Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG Năm học 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Chú ý: Đề thi gồm 02 trang. Thí sinh làm bài vào tờ giấy thi. Bài 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: A 20 45 3 5 : 5; x 2 x x 9 B (với x 0 ). x x 3 a) Rút gọn các biểu thức A, B. b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức B bằng giá trị biểu thức A. Bài 2. (1,5 điểm) a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y m 4 x 11 và y x m2 2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung. 2 1 3x y 1 2 b) Giải hệ phương trình  1 2x 2 y 1 Bài 3. (2,5 điểm) 1. Cho phương trình x2 2mx 4m 4 0 1 (x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình 1 khi m 1. b) Xác định các giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 2 thỏa mãn điều kiện x1 x1 x2 x2 12. 2. Bài toán có nội dung thực tế Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm 2m, chiều dài 2 giảm đi 2m thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm 30m ; và nếu chiều rộng giảm đi 2m, chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích thửa ruộng giảm đi 20m2. Tính diện tích thửa ruộng trên. Bài 4. (3,5 điểm) 1. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn O vẽ hai tiếp tuyến AD, AE (D, E là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn O sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C; tia AC nằm giữa hai tia AD và AO. Từ điểm O kẻ OI  AC tại I. a) Chứng minh năm điểm A, D, I, O, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh IA là tia phân giác của D· IE và AB.AC AD2. c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với AC và OI. Qua điểm D vẽ đường thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P. Chứng minh D là trung điểm của HP. 2 2. Một hình trụ có diện tích xung quanh 140 (cm ) và chiều cao là h 7(cm). Tính thể tích của hình trụ đó. Trang 1/2
2. Bài 5. (1,0 điểm) 1 1 1 a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh x y z 9 x y z b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a b c 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab bc ca A  a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2: Trang 2/2
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG Năm học 2019 – 2020 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN (gồm 04 trang) Bài Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) A 20 45 3 5 : 5 0,25 2 5 : 5 2. 0,25 x x 2 x 3 x 3 Bài 1 B 0,25 x x 3 (1,5 điểm) B x 2 x 3 2 x 1. 0,25 b) (0,5 điểm) 3 9 Vì B A suy ra 2 x 1 2 2 x 3 x x  0,25 2 4 9 Kết hợp với điều kiện x 0 thì x 0,25 4 a) (0,75 điểm) Đồ thị hai hàm số y m 4 x 11 và y x m2 2 cắt nhau tại một điểm trên trục m 4 1 0,25 tung khi và chỉ khi 2  11 m 2 m 3 m 3 2  0,25 m 9 m 3 Vậy với m 3 thì đồ thị hai hàm số y m 5 x 11 và y x m2 2 cắt nhau tại 0,25 một điểm trên trục tung. b) (0,75 điểm) Bài 2 Điều kiện y 1. 0,25 (1,5 điểm) 2 1 2 1 7 3x 3x 7x y 1 2 y 1 2 2  0,25 1 2 1 2x 2 4x 4 2x 2 y 1 y 1 y 1 1 x 1 2 x 2 1 1 2 y 0 (TMĐK)y 1 0,25 y 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y ;0 . 2 3.1 a) (0,5 điểm) 2 Bài 3 Với m 1 phương trình 1 có dạng x 2x 0. 0,25 (2,5 x x 2 0 x 0 hoặc x 2. điểm) Vậy phương trình có hai nghiệm x 0; x 2 khi m 1. 0,25 Trang 3/2
4. 3.1 b) (1,0 điểm) 2 Có ' m2 4m 4 m2 4m 4 m 2 . 0,25 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi m 2 2 0 m 2. x1 x2 2m 0,25 Khi đó theo hệ thức Vi-ét  2 x1x2 4m 4 2 Theo bài ra ta có x1 x1 x2 x2 12 (*). x2 x x x2 12 x x 2 x x 12. 3 1 1 2 2 1 2 1 2 0,25 Thay (2) vào (3) ta có 4m2 4m 4 12 4m2 4m 4 12 0 m2 m 2 0. m 1 hoặc m 2. 0,25 Kết hợp với điều kiện m 2 thì m 1 thỏa mãn điều kiện của bài toán. 3.2 (1,0 điểm) Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là x m , y m (điều kiện x 2, y 2 ). 0,25 Khi đó diện tích của thửa ruộng là xy m2 . Nếu chiều rộng tăng thêm 2 m và chiều dài giảm đi 2 m thì diện tích thửa ruộng khi đó là x 2 y 2 (m2 ). Theo đề bài ta có phương trình: x 2 y 2 xy 30. (1) 0,25 Nếu chiều rộng giảm đi 2 m và chiều dài tăng thêm 5 m thì diện tích thửa ruộng khi đó là x 2 y 5 (m2 ). Theo đề bài ta có phương trình x 2 y 5 xy 20. (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 2 y 2 xy 30 2x 2y 34 x 2 y 5 xy 20 5x 2y 10 0,25 3x 24 x 8 . 2x 2y 34 y 25 Đối chiếu điều kiện ta thấy x 8; y 25 đều thỏa mãn. 0,25 Vậy diện tích ban đầu của thửa ruộng hình chữ nhật đó là 8.25 200 m2 . Vẽ hình đúng cho câu a) F H Bài 4 D (3,5 C 0,5 điểm) I B K P O A E Trang 4/2
5. 4.1 a (0,75 điểm) Có O· IA 900 (OI  AC tại I ). 0,25 O·DA 900 (AD là tiếp tuyến của đường tròn O tại D ). 0,25 O· EA 900 (AE là tiếp tuyến của đường tròn O tại E ). Vậy năm điểm A, D, I,O, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AO (đpcm). 0,25 4.1 b (1,0 điểm) Xét đường tròn đường kính AO có · · » » 0,25 DIA EIA (các góc nội tiếp cùng chắn AD AE ). · tia IA là tia phân giác của DIE . 0,25 Xét O có ·ACD ·ADB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn B»D ). 0,25 Xét ACD và ADB có D· AC chung; ·ACD ·ADB. Do đó ACD # ADB (g.g). AC AD (các cạnh tương ứng tỉ lệ). 0,25 AD AB AB.AC AD2 (đpcm). 4.1 c (0,75 điểm) Vì IA là tia phân giác của D· IE. mà IA  IF. IF là tia phân giác ngoài tại đỉnh I của DIE. 0,25 DK FD  1 KE FE HD FD Xét FOE có HD //IE  2 IE FE 0,25 DP DK Xét DKP có DP //IE  3 IE KE HD DP Từ 1 , 2 và 3 suy ra HD DP. IE IE 0,25 Vậy điểm D là trung điểm của đoạn thẳng HP. 4.2. (0,5 điểm) S 140 Bán kính đáy của hình trụ S 2 rh r xq 10 (cm). 0,25 xq 2 h 2 .7 Thể tích của hình trụ V r 2h .102.7 700 (cm3 ). 0,25 a) (0,25 điểm) 1 1 1 x y z 9 x y z Bài 5 (1,0 x x y y z z 6 0,25 điểm) y z x z x y x y y z z x 2 2 2 0 y x z y x z Trang 5/2
6. x y 2 y z 2 z x 2 0 x, y, z 0 xy yz zx 1 1 1 Vậy x y z 9 x y z b) (0,75 điểm) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có ab ab 9 ab 1 1 1  a 3b 2c 9 a c b c 2b 9 a c b c 2b 0,25 ab 1 ab ab a  (1) a 3b 2c 9 a c b c 2 Chứng minh tương tự ta có: bc 1 bc bc b  (2) b 3c 2a 9 a b a c 2 ca 1 ac ac c  (3) 0,25 c 3a 2b 9 b c a b 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1); (2) và (3) ta có 1 ac bc ab ac bc ab a b c A 9 a b b c c a 2 1 c a b a b c b c a a b c A 9 a b b c c a 2 1 3 a b c 1 3.6 0,25 A   1. 9 2 9 2 Dấu “=” xảy ra a b c 2. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 đạt được khi a b c 2. * Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó. - Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu: + Có nhiều ý mà các ý phụ thuộc nhau, học sinh làm phần trên sai phần dưới đúng thì không cho điểm. + Có nhiều ý mà các ý không phụ thuộc nhau, học sinh làm đúng ý nào thì cho điểm ý đó. - Bài hình học, học sinh vẽ sai hình thì không chấm điểm. Học sinh không vẽ hình mà vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài làm có nhiều ý liên quan đến nhau, nếu học sinh công nhận ý trên mà làm đúng ý dưới thì cho điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn. Trang 6/2
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG Năm học 2019 – 2020 ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ CHÍNH Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) THỨC Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi Bài 1. (2.0 điểm) æ ö ç 3 x x 1 ÷ x + 3 a) Cho biểu thức P = ç - + ÷: (với x ³ 0 ). èçx x + 1 x - x + 1 x + 1ø÷ x - x + 1 1 Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P ³ . 5 2 b) Cho phương trình x + 4x - m = 0 (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương æ1 1 ö trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ; x thỏa mãn ç + ÷ x2 + x2 = 4(m + 2). 1 2 ç ÷( 1 2 ) èx1 x2 ø Bài 2. (2.0 điểm) a) Giải phương trình 2x2 + 3x - 2 = (2x - 1) 2x2 + x - 3 . ì 3 ï x + y y = 9 b) Giải hệ phương trình íï . ï 2 îï x + 2y = x + 4 y Bài 3. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) .Kẻ đường cao AH (H Î BC) của tam giác ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn (O). a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳngD H. Chứng minhO M là đường trung trực của đoạn thẳng BC. b) Gọi S,T là các giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn tâm A bán kính AH; F là giao điểm của ST và BC. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng minh FB.FC = FH 2 và ba điểm F,E,A thẳng hàng. c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH. Bài 4. (1.0 điểm) Cho x; y; z là ba số thực dương thỏa mãn x(x - z) + y(y - z) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của x3 y3 x2 + y2 + 4 biểu thức P = + + . x2 + z2 y2 + z2 x + y Bài 5. (2.0 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p;q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) p2q + p chia hết cho p2 + q . ii) pq2 + q chia hết cho q2 - p . 1 1 1 1 b) Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ; ; ; . Từ các số đã viết xóa đi 2 số bất kì x; y 2 3 2018 2019 xy rồi viết lên bảng số (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao x + y + 1 tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu? Hết (Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Trang 7/2
8. Họ tên thí sinh: . Số báo danh: Cán bộ coi thi 1: . Cán bộ coi thi 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2019 – 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH CHUYÊN THỨC Hướng dẫn gồm 03 trang Bài Đáp án Điểm a) (1.0 điểm) 1 x + 3 P = : 0,25 x- x + 1 x- x + 1 1 = . 0,25 x + 3 1 1 1 P ³ Û ³ Û x £ 2 Û x £ 4 . 0,25 5 x + 3 5 1 Vậy 0 £ x £ 4 thỏa mãn bài toán. 0,25 (2.0 b) (1.0 điểm) điểm) PT đã cho có hai nghiệm phân biệt Û D ' = 4+ m > 0 Û m > - 4 . ì ï x1 + x2 = - 4 0,25 Áp dụng hệ thức Vi-et: íï . ï îï x1x2 = - m 4(16+ 2m) gt Û = 4(m + 2) (m ¹ 0 ) 0,25 m Û m2 = 16 Û m = ± 4 . 0,25 Kết hợp với điều kiện m > - 4;m ¹ 0 ta được m = 4 thỏa mãn. 0,25 a) (1.0 điểm) 3 ĐKXĐ: x ³ 1 hoặc x £ - . 2 é2x- 1= 0 0,5 PT Û (2x- 1)(x + 2)= (2x- 1) 2x2 + x- 3 Û ê . ê 2 ëêx + 2 = 2x + x- 3 2 1 2x- 1= 0 Û x = (không thỏa mãn ĐKXĐ). 0,25 (2.0 2 điểm) ïì x ³ - 2 ïì x ³ - 2 x + 2 = 2x2 + x- 3 Û ï Û ï í 2 2 í 2 . îï 2x + x- 3 = x + 4x + 4 îï x - 3x- 7 = 0 3+ 37 3- 37 0,25 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = ; x = (thỏa mãn 1 2 2 2 ĐKXĐ). b) (1.0 điểm) Trang 8/2
9. ĐKXĐ: y ³ 0 . Lấy phương trình thứ nhất trừ đi ba lần phương trình thứ hai: 0,5 x3 - 3x2 + 3x- 1= 8- 12 y + 6y - y y Û (x- 1)3 = (2- y)3 Û x- 1= 2- y. éx = 1 + Thế y = 3- x vào PT thứ nhất: x3 + (3- x)3 = 9 Û x2 - 3x + 2 = 0 Û ê . ëêx = 2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1;4), (2;1) (TMĐKXĐ). 0,5 I A E S T O 3 F C (3.0 B H điểm) M D a) (1.0 điểm) Ta có OM //AH (Tính chất đường trung bình). Mà AH ^ BC Þ OM ^ BC 0,5 Þ OM là đường trung trực đoạn thẳng BC (đpcm). 0,5 b) (1.0 điểm) FT FB DFTB” DFCS (g.g)Þ = Þ FB.FC = FT.FS (1). 0,25 FC FS FH là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH Þ FT.FS = FH 2 (2) . 0,25 Từ (1) và (2) Þ FB.FC = FH 2 . 0,25 Gọi E ' là giao điểm của FA với (O) Þ FE '.FA = FH 2 Þ DFE ' H” DFHA(c.g.c) 0,25 Þ F·E ' H = F·HA = 900 Þ HE ' ^ AF . Mà DE ' ^ AF Þ E '; H; D Þ E º E ' ; đpcm. c) (1.0 điểm) Gọi I là điểm đối xứng với H qua E . Ta có AF là trung trực của đoạn 0,25 thẳng HI nên FH = FI và AH = AI , nghĩa là I thuộc đường tròn tâm A bán Trang 9/2
10. kính AH . DAFI = DAFH (c.c.c)Þ ·AIF = A·HF = 900 Þ FI tiếp xúc với đường tròn tâm A 0,25 bán kính AH tại I (2). HB HE 1 DHBE” DHDC(g.g)Þ = Þ HB.HC = HD.HE = 2HM. HI = HM.HI HD HC 2 0,25 Þ DHBI” DHMC(c.g.c)Þ H· BI = H·MC Þ tứ giác IBMC nội tiếp. Lại có FI 2 = FB.FC (cùng bằng FH 2 )Þ FI tiếp xúc với đường tròn (IBMC) 0,25 tại I . Kết hợp với (2) suy ra đpcm. x3 xz2 xz2 z Áp dụng bất đẳng thức Côsi = x- ³ x- = x- . x2 + z2 x2 + z2 2xz 2 0,5 y3 z x2 + y2 + 4 4 Tương tự 2 2 ³ y - . Suy ra P ³ x + y - z + . y + z 2 x + y (1.0 x2 + y2 4 0,25 điểm) Theo gt z = Þ P ³ x + y + ³ 4 . x + y x + y 0,25 Vậy Pmin = 4 Û x = y = z = 1 . a) (1.0 điểm) p2q + pMp2 + q Þ q(p2 + q)- (p2q + p)= q2 - pMp2 + q . 0,25 pq2 + qMq2 - p Þ (pq2 + q)- p(q2 - p)= p2 + qMq2 - p . +q2 - p = - (p2 + q)Û q2 + q + p2 - p = 0(VN) . 0,25 +q2 - p = p2 + q Û (q + p)(q- p- 1)= 0 Û q- p- 1= 0 Û q = p + 1 . 0,25 Mà p,q là hai số nguyên tố nên p = 2,q = 3 (thỏa mãn bài toán). 0,25 b) (1.0 điểm) æ ö xy 1 1 1 1 1 æ1 öç1 ÷ Đặt z = Þ = + + Þ + 1= ç + 1÷.ç + 1÷ (1). 0,25 x + y + 1 z x y xy z èçx ø÷èçy ÷ø 5 Với mỗi tập các số dương {x ; x ; ; x } tùy ý, xét biểu thức (2.0 1 2 n æ1 öæ1 ö æ1 ö điểm) P(x ; x ; ; x )= ç + 1÷.ç + 1÷ ç + 1÷. 1 2 n ç ÷ç ÷ ç ÷ èx1 øèx2 ø èçxn ø xy 0,25 Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì x; y rồi viết lên bảng số các x y 1 số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức P của các số trên bảng không đổi. æ1 1 1 1 1 ö Gọi số cuối cùng là a Þ P(a)= Pç ; ; ; ; ; ÷ 0,25 èç1 2 3 2018 2019ø÷ æ ö æ ÷öæ ÷ö ç ÷ ç ÷ç ÷ 1 æ1 öç1 ÷ ç 1 ÷ç 1 ÷ 1 Þ + 1= ç + 1÷.ç + 1÷ ç + 1÷ç + 1÷= 2020!Þ a = . 0,25 a èç1 ÷øç1 ÷ ç 1 ÷ç 1 ÷ 2020!- 1 ç ÷ ç ÷ç ÷ èç2 ø÷ èç2018 ø÷èç2019 ø÷ Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. Trang 10/2
11. - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn. Trang 11/2