2 2 1 1 S AH.HM .12.3,5 21(cm2 ) AHM 2 2 ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Bài 1. (2 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh : 2 A n3 n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Bài 2. (2 điểm) 1 x3 1 x2 Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 Bài 3. (1 điểm) Cho ba số a,b,cthỏa mãn abc 2004 2004a b c Tính M ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 Bài 4. (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh APM là tam giác vuông
10. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân Bài 5. (1 điểm) Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho x2 y2 2y 13 ĐÁP ÁN Bài 1. 2 2 a)x3 x2 7 36x x x3 7x 36 x x3 7x 6 x3 7x 6 x x3 x 6x 6 x3 x 6x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 b) Theo phần a ta có: 2 A n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7 Mà 2,3,5,7 1nên AM 2.3.5.7 AM210 Bài 2. a) Với x 1 thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 1 x 1 x 2 2 x 1 A 10 b) Tại 3 27 c) Với x 1thì A 0 1 x2 1 x 0 1 x 0 x 1
11. Bài 3 Thay 2004 abc vào M ta có: a2bc b c M ab a2bc abc bc b abc ac c 1 a2bc b c ab(1 ac c) b c 1 ac ac c 1 ac 1 c ac c 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 1 ac c Bài 4. A M B 1 1 P I N H 1 D C ADM BAN(cgc) µA Dµ a) Chứng minh 1 1 µ ¶ 0 Mà D1 M1 90 ( ADM vuông tại A) µ ¶ 0 · 0 Do đó: A1 M1 90 APM 90 .Hay APM vuông tại P 4 5 2 5 4 2 AP (cm), AM cm,SAPM (cm ) b) Tính được 5 5 5 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành AN / /CI mà AN  DM CI  DM Hay CH là đường cao trong CPD(1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ADP chứng minh được H là trung điểm DP suy ra CH là trung tuyến trong CPD(2) Từ (1) và (2) suy ra CPD cân tại C Bài 5. Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y 1 x y 1và x y 1; x y 1là các ước dương của 12 từ đó có các
12. trường hợp x y 1 12 6 4 x y 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 2 2 Mà x, y nguyên dương nên x; y 4;1 ĐỀ BÀI Câu 1. ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên n để: 3 2 a) A n n n 1 là số nguyên tố n4 3n3 2n2 6n 2 b) B có giá trị là một số nguyên n2 2 5 c) D n n 2 là số chính phương. Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng: a b c 1 a) ab a 1 bc b 1 ac c 1 biết abc 1 2 b) Với a b c 0 thì a4 b4 c4 2 ab bc ca a2 b2 c2 c b a 2 2 2 c) b c a b a c Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 6 a) 86 84 82 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 b) 2 2 c) x y 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Câu 4. (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DAtại E, cắt BC tại F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AODbằng diện tích tam giác BOC 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF ĐÁP ÁN
13. Câu 1. A n3 n2 n 1 n2 1 n 1 a) Để A là nguyên tố thì n 1 1 n 2 . Khi đó A 5 2 2 B n 3n 2 b) n 2 B có giá trị nguyên 2Mn2 2 n2 2 1 n2 1(ktm) n2 2 là ước tự nhiên của 2 2 n 2 2 n 0 (tm) Vậy với n 0thì B có giá trị nguyên. c) D n5 n 2 n n4 1 2 n n 1 n 1 n2 1 2 2 n n 1 n 1 n 4 5 2 n n 1 n 1 n 2 n 2 5n n 1 n 1 2 Mà n n 1 n 1 n 2 n 2 M5(tích 5 số tự nhiên liên tiếp) Và 5n n 1 n 1 M5. Vậy D chia 5 dư 2 Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương. Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương. Câu 2. a) a b c ac abc c ab a 1 bc b 1 ac c 1 abc ac c abc2 abc ac ac c 1 ac abc c abc ac 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 b) a b c 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc (1) a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 4 a2b2 a2c2 b2c2 8abc a b c (Vì a b c 0 ) 2 ab ac bc 2 a2b2 a2c2 b2c2 (2) 2 Từ (1) và (2) a4 b4 c4 2 ab ac bc 2 2 c) Áp dụng bất đẳng thức x y 2xy . Dấu bằng xảy ra khi x y a2 b2 a b a 2. . 2. b2 c2 b c c a2 c2 a c c 2. . 2. b2 a2 b a b c2 b2 c b b 2. . 2. a2 c2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b2 c2 a c b a2 b2 c2 a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c b a b c a c b a
14. Dấu " "xảy ra khi a b c Câu 3. a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 x 300 0 x 300 86 84 82 Vậy S 300 b) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 1 Đặt 64x2 16x k 2 Ta có: k 0,5 k 0,5 72 k 2 72,25 k 8,5 1 x 2 2 Với k 8,5ta có phương trình : 64x 16x 8 0 2x 1 4x 1 0 1 x 4 Với k 8,5 ta có phương trình: 2 64x2 16x 9 0 8x 1 8 0(vô nghiệm) 1 1 Vậy S ;  2 4 x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 c) x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 x 3 x y 3 7 và x y 1 1 y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x; y 3;1 Câu 4.
15. A B E K F I O M N D C a) Vì AB / /CD SDAB SCBA (cùng đáy và cùng đường cao) SDAB SAOB SCBA SAOB hay SAOD SBOC EO AO EO / /DC . b) Vì DC AC Mặt khác AB / /DC AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM, dựng EN / /MK N DF Kẻ đường thẳng KN là đường phải dựng. Chứng minh: SEDM SEFM (1) Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN 2 Từ (1) và (2) suy ra SDEKN SKFN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN 8 Bài 1 (3 điểm) Chứng minh rằng: 5 11 a) 8 2 chia hết cho 17 19 19 b) 19 69 chia hết cho 44 Bài 2. (3 điểm) x2 x 6 3 2 a) Rút gọn biểu thức : x 4x 18x 9
16. 1 1 1 yz xz xy 0 x, y, z 0 . 2 2 2 b) Cho x y z Tính x y z Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC.Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,CA sao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB CK Bài 4. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M 4x2 4x 5 ĐÁP ÁN Bài 1. 5 85 211 23 211 215 211 211. 24 1 211.17 a) Ta có: Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17 b) Áp dụng hằng đẳng thức an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1 với mọi n lẻ Ta có: 1919 6919 19 69 1918 1917.69 6918 88. 1918 1917.69 6918 chia hết cho 44 Bài 2. a) Ta có: *)x2 x 6 x2 3x 2x 6 x x 3 2 x 3 x 2 x 3 *)x3 4x2 18x 9 x3 3x2 7x2 21x 3x 9 x2 x 3 7x x 3 3 x 3 x 3 x2 7x 3 2 x x 6 x 3 x 2 x 2 2 3 2 2 x 1; x 7x 3 0 x 4x 18x 9 x 3 x2 7x 3 x 7x 3
17. 1 1 1 1 1 1 0 x y z z x y 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3. 2 . 3. . 2 3 z x y z x x y x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . . 3. x3 y3 z3 x y x y x3 y3 z3 xyz b) Vì 1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy Do đó: xyz 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 x y z x y z x y z Bài 3. A 2 K 1 1 C B 1 O E M D Vẽ hình bình hành ABMC ta có: AB CM Để chứng minh AB KC ta cần chứng minh KC CM. µ µ Thật vậy, xét tam giác BCE có BC CE gt CBE cân tại C B1 E Vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE 1 1 Cµ Bµ Eµ Bµ Cµ mà AC / /BM (ta vẽ) Cµ C· BM Bµ C· BM nên BO là tia 1 1 1 2 1 1 1 2 phân giác của C· BM.Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của B· CM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O MO là tia phân giác của C· MB Mà B· AC,B· MC là hai góc đối của hình bình hành BMCA MO / / với tia phân giác của góc A theo giả thiết tia phân giác của góc A còn song song với OK K,O,M thẳng hàng 1 Ta lại có: M¶ B· MC(cmt); µA M¶ M¶ µA mà µA K¶ (2 góc đồng vị) 1 2 1 2 2 1 ¶ ¶ K1 M1 CKM cân tại C CK CM. Kết hợp AB CM AB CK dfcm Bài 4. 2 Ta có M 4x2 4x 5 4x2 4x 1 4 2x 1 4
18. 2 2 Vì 2x 1 0 2x 1 4 4 M 4 1 Vậy Min 4 x M 2 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút x 3 3x x 4 Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức A x 1 x2 x 1 x3 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của Aluôn dương với mọi x 1 Câu 2. (3 điểm) a) Chứng minh rằng: Với mọi x ¤ thì giá trị của đa thức : M x 2 x 4 x 6 x 8 16 là bình phương của một số hữu tỉ x 1 x x 1 b) Giải phương trình : Câu 3. (1,5 điểm) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) 0; P(3) 0;P(5) 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức Q P 2 7P 6 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng a) DE song song với AC b) DE DF; AE AF Câu 5. (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2
19. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 A x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 3 2 x x 1 x x 1 2 4 b) Với mọi thì A 2 2 x x 1 1 3 x 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 Câu 2. M x2 10x 16 x2 10x 24 16 a) Ta có: Đặt a x2 10x 16 2 Suy ra M a a 8 16 a2 8a 16 a 4 2 Vậy M x2 10x 20 (dpcm) b / x 1 x x 1 x x 1 x 1 0 x . x 1 x 1 0 x 1. x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 Câu 3. Ta có: P(x)M(x 1), x 3 , x 5 Nên P x có dạng P x x 1 x 3 x 5 x a Khi đó: P( 2) 7.P(6) 3 . 5 . 7 . 2 a 7.5.3.1. 6 a 105. 2 a 105. 6 a 105. 2 a 6 a 840 Câu 4.
20. A M N F E 2 1 C B Q D P BE BQ BQ AB BD a) Chứng minh được DE / /NC hay DE / /AC EN QP MQ AC DC DE BD BD DE / / AC DE .CN (1) b) Do CN BC BC CD Tương tự: DF .BM (2) BC DE BD CN Từ (1) và (2) suy ra . DF CD BM BD AB CN AC DE Mà và nên 1 DE DF CD AC BM AB DF µ · · ¶ Ta có: D1 DAC DAB D2 ADE ADF AE AF
21. Câu 5. Gọi vế trái là A,ta có: 3 a 1 b 1 c 1 A 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 1 a c 1 1 . . 2 a b b c 2 b c c a a b c a a c a b . . 2 a b b c 2 b c . c a a b a c 1 1 . 2 b c a b c a a b a c b c 0(Do a b c 0) 2 b c a b c a 3 Vậy A 2 TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 b) Đa thức f x 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2;x 1.Tính 2a 3b Bài 2. (2 điểm) a 1 2 3 n. a a a) Cho n Chứng minh rằng n n 1 là một số chính phương 10n2 9n 4 b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số tối giản 20n2 20n 9 Bài 3. (3 điểm) xyz a) Cho x3 y3 z3 3xyz.Hãy rút gọn phân thức : P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 M 4 . 4 . 4 4 b) Tìm tích: 3 4 7 4 11 4 19 4 Bài 4. (4 điểm) a) Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy 0, P 2 2 2 b) Cho x y z tính giá trị của biểu thức x y z
22. x2 x x 1 1 2 x2 Bài 5. (3 điểm) Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 6. (3 điểm). Cho hình vuông ABCD, gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB,BC. a) Chứng minh rằng: CE  DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF.Chứng minh rằng: AM AD Bài 7. (3 điểm) Cho tam giác ABC.Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC BH;EC  BH b) Gọi M,N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH.Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ? ĐÁP ÁN Bài 1. x 1 x 3 x2 2x 2 a) b) Đa thức f (x) 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2;x 1nên: f 2 0 32 2a b 0(1) f ( 1) 0 4 a b 0 (2) Từ 1 và 2 ta tìm được a 12;b 8 Vậy 2a 3b 0 Bài 2. a 1 2 3 n n 1 a) Ta có: n 1 n n 1 a a 2 1 2 3 n n 1 2. n 1 n2 2n 1 n n 1 2 2 n 1 là một số chính phương. 2 2 b) Gọi d là ƯCLN của 10n 9n 4và 20n 20n 9 10n2 9n 4Md 20n2 18n 8Md 2n 1Md d là số tự nhiên lẻ 2 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md Mặt khác : 2n 1Md 4n2 4n 1Md 20n2 20n 5Md 4Md , mà d lẻ nên d 1 Vậy phân số trên tối giản Bài 3. 3 3 3 a) Từ x y z 3xyz chỉ ra được x y z 0 hoặc x y z TH1: x y z 0 x y z; x z y; y z x P 1 1 TH 2: x y z P 8 n4 4 n 1 2 1 n 1 2 1 b) Nhận xét được: . Do đó: 2 2 2 2 2 1. 2 1 4 1 . 6 1 16 1 . 18 1 1 1 M . 22 1 . 42 1 62 1 . 82 1 182 1 . 202 1 202 1 401 Bài 4.
23. a) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z 1 2x 1 2y 1 1 1 Tương tự: ; . Khi đó: 2 1 a x y z 1 b x y z 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3 0 3 3 3 b) Từ x y z x y z xyz Khi đó: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz Bài 5. a) ĐKXĐ: x 0;x 1;x 1 x2 Rút gọn P ta có: P x 1 2 1 3 2 2 2 x x x x x 1 2 4 b) P 1 1 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy với x 1và x 0;x 1thì P 1 x2 x2 1 1 1 1 P x 1 x 1 2 c) Ta có: x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi x 1;x 1 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 2. Dấu " "xảy ra khi và x 1 chỉ khi x 2.Vậy GTNN của P bằng 4 x 2
24. Bài 6. A E B M F 1 1 N 2 D K C CBE DFC c.g.c Cµ Dµ a) Chứng minh được 1 1 µ ¶ 0 µ ¶ 0 Lại có: C1 C2 90 D1 C2 90 CE  DF b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác AECK là hình bình hành suy ra AK / /CE Gọi N là giao điểm của AK và DF. DCM có DK KC và KN / /CM nên N là trung điểm của DM. Vì CM  DM ( câu a), KN / /CM KN  DM Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A. AM AD Bài 7. H E N F A M D C B I EAC BAH c.g.c EC BH, ·AEC ·ABH a) Chứng minh được: Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH
25. Xét AEK và OBK có: ·AEK O· BK; ·AKE O· KB E· AK B· OK B· OK 900.Vậy EC  BH 1 1 MI / /EC;MI EC;IN / /BH;IN BH b) Ta có: 2 2 Mà EC  BH và EC BH nên MI IN và MI  IN Vậy tam giác MIN vuông cân tại I ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) Câu 1. (3 điểm) a) Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a,b,clà 3 cạnh của một tam giác thì A 0 a5 aM30 a b) Chứng minh rằng ¢ Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 Câu 3. (1,5 điểm) Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt hai cạnh bên AD,BC lần lượt tại E và F. Chứng 1 1 2 minh rằng . AB CD EF Câu 5. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB,BC sao cho AN CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM.Chứng minh rằng KD là tia phân giác của ·AKC ĐÁP ÁN Câu 1. a) A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4
26. 2 2ab 2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 a b 2 c2 c2 a b 2 a b c a b c c a b c a b Do a,b,clà 3 cạnh của một tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0 A 0 a5 a a a4 1 a a2 1 a2 1 a a 1 a 1 a 4 2 5 a a 1 a 1 a 2 a 2 5a a 1 a 1 b) Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và 6,5 1 Suy ra a a 1 a 1 a 2 a 2 M30và 5a a 1 a 1 M30. Vậy a5 aM30 Câu 2. x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 2 x y 1 x 2 x 1 x 2 2x 4 (1) Do x y 1 2 x 2 x 1 x 2 0 (x, y) 2x 4 0 2 x 2 0 x 2 2 2 Với x 2thì x y 1 x 2 x y 1 x 2; x 1 x 2 x2 3x 2 Khi đó từ phương trình (1) x y 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x y 1 2 x 2 2 x 1 1 x 2 2 2 2 x y 1 x 2 0 x 2 0 và x y 1 0 x 2; y 3(tm) Vậy tập nghiệm của phương trình là : x; y 2;3 Câu 3. Giả sử a b 2 a b 3 23 a3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a3 b3 2) 3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a3 b3 a3 b3 2 ab a b a b a2 ab b2 ab a2 ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0(Vo ly') Vậy a b 2 Câu 4.
27. A B E O F D C OE OD Xét ABD có OE / / AB (Hệ quả định lý Talet) (1) AB DB OF OB Xét ABC có OF / /DC (hệ quả định lý Talet ) (2) CD BD OF OC Xét ABC có OF / / AB (hệ quả định lý Ta let ) (3) AB AC OE AO Xét ABD có OE / /DC (Hệ quả định lý Ta let ) (4) DC AC Từ (1), (2), (3), (4) suy ra OE OF OF OE OD OB OC AO AB CD AB DC DB BD AC AC OE OF OF OE OD OB OC AO AB AB CD DC DB BD AC AC EF EF BD AC EF EF 1 1 2 2 AB DC BD AC AB DC AB CD EF Câu 5. A M B I K J N D C Kẻ DI,DJ lần lượt vuông góc với AK,CK 1 1 Ta có: S AN.DI S (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1) AND 2 2 ABCD
28. 1 1 S CM.DJ S (Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2) CDM 2 2 ABCD 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : AN.DI CM.DJ DI DJ (Vì AN CM ) 2 2 DIK DJK (cạnh huyền-cạnh góc vuông) I·KD J·KD KDlà tia phân giác ·AKC