Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chung) - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Điện Biên

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chung) - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Điện Biên

1. SỞ GD& ĐT TỈNH ĐIỆN BIÊN ĐỀ TS VÀO 10 THPT Năm học: 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chung) Thời gian: 90’ (không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Câu 1. (2,5 điểm) x 5 x 1 7 x 3 Cho biểu thức: A và B x 3 x 3 x 9 1. Tính A khi x = 25. 2. Rút gọn biểu thức B. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của A . B Câu 2. (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: a)x2 5x 4 0 b) x4 x2 6 0 2x y 7 2. Giải hệ phương trình: x 2y 1 Câu 3. (1,0 điểm) Cho phương trình: x2 ax b 1 0 (a, b là các tham số). Tìm a, b để phương trình x1 x2 3 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 3 3 x1 x2 9 Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Kẻ đường kính CE. 1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân. 2. Chứng minh: AB2 CD2 BC 2 AD2 2 2R. 3. Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình gì? Câu 5. (1,0 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3 x3 x2 x 1. 2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A = 1 a2 1 b2 1 c2 là một số chính phương.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (2,5 điểm) x 5 x 1 7 x 3 Cho biểu thức: A và B x 3 x 3 x 9 1. Tính A khi x = 25. 2. Rút gọn biểu thức B. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của A . B Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 0, x 9 25 5 30 A 15 1. Với x = 25 (TMĐK) => 25 3 5 3 x 1 7 x 3 ( x 1)( x 3) 7 x 3 B x 3 x 9 ( x 3)( x 3) x 9 x 4 x 3 7 x 3 x 3 x x 2. Có: x 9 x 9 x 3 A x 5 x x 5 : 3. Có: B x 3 x 3 x ĐK: x > 0. A x 5 5 5 x 2. x 2 5 => B x x x 5 x x 5(TM ) Dấu "=" xảy ra x MinA 2 5 x 5 Vậy Câu 2. (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: x2 5x 4 0 x4 x2 6 0 a) b)
3. 2x y 7 2. Giải hệ phương trình: x 2y 1 Hướng dẫn: 2 x 1 1. a) x 5x 4 0  b) x 4 (x2 2) 0 x 2 x4 x2 6 0 (x2 2)(x2 3) 0  2 (x 3) 0(Voly) 2x y 7 4x 2y 14 3x 15 x 5 2. x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 y 3 Câu 3. (1,0 điểm) Cho phương trình: x2 ax b 1 0 (a, b là các tham số). Tìm a, b để phương trình x1 x2 3 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 3 3 x1 x2 9 Hướng dẫn: 2 2 Ta có: a 4(b 1) a 4b 4 0 a2 4b 4 0 Để phương trình có nghiệm thì: x1 x2 a x .x b 1 Theo Vi-Et ta có: 1 2 x1 x2 3 x1 x2 3 2 (x1 x2 ) x1x2 3 x 3 x 3 9 (x x )(x2 x x x2 ) 9 Mà: 1 2 1 2 1 1 2 2 ( a)2 b 1 3 b a2 4 b a2 4 Thay vào biểu thức Delta ta có: a2 4b 4 a2 4(a2 4) 4 3a2 12 0 3a2 12 0 2 a 2 ĐK: a a 3a2 12 a a 3a2 12 x1 ; x2 => 2 2 2 2
4. a 3a2 12 a 3a2 12 x x 3 x x 3 1 2 1 2 2 2 2 a 1 Do: 3a 12 9  (TM ) b 3 a 1 a 1 Vậy b 3 thì pt có nghiệm thỏa mãn đề bài. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Kẻ đường kính CE. 1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân. 2 2 2 2 2. Chứng minh: AB CD BC AD 2 2R. 3. Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình gì? Hướng dẫn: B C O E K I A D N M F
5. 0 1. Có: E AC E BC E DC 90 (Góc nt chắn nửa đường tròn) EA AC EA BD ( AC) EADB là hình thang (1) B EC B CE 900 Mà: 0 (cmt) I DC I CD 90 1 I DC B DC ADC B C B C Do: 2 (Góc nt chắn ) => I CD ACD B CE => E B AD EB AD (2) Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân. (đpcm) 2 2 2 2 2 2 2 2 2. Có: AB CD BC AD (ED CD ) (BC EB ) (Vì: AB = ED, AD = EB (cmt)) AB2 CD2 BC 2 AD2 (ED2 CD2 ) (BC 2 EB2 ) EC 2 EC 2 2EC 2 2.(2R)2 2 2R (đpcm) 3. Giả sử : AF CD M ; BK CD N => M CA IFA (Cùng phụ với C AM ) AFB cân tại A. => AB = AF (3) I AB I AF (Đường cao trong tam giác cân) Mà: BK // AF (cùng  DC ) I KB I AF (SLT ) I KB I AB ( I AF) ABK cân tại B => BA = BK (4) Từ (3) và (4) => AB = BK = AF. => AF//=BK => ABKF là HBH Mặt khác: => ABKF là hình thoi. Câu 5. (1,0 điểm)
6. 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3 x3 x2 x 1. 2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A = 1 a2 1 b2 1 c2 là một số chính phương. Hướng dẫn: x3 x2 x 1 0 (x 1)(x2 1) 0 1. Với y = 0 => 2 (x 1) 0 (Do :x 1 0  x) x = -1. Với y 0 => y.y2 = (x + 1)(x2 + 1) y x 1 x, y y y2 , x 1 x2 1) => 2 2 (Vì: y x 1 2 2 2 2 (x 1) x 1 x 2x 1 x 1 x 0 => y = 1 Vậy pt có nghiệm là: (x;y) = (-1; 0) ; (0; 1) 2. Vì: ab+bc+ca = 1 => 1 + a2 = ab+bc+ca + a2 = (a+b)(a+c) (1) Tương tự: 1 + b2 = ab+bc+ca + b2 = (a+b)(b+c) (2) 1 + c2 = ab+bc+ca + c2 = (c+b)(a+c) (3) Từ (1), (2) và (3) => A = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 => A là số CP (đpcm)