Đề thi khảo sát chất lượng học sinh mũi nhọn môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh mũi nhọn môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. phòng Gd & đt kì thi khảo sát chất lượng học sinh mũi nhọn Đề thi chính thức Môn : Toán lớp 8 Số báo danh: Thời gian làm bài 120 phút Đề thi này có 5 câu x 3 3x x 4 Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = x 1 x2 x 1 x3 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1 Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình: a) x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1. x y 2 xy 2 Chứng minh rằng: = 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x Q thì giá trị của đa thức : M = x 2 x 4 x 6 x 8 16 là bình phương của một số hữu tỉ. Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC
2. Hướng dẫn chấm toán 8 Câu Nội dung Điểm 1 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 1điểm - Rút gọn: A = = x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 a 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 = x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 1điểm 2 1 3 2 x x x 1 2 4 1điểm Với mọi x ≠ - 1 thì A = 2 = 2 x x 1 1 3 x b 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 1điểm 2 * Với x 1 (*) x - 1 0 tax có1 phươngx 1 trình 2 2 1điểm x2 -3x + 2 + x-1 = 0 x 2x 1 0 x 1 0 x 1 ( Thoả mãn điều kiện *) * Với x< 1 ( ) x - 1 0 tax có1 phương1 x trình a x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 + x - 1 = 0 x 1 ( Không thỏa mãn điều kiện ) + x - 3 = 0 x 3 ( Không thoả mãn điều kiện ) 1điểm Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1 * Điều kiện x ≠ 0 (1) 0.5điể 2 2 1 2 1 2 1 1 2 m * pt 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 b 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 2 2 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 1điểm 16 x 4 2 x x 8 0 x 0 hoặc x = -8 So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8
3. 0.5điể m Ta có y3 1 y 1 y2 y 1 x y2 y 1 vì xy 0 x, y 0 x, y 0 1điểm y-1 0 và x-1 0 x 1 3 2 y 1 y y 1 3 2 2 y 1 x 1 x 1 x x 1 y x x 1 3 2 x 1 x x 1 x y 1 1 3 y3 1 x3 1 y2 y 1 x2 x 1 1điểm 2 x2 x 1 y2 y 1 x y 2xy x y 2 2 2 2 2 2 x x 1 y y 1 x y x y 2xy xy x y xy x y 1 4 2xy x y 2 xy 2 0 x2 y2 3 y3 1 x3 1 x2 y2 3 1điểm Ta có: M = x2 10x 16 x2 10x 24 16 1điểm 4 Đặt a = x2 - 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 1điểm M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm) 1điểm 5 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. CD CA (Hai tam giác vuông CE CB CDE và CAB đồng dạng) 1.5điể a Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). m Suy ra: BãEC ãADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên ãAEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 1điểm BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD Ta có:   (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC 1.5điể b mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH m nên   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BãHM BãEC 1350 ãAHM 450
4. 1điểm Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. 1điểm GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH c GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC