Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Trường THPT chuyên Hưng Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Trường THPT chuyên Hưng Yên (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015 HƯNG YÊN Môn thi: TOÁN BAN CHUYÊN MÔN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y x32 32 mx (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (O là gốc tọa độ). x x 1 x Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình log1 4 4 log 1 2 3 log 2 2 . 22 Câu 3 (1,0 điểm). a) Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình zz2 2 3 0. Tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2015, mỗi thí sinh có thể dự thi tối đa 8 môn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng anh. Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của 3 môn trong kì thi chung và có ít nhất 1 trong hai môn là Toán hoặc Văn. Hỏi trường Đại học đó có bao nhiêu phương án tuyển sinh? 2 sin x Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I dx 0 cos2xx 3cos 2 Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm AB 4;2;2 , 0;0;7 và x 3 y 6 z 1 đường thẳng d : . Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một 2 2 1 mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A. Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.''' A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a , BAC 1200 . Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 600. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng AB'' C theo a . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1;2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2xy 8 0 và điểm B có hoành độ lớn hơn 2. 22 1 y x 2 y x 2 y 3 xy Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình xy, 22 y 1 x 2 y 2 y x Câu 9 (1,0 điểm). Cho x,, y z là các số thực dương thỏa mãn 5 x2 y 2 z 2 9 xy 2 yz zx x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P yz22 x y z 3 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
2. Hết >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
3. ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 1 a) Khảo sát hàm số y x32 32 mx Với m = 1, ta có hàm số: y = x3 + 3x2 + 2 *) TXĐ: *) Sự biến thiên: 0,25 +) Giới hạn tại vô cực: lim y x +) Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 6x y' = 0 x = 0 hoặc x = -2 Bảng biến thiên: x - - 2 0 + ’ y + 0 - 0 + 0,25 6 + 2 - hàm số đồng biến trên (- ; -2) và (0; + ); hàm số nghịch10 biến trên (-2; 0) 0,25 hàm số đạt cực đại tại x = -2, yCĐ = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2 *) Đồ thị: 8 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận điểm I(-1; 4) làm tâm đối xứng. 6 4 0,25 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 -4 Với mọi x , y' = 3x2 + 6mx y' = 0 x = 0 hoặc x = -2m -6 0,5 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(-2m; 4m3 + 2) m 1 SOAB = 1 OA.d(B;OA) = 4 22m (thỏa mãn) m 1 0,5 Vậy với m = 1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài. 2 x x 1 x log1 4 4 log 1 2 3 log 2 2 22 0,5 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
4. x x 1 x log1 4 4 log 1 2 3 log 1 2 2 2 2 log 4x 4 log 221 x 3.2 x 11 22 0,5 4x 4 221 x 3.2 x 4xx 3.2 4 0 21x L x 2 x 24 Vậy BPT có tập nghiệm: S = 2; 3 a) Xét phương trình: zz2 2 3 0 2 ' = 1 - 3 = -2 = i 2 0,25 Phương trình có hai nghiệm: z12 1 i 2; z 1 i 2 AB 1; 2 ; 1; 2 0,25 AB = 22 b) TH1: Trường ĐH chỉ xét 1 trong 2 môn Toán hoặc Văn: 2 0,25 Có: 2.C6 30 (cách) TH2: Trường ĐH xét cả hai môn Toán và Văn: Có: 1.C1 6 (cách) 6 0,25 Vậy có các trường hợp là: 30 + 6 = 36 (cách) 4 22sinxx sin I dx dx 2 00cos2x 3cos x 2 2cos x 3cos x 1 Đặt cosx = t dt = -sinxdx 0,25 Với x = 0 t = 1; với x = t = 0 2 1dt 1 dt 1 11 I 2 dt 2 02t 3 t 1 0 2 t 1 t 1 0 2 t 1 2 t 2 0,25 1 2t 1 3 = ln ln 2t 20 2 0,5 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
5. 5 Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u 2;2;1 và đi qua M(3;6;1) Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương AB 4; 2;5 AM 1;4; 1 0,5 Ta có: u, AB 12;6;12 u, AB . AM 12 24 12 0 Vậy AB và d đồng phẳng C d C 3 2 t ;6 2 t ;1 t Tam giác ABC cân tại A AB = AC (1 + 2t)2 + (4 + 2t)2 + (1 - t)2 = 45 0,5 9t2 + 18t - 27 = 0 t = 1 hoặc t = -3 Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; -2) 6 B C A H K C' B' A' 0 + Xác định góc giữa (AB'C') và mặt đáy là AKA' AKA' 60 . 1 a a 3 Tính A'K = AC'' AA' A ' K .tan600 22 2 0,5 3a3 V =AA'.S ABC.''' A B C ABC 8 +) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) Chứng minh: (AA'K)  (AB'C') Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK A'H  (AB'C') d(A';(AB'C')) = A'H a 3 0,5 Tính: A'H = 4 a 3 Vậy d(B;(AB'C')) = 4 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
6. 7 Gọi E = BN  AD D là trung điểm của AE A B 8 Dựng AH  BN tại H AH d A;BN 5 H 1 1 1 5 M Trong tam giác vuông ABE: 0,25 AH2 AB 2 AE 2 4AB 2 K 5.AH D N C AB 4 2 E B BN B(b; 8 - 2b) (b > 2) AB = 4 B(3; 2) 0,25 Phương trình AE: x + 1 = 0 0,25 E = AE  BN E(-1; 10) D(-1; 6) M(-1; 4) Gọi I là tâm của (BKM) I là trung điểm của BM I(1; 3) BM 0,25 R5 . Vậy phương trình đường tròn: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 5. 2 8 22 1 y x 2 y x 2 y 3 xy 1 22 y 1 x 2 y x 2 y 2 ĐK: y -1 Xét (1): 1 y x22 2 y x 2 y 3 xy Đặt x22 20 y t t 0,5 Phương trình (1) trở thành: t2 1 y t x 2 2 y 2 x 2 y 3 xy 0 = (1 - y)2 + 4(x2 + 2y2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1)2 t x y 1 x22 21 y x y t x2 y 22 x 22 y x y Với x22 21 y x y , thay vào (2) ta có: 1 y y 1 3 y 1 3 y 0 0,25 2 9yy 5 0 xx2 1 (vô nghiệm) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6
7. 15 yx 12 x 22 4 Với x 22 y x y , ta có hệ: x22 22 y x y 15 y 2 0,25 1 5 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm xy;; 42 9 Từ điều kiện: 5x2 + 5(y2 + z2) = 9x(y + z) + 18yz 5x2 - 9x(y + z) = 18yz - 5(y2 + z2) 1122 Áp dụng BĐT Côsi ta có: yz y z ;y22 z y z 42 18yz - 5(y2 + z2) 2(y + z)2. Do đó: 5x2 - 9x(y + z) 2(y + z)2 [x - 2(y + z)](5x + y + z) 0 x 2(y + z) x 1 2x 1 4 1 P y22 z xyz 3 yz 2 xyz 3 y z 27yz 3 1 Đặt y + z = t > 0, ta có: P 4t - t3 27 Xét hàm P 16. 1 yz 12 Vậy MaxP = 16 khi 1 x 3 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7