Đề thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 99 - Năm học 2019-2020 - Lê Nguyên Thạch (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 99 - Năm học 2019-2020 - Lê Nguyên Thạch (Có đáp án)

1. 1.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA ĐỀ SỐ 99 NĂM HỌC:2019-2020 Ngày 01 tháng 7 năm 2020 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n n n n 1 4 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 e 3 3 Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y ln x 1 x2 . 1 x x 1 A. . B. . C. . D. . x 1 x2 x 1 x2 1 x2 1 x2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy. Góc giữa đường thẳng AC và mp SAB là A. .C· SB B. . C· AB C. . D. S· AC ·ACB Câu 4: Diện tích toàn phần của hình lập phương bằng 96 . Tính thể tích của khối lập phương. A. .4 8 B. . 81 C. . 64 D. . 72 Câu 5: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây đúng?  2    1    1  2   2   A. .A G B. .AC.B . AC D. . AG AB AC AG AB AC AG AB 3AC 3 3 3 2 3 Câu 6: Cho dãy số hữu hạn u1;u2 ;u3;u4 ;u5 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 20. Tìm số hạng u3 .A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. 2x 1 Câu 7: Cho hàm số f x . Gọi S là tập nghiệm của phương trình f x f x . Số phần tử của S là x 1 A. .0 B. . 1 C. . 3 D. . 2 Câu 8: Hàm số nào sau đây không có cực trị A. . y x3 3x2B. . y C.x .3 D. . y x4 3x2 2 y x3 x Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, a3 6 a3 6 a3 6 SA a 6 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . A. . B. .a 3 6 C. . D. . 4 3 4 2x 1 Câu 10: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. x2 3x 2 x3 5x2 6x Câu 11: Số nghiệm của phương trình 0 là A. B. 2. C. 3. D. 0. log3 x 2 Câu 12: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số y f x đồng biến trên ;1 . B. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 1 . C. Đồ thi hàm số y f x có hai điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số y f x có 1 điểm cực tiểu. 3 Câu 13: Biết , tính giá trị của biểu thức 2 loga b 2 loga2 b b 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 12 6 3 3 2 2 Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp những điểm có tọa độ x; y thỏa mãn: 2x y 1 4x y 1 là đường nào sau đây? A. Elip. B. Nửa đường tròn. C. Đường thẳng. D. Đường tròn. Câu 15: Cho hình tứ diện ABCD . Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của tứ diện 1 1 1 1 AB 'C 'D và ABCD bằng A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4
2. 2.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA Câu 16: Cho dãy số hữu hạn u1,u2 ,u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân, biết u2 6 thì tích u1.u3 bằng A. .3 6 B. . 16 C. . 9 D. . 25 Câu 17: Cho các chữ số 1;2;3;4;5;6;9 hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 7000.000 từ các số trên? A. .4 320 B. . 5040 C. . 8640 D. . 720 Câu 18: Tìm tập xác định của hàm số y x2 x 2 ln x 2 . A. . 12B.; . C. . 2; D. .  2; 12; 2; Câu 19: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt n 2 . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là 3 điểm trong số các điểm đã cho, tìm n . A. .3 0 B. . 25 C. . 20 D. . 15 Câu 20: Một khối trụ có thể tích 100 . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên ba lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 100 . Bán kính đáy khối trụ ban đầu là A. .r 1 B. . r 5 C. . r 4 D. . r 6 Câu 21: Cho hàm số y Acos(x ) có đạo hàm cấp hai y . Đặt M y  2 y . Khẳng định nào sau đây đúng? A. .M 1 B. . M 1 C. M 2A. 2 c o s (  D.x . ) M 0 2x 1 x 5 khi x 4 Câu 22: Cho hàm số f (x) x 4 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số a 2 khi x 4 5 11 liên tục tại x 4 . A. .a B.3 . a C. . a 2D. . a 0 2 6 Câu 23: Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng? A. Đồ thị của hai hàm số y log e x vày log1 x đối xứng qua trục tung. e B. Đồ thị của hai hàm số y ex vày ln x đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. C. Đồ thị của hai hàm số y ex vày ln x đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ hai. x x 1 D. Đồ thị của hai hàm số y e vày đối xứng nhau qua trục hoành. e Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a , khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ' và C D bằng A. .a 3 B. . a 2 C. . a D. . a 6 Câu 25: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A có AB 7, AC 3 . Quay đường gấp khúc CBA xung quanh cạnh AC tạo thành hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó. A. .S xq 3 7 B. . C.S . xq 8 7 D. Sxq 4 7 Sxq 6 7 1 1 1 Câu 26: Với n là số nguyên dương, đặt S . Khi đó lim Sn n 1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n 1) n 1 1 1 bằng A. . B. . 1 C. . D. 2 1 2 1 2 2 Câu 27: Hình chóp S.ABC có SA 2a , SB 3a , SC 4a và ·ASB B· SC 60 , ·ASC 90 . Thể tích của 4a3 2 2a3 2 khối chóp là A. .a 3 2 B. . C. . D. . 2a3 2 3 9 Câu 28: Cho mặt cầu S có bán kính bằng 6a, hình trụ H có chiều cao bằng 6a và chia hai đường tròn đáy nằm v1 trên S . gọi v1 là thể tích của khối trụ H ,v2 là thể tích khối cầu S . tính tỉ số v2 v 9 v 3 v 1 v 2 A. . 1 B. . 1 C. . D.1 . 1 v2 16 v2 16 v2 3 v2 3 3 3 2 Câu 29: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: log4 x x 2 x 7x log2 x 1 4x 7 A. .1 7 B. . 2 C. . 9 D. . 11
3. 3.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6 2 . Ở bốn đỉnh của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng 1 nhau có cạnh x . Biết khối đa diện còn lại sau khi cắt có thể tích bằng thể tích khối tứ diện ABCD . Giá trị của x là 2 A. .3 2 B. . 2 3 C. . 2 2 D. . 2 Câu 31: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng: a 2 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 2 7 28 14 2 Câu 32: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x2 2x với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m 100 để hàm số gđồng x biến f trênx2 khoảng8x m . 4; A. .8 3 B. . 18 C. . 82 D. . 84 2 2 Câu 33: Cho số thực m nhỏ nhất để cho phương trình 91 1 x (1 m)31 1 x 2m 0 có nghiệm được viết dưới a dạng m , ở đó a,b là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính P a b . b A. .P 11 B. . P 83 C. . PD. 1.7 P 75 Câu 34: Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin20 x cos20 x 1. Khi đó tích M.m 169 513 513 bằng: A. .2 B. . C. . D. . 84 256 512 Câu 35: Cho tam giác ABC cân tại A , có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q . Tính giá trị của công bội q . 1 1 A. .q B. 2. 2 1 C. . q D.2 .1 q 2 1 q 2 2 1 2 2 Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ 2019,2019] của tham sốm để trên đồ thị (Cm ) của hàm số 1 y x3 mx2 (2m 3)x 10 có hai điểm nằm về hai phía của trục tung mà tiếp tuyến của (C ) tại hai điểm đó 3 m cùng vuông góc với đường thẳng (d) : x 2y 2020 0 A. 2022 . B. .2 020C. . 2D.01 9 2021 Câu 37: Cho hình đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của H . Tính xác suất để 4 đỉnh được 11 10 1 15 chọn ra tạo thành một hình chữ nhật không phải hình vuông. A. . B. . C. . D. . 46 1771 161 322 Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' có thể tích V. Gọi M, N,P,Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BB',B' A', A' A Thể tích khối chóp có đáy là tứ giác MNPQ và đỉnh là một điểm bất kì trên cạnhCC '. V V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 8 2 Câu 39: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp S. Tìm xác suất để số được lấy chia hết cho 11 và có tổng các chữ số của 8 1 1 1 nó cũng chia hết cho 11. A. . B. . C. . D. . 21 126 252 63 x - 4 Câu 40: Cho hàm số y = có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y + 2x = mvới m là tham số. Biết rằng với x + 1 mọi giá trị của thì luôn cắt tại hai điểm phân biệt và Tìm độ dài ngắn nhất. m d (C ) A B . AB A. 3 2. B. 4 2. C. 6 2. D. 5 2. Câu 41: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 5a 2 2b2 5 2a 4b 4ab . Xét các hệ thức sau: Hệ thức 1: ln a 1 ln b 1 ln a2 b2 1 . Hệ thức 2: .ln a2 1 ln b 1 ln b2 1 ln a 1 Hệ thức 3: ln a b 3ab 1 2ln a b . Hệ thức 4: ln a b 2ab 2 2ln a b . Trong các hệ thức trên, có bao nhiêu hệ thức đúng? A. 1. B. .2 C. .3 D. . 4 Câu 42: Cho hàm số y ax3 bx2 cx d , với a, b, c là các hệ số. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên ¡ a b 0; c 0 a b c 0 a b 0; c 0 a b 0; c 0 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 b 3ac 0 a 0; b 3ac 0 a 0; b 3ac 0 a 0; b 3ac 0
4. 4.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Thể 3a3 tích khối chóp S.ABC bằng . Gọi là góc giữa mp( SCD ) và mp( ABCD) . Khi đó tan bằng? 6 3 3 3 A. . B. . C. . 3 D. 4 3 2 Câu 44: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \0 v à có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 4 f (3x 1) 13 0 là: A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. x 1 Câu 45: Cho hàm số y có đồ thị C . Gọi 2x 1 A x1; y1 , B x2; y2 là hai điểm phân biệt thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn AB bằng 3 2 2 2 A. .h B. . h C. . D. h. 3 h 2 4 3 1 Câu 46: Cho hàm số f (x) . Tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 2x 2 2 2 2 1009 Q f sin f sin ) f (sin 2020 2020 2020 1009 A. .1 009 B. . 504 C. . D. . 505 2 3 ex 1 a Câu 47: Cho giới hạn lim , với a,b nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của 2a b x 0 x 1 1 b A. .8 B. . 7 C. . 5 D. 6 Câu 48: Cho một hình nón có chiều cao h a 3 và bán kính đáy r 2a . Mặt phẳng P đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2a 2 . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến P . a 30 6a a 5 a 6 A. .d B. . d C. . D. . d d 5 5 30 5 Câu 49: Cho hai cấp số cộng un : 4,7,10,13,16, và vk :1,6,11,16,21, . Hỏi trong 100 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung? A. .3 0 B. . 10 C. . 20 D. . 40 Câu 50: Cho khối cầu S có tâm I , bán kính bằng R 3 . Một khối trụ thay đổi nội tiếp khối cầu có chiều cao h và bán kính đáy r . Tính chiều cao h để thể tích khối trụ lớn nhất. 3 2 A. .h 3 2 B. . h 3C. . D.h . 2 3 h 2 HẾT
5. 5.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 99 Câu 1: Chọn A.Ta có: nếu q 1 thì lim qn 0 . n 1 1 Trong các đáp án chỉ có 1 nên lim 0 . 3 3 2x x 2 1 1 x 1 x 2 2 2 2 1 x 1 x 1 Câu 2: Chọn D.Ta có: y ln x 1 x . 2 2 2 2 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x Câu 3: Chọn B.Vì CB  AB (do tam giác ABC vuông tại B ). Và CB  SA (do SA  ABC ). Nên CB  SAB Hình chiếu của C lên SAB là điểm B Hình chiếu của AC lên SAB là AB Vậy góc giữa đường thẳng AC và SAB là C· AB . Câu 4: Chọn C.Giả sử hình lập phương có độ dài cạnh là a . Diện tích toàn phần của hình lập phương: 2 Stp 6a 96 a 4 . Thể tích của khối lập phương là: V a3 64 . Câu 5: Chọn B.Vì M là trung điểm của BC nên ta có  1   AM AB AC . 1 2  2  Mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên AG AM. 2 3  2 1   1   Từ 1 và 2 suy ra AG . AB AC AB AC . 3 2 3 Vậy chọn đáp án B. Câu 6: Chọn A.Ta có: u1 u2 u3 u4 u5 20 5u3 20 u3 4. 3 6 Câu 7: Chọn B.Điều kiện: x 1 .Ta có y y . x 1 2 x 1 3 3 6 x 1 x 1 Xét phương trình f x f x 2 3 2 x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1; x 1 Suy ra S  1.Vậy số phần tử của S là 1 . Câu 8: Chọn B.Xét phương án A: y x3 3x2 y 3x2 6x . x 0 Do y 0 và y đổi dấu khi x qua hai nghiệm này nên hàm số có 2 điểm cực trị. x 2 Do đó loại phương án A. Xét phương án B: y x3 y ' 3x2 0, x ¡ nên hàm số không có cực trị.Chọn phương án B. Xét phương án C: y x4 3x2 2 y 4x3 6x . x 0 Do y 0 6 và y đổi dấu khi x qua ba nghiệm này nên hàm số có 3 điểm cực trị. x 2 Do đó loại phương án C. Xét phương án D: y x3 x y ' 3x2 1 . 3 Do y 0 x , và y đổi dấu khi x qua hai nghiệm này nên hàm số có 2 điểm cực trị. 3 Do đó loại phương án D.
6. 6.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2 Câu 9: Chọn C.Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên SABCD a . Ta có SA  ABCD , suy ra SA là đường cao. 1 1 a3 6 Vậy V SA.S a 6.a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 2 x 1(tm) Câu 10: Chọn A. x 3x 2 0 x 1, x 2 là TCĐ x 2(tm) 2x 1 2x 1 lim y lim 0 ;lim y lim 0 y 0 là TCN x x x2 3x 2 x x x2 3x 2 2x 1 Vậy đồ thị hàm số y có ba đường tiệm cận. x2 3x 2 x 2 0 x 2 x 2 Câu 11: Chọn D.Điều kiện xác định: log3 x 2 0 x 2 1 x 3 x 0 x3 5x2 6x x 0 0 x3 5x 6x 0 x 2 2 log3 x 2 x 5x 6 0 x 3 Kết hợp với điều kiện thì cả ba giá trị x 0, x 2, x 3 đều không thỏa điều kiện bài toán. Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 12: Chọn D.Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có bảng biến thiên của hàm số y f x sau: Vậy đồ thị hàm số y f x có 1điểm cực tiểu. 5 5 3 3 2 1 2 1 6 1 5 5 5 Câu 13: Chọn B.Ta có: log 2 b b log b log b . log b .2 . a 2 a 2 a 2 6 a 12 6 2 2 2 2 2x y 1 4x y 1 2x y 1 22x 2 y 2 x2 y2 1 2x 2y 2 Câu 14: Chọn D.Ta có: x2 y2 2x 2y 1 0 x 1 2 y 1 2 3 2 2 Vậy trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp những điểm có tọa độ x; y thỏa mãn: 2x y 1 4x y 1 là một đường tròn có tâm I 1;1 , bán kính R 3 . AB ' AC ' 1 A Câu 15: Chọn D.Vì B ',C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AB AC 2 V AB ' AC ' AD 1 1 1 B' C' Áp dụng công thức tỉ số thể tích có.AB'C 'D . . . . VABCD AB AC AD 2 2 4 B C Câu 16: Chọn A.Giả sử u1,u2 ,u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là q . 2 2 2 2 2 D Khi đó, ta có: u2 u1.q, u3 u1.q .Vậy u1.u3 u1. u1.q u1.q u2 6 36 . Câu 17: Chọn A.Gọi số có dạng a1 a2a3 a4a5 a6 a7 . Vì số đã cho có 7 chữ số phân biệt và nhỏ hơn 7000.000 nên a1 7 , vậy có 6 cách chọn a1 . Các chữ số a2 ;a3 ;a4 ;a5 ;a6 ;a7 là hoán vị của 6 số còn lại. Vậy có 6.6! 4320 số thỏa mãn bài toán. Câu 18: Chọn A.
7. 7.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA x 2 x 2 x 2 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 Điều kiện xác định: 2 x 2 1 x 1 . x x 2 ln x 2 0 x 1 2 x x 2 0 x 2 x 2 1 1 x 2 x 1 Câu 19: Chọn C.Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét: 1 2 TH1. Chọn 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2 ¾ ¾® có C10.Cn tam giác. 2 1 TH2. Chọn 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2 ¾ ¾® có C10.Cn tam giác. 1 2 2 1 Như vậy, ta có C10.Cn + C10.Cn = 2800 n! n! 2 n 20 (tm) 10. 45. 2800 5n n 1 45n 2800 5n 40n 2800 0 2! n 2 ! 1! n 1 ! n 28 (l) Vậy n = 20 . Câu 20: Chọn D.Khối trụ ban đầu có chiều cao là h và bánh kính đáy là r . Thể tích khối trụ ban đầu V r 2h Suy ra r 2h 100 r 2h 100 (1) . Khi tăng chiều cao lên ba lần và giữ nguyên bán kính đáy ta có diện tích xung quanh khối trụ mới là Sxq 2 r(3h) 6 rh 100 6rh 100 (2) r 2h Chia vế theo vế của (1) cho (2) ta có: = 1Û r = 6 . 6rh Câu 21: Chọn D.Ta có y A sin(x ) , y A 2 cos(x ) . Khi đó M A 2 cos(x )  2 Acos(x ) 0 . 2x 1 x 5 Câu 22: Chọn D. lim f (x) lim x 4 x 4 x 4 2x 1 x 5 . 2x 1 x 5 1 1 lim lim x 4 x 4 . 2x 1 x 5 x 4 2x 1 x 5 6 1 11 Hàm số liên tục tại x0 4 f (4) lim f (x) a 2 a . x 4 6 6 Câu 23: Chọn B x Nhận xét: Với 0 a 1 đồ thị của hai hàm số y a vày log a x đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Câu 24: Chọn C.Ta có: B 'C '  C ' D ' ( vì A' B 'C ' D ' là hình vuông) (1) B 'C '  A' B ' Ta có: B 'C '  AA' B ' B B 'C '  BB ' Mà AB '  AA' B ' B nên B 'C '  AB ' (2) Từ (1) và (2), suy ra B 'C ' là đường vuông góc chung của AB ' và C ' D ' nên d AB ',C ' D ' B 'C ' a Câu 25: Chọn C.Bán kính đáy hình nón là r AB 7 Độ dài đường sinh l BC AB2 AC 2 7 9 4 Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl 4 7 . 1 Câu 26: Chọn B.Xét A . Đặt a n,b n 1 a,b 0 . n n 1 (n 1) n 1 1 A a2b b2a ab(a b)
8. 8.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 1 b a 1 1 1 1 Ta cób2 a2 n 1 n 1 (b a)(b a) 1 b a .Nên A a b ab a b n n 1 1 1 1 Từ chứng mình trên ta có S n 1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 n n 1 1 2 2 3 n n 1 n 1 1 1 lim Sn lim 1 lim1 lim 1. n 1 n 1 Câu 27: Chọn D Cách 1: Trên SB,SC lần lượt lấy B ,C sao cho SB SC 2a . SA SC ' SAC vuông cân tại S AC SA 2 2a 2 . · V ASC 90 SA SB ' △SAB đều AB 2a (1). · ASB 60 SB SC △SB C đều B C 2a (2). · B SC 60 (1) và (2) cho ta △AB 'C cân tại B .Gọi H là trung điểm của AC B H  AC . 2 2 2 2 AC AH  SH B H AB AH AB a 2 . AH  (SHB ) . 2 AH  HB 1 Ta có:S 2S V 2V 2. .AH.S . AB C ' AB H S.AB'C S.AHB 3 SHB 2 SSHB p p SH p SB p HB a . SH SB HB 1 2a3 2 Với p 1 2 a . V 2. .a 2.a2 . 2 S.AB C 3 3 VS.AB C SB SC ' 2a 2a 1 3 . . VS.ABC 2a 2 . VS.ABC SB SC 3a 4a 3 SA.SB.SC Cách 2:V 1 cos2 60 cos2 90 cos2 60 2cos60cos90cos60 2a3 2 . 6 2 2 Câu 28: Chọn A.Bán kính mặt đáy hình trụ: r1 (6a) 3a 3a 3 2 2 Thể tích hình trụ v1 h. .r1 6a. .(3a 3) 162.a. : 4 4 Thể tích hình cầu: v . .r3 . .(6a)3 288.a. . 2 3 2 3 v 162.a. 9 Tỉ số: 1 . v2 288.a. 16 x 1 0 Câu 29: Chọn B.Điều kiện: 3 x x 2 0 Ta có 3 3 2 3 3 2 2 log4 x x 2 x 7x log2 x 1 4x 7 log2 x x 2 2x 14x log2 x 1 8x 14 3 3 2 2 log2 x x 2 2 x x 2 log2 4x 8x 4 2 4x 8x 4 1 1 Đặt hàm số f t log t 2t,t 0 có f t 2 0,t 0 2 t ln 2 Vậy hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; Từ 1 có f x3 x 2 f 4x2 8x 4 x3 x 2 4x2 8x 4 x3 4x2 7x 6 0 x 2 (thỏa mãn điều kiện).
9. 9.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA Ta có phương trình có 1 nghiệm x 2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2 . Câu 30: Chọn A. 4 góc cắt đi là các tứ diện bằng nhau nên 4 tứ A A' diện này có cùng thể tích. x x Gọi thể tích của một khối tứ diện cắt đi là V , thể tích khối tứ diện x 1 B' G' D' x x ABCD là V và thể tích khối đa diện sau khi cắt bỏ góc là V2 . C' x 1 x D' Ta có: V2 V 4V1 mà V2 V V 8V1 (1) B' x 2 x G' M' C' Xét khối tứ diện đều ở đỉnh A là AB C D có các cạnh là x . B D 3 3 G V1 x x x x x M Ta có: . . V1 V (2) V 6 2 6 2 6 2 (6 2)3 (6 2)3 C x3 Từ 1 và 2 V 8.V x3 (3 2)3 x 3 2 1 (6 2)3 1 Câu 31: Chọn C Ta có d A; SBD 2d H; SBD . Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại K , từ H kẻ HP  SK . BD  HK  BD  SH  BD  SHK BD  HP SH  HK H; SH, HK  SHK  HP  BD  Ta có:HP  SK  HP  SBD tại K d H; SBD HP BD  SK K; BD, SK  SBD  a 3 AC a 2 Tam giác SAB đều có SH là đường cao nên SH ; HK 2 4 4 1 1 1 4 16 28 a 21 a 21 HP ; d A; SBD 2d H; SBD . HP2 SH 2 HK 2 3a2 2a2 3a2 14 28 x 1 2 2 Câu 32: Chọn C.Ta có f x x 1 x 2x 0 x 0 . x 2 x 0 2 f x 0 0 Xét g x 2x 8 . f x2 8x m . Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 4; khi và chỉ khi g x 0, x 4 . 2x 8 . f x2 8x m 0, x 4. x2 8x m 0, x 4; f x2 8x m 0, x 4. m 18. 2 x 8x m 2, x 4; Vậy 18 m 100. Do đó có (99 18) 1 82 số nguyên m thỏa đề bài. 2 Câu 33: Chọn C.Đặt t 31 1 x ,vì x  1;1 t 3;9 . t 2 t Ta có phương trình t 2 (1 m)t 2m 0 m (*) t 2 t 2 t 2 Xét f (t) t 3;9 .Có f '(t) 1 0 t 3;9 f (t) đồng biến trên đoạn 3;9 t 2 (t 2)2 12 (*) có nghiệm với m nhỏ nhất m f (3) .Vậy P a b 12 5 17 . 5 Câu 34: Chọn C.Tập xác định của hàm số: D R .
10. 10.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 10 10 10 10 Ta có: y f (x) sin20 x cos20 x 1 sin2 x cos2 x 1 sin2 x 1 sin2 x 1. 10 Đặt t sin2 x, ta có f (t) t10 1 t 1 , t 0;1 . 9 9 1 f ' t 10t9 10 1 t f ' t 0 10t9 10 1 t 0 t 1 t t ; 2 Ta có bảng biến thiên: t 1 0 2 1 f t - 0 - 0 + f t 2 2 513 512 513 513 M 2, m M.m A Từ bảng biến thiên ta có: 512 256 Câu 35: Chọn C.Đặt BC x x 0 .Vì cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh AH x.q bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên 2 q 0 . AB x.q Theo Định lý Pytago có: 2 2 2 2 2 4 2 2 x 4 2 1 B C AB AH BH x .q x .q q q 0 H 2 4 2 2 1 1 q q 2 1 4 2 1 q 0 .Vậy q 2 1 . 1 2 1 2 q2 L q 2 1 L 4 2 Câu 36: Chọn A. y ' x2 2mx (2m 3) 1 1 Đường thẳng (d) : x 2y 2020 0 y x 1010 Hệ số góc (d) : k 2 2 Tiếp tuyến vuông góc với (d) nên hệ số góc của tiếp tuyến là 2 5 Yêu cầu bài toán x2 2mx (2m 3) 2 có hai nghiệm trái dấu a.c 0 2m 5 0 m mà 2 m nguyên thuộc đoạn[ 2019,2019].Nên m { -2019, -2018, ,2} do đó có 2022 giá trị nguyên thỏa mãn. Câu 37: Chọn B Hình đa giác đều H có 24 đỉnh nên có 12 đường chéo đi qua tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp H . Cứ 2 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp H cho ta một hình chữ nhật. 2 Số hình chữ nhật là C12 66 (hình chữ nhật) Trong 66 hình chữ nhật này có ta chọn hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc. 3600 900 Góc ở tâm là 150 . Cần 900 tức là cần 6 . 24 150 4 Vậy có 6 hình vuông trong 66 hình chữ nhật đó.Số phần tử không gian mẫu: C24 Gọi A: “4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật không phải hình vuông” n A 66 6 60 n A 60 10 Xác suất của biến cố A : P A 4 . n  C24 1771
11. 11.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 1 A' Câu 38: Chọn A. S S Gọi E là một điểm trên cạnhCC '. P B' MNPQ 2 ABB'A' . Khi đó d E; ABB' A' d C; ABB' A' . 1 C' VEMNPQ d E; ABB ' A' .SMNPQ 3 Q N 1 1 1 1 2 V E d C; ABB ' A' . SABB' A' .VCABB' A' . V . 3 2 2 2 3 3 4 Câu 39: Chọn D.Ta có không gian mẫu n  A9 . M A B Giả sử số cần lập là abcd .Theo giả thiết ta có. Vì abcd chia hết cho 11 nên ta cób d a c  11 (1) abcd có tổng các chữ số chia hết cho 11 =>a b c d  11 (2) C Từ (1) và (2) ta được a c b d và cùng chia hết cho 11. Vì a,b,c,d 1;2;3;4;5;6;7;8;9 4 a b c d 36 a b c d 11; 22; 33 Do a c b d a c b d 11 a,c và b,d là một trong các cặp số 2,9 , 3,8 , 4,7 , 5,6 . 2 Có C4 cách chọn 2 trong 4 cặp số trên, ứng với mỗi cách đó ta có: a có 4 cách chọn, b có 2 cách chọn, c và d mỗi 2 2 C4 .4.2 1 chữ số có 1 cách chọn.Suy ra n A C4 .4.2 .Từ đây suy ra P A 4 . A9 63 x - 4 Câu 40: Chọn D.Phương trình hoành độ giao điểm: = - 2x + m (x ¹ - 1) Û 2x 2 + (3- m)x - m- 4 = 0. x + 1 Ta có D > 0, " Î ¡ nênd luôn cắt tại hai điểm phân biệt. m (C ) ì ï m- 3 ï x1 + x2 = ï 2 Gọi x , x là hai nghiệm của (*). Theo định lí Viet, ta có íï . 1 2 ï - m- 4 ï x x = îï 1 2 2 Giả sử A(x1;- 2x1 + m)vàB(x2 ;- 2x2 + m) là tọa độ giao điểm của d và(C ) . 2 2 5 2 Ta có AB2 = 5(x - x ) = 5é(x + x ) - 4x x ù= é(m + 1) + 40ù³ 50. Û AB ³ 5 2 2 1 ëê 1 2 1 2 ûú 4 ëê ûú Dấu'' = '' xảy ra Û m = - 1. Câu 41: Chọn B.Ta có: 5a 2 2b2 5 2a 4b 4ab 4a2 4ab b2 a2 2a 1 b2 4b 4 0 2 2 2 a 1 2a b a 1 b 2 0 . b 2 Thay a 1 , b 2 lần lượt vào các hệ thức ta được: Hệ thức 1: .l nĐúng.2 ln 3 l n Hệ6 thức 2: ln 2 .l nSai.3 ln 5 ln 2 Hệ thức 3: ln 8 2 ln 3 . Sai. Hệ thức 4: ln 9 2 ln 3 . Đúng. Vậy có 2 hệ thức đúng. Câu 42: Chọn C.Quan sát các đáp án, ta sẽ xét hai trường hợp là: a b 0 và a 0. Nếu a b 0 thì y cx d là hàm bậc nhất để y đồng biến trên ¡ khi c 0 . Nếu a 0 , ta có y ' 3ax2 2bx c . Để hàm số đồng biến trên ¡ y' 0,x ¡ a 0 a 0 . Chọn đáp án C. 2 ' 0 b 3ac 0 ( ABCD )  ( SCD) CD Câu 43: Chọn C.Ta có: AD  CD . SD  CD Suy ra: ( SCD ),(ABCD) SD, AD S·DA 3 1 a 3 a 3 Mà V S .SA SA a 3 .Vậy tan 3 . S.ABC 3 ABC 6 a
12. 12.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 13 Câu 44: Chọn D 4 f (3x 1) 13 0 1 Đặt 3x 1 t ta có: f (t) . 4 13 Số nghiệm phân biệt của 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f (t) với đường thẳng d : y . 4 13 f (t) 3n 4 o 13 Từ bảng biến thiên f (t) có 4 nghiệm. 13 4 f (t) 1n 4 o Vậy số nghiệm của phương trình 4 f (3x 1) 13 0 là 4. 1  Câu 45: Chọn D.Tập xác định: D ¡ \  2 1 Ta có y ' .Tiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau nên kA kB y ' x1 y ' x2 2x 1 2 1 1 2x1 1 2x2 1 x1 x2 A  B loai 2 2 x1 x2 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x1 1 2x2 1 1 2 2 1 Do x1 x2 1 nên không mất tính tổng quát giả sử x2 0 . 2 2 2 2 2 x2 1 x1 1 x2 1 x1 1 Ta có: AB x2 x1 x2 1 x2 (do x1 x2 1 ) 2x2 1 2x1 1 2x2 1 2x2 1 2 1 2x2 1 2 2 (bất đẳng thức Cauchy).AB 2 khi A 0;1 , B 1;0 . 2x2 1 Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB bằng 2 . 1 1 x Câu 46: ChọNc.Biến đổi: f (x) .Ta thấy 1 2x x 1 1 x x 1 x x x x f x f 1 x 1 , x R x 1 x x x x x 1009 504 506 505 Vậy Q f (sin2 ) f (sin2 ) f (sin2 ) f (sin2 ) f (sin2 ) . 2020 2020 2020 2020 2020 1009 504 f (sin2 ) . 4 2 x x e 3 1 x 1 1 e 3 1 3 x x 1 1 e 1 2 2 a Câu 47: Chọn B.Ta có lim lim lim . 1. x 0 x 1 1 x 0 x x 0 x 3 3 3 b 3 Nên 2a b 7 . Câu 48: Chọn A.Gọi I là trung điểm AB . Kẻ OH  SI vuông góc với SI tại H . AB  OI Ta có: AB  SO AB  SOI AB  OH . OI  SO O OH  SI OH  AB OH  SAB tại H . SI  AB I Suy ra d O, P d O, SAB OH .Tam giác SOI vuông tại O và OH là đường cao, nên ta có
13. 13.LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 1 1 1 OS h a 3 1 1 1 5 a 30 . OH . OH 2 OS 2 OI 2 2 2 2 2 OH 2 3a2 2a2 6a2 5 OI r AI 4a 2a a 2 un 1 3n Câu 49: Chọn C . Do đó: un vk 1 3n 1 5 k 1 3n 5 k 1 (*) . vk 1 5 k 1 * n, k ¥ n5 n 5m * Vì nên từ * (m ¥ ,l ¥ ) . 3,5 1 k 13 k 1 3l Khi đó (*) trở thành: 3.5m 5.3l m l . 1 n 100 1 m 20 Vì ta chỉ xét 100 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng nên 1 k 100 0 l 33 mà m l 1 m l 20 Số giá trị m l thỏa mãn là 20 Số giá trị n, k tương ứng là 20 . Vậy trong 100 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng có 20 số hạng chung. Câu 50: Chọn C.Ta có tam giác IEA vuông tại E , 2 2 2 h 2 2 2 36 h 2 36 h 3 nên r 3 r , 0 h 6 mà Vtru h. r h. 36h h 2 4 4 4 Đặt f (h) 36h h3 , khi đó f (h) 36 3h2 ;f (h) 0 36 3h2 0 h 2 3 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy Vtru lớn nhất khi h 2 3 . ĐÁP ÁN ĐỀ THI 1-A 2-D 3-B 4-C 5-B 6-A 7-B 8-B 9-C 10-A 11-D 12-D 13-B 14-D 15-D 16-A 17-A 18-A 19-C 20-D 21-D 22-D 23-B 24-C 25-C 26-B 27-D 28-A 29-B 30-A 31-C 32-C 33-C 34-C 35-C 36-A 37-B 38-A 39-D 40-D 41-B 42-C 43-C 44-D 45-D 46-C 47-B 48-A 49-C 50-C HẾT