Gợi ý giải bài hình học thử sức rất khó Lớp 9

Nội dung text: Gợi ý giải bài hình học thử sức rất khó Lớp 9

1. Gợi ý giải bài hình thử sức rất khó lớp 9 Lời bàn: Đây là bài hình học khó, độ khó có thể sách ngang với đề thi dành cho HSG hay thậm chí đề thi Olympic. Các bạn và thầy cô có thể dễ dàng đưa ra lời giải cho bài toán không. Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Vẽ đường kính DN của (I), DN cắt EF tại M. Đường thẳng đi qua M song song với AN cắt đường thẳng đi qua A song song với BC tại điểm L, DL cắt EF tại K. Kẻ IH vuông góc với AD tại H. Chứng minh:
2. Hướng dẫn giải Bài toán trên nhìn khó nhưng thật sự là không khó. Nó là sự tổng hợp của 4 bài toán phụ sau đây. Bài toán phụ số 1: Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Vẽ đương kính DK của (I). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AK // IM Chứng minh: Vẻ tiếp tuyến tại K của (I) cắt AB và AC lần lượt tại P và Q, AK cắt BC tại J. Theo tính chất tiếp tuyến dễ thấy PI và BI lần lượt là tia phân giác của các góc KIE và DIE do vậy IP _|_ IB. Áp dụng hệ thức lượng ta có: PK . BD = PE . BE = IE2 = r2. Chứng minh tương tự ta có KQ . DC = r2 => PK . BD = KQ . CD => => Dễ thấy PQ // BC. Áp dụng định lý ta lét ta có: => Từ đó suy ra BD = JC => MD = MJ. Ta lại có ID = IK nên MI là đường trung bình của tam giác DKJ => IM // KJ hay IM // AK
3. Bài toán phụ số 2: Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB tam giác IPQ cân => NP = NQ. Do PQ // BC nên áp dụng định lý ta let ta có: => => góc CAM = góc CAN => 3 điểm A, N, M thẳng hàng. Gọi H là giao điểm AI và EF. Dễ thấy ID _|_ AK và N là trực tâm của tam giác AIK cho nên AM _|_ IK. Cho AM cắt IK tại L. Dễ dàng chứng minh được IL. IK = IH . IA, IH . IA = IF2 = ID2 => ID2 = IL . IK => => góc ILD = góc IDK. Dễ thấy tứ giác ILMD nội tiếp cho nên góc ILD = góc IMD. Từ đó suy ta góc IMD = góc IDK. Dễ dàng chứng minh được IM _|_ DK
4. Bài toán phụ số 3: Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Vẽ DH vuông góc với EF tại H. Chứng minh: DH là tia phân giác của góc BHC Chứng minh: Kẻ BM và CN vuông góc với EF lần lượt tại M và N. Dễ thấy AE = AF => góc MEB = góc AEF = góc AFE = góc NFC => => Dễ thấy BE = BD, CD = FC và MB // HD // NC do vậy Từ đó suy ra => => => Góc MHB = góc NHC => góc BHD = góc CHD hay HD là tia phân giác của góc BHC
5. Bài toán phụ số 4: (dựa theo bài hình thi vào 10 chuyên toán TPHCM). Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB Tứ giác MFIC nội tiếp => MC _|_ MB. Chứng minh tương tự NB _|_ NC vậy 4 điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC 2/ Cho đường trung trực BC cắt BC tại O thì OB = OC, cho IT cắt EF tại L, AI cắt EF tại H. Dễ thấy AI _|_ EF tại H và chứng minh được IT . IL = IH . IA, IH . IA = IE2 = ID2 => ID2 = IT . IL => => góc IDL = góc ITD = 90* => ID _|_ DL nên 3 điểm L, B, C thẳng hàng. Dễ thấy tứ giác INBD nội tiếp và OM là đường trung tuyến tam giác vuông BMC. Ta có: góc BDN = góc DNC + góc DCN = góc IBC + góc ICF = góc BMO + góc IMF = góc OMN => Tứ giác ODNM nội tiếp. Dễ thấy tứ giác ODTJ nội tiếp. Từ các tứ giác nội tiếp ODTJ, ODNM, BNMC ta chứng minh được: LB . LC = LM . LN = LD . LO = LT . LJ => => góc LTB = góc LCJ => Tứ giác BTJC nội tiếp
6. Lưu ý: Từ tứ giác BTJC nội tiếp ta chứng minh được DT là tia phân giác của góc BTC. Thật vậy từ giác BTJC nội tiếp và OJ là đường trung trực của BC => góc LTB = góc LCJ = góc JBC = góc JTC => góc BTD = góc CTD nên TD là tia phân giác của góc BTC Quay trở lại bài toán: Nếu gọi S là trung điểm của BC và cho EF cắt AL tại T. Áp dụng bài toán phụ số 1 cho AN // IS => LM // IS. Áp dụng bài toán phụ số 2 ta chứng minh được ML _|_ DT. Dễ thấy M là trực tâm của tam giác LDT do vậy DL _|_ EF tại K. Áp dụng bài toán phụ số 3 và số 4 cho KD là tia phân giác của góc BKC và HD là tia phân giác của góc BHC. Áp dụng tính chất đường phân giác cho =>