Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 13 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 13 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 12 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới: Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 2. Cho mặt cầu có diện tích là 72 cm2 . Bán kính R của khối cầu là: A. R 6 cm B. R 6 cm C. R 3 cm D. R 3 2 cm Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1;3;2 , hình chiếu H của trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là: A. 1;0;0 B. 0;3;2 C. 1;0;2 D. 1; 3; 2 Câu 4. Hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên: Hỏi hàm y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 1 1 1 A. ; 1 B. ; C. 0; D. ;0 2 2 2 2 Câu 5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên 0; ? A. y log x B. y log x C. y log x D. y log x 1 2 2 1 e 3 2 Trang 1
2. Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 2y 6z 2 0 . Mặt cầu S có bán kính R là: A. R 2 3 B. R 12 C. R 4 D. R 4 Câu 7. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x 2 : 2 A. S  B. S log3 2 C. S  D. S log2 3 3 Câu 8. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và đường thẳng x 4 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox bằng: A. 4 B. 16 C. 2 D. 8 Câu 9. Cho cấp số nhân un có u1 2 và q 2 . Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. S8 510 B. S8 510 C. S8 1025 D. S8 1025 1 1 1 1 Câu 10. Cho f x dx 2 và g x dx 3 , khi đó f x g x bằng: 1 1 1 3 A. -3B. 2C. 1D. 3 2 Câu 11. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 4 0 . Giá trị của z1 z2 bằng 1 A. 4B. 2C. 1D. 2 Câu 12. Thể tích khối chóp có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2a là: 2 3 2 2 A. V 2 3a3 B. V 3a3 C. V a3 D. V a3 3 3 Câu 13. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng P đi qua ba điểm A 2;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0;1 là: A. x y 2z 2 0 B. 2x 2y z 2 0 C. x y 2z 2 0 D. 2x 2y z 2 0 Câu 14. Số tập hợp con có 5 phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là: 10! A. C5 B. C. A5 D. 50 10 5! 10 Câu 15. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Trang 2
3. Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 4 0 là: A. 4B. 3C. 2D. 1 Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 2a 3, AB 2a , tam giác vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng SAB bằng: A. 900 B. 600 C. 450 D. 300 Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình log0,5 x 3 1 0 là: 7 A. 3; B. 3; C. 3;5 D. ;5 2 Câu 18. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 có đồ thị C . Tiếp tuyến của C có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 4B. 3C. 1D. 2 Câu 19. Biết F x là một nguyên hàm của hàm f x sin 2x và F 1. Tính F ? 4 6 1 3 5 A. F B. F 0 C. F D. F 6 2 6 6 4 6 4 Câu 20. Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số y g x f 2 x đồng biến trên khoảng: A. 1;3 B. 2; C. 2;1 D. ; 2 Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 1 2 1 và mặt phẳng P : 2x y 2z m 0 . Tìm giá trị không âm của tham số để mặt cầu S và mặt phẳng P tiếp xúc với nhau. A. m 2 B. m 1 C. m 5 D. m 0 Câu 22. Cho hai số thực a,b 0 thỏa mãn a2 9b2 10ab . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? Trang 3
4. a 3b log a logb A. log a 3b log a logb B. log 4 2 C. D.log a 1 logb 1 2log a 3b log a logb Câu 23. Biết hàm số f x x3 ax2 2x 1 và g x x3 bx2 3x 1 có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b bằng: A. 30 B. 2 6 C. 3 6 D. 3 3 Câu 24. Cho đồ thị của ba hàm số y a x ; y bx ; y cx như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. b a c 0 B. c b a 0 C. b c a 0 D. c a b 0 Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn 3 2i z 4 1 i 2 i z . Mô đun của z là: 3 A. 10 B. C. 5 D. 3 4 1 3 Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số y trên khoảng ; là: cos x 2 2 A. B. -1 C. 1D. Không tồn tại 2 2 2 Câu 27. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 10 0 . Tính A z1 z2 A. A 20 B. A 10 C. A 30 D. A 50 Câu 28. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông cân, biết AB AC a . Góc tạo bởi mặt phẳng A' BC và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính thể tích khối trụ ABC.A' B 'C ' theo a . a3 2 a3 a3 2 a3 A. B. C. D. 4 2 12 6 Câu 29. Cho hình trụ T có bán kính đáy R , trục OO ' bằng 2R và mặt cầu S có đường kính là S1 OO '. Gọi S1 là diện tích mặt cầu S , S2 là diện tích toàn phần của hình trụ T . Khi đó bằng? S2 S 2 S 1 S S 3 A. 1 B. 1 C. 1 1 D. 1 S2 3 S2 6 S2 S2 2 Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng Oxy với mặt phẳng : x y 1. Tính khoảng cách từ điểm A 0;0;1 đến đường thẳng d . 6 A. B. 3 C. 6 D. 2 2 Trang 4
5. Câu 31. Phương trình cos3 x cos x 2cos2 x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc 0;2 ? A. 2B. 1C. 3D. 4 Câu 32. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' có đáy là một tam giác vuông cân tại B, AB BC a, AA' a 2, M là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B 'C . a 7 a 3 2a A. B. C. D. a 3 7 2 5 4x 5 Câu 33. Cho hàm số y có đồ thị H . Gọi M x ; y với x 0 là một điểm thuộc đồ thị H x 1 0 0 0 thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của H bằng 6. Tính giá trị biểu thức 2 S x0 y0 ? A. S 0 B. S 9 C. S 1 D. S 4 Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình 4x 2.2x 2 m 0 có nghiệm x 0;2 ( m là tham số). A. m 10 B. m 1 C. 1 m 10 D. m 10 Câu 35. Cho hàm số f x xác định trên 1; , biết x. f ' x 2 ln x 0, f 4 e 2 . Giá trị f e bằng: 5 8 10 19 A. B. C. D. 3 3 3 6 Câu 36. Tập hợp các số phức w 1 i z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1 1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. A. 4 B. 2 C. 3 D. Câu 37. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1;2 , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau: 1 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là: f x 1 A. 5B. 4C. 6D. 7 Trang 5
6. Câu 38. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 . Với chiều cao h và bán kính đáy là r . Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất. 36 38 38 36 A. r 4 B. r 6 C. r 4 D. r 6 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 Câu 39. Parabol y chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 S bằng 2 2 thành hai phần S và S ' như hình vẽ. Tỉ số thuộc khoảng S ' nào sau đây? 2 1 1 3 A. ; B. ; 5 2 2 5 3 7 7 4 C. ; D. ; 5 10 10 5 Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB,CD thỏa mãn CD 2AB và diện tích bằng 27, đỉnh A 1; 1;0 . Phương trình đường thẳng chứa cạnh x 2 y 1 z 3 CD : . Tìm tọa độ điểm D biết x x ? 2 2 1 B A A. D 2; 5;1 B. D 3; 5;1 C. D 2; 5;1 D. D 3; 5;1 Câu 41. Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d a 0 xác định trên ¡ và thỏa mãn f 2 1. Đồ thị hàm số f ' x được cho bởi hình bên. Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số f x . A. yCT 3 B. yCT 1 C. yCT 1 D. yCT 2 cos x Câu 42. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0; và f x f x ,x 0; . 2 2 2 1 sin x 2 2 Tính tích phân I f x dx . 0 1 1 A. I B. I 1 C. I D. I 2 4 2 Câu 43. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ . Có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. Biết phương trình 2 f x x2 m đúng với mọi x  2;3 khi và chỉ khi: Trang 6
7. A. m 2 f 3 9 B. m 2 f 2 4 C. m 2 f 0 D. m 2 f 1 1 Câu 44. Cho parabol P : y x2 và hai điểm A, B thuộc P sao cho AB 2 . Tìm diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi P và đường thẳng AB . 4 3 2 3 A. B. C. D. 3 4 3 2 Câu 45. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z 1 34; z 1 mi z m 2i (trong đó m là số thực) và sao cho z1 z2 là lớn nhất. Khi đó giá trị của z1 z2 bằng: A. 2 B. 10 C. 2D. 130 Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với 450 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD . 8a3 A. 4a3 B. 3 4a3 2a3 C. D. 3 3 Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 4m 3 y 2m 3 z 8m 7 3 1  dm : với m 1; ;  . Biết khi m thay đổi thì dm luôn nằm 2m 1 m 1 4m 3 4 2 trong một mặt phẳng P cố định. Phương trình mặt phẳng P là: A. x 5y 2z 6 0 B. x 10y 3z 6 0 C. x 10y 3z 6 0 D. x 10y 3z 6 0 Câu 48. Cho hàm số f x x3 ax2 bx c . Nếu phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt thì 2 phương trình 2 f x . f '' x f ' x có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? A. 1 nghiệmB. 4 nghiệmC. 3 nghiệmD. 2 nghiệm Trang 7
8. x y 1 Câu 49. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x, y 0; z 1 và log 2x y . Khi 2 4x y 3 x z 1 2 y 2 2 đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức T tương ứng bằng: 3x y x 2z 3 A. 4 2 B. 6 C. 6 3 D. 4 Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 0;8;2 và mặt cầu S có phương trình S : x 5 2 y 3 2 z 7 2 72 và điểm B 9; 7;23 . Viết phương trình mặt phẳng P qua A và tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến P lớn nhất. Giả sử n 1;m;n m,n ¢ là một vectơ pháp tuyến của P , tính tích m.n . A. m.n 2 B. m.n 2 C. m.n 4 D. m.n 4 Đáp án 1-C 2-A 3-B 4-A 5-B 6-C 7-B 8-D 9-B 10-C 11-A 12-C 13-C 14-A 15-C 16-C 17-C 18-B 19-C 20-C 21-A 22-B 23-A 24-C 25-A 26-B 27-A 28-A 29-A 30-A 31-C 32-A 33-B 34-C 35-D 36-B 37-C 38-B 39-A 40-A 41-A 42-A 43-B 44-A 45-C 46-C 47-B 48-D 49-D 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Ta có lim y 3 y 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x lim y 2 y 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x lim y x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 Vậy đồ thị đã cho có ba đường tiệm cận. Câu 2: Đáp án A 72 Có S 4 R2 72 R 18 3 2 cm . 4 Câu 3: Đáp án B Hình chiếu của H trên mặt phẳng Oyz là H ' 0;3;2 . Câu 4: Đáp án A 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . 2 Trang 8
9. Câu 5: Đáp án B Hàm số y loga x đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi a 1. Vì 2 1 nên hàm số y log x đồng biến trên tập xác định 0; . 2 Câu 6: Đáp án C Mặt cầu S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (với a 2; b 1; c 3; d 2 ) có bán kính R a2 b2 c2 d 4 . Câu 7: Đáp án B x 3 2 x log3 2 . Vậy tập nghiệm S của phương trình đã cho là S log3 2 Câu 8: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm x 0 x 0 . 4 4 2 x2 V x dx xdx 4 8 . 0 0 0 2 Câu 9: Đáp án B 1 q8 1 28 Ta có: S u . 2. 510. 8 1 1 q 1 2 Câu 10: Đáp án C 1 1 1 1 1 1 Ta có: f x g x dx f x dx g x dx 2 . 3 1. 1 3 1 3 1 3 Câu 11: Đáp án A 2 z 1 3i Ta có: z 2z 4 0 z1 z2 2 z1 z2 4 . z 1 3i Câu 12: Đáp án C 1 1 2 3 Thể tích khối chóp: V Bh 3a2.2a a3 . 3 3 3 Câu 13: Đáp án C x y z Phương trình mặt phẳng P viết theo đoạn chắn: 1 x y 2z 2 0 . 2 2 1 Câu 14: Đáp án A 5 Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 5 của 10 phần tử C10 . Câu 15: Đáp án C Ta có: 2 f x 4 0 f x 2 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 . Trang 9
10. Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y 2 tại 2 điểm phân biệt. Vậy phương trình 2 f x 4 0 có 2 nghiệm phân biệt. Câu 16: Đáp án C BC  AB Có BC  SAB . BC  SA Có BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng SAB . Suy ra CM , SAB C· MB . BC 2AB 2AB 2.2a Ta có: tan C· MB 1 MB SB 2 2 2 2 SA AB 2a 3 2a C· MB 450 Vậy CM , SAB 450 . Câu 17: Đáp án C Điều kiện x 3. log0,5 x 3 1 0 log0,5 x 3 1 x 3 2 x 5 . Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S 3;5. Câu 18: Đáp án B Ta có: y ' 3x2 6x 6 . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số là: 2 2 2 k y ' x0 3x0 6x0 6 3 x0 2x0 1 3 3 x0 1 3 3. Vậy hệ số góc nhỏ nhất là 3 đạt được tại M 3;19 . Câu 19: Đáp án C 4 4 1 1 3 Ta có: F F f x dx sin 2xdx cos 2x 4 F . 4 6 2 6 4 6 4 6 6 Câu 20: Đáp án C Ta có: g ' x 2 x '. f ' 2 x f ' 2 x . 2 x 1 x 3 Hàm số đồng biến khi g ' x 0 f ' 2 x 0 . 1 2 x 4 2 x 1 Câu 21: Đáp án A Xét mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 1 2 1 I 2;1;1 và bán kính R 1. Trang 10
11. m 1 m 2 Vì mặt phẳng P tiếp xúc mặt cầu S nên d I; P R 1 m 1 3 . 3 m 4 Câu 22: Đáp án B 2 2 2 2 a 3b Ta có: a,b 0; a 9b 10ab a 3b 16ab ab . 4 Lấy logarit cơ số 10 cả hai vế của đẳng thức trên, ta được: 2 a 3b a 3b a 3b log a logb log log ab 2log log a logb log . 4 4 4 2 Câu 23: Đáp án A Theo giả thiết, f ' x 0, g ' x 0 có chung ít nhất một nghiệm, gọi nghiệm chung đó là x0 . 2 3x0 2 2 a 3x0 2ax0 2 0 2x0 Ta có: 3x2 2bx 3 0 3x2 3 0 0 b 0 2x0 6x2 5 2 6x2.5 Nên P a b 0 0 30 . 2 x0 2 x0 Câu 24: Đáp án C Ta có: a,b,c 0 . Từ đồ thị suy ra 0 a 1; b 1; c 1 1 . Mặt khác x 0 , ta có: bx cx b c 2 . Từ (1) và (2) suy ra b c a 0 . Câu 25: Đáp án A Gọi z x yi, x, y ¡ . Ta có: 3 2i z 4 1 i 2 i z 3 2i 2 i z 4 1 i 2 i 5z 4 7i x yi 5 x yi 4 12i x 7y 7x 9y i 4 12i x 7y 4 x 3 Ta có hệ: . 7x 9y 12 y 1 Vậy z 3 i nên z 32 1 2 10 . Câu 26: Đáp án B sin x Ta có: y ' ; cos2 x y ' 0 3 x x ; 2 2 Bảng biến thiên: Trang 11
12. Vậy: max y 1. 3 ; 2 2 Câu 27: Đáp án A 2 Phương trình z 2z 10 0 1 có ' 1 10 9 0 nên (1) có hai nghiệm phức là z1 1 3i và z2 1 3i . Ta có: A 1 3i 2 1 3i 2 8 6i 8 6i 8 2 62 8 2 62 20 . Vậy A 20 . Câu 28: Đáp án A Gọi M là trung điểm cạnh BC . AM  BC, A'M  BC · A' BC , ABC ·A'MA 450 a 2 Tam giác ABC vuông cân tại A có AM . 2 a 2 Tam giác A' AM vuông cân tại A có AA' . 2 a 2 a2 a3 2 Vậy V A' A.S . . ABC.A'B'C ' ABC 2 2 4 Câu 29: Đáp án A 2 Diện tích mặt cầu: S1 4 R . 2 2 2 Diện tích toàn phần của hình trụ: S2 4 R 2 R 6 R . S 2 Suy ra: 1 . S2 3 Câu 30: Đáp án A  Xác định được: M 1;0;0 d, u 1;1;0 , MA 1;0;1   MA,u d 6 d A;d  2 ud Câu 31: Đáp án C Trang 12
13. Ta có: cos3 x cos x 2cos2 x 0 cos x cos2 x 2cos x 1 0 cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 1 3 k 0 k 2 2 2 Theo yêu cầu của bài toán ta có: 2 1 1 0 k2 2 k 2 2 3 Do k ¢ nên k 0 hoặc k 1. Khi đó ta có các nghiệm là x ; x hoặc x . 2 2 Câu 32: Đáp án A +) Gọi E là trung điểm của BB '. Khi đó: EM / /B 'C B 'C / / AME . Ta có: d B 'C, AM d B 'C, AME d C, AME d B, AME . +) Xét khối chóp B.AME có các cạnh BE, AB, BM đôi một vuông góc 1 1 1 1 7 nên . d 2 B, AME AB2 MB2 EB2 a2 a 7 d B, AME . 7 a 7 Vậy d B 'C, AM . 7 Câu 33: Đáp án B 4x0 5 Vì điểm M thuộc đồ thị H nên y0 . x0 1 Từ đề bài ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1 và tiệm cận ngang là y 4 . Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 đến đường tiệm cận đứng bằng x0 1 . 4x0 5 9 Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 đến đường tiệm cận ngang bằng y0 4 4 . x0 1 x0 1 9 2 Từ đó ta có x0 1 6 x0 1 6 x0 1 9 0 x0 1 x0 2 L x0 1 3 x0 4 TM Do đó M 4;7 . Suy ra S 9 . Câu 34: Đáp án C Đặt t 2x . Vì x 0;2 nên ta có t 1;4 . Trang 13
14. Bất phương trình trở thành t 2 2t 2 m 0 t 2 2t 2 m . Xét hàm số f t t 2 2t 2 m, t 1;4 f ' t 2t 2 f ' t 0 t 1 1;4 f 1 1; f 4 10 Bất phương trình 4x 2.2x 2 m 0 có nghiệm x 0;2 bất phương trình t 2 2t 2 m có nghiệm t 1;4 1 m 10 . Câu 35: Đáp án D 2 ln x Hàm số f x xác định trên 1; nên x. f ' x 2 ln x 0 f ' x 1 . x 4 Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn e;e , ta được: e e 2 ln x e e f ' x dx dx f ' x dx 2 ln x d ln x 4 4 x 4 4 e e e e 4 4 3 e 7 19 f e f e ln x 4 f e 2 3 e 6 6 Câu 36: Đáp án B Ta có đặt w x yi thì: w 1 i z 1 w 1 i z 1 i 2 w i 2 z 1 i z 1 w i 2 z 1 i z 1 x 2 2 y 1 2 2 z 1 2 2 R 2 S R2 2 Câu 37: Đáp án C 1 Ta có: lim y lim 0 x x f x 1 1 1 lim y lim x x f x 1 2 1 Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận nagng là: y 0; y . 2 x x1, x1 1 x x , 1 x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy f x 1 0 f x 1 2 2 x x ,1 x 2 3 3 x x4 , x4 2 1 Do đó đồ thị hàm số y có 4 đường tiệm cận đứng. f x 1 Vậy đồ thị hàm số có 6 đường tiệm cận. Câu 38: Đáp án B Trang 14
15. 1 3V Ta có: V r 2h h . 3 r 2 Độ dài đường sinh là: 2 2 8 2 2 3V 2 81 2 3 2 l h r 2 r 2 r 2 4 r . r r r Diện tích xung quanh của hình nón là: 38 38 S rl r r 2 r 4 . xq 2r 4 2r 2 38 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi r 6 . 2 2 Câu 39: Đáp án A Phương trình đường tròn: x2 y2 8 y 8 x2 (nửa đường tròn phía trên Ox ). x 2 x2 y2 8 y 2 Hệ phương trình giao điểm của đường tròn và parabol 2 . x y x 2 2 y 2 Diện tích hình tròn Str 8 . 2 x2 Diện tích phần bôi đen S 8 x2 dx 7,6165 2 2 S S Tỉ lệ 0,43482 S ' Str S Câu 40: Đáp án A Đường thẳng CD qua M 2; 1;3 có vectơ chỉ phương u 2;2;1 . Gọi H 2 2t; 1 2t; 3 t là hình chiếu của A lên CD , ta có:  AH.u 0 t 1 H 0; 3;2 , d A;CD AH 3. 2S Từ giả thiết ta có AB CD 3AB 18 AB 6, DH 3, HC 9 . AH   AB  Đặt AB ku k 0 (do xB xA ) k 2 AB 4;4;2 B 3;3;2 . u  9  HC AB 6;6;3 C 6;3;5 6  3  HD AB 2; 2; 1 D 2; 5;1 6 Câu 41: Đáp án A Trang 15
16. Vì đồ thị hàm f ' x cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 và x 1 nên f ' x k x 1 x 1 với k là số thực khác 0. Vì đồ thị hàm f ' x đi qua điểm 0; 3 nên ta có 3 k k 3. Suy ra f ' x 3x2 3 . Mà f ' x 3ax2 2bx c nên ta có được a 1, b 0, c 3 . Từ đó f x x3 3x d . Mặt khác f 2 1 nên d 1. Suy ra f x x3 3x 1. x 1 Ta có: f ' x 0 . x 1 Bảng biến thiên: Vậy yCT 3. Câu 42: Đáp án A 2 Xét tích phân I f x dx . Đặt u x du dx . 1 0 2 Đổi cận x 0 u ; x u 0 . 2 2 Suy ra 0 2 2 2 I f x dx f x dx 2I f x dx f x dx 1 1 2 0 2 0 0 2 2 2 2 cos x 2 d 1 sin x 2I1 f x f x dx 2 dx 2 2 0 0 1 sin x 0 1 sin x 1 2 1 1 1 0 1 I1 1 sin x 2 2 4 Câu 43: Đáp án B Ta có 2 f x x2 m 2 f x x2 m , với mọi x  2;3. Trang 16
17. Đặt g x 2 f x x2 xét trên đoạn x  2;3. g ' x 2 f ' x x . Vẽ đường thẳng y x cùng với đồ thị hàm số y f ' x trên cùng một hệ trục tọa độ. x 2 Ta có: g ' x 0 f ' x x x 1 x 3 Bảng biến thiên: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x , y x, x 2, x 1. Gọi H là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x , y x, x 1, x 3. Dựa vào đồ thị dễ thấy S H S H 0 . 3 g ' x 1 1 3 1 Ta có: dx g ' x dx g ' x dx S H 0 2 2 2 2 1 2 3 g ' x g x g 3 g 2 dx 0 3 0 0 g 3 g 2 0 2 2 2 2 2 min g x g 2 x  2;3 Để bất phương trình g x 2 f x x2 m đúng với mọi x  2;3 thì min g x m g 2 m m 2 f 2 4 . x  2;3 Câu 44: Đáp án A 2 Gọi A a;a2 , B b;b2 với a b . Ta có AB 2 b a 2 b2 a2 4 . x a y a2 x a y a2 AB : y a b x a a2 y a b x ab b a b2 a2 1 b a b b . S a b x ab x2 dx x a b x dx a a Đặt t x a . Trang 17
18. 3 b a b a b a t 2 t3 b a Suy ra S t b a t dt b a t t 2 dt b a b a 0 0 0 0 2 3 6 2 2 2 2 2 4 Ta có: b a b2 a2 4 b a 1 b a 4 b a 4 . 2 1 a b 3 b a 23 4 Suy ra b a 2 S . 6 6 3 a b 0 b 1 A 1;1 , B 1;1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b a 2 a 1 . Câu 45: Đáp án C Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1, z2 . Gọi số phức z x yi x, y ¡ . Ta có z 1 34 M , N thuộc đường tròn C có tâm I 1;0 , bán kính R 34 . Mà z 1 mi z m 2i x 1 y m i x m y 2 i 2 2m x 2m 4 y 3 0 M , N thuộc đường thẳng d : 2 2m x 2m 4 y 3 0 . Do đó M , N là giao điểm của d và đường tròn C . Ta có z1 z2 MN nên z1 z2 lớn nhất MN lớn nhất. MN là đường kính của đường tròn tâm I bán kính 1.  Khi đó z1 z2 2 OI 2.OI 2 . Câu 46: Đáp án C Gọi D ' là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD ' . Khi đó DD '/ /SA mà SA  SBC nên DD '  SBC . Ta có ·SD, SBC D· SD ' S· DA , do đó SA AD.tan 2a tan . Đặt tan x, x 0;1 . 1 4a2 Gọi H là hình chiếu của S lên AB , ta có V SH.S .SH . S.ABCD 3 ABCD 3 Do đó VS.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. Vì SAB vuông tại S nên SA.AB SA AB2 SA2 2ax 4a2 4a2 x2 x2 1 x2 SH 2ax 1 x2 2a. a . AB AB 2a 2 2 Từ đó max SH a khi tan . 2 Trang 18
19. 1 4 Vậy maxV a.4a2 a3 . S.ABCD 3 3 Câu 47: Đáp án B x 4m 3 2m 1 t Phương trình tham số của dm : y 2m 3 m 1 t z 8m 7 4m 3 t Cho t 2 ta được x 1, y z 1. Suy ra dm luôn qua điểm M 1;1;1 . Gọi n a;b;c là một vectơ pháp tuyến của P . Do dm  P phương trình a 2m 1 b m 1 c 4m 3 0 nghiệm đúng với mọi 3 1  m 1; ;  . 4 2 3 1  m 2a b 4c a b 3c 0 nghiệm đúng với mọi m 1; ;  . 4 2 2a b 4c 0 c 3a . a b 3c 0 b 10a Ta chọn a 1 suy ra b 10; c 3. Phương trình qua P có dạng x 10y 3z 6 0 . Câu 48: Đáp án D 2 2 Xét phương trình 2 f x . f '' x f ' x 2 f x . f '' x f ' x 0 . 2 Xét hàm số g x 2 f x . f '' x f ' x với mọi x ¡ . Ta có: g ' x 2 f ' x . f '' x 2 f x f ''' x 2 f ' x f '' x 2 f x . f ''' x . Mặt khác: + Có f ''' x 6 . + Gọi x1 x2 x3 là ba nghiệm của phương trình: f x 0 . x x1 Khi đó g ' x 0 2 f x . f ''' x 0 f x 0 x x 2 x x3 Bảng biến thiên: Trang 19
20. Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt nên ta có f x x x1 x x2 x x3 thì f ' x x x2 x x3 x x1 x x3 x x1 x x2 . 2 Suy ra f ' x 2 x x x x 0 nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y g x cắt 2 2 1 2 3 trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình g x 0 có tối đa hai nghiệm. Câu 49: Đáp án D Từ giả thiết ta có: x y 1 x y 1 log 2x y 1 log 2x y 1 2 4x y 3 2 4x y 3 2x 2y 2 2x 2y 2 log 2x y 1 log 4x y 3 2x 2y 2 2 4x y 3 2 4x y 3 log2 2x 2y 2 2x 2y 2 log2 4x y 3 4x y 3 1 Xét hàm f t log t t có f ' t 1 0 f t đồng biến trên 0; . 2 t ln t f 2x 2y 2 f 4x y 3 2x 2y 2 4x y 3 y 2x 1. x z 1 2 y 2 2 x z 1 2 2x 3 2 Thay vào biểu thức T ta được T . 3x y x 2z 3 5x 1 x 2z 3 Áp dụng bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 x z 1 2x 3 x z 1 2x 3 3x z 4 1 3x z 4 T . . 5x 1 x 2z 3 5x 1 x 2z 3 6x 2z 4 2 3x z 2 Đặt t 3x z 2 . 2 1 t 2 1 4 1 4 T . t 4 . 2. t. 4 4 2 t 2 t 2 t y 2x 1 x z 0 Dấu “=” xảy ra khi t 2 3x z 2 y 1 x z 1 2x 3 5x 1 x 2z 3 Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là Tmin 4 . Trang 20
21. Câu 50: Đáp án D Cách 1: Mặt cầu S có tâm I 5; 3;7 và bán kính R 6 2 .  IA 5;11; 5 IA 171 6 2 nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.  IB 4; 4;16 IB 12 2 6 2 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu. A, I, B không thẳng hàng. Mặt phẳng P qua A và tiếp xúc với S nên khi P thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua A và tiếp điểm tạo thành hình nón. Gọi AB, P d B, P AB.sin đạt giá trị lớn nhất A, B, I, H đồng phẳng AIB  P ( H là hình chiếu của B lên P ). Mặt phẳng P qua A và nhận n 1;m;n làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x my nz 8m 2n 0 . Mặt phẳng P tiếp xúc với S d I, P R . 5n 11m 5 6 2 5n 11m 5 2 72 1 m2 n2 1 m2 n2 49m2 47n2 110mn 50n 110m 47 0 1   Ta có: IA, IB 156;70; 24 .   Gọi n1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng AIB , chọn n1 13;5; 2 .  Do AIB  P n1.n 0 13 5m 2n 0 2 . Thế (2) vào (1) ta được phương trình: m 1 2079m2 8910m 6831 0 6831 m l 2079 Trang 21
22. Thay m 1 vào (2) suy ra: n 4 . Vậy m.n 4 . Cách 2: Mặt cầu S có tâm I 5; 3;7 và bán kính R 6 2 . Mặt phẳng P qua A và nhận n 1;m;n làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x my nz 8m 2n 0. Mặt phẳng P tiếp xúc với S : 5n 11m 5 d I, P R 6 2 1 m2 n2 21n 15m 9 5n 11m 5 4m 16n 4 d B, P 1 m2 n2 1 m2 n2 2 2 2 2 2 5n 11m 5 4 4n m 1 4 1 1 n m 1 6 2 4 18 2 1 m2 n2 1 m2 n2 n m 1 Dấu bằng xảy ra khi m 1; n 4 . 4 1 1 Vậy m.n 4 . Trang 22