Đề thi học sinh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2006-2007 - Trường THCS Nam Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2006-2007 - Trường THCS Nam Giang (Có đáp án)

1. Phòng giáo dục Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thọ xuân THCS Năm học: 2006 - 2007 Trường THCS Nam Giang Môn thi: toán (Thời gian làm bài 150 phút – không kể thời gian giao đề) đề bài CâuI- (4đ) : Tính giá trị của biểu thức : 1, 5 3 29 12 5 2, 2 3 + 14 5 3 Câu II- (5đ) : Giải các phương trình sau : x 1 2 1, + = x 1 x 1 x 2 1 2, x 2 2x 1 + x 2 4x 4 = 3 3, x4 – 3x3 + 4x2 –3x +1 = 0 Câu III- (3đ) : 1, Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng : 1 1 1 32 +1 +2 + 8 a 2 b 2 c 2 abc 2, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : 1 n 1 - n > 2 n 1 Câu III – (3đ) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : x 2 2x 1 a, y = 2x 2 4x 9 1 b, y =x 3 - 4 2 Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE
2. b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH . d, Tính diện tích tứ giác DENM &*&
3. Đáp án và biểu chấm môn: toán 9 Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a,(2đ) 5 3 29 12 5 = 5 3 (2 5 3) 2 (0,5 đ) =5 3 2 5 3 (0,5đ) = 5 6 2 5 (0,25đ) = 5 ( 5 1) 2 (0,5đ) =5 5 1 (0,25đ) = 1 b. (2đ) 2( 2 3 14 5 3 2 3 + 14 5 3 = (0,5đ) 2 4 2 3 28 10 3 = (0,25đ) 2 ( 3 1) 2 (5 3) 2 = (0,5đ) 2 3 1 5 3 = (0,5đ) 2 6 = 3 2 (0,25đ) 2 Câu II: (5điểm) Giải phương trình sau. x 1 2 a. (1,5đ) x 1 x 1 x 2 1 - Tìm được ĐKXĐ: x ± 1 (0,5đ) - Giải và tìm nghiệm x = 1  ĐKXĐ (1đ) x = - 3 ĐKXĐ b. x 2 2x 1 x 2 4x 4 3 . (1,5đ) Trang 1
4. - Biến đổi đưa phương trình về dạng. | x – 1| + | x – 2 | = 3 (0,5đ) - Xét đúng các trường hợp của phương trình (0,5đ) - Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3 (0,5đ) c. (2đ) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 Lý luận x = 0 không phải là nghiệm nếu phương trình có nghiệm thì x 0 chia cả 2 vế cho x2 ta được: 3 1 x2 – 3x + 4 - + = 0 (0,5đ) x x 2 - Đưa phương trình về dạng: 1 1 ( x2 + ) – 3 (x + ) + 4 = 0 (0,25đ) x 2 x 1 - Đặt được ẩn phụ và đưa phương trình về dạng (Đặt y = x + ) x y2 – 3y + 2 = 0 (0,5đ) - Giải tìm được nghiệm y = 1; y = 2 (0,25đ) - Tìm được ẩn x từ ẩn phụ y đúng trong các trường hợp (0,25đ) Nghiệm của phương trình là x = 1 (0,25đ) Câu III: (3điểm) a.(1,5đ) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 32 ( + 1 ) ( + 2 ) ( + 8 ) a2 b 2 c2 abc - áp dụng được bất đẳng thức Cô Si cho các số dương (1đ) 1 1 2 + 1 2 = a 2 a 2 a 1 2 2 2 + 2 2 b 2 b 2 b 1 8 4 2 8 2 c 2 c 2 c 1 1 1 32 ( + 1 ) ( + 2 ) ( + 8 ) (0,25đ) a 2 b 2 c2 abc 1 1 Dấu “=” xảy ra khi a = 1; b = ; c = (0,25đ) 2 2 2 Trang 2
5. b.(1,5đ) Chứng minh rằng với mọi n N ta có 1 n 1 n 2 n 1 ( n 1 n)( n 1 n) - Biến đổi n 1 n n 1 n 1 = (0,25đ) n 1 n 1 1 - So sánh được: > (0,5đ) n 1 n 2 n 1 1 - Từ đó suy ra: n 1 n 2 n 1 Câu IV:(3điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất các hàm số: x 2 2x 1 a. (2đ) y = 2x 2 4x 9 1 11 (2x 2 4x 9) 2 2 = (0,5đ) 2x 2 4x 9 1 11 = (0,25đ) 2 4x 2 8x 18 1 11 = (0,25đ) 2 4(x 1) 2 14 11 - Lý luận được y min khi max (0,25đ) 4(x 1) 2 14 11 11 - Tìm max = khi x = -1 (0,25đ) 4(x 1) 2 14 14 1 11 2 - được y min = khi x = -1 (0,5đ) 2 14 7 1 b.(1đ) y = | x + 3 | - 4 2 1 - Lý luận được | x + 3 | 0  x (0,25đ) 2 Trang 3
6. 1 | x + 3 | - 4 - 4 (0,25đ) 2 y min = - 4 khi x = - 3 (0,5đ) Câu V: (5đ) Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm) (1đ) b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông (1đ). c. (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì: ID = IE = IA = IH (0,5đ) MID = MIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông) (0,5đ) MD = MH MDH cân tại M MDH = MHD MDB = MBD (0,5đ) MBD cân ở M ta có MD = MB. MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH. Chứng ming .thì N là trung điểm của HC (0,5đ) d. (0,5đ) Từ câu c suy ra: 1 1 DM = BH = . 4 = 2(cm) 2 2 1 1 EN = HC = . 9 = 4,5(cm) (0,25đ) 2 2 1 1 S = (DM + EN) DE = (2 + 4,5) . 6 = 19,5 (cm2) (0,25đ) DENM 2 2 Ghi chú: Mọi cách làm khác mà vẫn đúng đều cho điểm tối đa. &*& Trang 4