Khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2018-2019 Môn : Toán lớp 6 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 :(5 điểm ) 1. Thực hiện phép tính 1 1 1 1 1 1 a) = + + + + ⋯ + + 1.3 2.4 3.5 4.6 2016.2018 2017.2019 5.311−4.312 b) 39.52−36.63 2. Tìm phân số dương bất kỳ biết rằng khi tăng cả tử lẫn mẫu thêm 3 1 đơn vị thì phân số đó tăng thêm 6 Câu 2 : (5 điểm ) 1. Tìm số nguyên x,y sao cho : | − 2016| + | − 2017| + | − 2018| + | − 2019| = 3 2 3 4 2018 2019 2. Chứng tỏ rằng: + + + ⋯ + + < 3 21 22 23 22017 22018 Câu 3 :(3 điểm ) 1. Tìm n để : 1! + 2! + 3! + ⋯ + 푛! là số chính phương 2. Tìm a và x sao cho : (12 + 3 )2 = 1̅̅ ̅̅96̅̅̅ ( ∈ , ∈ ) Câu 4 :(5 điểm) Cho 푂 ̂ = 3 푂 ̂ và 푂 ̂ = 900. Vẽ tia Om là phân giác góc 푂 ̂ 1. Tính góc 푂 ̂ , 푂 ̂ 2. Tính góc 푂 ̂ 3. Lấy điểm A∈Ox sao cho OA = a (cm). Lấy điểm A1, A2, A3, , A2019 ∈ OA 1 3 2019 sao cho OA1 = , OA2 = 2OA1 , OA3 = OA2 OA2019 = OA2018 . 푂 2 2018 1 Hãy tính tổng sau : 푆 = 푂 1+푂 2+푂 3+⋯+푂 2019 Câu 5 : ( 2 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để : 2020푛 + 푛2020 + 2020푛 ⋮ 3 1 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275
2. Hướng Dẫn Câu 1 : 1. Hs tự làm : 2 2 2 2 2 2 a) Luu ý 2 = ( + + ⋯ + ) + ( + + ⋯ + ) 1.3 3.5 2017.2019 2.4 4.6 2016.2018 sau đó các bạn tính b) Tự giải 2. Gọi phân số dương là khi tăng cả tử lẫn mẫu thêm 3 đơn vị ta được +3 +3 1 phân số mới là theo giả thiết ta có − = → +3 +3 6 +3 − −3 1 − 1 1 = → = vì là số tối giản mà a, b ( +3) 6 ( +3) 18 18 dương nên b( b + 3 ) =18 =2.9 = 3.6 (vì b = 1 suy ra a =0 loại) ta có b = 2 (loại vì b+3 = 5 ≠ 6 ) và b = 3 suy ra a = 2 vậy phân số thõa mãn bài ra 2 3 Câu 2: 1. Ta đã biết | | + | | ≥ | + | và | | + | | ≥ 0 ta có: | − 2016| + | − 2019| = | − 2016| + |2019 − | ≥ | − 2016 + 2019 − | = 3 hay ta có | − 2016| + | − 2019| ≥ 3 → | − 2017| + | − 2018| ≤ 0 → − 2017 = 0 푣à − 2018 = 0 → = 2107 và = 2018 Vậy cặp (x;y) =(2017;2018) 푛+1 푛+2 푛+3 2. Nhận thấy rằng : = − ta thay n = 1,2,3 ,2018 ta có : 2푛 2푛−1 2푛 2 4 = 3 − 21 21 3 4 5 = − 22 21 22 4 5 6 = − 23 22 23 2 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275
3. 2018 2019 2020 = − 22017 22016 22017 2019 2020 2021 = − 22018 22017 22018 2021 Cộng vế với vế ta được : = 3 − < 3( ) 22018 Câu 3 : 1. Xét với n = 1 → 1! = 12 Xét với n = 2 → 1! + 2! = 1 + 1.2 = 3(푙표ạ𝑖) Xét với n = 3→ 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 Xét với n =4 → 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33(푙표ạ𝑖) Ta nhận thấy rằng 5! ; 6!; . trở đi có tận cùng là 0 do đó : 1! + 2! + 3! + ⋯ + 푛! với 푛 ≥ 5 thì luôn có tận cùng là 3 mà số chính phương không có tận cùng là 3 nên loại Vậy n = 1 và n = 3 thõa mãn 2. Ta có :(12 + 3 )2 = 9(4 + )2 = 1̅̅ ̅̅96̅̅̅ → 1̅̅ ̅̅96̅̅̅ ⋮ 9 → 1 + + 9 + 6 ⋮ 9 hay + 16 ⋮ 9 → = 2 thay a = 2 ta được 9(4 + )2 = 1296 → (4 + )2 = 144 = (±12)2 → 4 + = 12 ℎ표ặ 4 + = −12 suy ra = 8 ℎ표ặ = −16 Câu 4 : Ý 1,2 các bạn tự làm và lưu ý : ta phải xét hai trường hợp là Oz nằm trong và nằm ngoài góc xOy 3. Theo bài ra ta có : 1 1 2 2 3 3 푂 1 = = ; 푂 2 = = ; 푂 3 = 푂 2 = . . 푂 2019 = 푂 푂 1 2 2019 2019 푂 = thay vào biểu thức ta có : 2018 3 1 2 푆 = = = 1 2 3 2019 + + + ⋯ + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2019 2019.2020 Câu 5 : Đặt2020푛 + 푛2020 + 2020푛 ⋮ 3 (1) 3 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275
4. Ta có : 2020 ≡ 1(mod 3) → 2020n ≡ 1(mod 3)vì n là số tự nhiên nên ta sẻ xét các trường hợ sau : Trường hợp 1 : 푛 ≡ 0 ( 표 3) → 푛2020 ≡ 0( 표 3) 푣à 2020푛 ≡ 1 ( 표 3) → 2020푛 + 푛2020 + 2020푛 ⋮ 3 ư 1 ( loại ) Trường hợp 2 : 푛 ≡ 1( 표 3 ) → 푛2020 ≡ 1( 표 3)푣à 2020푛 ≡ 1( 표 3) → 2020푛 + 푛2020 + 2020푛 ⋮ 3 ư 0 (nhận) Trường hơp 3: 푛 ≡ 2( 표 3 ) → 푛2020 = (푛2)1010 ≡ 4( 표 3) ≡ 1( 표 3) → 푛2020 ≡ 1( 표 3)푣à 2020푛 ≡ 2( 표 3) → 2020푛 + 푛2020 + 2020푛 ⋮ 3 ư 1 (loại) Vậy để (1) thõa mãn thì n = 3k +1 ( với k ∈N) 4 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275