Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 20 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 20 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Hàm số x4 x2 3 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0.B. 2.C. 3.D. 1. Câu 2. Cho loga b 0 và a, b là các số thực với a 0;1 . Khi đó kết luận nào sau đây đúng? A. b > 0.B. b > 1.C. 0 b 1. D. 0 b 1. Câu 3. Tìm đạo hàm của hàm số y 102x 1. 2x 1 .102x 1 A. y 2x 1 .102x. B. y . ln10 C. y 2.102x ln10. D. y 20.102x ln10. Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 2; 3 là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó số phức z có phần thực, phần ảo lần lượt là A. -3 và 2.B. 2 và -3.C. -2 và 3.D. 2 và 3. Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z z. Trong những khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng? A. z là số ảo.B. z là số thực.C. z = 0.D. –z là số thuần ảo. 2x 1 Câu 6. Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây sai ? x 2 A. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . C. Hàm số không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. D. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận. Câu 7. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên nửa khoảng 2;3 như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số không có điểm cực đại. B. max y 4. x 2;3 C. min y 3. x 2;3 D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. Câu 8. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau. Chọn ra 3 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách ? 3 3 10 A. 30.B. C10. C. A10. D. 3 . Trang 1
2. Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình x y z 1 0 và 2x y 2z 3 0. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?     A. n1 1; 4; 3 . B. n2 1;4; 3 . C. n3 2;1;3 . D. n4 1; 2; 2 . 3 Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x . x 1 3 x2 3 x2 3 A. f x dx C. B. f x dx C. 2 2 2 2 x 1 2 x 1 x2 3 x2 1 C. f x dx C. D. f x dx C. 2 2 2 2 x 1 2 x 1 16 x4 Câu 11. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x2 4x 3 A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. a Câu 12. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn log b 2,log c 3. Tính giá trị của T log . a a c b 5 3 1 2 A. T . B. . C. T . D. . 6 4 2 3 Câu 13. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y 3 x. B. y 3x. C. y log3 x. D. y log3 x. Câu 14. Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? 1 2x 3 A. f x 2x4 1. B. f x ln x. C. f x e x . D. f x . x x 1 Câu 15. Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f (x). Đồ thị y f (x) được cho như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn 0;3 là A. f(0).B. f(2). C. f(3).D. không xác định được. Câu 16. Cho hình nón có chu vi đáy là 8 cm và thể tích khối nón là 16 cm3. Khi đó đường sinh l của hình nón có độ dài là A. l 3 2 cm. B. l 2 3 cm. C. l 5 cm. D. l 7 cm. Trang 2
3. Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I 1; 1;2 cắt mặt phẳng : x 2y 2z 1 0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3. Khi đó diện tích mặt cầu (S) là A. 5 . B. 52 . C. 24 . D. 13 . Câu 18. Biết z 1 2i là nghiệm phức của phương trình z2 az b 0 với a,b ¡ . Khi đó a b bằng bao nhiêu? A. a b 7. B. a b 7. C. a b 3. D. a b 3. 2 2 Câu 19. Tính giá trị lớn nhất của hàm số y sin x trên khoảng 0; . 27cos x 2 2 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 1 2 Câu 20. Biết Cn Cn 210. Hỏi đâu là khẳng định đúng ? A. n 5;8 . B. n 10;15 . C. n 22;25 . D. n 19;22 . Câu 21. Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f (x), y g(x) và hai đường thẳng x a, x b như hình dưới đây. c b A. S f (x) g(x)dx g(x) f (x)dx. a c c b B. S g(x) f (x)dx f(x) g(x)dx. a c b C. S g(x) f (x)dx . a b D. S f(x) g(x)dx . a x x Câu 22. Phương trình 9 3.3 2 0. có hai nghiệm x1, x2 với x1 x2. Tính giá trị của A 2x1 3x2 A. A = 0.B. A 4log3 2. C. A 3log3 2. D. A = 2. Câu 23. Biết hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào? A. B. C. D. Trang 3
4. e Câu 24. Cho tích phân I x2.ln2 xdx. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 e e e e 2 A. I x3 ln2 x 2 x2 ln xdx. B. I x3 ln2 x x2 ln xdx. 1 1 1 3 1 1 e 2 e 1 e e C. I x3 ln2 x x2 ln xdx. D. I x3 ln2 x 4 x ln xdx. 3 1 3 1 3 1 1 Câu 25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxyz, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Biết rằng số phức w z i được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P, Q, R, S như hình vẽ. Hỏi điểm biểu diễn w là điểm nào? A. P.B. Q. C. R.D. S. Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, A· BC A· SC 60. Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD là a3 3 3a3 A. V . B. V . 2 2 a3 a3 3 C. V . D. V . 2 6 4 dx Câu 27. Biết a ln 2 bln 5 c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S a 3b c. 3 x 1 x 2 A. S = 3.B. S = 2.C. S 2. D. S = 0. Câu 28. Cho khối lập phương ABCD.A B C D có thể tích là V. Một hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm của hình vuông A B C D . Khi đó thể tích của khối nón đó là V V A. . B. . 3 6 V V C. . D. . 12 6 Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2y mz 2 0 và đường x 1 y z 2 thẳng : (với m,n ¡ và n 0 ). Biết vuông góc với (P). Khi đó tổng m n bằng 2 n 4 bao nhiêu? A. m n 2. B. m n 2. C. m n 7. D. m n 5. Trang 4
5. Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB 2a,BC a. Biết hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết góc tạo bởi 2 mặt (SBC) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SC và HD. a 66 a 264 A. h . B. h . 11 11 a 30 a 30 C. h . D. h . 5 3 Câu 31. Biết y 2017x 2018 là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f (x) tại điểm có 2 hoành độ x x0. Biết g(x) xf (x) 2017x 2018x 1. Tính giá trị của g x0 . A. g x0 0. B. g x0 1. C. g x0 2018. D. g x0 2017. Câu 32. Cho hàm số y f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên ¡ và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 1 có hoành độ x 0. Tính tích phân I xf x2 dx. 0 1 A. . B. 2 4 1 C. 4D. . 2 x2 1 Câu 33. Cho hàm số y log 1 log5 có tập xác định là D. Khi đó có bao nhiêu số thuộc tập hợp 5 x 3 D là số nguyên ? A. 5.B. 6.C. 7.D. 8. Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x, 0 x là một tam giác đều cạnh là 2 sin x. Tính thể tích của vật thể đó. A. V 2 3 . B. V 8. C. V 2 3. D. V 8 . ax b Câu 35. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y . cx d Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ad > bc > 0.B. 0 > ad > bc. C. ad < bc < 0.D. 0 < ad < bc. Câu 36. Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 5;3 là Trang 5
6. A. 12 . B. 18 . C. 24 . D. 36 . sin x cos x 1 2018 22018. sin x 2 Câu 37. Tính lim . 3 2 x 4x x 2 22019 1009.22017 22018 1009.22018 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 dx 2 2 dx 1 2a 1 Câu 38. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ln 2 và ln . Khi đó tổng 0 ax b a 0 bx a b 3 T a b bằng bao nhiêu ? A. T 7. B. T 3. C. T 9. D. T 5. 25 Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 6 2i. Khi đó z thuộc khoảng nào trong các khoảng z sau? A. 2;4 . B. 4;6 . C. 9;11 . D. 11;14 . Câu 40. Xét hàm số f (x) ex a sin x bcos x với a, b là tham số thực. Biết rằng tồn tại x ¡ để f (x) f (x) 10ex . Khi đó, nhận định nào sau đây đúng? A. a 2 b2 10. B. a 2 b2 10. C. a b 10. D. a b 10. Câu 41. Gọi S là tập hợp các số có ba chữ số có dạng abc. Tính xác suất để rút ngẫu nhiên 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác cân, đồng thời là tam giác nhọn 1 3 4 61 A. . B. . C. . D. . 72 50 25 900 Câu 42. Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A 1; 4;4 ,B 1;7; 2 ,C 1;4; 2 . Mặt phẳng P : 2x by cz d 0 đi qua điểm A. Đặt h1 d B, P ;h2 2d C, P . Khi h1 h2 , đạt giá trị lớn nhất, tính T b c d. A. T 52. B. T 33. C. T 65. D. T 77. Câu 43. Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết BC a,B· AC 60,B· DC 30. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là 39 a3 13 39 a3 13 39 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 54 54 27 27 Câu 44. Cho hàm số f (x) m3 1 x3 3x2 3 m 2 x 4. Biết f(x) 0 với  x 3;5. Khi đó có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  100;100? A. 100.B. 101.C. 99.D. 201. Câu 45. Có bao nhiêu giá trị nguyên m  10;10 để phương trình Trang 6
7. m sin 2x 3 2 5 2018 .log2019 sin 2x m 12 log2019 3 cos 2x 12 có 4 nghiệm thuộc ; ? 6 3 A. 3.B. 1.C. 9.D. 2. Câu 46. Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d có bảng biến thiên như sau. Khi đó phương trình f x m có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 1 x4. khi và chỉ khi A. 0 m 6. B. 3 m 6. C. 2 m 6. D. 4 m 6. 2un Câu 47. Cho dãy số un với u1 2 và un 1 với n 1. Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng của 3 3 3un 8 1 dãy un có giá trị thuộc đoạn ;1 ? 9 2018 A. 31.B. 30.C. 2017.D. 2018. Câu 48. Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1 1 3i 4 và z2 1 i z2 2 3i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z1 z2 bằng bao nhiêu? 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 15 10 2 Câu 49. Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và (O ). Gọi AA và BB là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp M.AA B B bằng bao nhiêu? R3 3 R3 3 3R3 3 R3 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 3 Câu 50. Cho khối đa diện tám mặt đều (bát diện đều) có thể tích bằng V. Gọi V là thể tích của khối đa V diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều đã cho. Tính tỉ số . V 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9 Trang 7
8. Đáp án 1-C 2-D 3-D 4-D 5-B 6-A 7-B 8-B 9-A 10-C 11-A 12-C 13-B 14-B 15-B 16-C 17-B 18-A 19-A 20-D 21-A 22-C 23-D 24-C 25-D 26-D 27-B 28-D 29-A 30-C 31-A 32-D 33-B 34-C 35-C 36-D 37-B 38-D 39-B 40-B 41-C 42-C 43-B 44-B 45-D 46-B 47-A 48-C 49-B 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Ta có ab 1 0, suy ra hàm số có 3 điểm cực trị Chú ý: Hàm số trùng phương y ax4 bx2 c (với a 0 ) +) Có 1 cực trị khi ab 0. +) Có 3 cực trị khi ab 0. a 0;1 Câu 2: Do 0 b 1. loga b 0 a,b 0;1 a 0;1 a 1 Chú ý: loga b 0 và loga b 0 hoặc . a,b 1 b 1 b 0;1 Câu 3: Ta có a u u a u ln a y 102x 1 2.102x 1 ln10 20.102x ln10. Câu 4: Ta có M 2; 3 z 2 3i z 2 3i z có phần thực, phần ảo lần lượt là 2 và 3. Câu 5: Đặt z a bi, khi đó: z z a bi a bi 2bi 0 z a là số thực. 5 Câu 6: TXĐ: ¡ \ 2. Ta có y 0,x 2. x 2 2 Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 2 và 2; Suy ra A sai (đúng phải là hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó). Chú ý : Ở đây B đúng vì hàm số đồng biến trên 2; thì cũng sẽ đồng biến trên 2; Câu 7: +) Hàm số đạt cực đại tại x 0 A sai. +) Giá trị lớn nhất của hàm số là max y 4 B đúng. x 2;3 +) Hàm số không xác định tại x 2 không có giá trị nhỏ nhất C sai. +) Cực tiểu của hàm số là giá trị cực tiểu của hàm số. Nên cực tiểu của hàm số là 1 D sai. Câu 8: Trang 8
9. 3 Chọn ra 3 cuốn sách từ 10 cuốn (không quan tâm tới thứ tự) nên số cách chọn là: C10. n P 1;1; 1 Câu 9: Ta có ud n P ,n Q 1; 4; 3 . n Q 2; 1;2 3 x2 3 Câu 10: Ta có f x dx x dx C. 3 2 x 1 2 2 x 1 16 x4 0 2 x 2 Câu 11: Điều kiện x 2;2 \ 1 Đồ thị hàm số không có tiệm 2    x 4x 3 0 x 1, x 3 cận ngang (Vì không chứa hoặc nên không tồn tại lim y ). x 2 x 1 Xét x 4x 3 0 x 2 +) Với x 1 16 x4 15 0 x 1 là tiệm cận đứng. +) Với x 3 16 x4 không xác định nên x = 3 không phải là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là đường x = 1. a 1 1 loga b 1 2 1 Câu 12: Ta có T logc logc a logc b . b 2 2loga c loga c 2.3 3 2 Câu 13: Hàm số xác định trên tập ¡ Loại C, D. Hàm số đồng biến trên ; Loại A. 1 Câu 14: Ta dễ thấy hàm số f (x) ln x đồng biến trên 0; y 0,x 0 . x Câu 15: Ta có dấu của f x trên 0;3 như sau: Suy ra bảng biến thiên: Suy ra min f x f 2 . 0;3 Câu 16: Ta có C 2 r 8 r 4 cm. 1 Suy ra: V r2.h 16 h 3 cm l r2 h2 5 cm. 3 Trang 9
10. 1 2 4 1 Câu 17: Ta có: h d I, 2 3 R h2 r2 4 9 13 S 4 R 2 52 . Câu 18: Cách 1: Do z 1 2i là nghiệm thức của phương trình z2 az b 0 1 2i 2 a 1 2i b 0 a b 3 0 a 2 a b 3 2 a 2 i 0 a b 7. a 2 0 b 5 Cách 2: Phương trình bậc 2 với hệ số thực có 2 nghiệm phức là 2 số phức liên hợp của nhau. Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm z1 1 2i và z2 1 2i a z1 z2 2 a b 7. b z1.z2 5 2 2 Câu 19: Đặt cos x t sin x 1 t , x 0; t 0;1 2 2 2 1 Khi đó y 1 t2 y 2t , y 0 t 0;1 . 27t 27t2 3 1 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có max y y . 0;1 3 3 n ¥ * Câu 20: Điều kiện . Khi đó phương trình tương đương: n 2 n n 1 2 n 20 n 2 n 210 n n 420 0  n 20 19;22 . 2 n 21 Câu 21: Dựa vào hình vẽ cho ta biết: +) Trên a;c: f (x) g(x) hay f (x) g(x) 0. +) Trên c;b: g(x) f(x) hay g(x) f(x) 0. b c b Do đó: S g(x) f (x) dx f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx a a c c b f (x) g(x)dx g(x) f (x)dx. a c 3x 1 x 0 Câu 22: Phương trình 9x 3.3x 2 0 1 A 2x 3x 3log 2 x 1 2 3 3 2 x2 log3 2 Câu 23: Ta có a 1 0, suy ra “điểm cuối” của đồ thị có hướng đi xuống loại C. Ta có ab 2 0, suy ra hàm số có 3 cực trị loại B. Trang 10
11. Do d 1 0, suy ra đồ thị cắt trục hoành Oy tại điểm có hoành độ âm. 2ln x 2 du dx e e u ln x x 1 3 2 2 2 Câu 24: Đặt . Khi đó I x ln x x ln xdx. dv x2dx x3 3 3 v 1 1 3 Câu 25: Ta có M x;1 z x i w z i x điểm biểu diễn w là điểm S. Câu 26: Do ABC là tam giác cân và A· BC 60 nên tam giác ABC đều a 2 3 S 2S . ABCD ABC 2 AC a a 1 a3 Lại có: SA V SA.SABCD . tan A· SC tan 60 3 3 6 Câu 27: 4 4 dx 1 x 2 1 8 1 Ta có I ln ln ln 2 ln 5 0 a ln 2 bln 5 c. 3 x 1 x 2 3 x 1 3 3 5 3 a 1 1 Do a,b,c ¤ b S a 3b c 2. 3 c 0 dx 1 ax b Chú ý: Ta có công thức tính nhanh tích phân ln . ax b cx d ad bc cx d Câu 28: Gọi cạnh của hình lập phương là a khi đó ta có V a3. Hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm của hình vuông A B C D a 2 R 1 2 1 3 V 2 V N h R a . 3 6 6 h a n P 1;2; m Câu 29: Ta có . Do vuông góc với (P), suy ra n P ,u cùng phương. u 2;n;4 1 2 m n 4 Do đó: m n 2. 2 n 4 m 2 Câu 30: Dựng hình bình hành HDCE. Suy ra HD / /CE HD / / SCE . Khi đó: h d HD,SC d HD, SCE d H, SCE HK (như hình vẽ). Ta có: EC HD AH2 AD2 a 2. Trang 11
12. S S 2a 2 Suy ra: HI HDCE ABCD a 2. EC EC a 2 Tam giác SAB cân tại S và SB, ABCD S· BA 60. Suy ra SAB đều cạnh AB 2a SH a 3. 1 1 1 1 1 5 Ta có: HK2 SH2 HI2 3a 2 2a 2 6a 2 a 30 a 30 HK . Vậy d HD,SC . 5 5 Câu 31: Ta có: g x f x xf x 4034x 2018. Suy ra: g x0 f x0 x0f x0 4034x0 2018 (*) f x 2017 0 * Gọi M x0 ;f x0 là tiếp điểm của tiếp tuyến, suy ra: (2 ) f x0 2017x0 2018 * Thay (2 ) vào (*), ta được g x0 2017x0 2018 x0.2017 4034x0 2018 0. 2 dt 2xdx Câu 32: Đặt t x . x : 0 1 t : 0 1 1 1 1 1 1 Khi đó: I f t dt f t . f ' 1 f ' 0 (*) 0 2 0 2 2 Do hàm số y f x có điểm cực trị x 1 f 1 0. x y Phương trình đường thẳng : 1 y x 1 (1) 1 1 Suy ra hệ số góc của đường thẳng là 1 f 0 1 (2). 1 1 Thay (1), (2) vào (*), ta được: I . 0 1 . 2 2 x2 1 x2 1 Câu 33: Điều kiện log 1 log5 0 log 1 1 0 log5 1 5 x 3 5 x 3 x2 1 x2 1 log 1 log log 5 1 5 5 5 x 3 5 x 3 x2 x 2 3 x 1 0 x 3 x 2 2 x 1 D  2; 1  2;7. x2 5x 14 x 3 2 x 7 0 x 3 2 x 7 x D Khi đó: x 2;3;4;5;6;7: có 6 số nguyên. x ¢ Trang 12
13. 2 2 sin x . 3 Câu 34: Tam giác đều cạnh 2 sin x có diện tích: S x 3 sin x. 4 Suy ra thể tích vật thể là: V S x dx 3 sin xdx 3 cos x 3 1 2 2 3. 0 0 0 Câu 35: Dựa vào đồ thị ta có: +) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, suy ra: ad bc d y 0, với x ad bc 0 ad bc * loại A, B. cx d 2 c b +) Đồ thị cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ x 0 ab 0 (1). a a +) Đồ thị có tiệm cận ngang y 0 ac 0 (2). c Từ (1), (2) a 2bc 0 bc 0 (2*) (vì a 0 ). Từ (*), (2*) ad bc 0. Câu 36: Để trả lời được câu hỏi ta cần xác định được khối đa diện đều loại 5;3 có bao nhiêu mặt và mỗi mặt có bao nhiêu đỉnh (cạnh) ? +) Loại 5;3 cho ta biết mỗi mặt có 5 đỉnh (5 cạnh) hay mỗi mặt là một ngũ giác (chia thành 3 tam giác), suy ra tổng các góc của một mặt là: 3.180 3 (rad) (*). +) Loại 5;3 là khối đa diện mười hai mặt đều, nên có 12 mặt (2*). Từ (*) và (2*), suy ra tổng các góc của tất cả các mặt là: 12.3 36 . Chú ý: Một đa giác n cạnh (n đỉnh) có tổng các góc là: n 2 .180 n 2 . sin x cos x 1 2018 22018. sin x 2 Câu 37: Ta có: L lim 3 2 x 4x x 2 2018 2018 2019 sin x cos x 1 2 sin x 2 1 lim . . x 2 x 4x x 2 2 Đặt f x sin x cos x 1 2018 22018.sin x. 1 1 Khi đó L f .lim f . . 2 2 x 2 2 2 4x x 2 2017 2018 2017 Ta có: f x 2018. sin x cos x 1 . cos x sin x 2 .cos x f 2018.2 . 2 1 1009.22017 Suy ra L 2018.22017. . 2 2 2 Trang 13
14. f x f x0 Chú ý: Cho hàm số y f x thì f x0 lim . x x 0 x x0 Câu 38: Với a,b 0, ta có: 2 dx 1 2 1 2a b 2 2a b +) ln ax b ln ln 2 4 2a 3b (*). 0 0 ax b a a b a b 2 dx 1 2 1 2b a 1 2a 1 +) ln bx a ln ln 0 0 bx a b b a b 3 2b a 2a 1 6b 3a 2a 2 a (2*) a 3 Thay (*) vào (2*), ta được: 2 a 0 a 0 * 4a 3a 2a a 2a a 3 0  a 3  b 2. a 3 Suy ra T a b 5. Câu 39: Điều kiện bài toán tương đương: 25 25 2 i z 6 2i 2 z 6 z 2 i . z z 25 2 2 25 2 z 6 z 2 i 2 z 6 z 2 (*) z z 2 2 25 625 Đặt t z 0, khi đó (*) có dạng: 2t 6 t 2 5t2 28t 40 t t2 5t4 28t3 40t2 625 0 t 5 5t3 3t2 25t 125 0 (2*) Do 5t3 3t2 25t 125 0 t 5t2 3t 25 125 0,t 0, suy ra: (2*) t 5 z 5 4;6 . Câu 40: Ta có: f x ex a sin x bcos x ex a cos x bsin x x e a b sin x a b cos x ex Asin x Bcos x với A a b;B a b. x x f e A B sin x A B cos x e . 2bsin x 2a cos x . x x Suy ra: 10e f x f x e a 3b sin x 3a b cos x a 3b sin x 3a b cos x 10. Điều kiện phương trình có nghiệm: a 3b 2 3a b 2 102 a 2 b2 10. Câu 41: Số các số có ba chữ số là: n  9.10.10 900. Gọi A là biến cố rút 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác vừa cân, vừa nhọn. Trang 14
15. Do tam giác cân, nên ta gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là: a;b;c với a=c. Gọi là góc ở đỉnh cân (hình vẽ). 2a 2 b2 Khi đó tam giác nhọn cos 0 2a 2 b2. 2a 2 2a b Vậy điều kiện để tam giác cân đồng thời nhọn là: 2a 2 b2. 2 2 2a b +) Với a 1 b 1 đều được lấy ra từ số 111, nghĩa là có 1 cách. +) Với a 2 b 1;2 số khả năng 1 3 4 (cách) (gồm 1 tam giác đều, 3 tam giác cân không đều). +) Với a 3 b 1;2;3;4 số khả năng 1 3.3 10 (cách) +) Với a 4 b 1;2;3;4;5 số khả năng 1 4.3 13 (cách) +) Với a 5 b 1;2;3;4;5;6;7 số khả năng 1 6.3 19 (cách) +) Với a 6 b 1;2;3;4;5;6;7;8 số khả năng 1 7.3 22 (cách) +) Với a 7;8;9 b 1;2;3;4;5;6;7;8;9 số khả năng 3. 1 8.3 75 (cách) Suy ra n A 1 4 10 13 19 22 75 144. n A 144 4 Vậy xác suất cần tính là: P A . n  900 25 Câu 42: Ta dựng thêm điểm D sao cho C là trung điểm của AD D 3;12; 8 Gọi H1, H3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D lên mặt phẳng (P). Khi đó: d D, P 2d C, P h2 DH3. Trường hợp 1: B, C cùng phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ). 19 Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BD,H1H3 I 2; ; 5 2 Suy ra: h1 h2 BH1 DH3 2IH 2IA 33 (*) Trường hợp 2: B, C khác phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ). * Suy ra: h1 h2 BI DI BD 65 (2 ). Từ (*), (2*) suy ra: h h 33. 1 2 max Dấu “=” xảy ra khi IA  P   27 n P IA 3; ;9 / / 2;9; 6 . 2 Trang 15
16. Suy ra phương trình P : 2 x 1 9 y 4 6 z 4 0 b 9 P : 2x 9y 6z 62 0 c 6 T 65. d 62 Câu 43: Do ABC  DBC BC và ABC  DBC nên theo mô hình 3, ta có: 2 2 2 BC R c R1 R 2 với R1,R 2 lần lượt là bán kính đường tròn 2 ngoại tiếp tam giác ABC và DBC. BC a a R 1 2sin A 2sin 60 3 Ta có: . BC a R a 2 2sin D 2sin 30 2 2 3 a 2 a a 39 4 3 13 39 a R c a V R c . 3 2 6 3 54 Câu 44: Ta có: f x 0 với x 3;5. m3 1 x3 3x2 3 m 2 x 4 0,x 3;5. mx 3 3mx x3 3x2 6x 4,x 3;5. mx 3 3mx x 1 3 3 x 1 ,x 3;5. g mx g x 1 với g t t3 3t là hàm số đồng biến. x 1 1 mx x 1,x 3;5 m 1 h x ,x 3;5 m min h x . x x 3;5 1 2 Ta có h x 0,x 3;5, suy ra h x đồng biến trên 3;5 min h x h 3 . x2 3;5 3 2 Vậy m m  100;100 m : 100 0, nghĩa là có 101 số nguyên m. 3 m ¢ Câu 45: Ta có: m 1 3 m sin 2x 3 cos 2 x m sin 2x sin 2x cos 2x . 3 2 2 2 2 2 u sin 2x m 12 Đặt , khi đó phương trình có dạng: v 3 cos 2x 12 u u v 2018 2 2018 .log2019 u log2019 v v .log2019 u log2019 v 2018 Trang 16
17. u v t 2018 .log019 u 2018 log2019 v f u f v trong đó f t 2018 .log2019 t m u v sin 2x m 12 3 cos 2x 12 sin 2x (*) 3 2 5 m Do x ; 2x 0;3  nên để (*) có 4 nghiệm thì: 0 1 6 3 3 2 0 m 2 m ¢ m 0;1: có giá trị m thỏa mãn. Câu 46: Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: Vì bài toán quan tâm tới việc sắp thứ tự các nghiệm với giá trị x = 1 do đó ta cần tính được giá trị của hàm số tại x = 1. Nhưng ta nhận thấy M(0;6) và N(2;0) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó, trung điểm I(1;3) của MN cũng thuộc đồ thị hàm số hay f 1 3 nên ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên này, suy ra phương trình f x m có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 1 x4 khi và chỉ khi 3 m 6. 3 2un 3 8un 3 3 3 3 Câu 47: Ta có: un 1 un 1 3 8un 1 3un .un 1 8un 0. 3 3 3u 8 3un 8 n 8 8 8 8 3 3 3 0 3 3 3 (*) un un 1 un 1 un 8 8 * v1 3 1 Đặt vn 3  vn 1 vn 3, suy ra vn là một cấp số cộng có u1 . un d 3 8 3 8 Khi đó vn v1 n 1 d 3n 2 3 3n 2 un . un 3n 2 Trang 17
18. 1 3 1 1 8 Xét các số hạng: un ;1 un ;1 1 9 2018 3 2018 3 2018 3n 2 8 3n 2 8.3 2018 3,3 n 34,4 n ¥ * n : 4 34, có 31 số hạng. M z1 Câu 48: Gọi , khi đó: z1 1 3i 4 MI 4 với I 1; 3 . M z2 Suy ra M thuộc đường tròn tâm I 1; 3 , bán kính R 4. A 1; 1 Ta có: z2 1 i z2 2 3i z2 1 i z2 2 3i NA NB trong đó: . B 2;3 Suy ra N thuộc đường thẳng : 6 x 8y 11 0 là đường trung trực của AB. Khi đó: T z1 z2 MN M0H với H là hình chiếu vuông góc của I trên và IH  C M0 (như hình vẽ) Ta có: M0H IH IM0 6 24 11 1 d I, R 4 . 62 82 10 1 1 Suy ra T T . 10 min 10 Câu 49: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB MH  AA B B . 1 1 R Khi đó: V MH.S MH.AB.AA MH.AB. M.AA B B 3 AA B B 3 3 Vậy để V MH.AB . M.AA B B max max Khi AB cố định thì MH.AB MH M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra O MH H là max max trung điểm của AB. MH MO OH R x Đặt OH x . 2 2 2 2 AB 2HB 2 OB OH 2 R x Suy ra: MH.AB R x .2 R 2 x2 MH.AB 2 4 R x 2 .(R 2 x2 ) Trang 18
19. 4 R x R x R x . 3R 3x 3 4 4 R x R x R x 3R 3x 27R 4 . 3 4 4 R Dấu “=” xảy ra khi: R x 3R 3x x . 2 3 3R 2 R 3 3R 2 R3 3 R3 3 Suy ra MH.AB V . V . 2 M.AA B B 3 2 2 M.AA B B max 2 Câu 50: Gọi SABCDS là khối đa diện đều cạnh a. 1 1 a3 2 Khi đó: V SS .S .a. 2.a 2 . SABCDS 3 ABCD 3 3 Khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều SABCDS là hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên). Gọi I là trung điểm của CD. MN IM 1 1 a 2 Khi đó: MN SS . SS IS 3 3 3 Khi đó thể tích hình lập phương: 3 3 2a 2 a 2 2a3 2 V 2 V . Suy ra 27 3 3 27 V a 2 9 3 a3 2 Chú ý: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích: V . 3 Trang 19