Đề thi khảo sát chất lượng theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học môn Toán năm 2020 - Lần 2 - Trường THPT Chuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học môn Toán năm 2020 - Lần 2 - Trường THPT Chuyên (Có đáp án)

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI KSCL THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TỐT NGHIỆP THPT TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ XÉT TUYỂN ĐẠI HỌC NĂM 2020 - LẦN 2 (Đề thi gồm 06 trang) Bài thi: Môn Toán Thời gian làm bài: 90 phút; Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1: Cho số phức z tuỳ ý. Mệnh đề nào sau đây sai ? 2 2 2 A. z.z = z . B. z = z . C. z = -z . D. z = z . Câu 2: Đạo hàm của hàm số là y = log3(1 - 2x) 2 -2 ln 3 -2 1 A. y¢ = . B. y¢ = . C. y¢ = . D. y¢ = . (1 - 2x)ln 3 1 - 2x (1 - 2x)ln 3 (1 - 2x)ln 3 Câu 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? x æ ö A. B. -x C. x D. ç1÷ y = log2 x. y = e . y = 2 . y = ç ÷ . èç2ø÷ Câu 4: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C ¢D¢ cóAB = 1, AD = 2, AA¢ =3. Thể tích của khối hộp đã cho bằng 4 A. 6. B. . C. 2. D. 3. 3 Câu 5: Cho hình nón có đường sinh l =6 và bán kính đáy rDiện=2 .tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 12p. B. 24p. C. 8p. D. 72p. Câu 6: Cho khối cầu có bán kính R =2. Thể tích khối cầu đã cho bằng 16p 32p A. 32p. B. 16p. C. . D. . 3 3 Câu 7: Trong không gian cho mặt phẳng và đường thẳng vuông góc Oxyz, (P) : x - 2y +3z + 2=0 d với mặt phẳng (P). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?     A. B. C. D. u1(1; - 2; 3). u2(1; - 2; 2). u3(0; - 2; 3). u4(1; 2; 3). 3 3 2 Câu 8: Cho ò f (x)dx = 2 và ò 2f (x)dx = 1. Tính I = ò f (x)dx. 1 2 1 3 A. I = 2. B. I = . C. I = 3. D. I = 0. 2 1
2. Câu 9: Một đội văn nghệ có 5 bạn nam và 3 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn gồm 1 nam và 1 nữ để thể hiện một tiết mục song ca ? A. 1 1 B. 2 C. 2 D. 1 1 C 5 .C 3. A8 . C 8 . C 5 +C 3. Câu 10: Cho cấp số cộng với và công sai Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số cộng (un ) u1 = 2 d = 3. nhỏ hơn 11 ? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 11: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f (x) = 3 là x 0 2 4 y' 0 0 3 3 y 1 1 A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. x x+1 Câu 12: Cho phương trình 4 -3.2 +2 = 0. Khi đặt t = 2x , ta được phương trình nào sau đây ? A. t 2 - 3t + 1 = 0. B. 2t2 - 3t + 2 = 0. C. t2 -6t + 2 = 0. D. t2 - 3t + 2 = 0. Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình là log2(1 - 2x) ³ log2 3 æ1 ù é 1ö A. ç ; 1ú . B. -¥;-1 . C. -¥;-1ù. D. ê-1; ÷. ç ú ( ) ( ûú ê ÷ èç2 û ë 2ø÷ Câu 14: Hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? y 1 1 O x 1 A. y = x 4 - 2x 2 - 1. B. y = -x 4 - 2x 2 -1. C. y = x 3 - x 2 + x -1. D. y = -x 4 + 2x 2 - 1. Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây ? 2
3. x 0 2 4 y' 0 0 0 3 2 y 1 1 A. (-1; 2). B. (1; 3). C. (1; 2). D. (2; 4). Câu 16: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số đã cho y = f (x)  có bao nhiêu điểm cực đại ? x 0 1 2 4 y' 0 0 0 A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Câu 17: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 3 3 2a 4a 3 A. 2a . B. . C. . D. a . 3 3 Câu 18: Cho khối trụ có chiều cao h =8 và bán kính đáy rThể=3 tích. của khối trụ đã cho bằng A. 72p. B. 24p. C. 48p. D. 96p. Câu 19: Cho số phức z = 1 - 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức z¢ = -z . y 2 Q M 1 2 1 O 1 2 x 1 P N 2 A. M. B. N. C. P. D. Q. Câu 20: Đồ thị của hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang ? 1 2 x 2x + 1 A. y = . B. y = 2x + x. C. y = e . D. y = . 2x 2 + x x + 2 Câu 21: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;- 2; 5) trên trục Oy có tọa độ là A. (0;- 2; 0). B. (1; 0; 5). C. (0; - 2; 5). D. (1; - 2; 0). Câu 22: Cho các số phức Tìm phần ảo của số phức z1 = 1 - i, z2 = -2 + 3i. z = z1 - z2. A. -4. B. 2. C. 4. D. 3. 3
4. Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e x - 2x là 2 x x x x 2 x 2 A. e - +C. B. e -2 +C. C. e -2x +C. D. e -x +C. 2 Câu 24: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x) = x(x + 1)(x - 2)2 với mọi x Î . Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ -1; 3] là A. f (2). B. f (3). C. f (-1). D. f (0). Câu 25: Hàm số y = ln(x 3 - 3x 2 + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z 2 + 2x -6y +4z -11 =0. Bán kính của (S) bằng A. 3. B. 5. C. 67. D. 45. Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;-1; 5), N(3; 1; 1). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có phương trình là A. B.x + C.y - 2z + 4=0. x +D.y + 2z -8 =0. 2x + y - 4z + 10=0. x - y + 2z -8=0. b Câu 28: Cho các số thực thoả mãn 2a -1 Giá trị của 3 bằng a, b = log2 3. b - 2 4a 2 9 2 3 A. . B. . C. . D. . 9 2 3 2 Câu 29: Cho hình trụ có chiều cao bằng 6. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 .Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 48p. B. 24p. C. 96p. D. 36p.   Câu 30: Trong không gian cho hai vectơ Góc giữa hai vectơ đã cho bằng Oxyz, u1(1; 1; - 4), u2(0; 1; 1). A. 300. B. 1500. C. 600. D. 1200. Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2 (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng S A C B A. 600. B. 900. C. 450. D. 300. 4
5. Câu 32: Cho số phức z thoả mãn z - z = 1 + 3i. Tính tích của phần thực và phần ảo của z. A. 7. B. 12. C. -12. D. -7. Câu 33: Cho y = f (x) là hàm số đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm. y 2 O 1 2 3 x 9 37 5 8 A. . B. . C. . D. . 4 12 12 3 p 2 5 Câu 34: Cho tích phân I = ò cos x dx. Nếu đặt t = sin x thì 0 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 A. I = -ò t dt. B. I = ò t dt. C. I = ò (1 -t ) dt. D. I = -ò (1 -t ) dt. 0 0 0 0 2 Câu 35: Cho số thực m và phương trình bậc hai z +mz +1 = 0. Khi phương trình không có nghiệm thực, gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của z1, z2 T = z1 - z2 . A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 36: Cho hàm số y = ax 3 +bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai ? y 2 2 O x A. ab < 0. B. bc < 0. C. ac < 0. D. bd < 0. Câu 37: Phương trình ln(x 2 -1).ln(x + 2).ln(x + 3) = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. 5
6. ì ïx = 2 ï Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : í y =2 + t và mặt phẳng ï ïz = 2t îï Gọi là đường thẳng đi qua điểm cắt đường thẳng và song song (P) : 2x + y + z -1 = 0. D A(1; 2; 5), d với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng D là x -1 y - 2 z - 5 x -1 y - 2 z - 5 A. = = . B. = = . 1 2 1 1 -2 3 x -1 y - 2 z - 5 x + 1 y + 1 z + 3 C. = = . D. = = . 1 1 -3 1 2 5 Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = a, 0 BAC =120 , AA¢ = 2a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ bằng 2 2 2 16pa 2 A. 8pa . B. 4pa . C. . D. 16pa . 3 Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho hàm số y = x 3 + x 2 + (1 - m)x + 2 đồng biến trên (1; + ¥)? A. 5. B. 7. C. Vô số. D. 6. Câu 41: Do ảnh hưởng của dịch Covid 19 nên doanh thu 6 tháng đầu năm của công ty A không đạt kế hoạch. Cụ thể, doanh thu 6 tháng đầu năm đạt 20 tỷ đồng, trong đó tháng 6 đạt 6 tỷ đồng. Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt được kế hoạch năm, công ty đưa ra chỉ tiêu: kể từ tháng 7 ,mỗi tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước 10%. Hỏi theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn đến một chữ số thập phân) ? A. 56,9. B. 70,9. C. 66,3. D. 80,3. Câu 42: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và hàm y = f ¢(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn æ ö hàm số çx ÷ 2 có bao nhiêu điểm cực trị ? [ - 3; 4] g(x) = f ç + 1÷ - ln x + 8x + 16 èç2 ø÷ ( ) y 2 1 1 O 1 3 x A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Câu 43: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm, nhận giá trị dương trên (0; + ¥) và thoả mãn æ ö æ ö 2 2 với mọi Biết ç2÷ 2 tính giá trị ç1÷ 2f ¢(x ) = 9x f (x ) x Î (0; + ¥). f ç ÷ = , f ç ÷. èç3ø÷ 3 èç3ø÷ 6
7. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 12 6 Câu 44: Đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh môn Toán của trường X có 10 học sinh. Số thẻ dự thi của 10 học sinh này được đánh số từ 1 đến 10 .Chọn ngẫu 3 học sinh từ 1 0em của đội tuyển. Tính xác suất để không có 2 học sinh nào trong 3 em được chọn có hiệu các số thẻ dự thi bằng 5. 1 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 5 Câu 45: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = 2a, SA= 3a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BbằngM S A M D B C 6a 2 93a 2a 3 3a A. . B. . C. . D. . 3 31 3 4 Câu 46: Cho các số thực thoả mãn và Khi biểu thức a, b a > b > 0 log2(a -b) = log3(a +b). 2 2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị thuộc khoảng nào P = log2 a + log2 b + 2 log3(a +b) - 2 log2(a +b ) a -b sau đây ? A. (3; 4). B. (5; 6). C. (4; 5). D. (2; 3). Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số y = -x 4 + mx 3 + 2m2x 2 + m -1 đồng biến trên (1; + ¥). Tổng tất cả các phần tử của S là A. -1. B. 0. C. -2. D. 2. Câu 48: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 3 m để phương trình f ( x - 3x ) = m có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 2; 2] ? 7
8. y 3 2 O 2 x 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 49: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a .Gọi O là giao điểm của AC với B Dvà M, N, P lần lượt là trung điểm của MặtSB, phẳngSC, O D. chia khối(M NchópP) đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B bằng 17a 3 19a 3 11a 3 19a 3 A. . B. . C. . D. . 18 54 27 18 Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î ? 2 2 2 2 log3(x + 2mx + 2m -1) £ 1 + log2(x + 2x + 3).log3(x + 3). A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Hết 8
9. PHẦN II: BẢNG ĐÁP ÁN 1D 2C 3C 4A 5A 6D 7A 8B 9A 10C 11D 12C 13C 14D 15C 16D 17B 18A 19B 20B 21A 22A 23D 24D 25C 26B 27A 28B 29A 30D 31D 32C 33B 34C 35A 36B 37C 38C 39A 40D 41B 42D 43C 44B 45A 46D 47A 48B 49B 50A PHẦN III: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 2 Câu 29. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x 2 với mọi x thuộc . Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  1;3 là A. f 2 . B. f 0 . C. .D.f 3 . f 1 Lời giải Chọn B x 0  1;3  Ta có: f x 0 x 1  1;3 .  x 2  1;3 Bảng biến thiên Vậy min f x f 0 .  1;3 Câu 30. Cho hình trụ có chiều cao bằng 6. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chu vi bằng 28. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 48 . B. C.24 D 96 . 36 . Lời giải Chọn A Khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục ta được 1 hình chữ nhật có kích thước lần lượt là chiều cao h và đường kính đáy d của hình trụ. Theo giả thiết: chu vi thiết diện bằng 28 2 h d 28 mà h 6 nên d 28: 2 6 8 . Khi đó diện tích xung quanh của trụ là: S dh 8.6. 48 9
10. Câu 31. Hàm số y ln x3 3x2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 B. 3 C. 0 .D. 1. Lời giải Chọn D Hàm số xác định khi x3 3x2 1 0 3x2 6x Ta có: y ' , x3 3x2 1 x0 0 n y ' 0   x0 2 l Ta nhận thấy y ' đổi dấu khi qua x0 0 . Suy ra hàm số có 1 điểm cực trị Câu 32. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị nhưhình bên. Mệnh đề nào sau đây sai ? y 2 2 O x A. ab 0. B. bc 0. C. ac 0. D. bd 0. Lời giải Chọn B Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d 0 . 3 b c d Theo hình dáng đồ thị ta có: lim y lim x a 2 3 và x x x x x 3 b c d lim y lim x a 2 3 nên hệ số a 0 . x x x x x Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung nên phương trình 3ax2 2bx c 0 có hai nghiệm trái dấu hay 3ac 0  c 0 . Theo đồ thị ta có phương trình y' 0 có hai nghiệm x 2 và x x0 với 2 x0 0 . 2 2 2 Khi đó ta có: 3ax 2bx c 3 x 2 x x0 3ax 2bx c 3x 3 x0 2 6x0 10
11. a 1 3 x0 2 b mà 2 x0 0 nên b 0 . Do vậy bc 0. 2 c 6x 0 2 5 Câu 33. Cho tích phân I cos xdx . Nếu đặt t sin x thì 0 1 1 1 1 A. I (1 t 2 )2dt. B. I t 4dt. C. I t 4dt. .D. I (1 t 2 )2dt. 0 0 0 0 Lời giải Chọn A 2 2 2 Ta có I cos5 xdx cos4 x.cosxdx (1 sin2 x)2.cosxdx 0 0 0 Đặt t sin x dt cos xdx Đổi cân: Với x 0 t 0 và x t 1 2 1 Vậy I (1 t 2 )2dt. 0 Do đó đáp án cần tìm là đáp án#A. Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z z 1 3i . Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z . A. .1 2 B. 7 . C. 12 . D. .7 Lời giải 2 2 Giả sử z x yi x, y z x y . Theo bài ra ta có: x2 y2 x yi 1 3i x2 y2 x yi 1 3i x2 y2 x 1 x2 9 x 1 y 3 y 3 x 1 0 x 1 x 1 Giải PT: x2 9 x 1 x 4 TM . 2 2 x 9 x 1 2x 8 x 4 x 4 Suy ra: . y 3 Khi đó phần thực của số phức z là x 4 phần ảo của số phức z là y 3 Vậy tích phần thực và phần ảo của số phức z bằng x.y 4.( 3) 12 . 11
12. Câu 35. Cho số thực m và phương trình bậc hai z2 mz 1 0 . Khi phương trình không có nghiệm thực, gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của T z1 z2 . A. 2 . B. .3 C. . 1 D. . 4 Lời giải Chọn A Phương trình z2 mz 1 0 không có nghiệm thực khi và chỉ khi m2 4 0 m 2; 2 . m i 4 m2 m i 4 m2 Khi đó z và z . 1 2 1 2 2 T z1 z2 4 m 2 . Khi T 2 m 0 2;2 . Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 2 , khi m 0 . Câu 36. Cho y f x là hàm số đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm. y 2 O 1 2 3 x 37 9 5 8 A. . B. C D. . . 12 4 12 3 Lời giải Chọn A Gọi f x ax3 bx2 cx d. Vì đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ nên suy ra d 0. Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua 3 điểm có toạ độ 1;0 , 2;2 , 3;0 nên ta có hệ phương trình a b c 0 a 1 3 2 sau 8a 4b 2c 2 b 4 f x x 4x 3x. 27a 9b 3c 0 c 3 3 1 3 Diện tích hình phẳng được tô đậm là S f x dx f x dx f x dx 0 0 1 1 3 37 x3 4x2 3x dx x3 4x2 3x dx . 0 1 12 12
13. x 2 Câu 37. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : y 2 t và mặt phẳng P : 2x y z 1 0 . z 2t Gọi là đường thẳng đi qua điểm A 1;2;5 , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng là x 1 y 2 z 5 x 1 y 2 z 5 A. . B. . 1 2 1 1 2 3 x 1 y 2 z 5 x 1 y 1 z 3 C. . D. . 1 1 3 1 2 5 Lời giải  Gọi B là giao điểm của d và B 2;2 t;2t AB 1;t;2t 5 .  Do song song với (P) nên AB vuông góc với vectơ pháp tuyến n 2;1;1 của (P), tức là:  2 t 2t 5 0 t 1 AB 1;1; 3 x 1 y 2 z 5 Vậy đường thẳng cần tìm là . 1 1 3 Câu 38. Phương trình ln(x2 1).ln(x 2).ln(x 3) 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. B.4. 3. C. 2. D. 1. Lời giải x2 1 0  2 x 1 ĐKXĐ: x 2 0  x 1 x 3 0 x 2 ln(x2 1) 0 x2 1 1  2   x 2 Ta có ln(x 1).ln(x 2).ln(x 3) 0 ln(x 2) 0 x 2 1       x 1 ln(x 3) 0 x 3 1  x 2 Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có tập nghiệm S  2; 2 Câu 39. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB a , B AC 1200 , AA 2a. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C bằng 16 a2 A. . B. 8 a2 . C. .4 a2 D. . 16 a2 3 Lời giải Chọn B 13
14. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC . 0 Do tam giác ABC cân tại A , AB a và B AC 120 nên ABD và ACD là các tam giác đều cạnh a . Suy ra DA DB DC a . Dựng hình hộp đứng ABDC.A B D C . Gọi I là trung điểm của DD . Dễ thấy: IA IB IC IA IB IC ID 2 BD 2 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C và bán kính mặt cầu là R IA a2 a2 a 2 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C là: S 4 R2 4. .2a2 8 a2 . Câu 40. Do ảnh hưởng của dịch Covid 19 nên doanh thu 6 tháng đầu năm của công ty A không đạt kế hoạch. Cụ thể, doanh thu 6 tháng đầu năm đạt 20 tỷ đồng, trong đó tháng 6 đạt 6 tỷ đồng. Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt được kế hoạch năm, công ty đưa ra chỉ tiêu: kể từ tháng 7, mỗi tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước 10%. Hỏi theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn đến một chữ số thập phân) ? A. 56,9. B. 70,9. C. D.66 ,3. 80,3. Lời giải Chọn B Đặt r 10% 0,1 Doanh thu của tháng 7 là 6(1 r) Doanh thu của tháng 8 là 6(1 r)(1 r) 6(1 r)2 Tương tự như thế, ta có doanh thu của tháng 12 là 6(1 r)6 Do đó doanh thu của công ty trong 6 tháng cuối năm là (1 r)6 1 6(1 r) 6(1 r)2 6(1 r)6 6(1 r) r (1 0,1)6 1 6(1 0,1) 0,1 14
15. 50,9 Vậy doanh thu của công ty trong năm là: 20 50,9 70,9. Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho hàm số y x3 x2 1 m x 2 đồng biến trên 1; ? A. Vô số.B. 6 .C. .D. . 5 7 Lời giải Chọn B Ta có: y 3x2 2x 1 m . Hàm số đồng biến trên 1; 3x2 2x 1 m 0, x 1; 3x2 2x 1 m, x 1; min 3x2 2x 1 m 1; 6 m . Do m nguyên dương nên m 1;2;3;4;5;6 Có 6 giá trị của m thỏa mãn. (Hàm số y 3x2 2x 1 đồng biến, x 1; nên min 3x2 2x 1 3.12 2.1 1 6 ). x 1; Câu 42. Đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh môn Toán của trường X có 10 học sinh. Số thẻ dự thi của 10 học sinh này được đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 10 em của đội tuyển. Tính xác suất để không có 2 học sinh nào trong 3 em được chọn có hiệu các số thẻ dự thi bằng 5. 2 2 1 3 A. .B. C. D. 3 5 3 5 Lời giải Chọn A Số phần tử của không gian mẫu bằng với số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 10 em học sinh 3 của đội tuyển:  C10 . Gọi A là biến cố: “ Không có 2 học sinh nào trong 3 em học sinh được chọn có hiệu các số thẻ dự thi bằng 5”. Và A là biến cố “ Có đúng 2 học sinh trong 3 em học sinh được chọn có hiệu các số thẻ dự thi bằng 5”. * Gọi số thẻ của 3 bạn được chọn lần lượt là a,b,c a,b,c thỏa mãn 1 a b c 10 . b a 5 Giả sử chọn 1 cặp bất kỳ có hiệu các số thẻ dự thi bằng 5 như sau  thì chọn số còn lại c b 5 c a 5 không thể có hiệu bằng 5 vì max c a 9 . Chọn 3 học sinh chỉ có 1 cặp có hiệu các số thẻ dự thi bằng 5 là một trong các khả năng sau về số thẻ dự thi: 10,5 ; 9,4 ; 8,3 ; 7,2 ; 6,1 . Khi đó số khả năng xảy ra bằng số cách chọn 1 số còn lại trong 8 số thẻ dự thi. Ta có 1 A 5.C8 40 . 15
16. A 2 Vậy P A 1 .  3 Câu 43. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB 2a , SA 3a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM bằng S A M D B C 2 93a 3 3a 6a 2a A. . B. . C. .D. . 31 4 3 3 Lời giải S H A M D O K B N C * Trong ABCD , gọi N là trung điểm của BC và O là giao điểm của AC và MN , ta có SO  ABCD . Vẽ OK  ND ND  SOK ; Vẽ OH  SK OK  SND d O, SND OH . Tam giác NKO đồng dạng với tam giác NMD nên OK ON 1 a suy ra OK , SO SA2 OA2 a . DM DN 5 5 1 6a Do đó d O, SND OH . 1 1 1 6 SO2 OK 2 * BM //ND BM // SND d BM , SD d M , SND 2d O, SND . 2 6a *Từ 1 và 2 suy ra d BM , SD . 3 16
17. Câu 44. Cho hàm số y f x có đạo hàm, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 f x 9x f x với mọi x 0; . Biết f , tính giá trị f . 3 3 3 1 1 1 1 A. . B. .C. .D. . 4 3 12 6 Lời giải Chọn C 2 xf x 9x2 9x2 Dựa vào giả thiết ta có 2 f x2 9x f x2 f x2 . 2 f x 2 2 9x2 3x3 Lấy nguyên hàm hai vế ta có f x2 dx C . 2 2 3 2 3 2 3 2 Theo giả thiết f C C 0 . 3 2 3 3 1 3 3 2 3x 1 3 3 Do đó f x , suy ra f . 2 3 2 6 1 1 Vậy f . 3 12 Câu 45. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Trên x 2 đoạn  3;4 hàm số g x f 1 ln x 8x 16 có bao nhiêu điểm cực trị? 2 A. 1. B. 3 . C. .2 D. . 0 Lời giải Chọn B 1 x 2x 8 1 x 2 Ta có g x f 1 2 f 1 2 2 x 8x 16 2 2 x 4 17
18. x 4 g x 0 f 1 (1) 2 x 4 x  1  2 Đặt 1 t x 2t 2; x  3;4 t ;3 thì 1 f t 2  2  t 1 2 Ta thấy đồ thị các hàm y f t và y cắt nhau tại các điểm t 0;t 1;t a 1;3 nên t 1 2 phương trình f t có 3 nghiệm t 0;t 1;t a 1;3 , do đó phương trình g x 0 t 1 có 3 nghiêm phân biệt x 2; x 0; x 2a 2  3;4 . x 2 Vậy trên đoạn  3;4 hàm số g x f 1 ln x 8x 16 có 3 điểm cực trị. 2 Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ? 2 2 2 2 log3 x 2mx 2m 1 1 log2 x 2x 3 log3 x 3 A. 2 . B. .3C. .D. . 1 4 Lời giải Chọn A 2 2 Để bất phương trình đúng với mọi x , điều kiện cần là x 2mx 2m 1 0,x . Tức 2 2 m 1 là 1 m 0 m 1  . m 1 Vì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x nên: *Chọn x 0 khi đó log2 6 2 2 log2 6 2 1 3 log3 2m 1 1 log2 3 2m 1 3 m , vì m nguyên nên 3 m 3 . 2 *Chọn x 1 khi đó 2 2 2 log3 2m 2m 1 log3 4 2m 2m 12 m m 6 0 2 m 3 . 18
19. *Chọn x 1 khi đó 2 2 2 log3 2m 2m 1 log3 4 2m 2m 12 m m 6 0 3 m 2 . Kết hợp điều kiện ta nhận các giá trị m là  2;2  . Thử lại: 2 2 2 a) Với m 2 , bất phương trình trở thành log3 x 4x 7 1 log2 x 2x 3 log3 x 3 . 2 Ta có : log x2 2x 3 log  x 1 2 1, log x2 3 1,x . 2 2   3 2 2 Ta cần chứng minh log3 x 4x 7 1 log3 x 3 ,x . 2 2 2 x 4x 7 3 x 3 0 2 x 1 luôn đúng với mọi x , dấu bằng xảy ra tại x 1 (thỏa). 2 2 2 b) Với m 2 , bất phương trình trở thành log3 x 4x 7 1 log2 x 2x 3 log3 x 3 . 2 2 2 Chứng minh tương tự ta có x 4x 7 3 x 3 0 2 x 1 luôn đúng với mọi x , dấu bằng không thể xảy ra (thỏa). Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Gọi O là giao điểm của AC với BD và M , N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC, OD . Mặt phẳng MNP chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B bằng 3 17a3 19a 11a3 19a3 A. . B. . C. .D. . 18 54 27 18 Lời giải S L N M H K A D Q P T O B C E * Mặt phẳng MNP cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang MNTQ như hình vẽ. 19
20. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B là V B VM.BCTQ VM.NCT 1 Dễ thấy tam giác ACD vuông cân tại C suy ra CD  SAC CD  SC 1 1 SCD vuông tại C S SC.CD SA2 AC2 . AD2 AC2 3a2 . SCD 2 2 SCNT CN CT 1 2 1 3 2 . . SCNT a . SCSD CS CD 2 3 3 3 Ta có CD  SAC . 1 2 3 Vẽ AH  SC AH  SCD d A, SCD AH a . 1 1 3 SA2 AC2 *Trong mặt phẳng ABCD , gọi E AB  DC . Trong mặt phẳng SAB , gọi L AM  SE và K là trung điểm EL . 1 3 Ta có AL 2BK 2 2ML 4ML . Suy ra d M , SCD d A, SCD a . 4 6 1 1 3 VM .NCT .SCNT .d M , SCD a . 2 3 18 2 2 QB AB a 3 3 QT BC 8 2 * Vì QT //AD nên suy ra SBCTQ .QB a . 5 5 2 9 QT AD a 6 3 SM 1 1 d M , ABCD d A, ABCD a . SB 2 2 1 8 3 VM .BCTQ .SBCTQ.d M , ABCD a . 3 3 27 19a3 *Từ 1 , 2 , 3 suy ra V . B 54 Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y x4 mx3 2m2 x2 m 1 đồng biến 1; . Tổng tất cả các phần tử của S là A.0. B. 2. C. 1. D. 2 Lời giải Chọn C 4 3 2 2 f x . f x Đặt f x x mx 2m x m 1. Khi đó: y f x y . f x 20
21. f x . f x Hàm số đồng biến trên 1; 0,x 1; f x 3 2 2  f x 0  4x 3mx 4m x 0    f x 0  f 1 0 , x 1; , x 1;   3 2 2  f x 0  4x 3mx 4m x 0    f x 0  f 1 0 3 2 2 4x 3mx 4m x 0 4x2 3mx 4m2 0 TH1: ,x 1; ,x 1; f 1 0 2 4m 0 m 0  3 75 3 75 m ; m 1  . Mà m  8 8  m 0 1 m 2 3 2 2 4x 3mx 4m x 0 4x2 3mx 4m2 0 TH2: , x 1; ,x 1; vô f 1 0 2 4m 0 nghiệm. Do đó S  1;0 . Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 1 . Câu 49. [ Mức độ 4] Cho hàm số liên tục y f x trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá  trị nguyên của tham số m để phương trình f x3 3x m có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2;2 ? A. .4B. 3 .C. 1.D. . 2 Chọn C Lời giải Cách 1 Xét hàm số t x3 3x t ' 3x2 3 0 x 1 . 21
22. Với a 0;2 thì t a có 6 nghiệm phân biệt trên đoạn  2;2 . Với a 0 thì t a có 3 nghiệm phân biệt trên đoạn  2;2 . Với a 2 thì t a có 4 nghiệm phân biệt trên đoạn  2;2 . Với a 0;2 thì t a vô nghiệm trên đoạn  2;2 . Do đó f x3 3x m có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2;2 f t m có 2 nghiệm phân biệt t 0;2 m 2;0 . Vậy m 1 (Vì m là số nguyên). Cách 2 3 2 x 1 Xét hàm số y x 3x trên  2;2 , ta có y 3x 3 0  và x 1 x 0 3  x 3x 0  . x 3 Đặt t x3 3x 0 Bảng biến thiên của hàm số t x3 3x trên  2;2 là: Dựa vào bảng biến thiên suy ra ứng với mỗi nghiệm t 0;2 ta có 6 nghiệm x 2;2 . Để phương trình f x3 3x m có đúng 12 nghiệm thuộc  2;2 thì phương trình f t m phải có hai nghiệm phân biệt t1,t2 thuộc 0;2 . 22
23. Dựa vào đồ thị hàm số y f t trên 0;2 Chỉ có duy nhất một giá trị nguyên m 1 để phương trình f t m có hai nghiệm phân biệt t1,t2 thuộc 0;2 . Vậy có duy nhất một giá trị nguyên m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 50. Cho các số thực a,b thỏa mãn a b 0 và log2 a b log3 a b . Khi biểu thức 2 2 P log2 a log2 b 2log3 a b 2log2 a b đạt giá trị lớn nhất, khi đó a b thuộc khoảng nào sau đây A. . 3;4 B. . 4;5 C. 5;6 . D. 2;3 . Lời giải Chọn D t t 2 2 9 4 t a b a b 2 2 Đặt log2 a b log3 a b t . a b 3t 9t 4t ab 4 Suy ra t t t t t t t t 9 4 9 4 2t 9 4 36 16 P log2 2t 2log2 log2 2 log2 2 log2 2 4 2 9t 4t 9t 4t t 9 t t 1 36 16 4 Xét T . t t 2 t 2 9 4  9   1  4  t 9 x 1 1 2 Đặt x 0 , ta có T y 2 2 . 4 x 1 x 1 x 1 1 4 1 4 x 3 y 2 3 2 1 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y 0 x 3 . 23
24. Xét x ta có bảng biến thiên 1 Từ bảng biến thiên ta suy ra y , x 0 . 8 t 1 9 Suy ra Tmax x 3 3 t log 9 3 . Suy ra Pmax 3 . 8 4 4 log 9 3 Khi đó a b 2 4 2,557 . 24