Dùng máy tính cầm tay giải những bài toán về dãy số

Nội dung text: Dùng máy tính cầm tay giải những bài toán về dãy số

1. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học. Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số: 1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát: * u n = f(n), n N trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước. Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A - Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : A = A + 1 - Lặp dấu bằng: = = Giải thích: 1 SHIFT STO A : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A f(A) : A = A + 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị:A = A + 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai). * Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu = Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: n n 1 1 5 1 5 un ; n 1,2,3 5 2 2 Giải: - Ta lập quy trình tính un như sau: 1 SHIFT STO A ( 1  5 ) ( ( ( 1 + 5 )  2 )  ANPHA A - ( ( 1 - 5 )  2 )  ANPHA A ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = - Lặp lại phím: = = Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55. 2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
2. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số trong đó f(un) là biểu thức của u1 = a un cho trước. un+1 = f(un) ; n N* Cách lập quy trình: - Nhập giá trị của số hạng u1: a = - Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này - Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này. - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4 Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: u1 1 u 2 u n , n N * n 1 un 1 Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau: 1 = (u1) ( ANS + 2 )  ( ANS + 1 ) = (u2) = = - Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = 1 u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi: 3 u1 3 3 3 un 1 un , n N * Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên. Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau: 3 SHIFT 3 = (u1) 3 ANS  SHIFT 3 = (u2)
3. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số = = (u4 = 3) Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên. 3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: u 1 = a , u 2 b un+2 = Aun+1+ Bun + C ; n N* Cách lập quy trình: * Cách 1: Bấm phím: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B B + C SHIFT STO B Giải thích: Sau khi thực hiện b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B trong ô nhớ A là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ B , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau khi thực hiện: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ A . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ A (trong ô nhớ B vẫn là u3). Sau khi thực hiện: A + ANPHA B B + C SHIFT STO B máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ B . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ B (trong ô nhớ A vẫn là u4). Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng COPY để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau: Bấm phím: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B B + C SHIFT STO B SHIFT COPY Lặp dấu bằng: = = * Cách 2: Sử dụng cách lập công thức Bấm phím: a SHIFT A b SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B
4. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C Lặp dấu bằng: = = Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi: u 1 = 1, u2 2 un+2 = 3u n+1+ 4u n + 5 ; n N* Hãy lập quy trình tính un. Giải: - Thực hiện quy trình: 2 SHIFT STO A 3 + 4 1 + 5 SHIFT STO B 3 + ANPHA A 4 + 5 SHIFT STO A 3 + ANPHA B 4 + 5 SHIFT STO B SHIFT COPY = = ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hoặc có thể thực hiện quy trình: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = 3 ANPHA B + 4 ANPHA A + 5 ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = = ta cũng được kết quả như trên.
5. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số 4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: Trong đó f n, u là u1 = a  n  kí hiệu của biểu thức un+1 un+1 = f  n, un  ; n N* tính theo un và n. * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy: - Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n B : chứa giá trị của un C : chứa giá trị của un+1 - Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B :=C để tính số hạng tiếp theo của dãy - Lặp phím : = Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi: u = 0 1 n u = u +1 ; n N* n+1 n+1 n Hãy lập quy trình tính un. Giải: - Thực hiện quy trình: 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ( ANPHA A  ( ANPHA A + 1 ) ) ( ANPHA B + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = = 1 3 5 7 ta được dãy: , 1, , 2, , 3, , 2 2 2 2 II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số: 1). Lập công thức số hạng tổng quát: Phương pháp giải: - Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát - Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: a1 0 n(n 1) a (a 1) ; n N * n 1 n (n 2)(n 3)
6. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số Giải: - Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau: 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + 1 )  ( ( ANPHA A + 2 ) ( ANPHA A + 3 ) ) ( ANPHA B + 1) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C 1 7 2 7 1 1 1 3 9 - Ta được dãy: , , , , , , 6 2 0 5 0 1 5 1 4 8 - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 0  1 5 1.5 a2 = dự đoán công thức số hạng tổng quát: 6 30 3.10 (n 1)(2n 1) 7 2.7 2.7 a a3 = n (1) 20 40 4.10  10(n 1) 27 3.9 a4 = * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng 50 5.10 với mọi n N* bằng quy nạp.  2003.4009 a 2004 20050
7. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số a 1, a 3 Ví dụ 2: Xét dãy số: 1 2 * an 2 2an an 1; n N Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương. Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình: 3 SHIFT STO A 2 - 1 + 1 SHIFT STO B 2 - ANPHA A + 1 SHIFT STO A 2 - ANPHA B + 1 SHIFT STO B SHIFT COPY = = - Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số: 1(1 1) a 1 1 2  2(2 1) a 3 dự đoán công thức số hạng tổng quát: 2 2 3(3 1) a 6 3 2 n(n 1) an (1) 4(4 1)  2 a 10 4 2 5(5 1) a 15 * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) 5 2 đúng với mọi n N*  2 2 Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n + 3n + 1) . A là một số chính phương. Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy: 2 - Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1) 2 - Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1) 2 - Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1) 2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1) (*) Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*). 2). Dự đoán giới hạn của dãy số: 2.1. Xét tính hội tụ của dãy số: Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính được nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng. Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an):
8. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số sin(n) a ; n N * n n 1 Giải: - Thực hiện quy trình: MODE 4 2 1 SHIFT STO A sin ( ANPHA A )  ( ANPHA A + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = = ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9): n an n an n an n an 1 0,4207354 13 0,03001193 25 - 37 - 92 1 0,00509045 0,01693521 1 4 2 0,3030991 14 0,06604049 26 0,02824290 38 0,00759919 42 5 4 3 0,0352800 15 0,04064299 27 0,03415628 39 0,02409488 02 3 4 4 - 16 - 28 0,00934157 40 0,01817349 0,1513604 0,01693548 8 1 99 9 5 - 17 - 29 - 41 -0,00377673 0,1598207 0,05341097 0,02212112 12 1 9 6 - 18 - 30 - 42 - 0,0399164 0,03952564 0,03187198 0,02131445 99 4 7 4 7 0,0821233 19 0,00749386 31 - 43 - 24 0,01262617 0,01890397 6 1 8 0,1099286 20 0,04347358 32 0,01670989 44 0,00039337 94 3 9 6 9 0,0412118 21 0,03802980 33 0,02940917 45 0,01849790 48 1 2 2 10 - 22 - 34 0,01511664 46 0,01918698 0,0494564 0,00038483 8 6 64 9 11 - 23 - 35 - 47 0,00257444 0,0833325 0,03525918 0,01189396 17 3 3 12 - 24 - 36 - 48 - 0,0412748 0,03622313 0,02680483 0,01567866 39 4 3 6 - Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an): an n
9. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0.
10. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số 2.2. Dự đoán giới hạn của dãy số: Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi: u1 2 un 1 2 un ; n N * có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Giải: - Thực hiện quy trình: 2 = ( 2 + ANS ) = = ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9): n un n un 1 1,414213562 11 1,999999412 2 1,847759065 12 1,999999853 3 1,961570561 13 1,999999963 4 1,990369453 14 1,999999991 5 1,997590912 15 1,999999998 6 1,999397637 16 1,999999999 7 1,999849404 17 2,000000000 8 1,999962351 18 2,000000000 9 1,999990588 19 2,000000000 10 1,999997647 20 2,000000000 Dựa vào kết quả trên ta nhận xét được: 1) Dãy số (un) là dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2 Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được dãy số (u n) tăng và bị chặn dãy (un) có giới hạn. + Gọi giới hạn đó là a: limun = a. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được: a 0 2 u 2 a a 2 limun = lim( n ) hay a = 2 a 2 a Vậy: lim un = 2
11. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi: x x 1 1 2 2 2 x x2 sin(x ) , n N * n 1 5 n 1 5 n Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó. Giải: - Thực hiện quy trình: MODE 4 2 1 SHIFT STO A ( 2  5 SHIFT ) + ( 2SHIFT  5 ) sin ( 1 ) SHIFT STO B x2 ( 2  5 SHIFT ) + ( 2SHIFT  5 ) sin ( ANPHA A ) SHIFT STO A x2 ( 2  5 SHIFT ) + ( 2SHIFT  5 ) sin ( ANPHA B ) SHIFT STO B SHIFT COPY = = ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau: 1) Dãy số (xn) là dãy không giảm -9 2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ chính xác 10 ). 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51, ) trừ cho ta đều nhận được kết quả là 0. 2 dự đoán giới hạn của dãy số bằng . 2 Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được x n (0 ; ) và dãy 2 (xn) không giảm dãy (xn) có giới hạn. + Gọi giới hạn đó bằng a, ta có: 2 2 a a2 sin(a), (1). 5 5 2 2 + Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số f (x) x2 sin(x) x ) ta có (1) 5 5 có nghiệm là a = . 2 Vậy: lim xn = . 2 3). Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2, ): n n 2 3 2 3 u n 2 3
12. Dựng MTCT giải những bài toỏn về dóy số a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên. b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3. Bài 2: Cho dãy số (an) được xác định bởi: a 2 o 2 an 1 4an 15an 60 , n N * a) Xác định công thức số hạng tổng quát an. 1 b) Chứng minh rằng số: A a 8 biểu diễn được dưới dạng tổng bình 5 2n phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n 1. Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo 0, u1 1 un 2 1999un 1 un , n N Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố. Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 5, a2 11 an 1 2an 3an 1 , n 2, n N Chứng minh rằng: a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm. b) a2002 chia hết cho 11. Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 a2 1 2 an 1 2 an , n 3, n N an 2 Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên. Bài 6: Dãy số (an) được xác định theo công thức: n n n an 2 3 , n N *; (kí hiệu 2 3 là phần nguyên của số2 3 ). Chứng minh rằng dãy (an) là dãy các số nguyên lẻ.