Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có lời giải)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THANH HÓA NĂM HỌC 2019 – 2020 MÔN: TOÁN 10 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2.0 điểm) x 2 5 1 Cho biểu thức A với x 0 và x 4 x 3 x x 6 x 2 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi x 6 4 2 Câu 2: (2,0 điểm) 1. Cho đường thẳng d : y ax b . Tìm a,b đế đường thẳng d song song với đường thẳng d : y 5x 6 và đi qua điểm A 2;3 . 3x 2 y 11 2. Giải hệ phương trình . x 2 y 5 Câu 3: (2.0 điểm) 1. Giải phương trình x2 4x 3 0 . 2. Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 ( m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m . Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức: x2 2mx x 2m 3 x2 2mx x 2m 3 19 1 1 2 2 2 2 Câu 4: (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C . Gọi I , K, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đường thẳng AB, AC, BC . 1. Chứng minh rằng AIMK là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh MPK MBC . 3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng ab bc ca 1 a4 b4 ab b4 c4 bc c4 a4 ca HẾT GV: Trần Văn Thuân thcs quảng thái –đánh lại theo hướng dẫn chấm Trang 1/5
2. Câu 1: (2,0 điểm) x 2 5 1 Cho biểu thức A với x 0 và x 4 x 3 x x 6 x 2 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi x 6 4 2 Lời giải 1. Rút gọn biểu thức A. Với x 0 và x 4 x 2 5 1 x 2 5 1 Ta có: A  x 3 x x 6 x 2 x 3 x 3 x 2 x 2 x 4 5 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 4 5 x 3 x x 12 x 4 x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x 4 Vậy Với x 0 và x 4 thì A= x 2 2. Tính giá trị của A khi x 6 4 2 Với x 6 4 2 ( Thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2 x 6 4 2 22 2.2. 2 2 2 2 Suy ra x (2 2 2)2 2 x 4 2 2 4 2 2 Thay x = 2 2 vào biểu thức A= ta được A 1 2 x 2 2 2 2 2 Vậy với x 6 4 2 thì A 1 2 . Câu 2: (2,0 điểm) 1. Cho đường thẳng d : y ax b . Tìm a,b đế đường thẳng d song song với đường thẳng d : y 5x 6 và đi qua điểm A 2;3 . 3x 2 y 11 2. Giải hệ phương trình . x 2 y 5 Lời giải 1. Đường thẳng d song song với đường thẳng d : y 5x 6 suy ra a 5 ; Trang 2/5
3. Vì d đi qua điểm A 2;3 suy ra 3 5.2 b b 7 . Kết luận a 5, b 7 . 3x 2 y 11 3x 2 y 11 x 3 x 3 2. . x 2 y 5 2x 6 9 2 y 11 y 1 Câu 3: (2.0 điểm) 1. Giải phương trình x2 4x 3 0 . 2. Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 ( m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m . Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ 2 2 thức: x1 2mx 1 x 2 2m 3 x 2 2mx 2 x 2 2m 3 19 Lời giải 1. Phương trình bậc hai có dạng đặc biệt a b c 0nên có hai nghiệm x 1 và x 3 2 2 2. Ta có m 1 2m 5 m2 4m 6 m 2 2 0 Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của tham số m Dễ thấy x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2m 3 2x 2 0 Vì x , x là hai nghiệm của phương trình đã cho nên ta có x2 2mx 2m 3 2 2x và 1 2 1 1 1 x2 2mx 2m 3 2 2x 2 2 2 2 2 Do đó x1 2mx 1 x 2 2m 3 x 2 2mx 2 x 2 2m 3 19 2 2 2x x 2 2x x 19 2 x x 6 x x x x 15 . 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 x x 2 m 1 Áp dụng định lý Viet ta có 1 2 x x 2m 5 1 2 m 0 2 Ta có 8 m 1 12 m 1 2m 5 15 8m2 26m 0 13 m 4 Có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu. Câu 4: (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C . Gọi I , K, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đường thẳng AB, AC, BC . 1. Chứng minh rằng AIMK là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh MPK MBC . 3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải GV: Trần Văn Thuân thcs quảng thái –đánh lại theo hướng dẫn chấm Trang 3/5
4. 1. Chứng minh rằng AIMK là tứ giác nội tiếp. Tứ giá AIMK có các góc AIM AKM 90 nên là tứ giác nội tiếp 2. Chứng minh MPK MBC . IMPB là tứ giác nội tiếp suy ra MIP MBP (cùng chắn cung MP ) Mà MCK MBP (cùng chắn cung MC ) MKCP là tứ giác nội tiếp suy ra MCK MPK (cùng chắn cung MK ) Suy ra MCK MPK (1) Tương tự ta có MPI MKP (2) Suy ra IMP và PMK đồng dạng, do đó ta có MPK MIP Do đó MBP MPK . 3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị nhỏ nhất. IM MP Hai tam giác IMP và PMK đồng dạng, do đó ta có MP MK Suy ra IM .MK MP2 MI.MK.MP MP3 Để MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất, nên M là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng ab bc ca 1 a4 b4 ab b4 c4 bc c4 a4 ca Lời giải Trang 4/5
5. minh: a4 b4 ab a2 b2 bằng phép biến đổi tương đương. Dấu bằng xảy ra khi a = b. ab ab 1 Áp dụng ta có: a4 b4 ab ab a2 b2 1 a2 b2 1 bc bc 1 Tương tự: b4 c4 bc bc b2 c2 1 b2 c2 1 ca ca 1 và c4 a4 ac ac c2 a2 1 c2 a2 1 1 1 1 Khi đó: VT (1) a2 b2 1 b2 c2 1 c2 a2 1 1 1 1 Ta phải chứng minh: 1 a2 b2 1 b2 c2 1 c2 a2 1 Ta có: ab + bc + ca 33 a2b2c2 3 Áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có: 2 2 2 2 2 1 c 2 a b 1 1 1 c a b c 2 2 2 a b 1 a b c 1 a2 2 1 b2 2 Tương tự: và b2 c2 1 a b c 2 c2 a2 1 a b c 2 1 1 1 a2 b2 c2 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca Do đó: 1 a2 b2 1 b2 c2 1 c2 a2 1 a b c 2 a b c 2 (vì ab + bc + ca 33 a2b2c2 3 ) Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 GV: Trần Văn Thuân thcs quảng thái –đánh lại theo hướng dẫn chấm Trang 5/5