Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) năm 2019 - Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) năm 2019 - Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCMĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2019 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình ax2 bx c 0(1) thỏa mãn các điều kiện: a 0 và 2 ac b a c. a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và 1 x1 1 x2 0 và 1 x1 1 x2 0. b) Biết thêm rằng a c . Chứng minh rằng 1 x1, x2 1. Bài 2. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2n 1 chia hết cho 9. b) Cho n là số tự nhiên, n 3 . Chứng minh rằng 2n 1 không chia hết cho 2m 1 với mọi số tự nhiên m sao cho 2 m n. Bài 3. (2 điểm) Cho a và b là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện: a4 4a b4 4b . a) Chứng minh rằng 0 a b 2. b) Biết rằng a4 4a b4 4b k 0. Chứng minh rằng k ab 0. Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC . Gọi d1,d2 lần lượt là các đường phân giác · trong và ngoài của góc BAC . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên d1,d2 . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên d1,d2. a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC. b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC. · · · · c) Trên d1 lấy các điểm E và F sao cho ABE BCA và ACF CBA (E thuộc nửa mặt phẳng bờ BE AB AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng . CF AC d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC. Bài 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia. a) Gọi k là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng k 10 n . 2 b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.