Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT Quảng Ngãi môn Toán (Hệ chuyên) - Năm học 2019-2020

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT Quảng Ngãi môn Toán (Hệ chuyên) - Năm học 2019-2020

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Hệ chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x x  x  . x y x  b) Giải hệ phương trình .    x xy y y   Bài 2. (2,5 điểm) x  x x  x x a) Cho biểu thức P với x , x . Rút gọn và tìm giá trị x x x x x x nhỏ nhất của biểu thức P . b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2 4ab 7b2 0 ( a b và a b ). Tính giá trị của 2a b 3a 2b biểu thức Q . a b a b c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : y m 2 x m 1 và d ' : x m 2 y m 2 trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi. Bài 3. (1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y 3 1 x y . b) Số tự nhiên n  có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn thẳng OB ( M khác O và B ). Tia CM cắt đường tròn (O) tại N ; DB cắt CN tại P ; AN cắt CD tại Q . a) Chứng minh PQ // AB . b) Chứng minh CAQ đồng dạng với AMC , từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB . 2 CQ CN c) Chứng minh hệ thức . AM AN d) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ . Tính OM theo R trong trường hợp đó. Bài 5. (0,5 điểm) Trên một bảng ô vuông 2019 2019 , ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu . Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu (dấu sang dấu , dấu sang dấu ) lần lượt theo các bước sau: Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i 1,2, ,2019 . Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3 j 1 lần, j 1,2, ,2019 . Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Hệ chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1. (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x x  x  . x y x  b) Giải hệ phương trình .    x xy y y   Tóm tắt cách giải Điểm 1a) Điều kiện: x x  . x x x  x  . 0,25 đ  x x  x x   . Đặt t x x , t  . 0,25 đ Phương trình tương đương với t  t   .  Giải được t  (nhận) hoặc t (loại).  0,25 đ t  x x   x x   x x   . Giải được x  (nhận) hoặc x  (nhận). 0,25 đ 1b) Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được x xy y x x   .  0,25 đ x y x    . x   . 0,25 đ y x x; y ; hoặc x; y ;  . 0,25 đ Thử lại ta được x; y ; là nghiệm của hệ phương trình đã cho. 0,25 đ Bài 2. (2,5 điểm) x  x x  x x a) Cho biểu thức P với x , x . Rút gọn và tìm giá trị x x x x x x nhỏ nhất của biểu thức P . b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2 4ab 7b2 0 ( a b và a b ). Tính giá trị của 2a b 3a 2b biểu thức Q . a b a b
3. c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : y m 2 x m 1 và d ' : x m 2 y m 2 trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi. Tóm tắt cách giải Điểm 2a) x  x x  x x  P 0,25 đ x x x x x x  x  x x  x  x x  P x x x  x x  0,25 đ x  x x  x x  P x x x 0,25 đ x  x  P x  P  x  . x 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 x 2 6 . Suy ra P 2 2 6 x 0,25 đ  Khi x (tmđkxđ) thì P    nên giá trị nhỏ nhất của P bằng    .  2b) 2a b 3a 2b 2a2 ab b2 3a2 5ab 2b2 5a2 4ab b2 Q 0,5 đ a b a b a2 b2 a2 b2 Vì a2 4ab 7b2 0 , a b và a b nên ta có: 6(a2 b2 ) (a2 4ab 7b2 ) 6(a2 b2 ) Q 6 . 0,5 đ a2 b2 a2 b2 2c) Ta có 3 (m 2).1 m 1 thỏa mãn với mọi m . Vậy đường thẳng d : y m 2 x m 1 luôn đi qua điểm A(1;3) cố định khi thay đổi. m 0,25 đ Ta có 0 (m 2).1 m 2 thỏa mãn với mọi m . Vậy đường thẳng d ' : x m 2 y m 2 luôn đi qua điểm B(0;1) cố định khi m thay đổi. Với m 2 thì (d) : y 3 và (d ') : x 0 vuông góc với nhau. 1 Với m 2 thì ta có d ' : y x 1 m 2 0,25 đ 1 Khi đó ta có a.a' m 2 . 1 nên (d)  (d ') với mọi m 2. m 2 Tóm lại: (d)  (d ') với mọi m . Vậy giao điểm của hai đường thẳng nói trên nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên thuộc đường tròn đường kính AB cố định khi m thay đổi.
4. Bài 3. (1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y 3 1 x y . b) Số tự nhiên n  có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó. Tóm tắt cách giải Điểm 3a) Ta có x y 3 1 x y x y 3 2 x y 3 1 x 2 xy y x y 3 xy 2 x y 3 xy 4 xy 4 (với xy 4 ) (1) 0,25 đ xy x y 1 xy 4 Nếu xy không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, còn VP là số hữu tỉ, vô lí. Do đó xy là số chính phương, tức là xy k 2 hay xy k (với k ¥ * , k 2) Ta lại có (1) x y 2 xy xy 2 xy 1 2 2 x y xy 1 x y xy 1 (vì xy 4 ) (2) y k 1 x (vì xy k ) 0,5 đ 2 2 k 1 x y y k 1 2 k 1 x x x (vì k 2) 2 k 1 Nếu x không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, còn VP là số hữu tỉ, vô lí. Do đó x là số chính phương. Lí luận tương tự y cũng là số chính phương. Đặt x a2 và y b2 với a, b nguyên dương. Do đó (2) a b ab 1 (a 1)(b 1) 2 . Từ đó tìm được (a;b) (2;3), (3;2). Suy ra (x; y) (4;9), (9;4) . 0,25 đ Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên dương là (4;9), (9;4). 3b) Ta có n    . Mỗi ước số nguyên dương của n có dạng x y trong đó x ,,,,,,  0,25 đ và y ,,,,,, . Do đó x có thể nhận 7 giá trị và y cũng có thể nhận 7 giá trị nên n có tất cả    ước số nguyên dương phân biệt. n Nếu a là một ước số nguyên dương của n, a  thì b cũng là một ước a số nguyên dương của n, b a . Khi đó a và b tạo thành một cặp ước số nguyên dương của n và chúng có tích đúng bằng n. Trong 49 ước số nguyên dương phân biệt của n, ngoại trừ  , còn 48 ước số 0,25 đ còn lại được chia thành 24 cặp ước số có tính chất như cặp ước a;b .  Vậy tích tất cả các ước nguyên dương phân biệt của n là  . .
5. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn thẳng OB ( M khác O và B ). Tia CM cắt đường tròn (O) tại N ; DB cắt CN tại P ; AN cắt CD tại Q . a) Chứng minh PQ // AB . b) Chứng minh CAQ đồng dạng với AMC , từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB . 2 CQ CN c) Chứng minh hệ thức . AM AN d) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ . Tính OM theo R trong trường hợp đó. Tóm tắt cách giải Điểm C O M A B 0,5 đ Q P N D 4a) Vì AB  CD nên C»A C»B C· NA C· DB Hay P· NQ P· DQ 0,5 đ Nên tứ giác PQDN nội tiếp; vì vậy P· ND P· QD 1800 mà P· ND 900 (cmt) Nên P· QD 900 , nghĩa là PQ  CD và AB  CD suy ra PQ //AB 0,5 đ AM.CQ 4b) Tứ giác ACMQ có AM  CQ nên S ACMQ 2 0,25 đ Xét CAQ và AMC có A· CQ M· AC 450 , lại có C· AQ A· MC (Do sđ A»C + sđ B»N = sđ B»C + sđ B»N ) CA CQ nên CAQ đồng dạng AMC AM.CQ AC2 0,5 đ AM AC AM.CQ 2R 2 Mặt khác AC2 OA2 OC2 2R 2 nên S R 2 ACMQ 2 2 Hay diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên OB. 0,25 đ 2 CA CQ AQ CQ AQ 4c) CAQ ഗ AMC (câu b) (1) AM AC MC AM MC 0,25 đ COM ഗ CND (vì D· CN chung, C· OM C· ND 900 ) CM CO Suy ra CM.CN 2R.R 2R2 CD CN Tương tự ta cũng chứng minh được AQ.AN 2R2
6. AQ CN Do đó CM.CN AQ.AN (2) MC AN 0,25 đ 2 CQ CN Từ (1) và (2) suy ra . AM AN 4d) Ta có tứ giác PQDN nội tiếp (câu a) P· QN P· DN Mà P· DN B· CN nên P· QN B· CN . NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CPQ khi P· QN P· CQ . Do đó B· CN P· CQ hay B»N N»D . Suy ra CN là phân giác của góc O· CB . 0,25 đ Tam giác BOC vuông cân tại O BC OB 2 R 2 . OM OC R 1 Vì CM là phân giác của tam giác BOC nên MB CB R 2 2 Ta lại có OM MB R OM R 2 1 . Vậy khi OM R 2 1 thì NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 0,25 đ CPQ . Bài 5. (0,5 điểm) Trên một bảng ô vuông 2019 2019 , ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu . Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu (dấu sang dấu , dấu sang dấu ) lần lượt theo các bước sau: Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i 1,2, ,2019 . Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3 j 1 lần, j 1,2, ,2019 . Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. Tóm tắt cách giải Điểm Theo quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i 3 j 1 lần. 0,25 đ Mà i 3 j 1 và i j là hai số không cùng tính chẵn lẻ (vì (i 3 j 1) (i j) 2 j 1 là số lẻ). Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà i j là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu ở ô vuông đó vẫn là dấu , còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i j là số chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu . Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và 1010 số lẻ nên số cặp i; j mà i j lẻ bằng 1009.1010 1010.1009 2038180 . 0,25 đ Vậy số các ô vuông còn lại mang dấu bằng 2038180. Ghi chú : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh. + Bài 4, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó; nếu vẽ hình sai về mặt bản chất thì không cho điểm cả bài.
7. + Điểm từng câu và toàn bài tính đến 0,25 không làm tròn số.
8. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Hệ chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút MA TRẬN ĐỀ THI Mức độ Vận dụng Phân Nhận Thông Tổng môn Các chủ đề biết hiểu Thấp Cao cộng Phương trình nghiệm Bài 3a 2 nguyên 1,0 Ước số - Bội số Bài 3b 1,5 0,5 SỐ HỌC Giải phương trình, hệ Bài 1a Bài 1b 5 phương trình 1,0 1,0 Rút gọn biểu thức Bài 2a Bài 2b Bài 2c Tính giá trị biểu thức 1,0 1,0 0,5 4,5 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Hàm số, đồ thị ĐẠI SỐ Chứng minh tứ giác Hình vẽ 4 nội tiếp Bài 4a.b Tính độ dài đoạn 2,5 thẳng 3,5 Chứng minh trung Bài 4c Bài 4d điểm đoạn thẳng 0,5 0,5 Cực trị hình học HÌNH HỌC Bài 5 1 Tính bất biến 0,5 0,5 TỔ HỢP 4 4 4 12 Tổng cộng 4,5 3,5 2,0 10,0
9. Trên một bảng ô vuông   , ở mỗi ô người ta điền một trong hai số 1 hoặc 1 thỏa mãn số cuối cùng của mỗi hàng bằng tích của 8 số phía trước cùng hàng và số cuối cùng của mỗi cột bằng tích của 8 số phía trên cùng cột. Bạn A phát hiện ở bảng trên người ta đã ghi nhầm một số. Chứng minh ta luôn chỉ ra được vị trí có số mà người ta đã ghi nhầm.