Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh

Nội dung text: Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TẠO NĂM HỌC 2019 - 2020 BẮC NINH Môn thi: Toán – lớp 9 cấp THCS Ngày thi: 15/5/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM đề và giải Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho P 2 n 2 n2 1 với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá trị n=1;n=2, n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 , ,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2 + +P9 + P10 2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt là hình chiếu của A,B trên trục hoành. Câu 2(4,0 điểm) 1.Giải phƣơng trình xx 2 4 2x2 5x 1 2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số abc,, .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng 1 minh c 4 Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh aac( 2 b ) bab ( 2 c ) cbc ( 2 a ) 0 1 ab 1 bc 1 ca 2222 2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa n d1 d 2 d 3 d 4 trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O) với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại
2. E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB a.Chứng minh MN2 FN. NA b.Chứng minh HFN 900 và MN=MH HB2 FE c.Chứng minh 1 HF2 FM 2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ? Lời giải Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho P 2 n 2 n2 1 với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá trị n=1;n=2, n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 , ,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2 + +P9 + P10 2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt là hình chiếu của A,B trên trục hoành. Lời giải 1.Ta có P 22 n n2 1 n 1 n 1; S 11101 2.Ta có x2 mx 2 x 2 m x-2 0; m 2 8 0  m.Vì phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu ,giả sử xA = xD 0 .Vì 2 2 2 SABCD 7,5( xxyy 2121 )( )15( xxxx 2112 )( )15( xxxxxx 2121 )( )2 21 15 2 x21 x m 8 với x21 x m .Thay vào trên ta có xx 2 21 2 2 2 2 2 2 m 8.( m 8) 15 ( m 1) ( m 8) 9( m 4) 45 0 m 1
3. Câu 2(4,0 điểm) 1.Giải phƣơng trình xx 2 4 2x2 5x 1 2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số abc,, .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng 1 minh c 4 Lời giải 1.Ta có 2 11 2 x 4; x 2 4 x 2x 5x 1 ( x 3). (2x 1) 0 xx 2 1 4 1 x 3 11 .Ta có (2x 1) 0 xx 2 1 4 1 1 1 1 1 (2x1)0; VT (2x1)1 VP theo điều x 2 1 4 x 1 x 2 1 4 x 1 kiện 2.Đặt t=f(x) thì f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt ) hay 2 2 2 x +bx+c=0 có 2 nghiệm t1 , t2 và mỗi phƣơng trình x +bx+c=t1 và x +bx+c=t2 đều 2 bc 4a 0 2 2 bc 4a 0 có hai nghiệm với t1 + t2 =b.Khi đó ta có b 4( c t1 ) 0 2 .Với x1 , 2 b 4 c 2 b 0 b 4( c t2 ) 0 2 2 x2 là nghiệm chung ta có x +bx+c=t1 và x +bx+c=t2 hay suy ra x1 + x2 =-b nên b=1 lúc đó . 2 2 x1 bx 1 c t 1 2 2 2 2 (x12 x ) Với 2 (xxb1 2 ) (x 1 x 2 ) b 2 cxx 1 2 dpcm x2 bx 2 c t 2 2 Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh aac( 2 b ) bab ( 2 c ) cbc ( 2 a ) 0 1 ab 1 bc 1 ca
4. 2222 2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa n d1 d 2 d 3 d 4 trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n Lời giải 1.Ta có aacbbabccbca( 2) ( 2) ( 2) a (33) bb (33) cc (33) a 00 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca a(1)(1)(1) b b c c a a 1 b 1 c 1 03 .Ta có 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 VT 33 . . ; . . 13()2a abc2 bc 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca (đúng vì a b c 31 abc ) 222 2.Gỉa sử d1 < d2 <d3 < d4 suy ra d1 =1.Nếu n lẻ thì n 1 d2 d 3 d 4 thì trong ba d2 ,d3 , d4 số phải có 1 chẵn hoặc cả ba cùng chẵn.Gỉa sử đó là d2 .Mà d2 là ƣớc n suy ra n chia hết cho 2 hay n chẵn nên mâu thuẫn . Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 22 hay d2 =2.Lúc đó n 5 d34 d hay suy ra d3 ;d4 phải có 1 chẵn hoặc 1 lẻ .Gọi p là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của n ta có d3 =p;d4 =2p.Lúc đó n chia hết cho 5 hay d3 =5;d4 =10. Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O) với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB a.Chứng minh MN2 FN. NA b.Chứng minh HFN 900 và MN=MH HB2 FE c.Chứng minh 1 HF2 FM 2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH
5. A E F N O M H B A F N O K H J B E I D C M Lời giải 1a.Ta có NMF AE;E F A F NAM NMF NAM NMF đồng dạng NAM dpcm 1b.Ta có MAE 900 nên BE là đƣờng kính.Ta MF MH có MA2 MF ME MH MO MFH đồng dạng MOE MO ME NHF MEB; M EB NAB NHF NAB ; HNF NAB 9000 HFN 90 .Ta có MN22 NH FN. NA MN NH . 1c.Ta có 1 1 1 1 1HB2 HB 2 HB 2 F E HB 2 F E 11 HF2 HN 2 HA 2 MN 2 HB 2 HF 2 MN 2 HF 2 MF MN 2 MF HB2 FE. HB 2 FA HB 2 FA NA HB 2 HA 2 1 1 1 1. HF2 MF MN 2 NF MN 2 NF. NA MN 2 MN 2
6. 2.Gọi E,F lần lƣợt là điểm đối xứng của M qua AB,AC.Ta chứng minh E,H,F thẳng hàng.Ta có AMB AEB; AM B ACB A E B ACB .Tứ giác HNCD nội tiếp hay ACB BHDED A B BH .Tứ giác AEBH nội tiếp nên EHB EA B BAM EHB BAM .Tƣơng tự ta cóCHF CAM BHE CHF BAC BHE CHF BHC BAC BHC 1800 Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ? Lời giải Gọi a,b là số lần chuyển đổi lẻ lần với a, b , a , b 2020.Nếu có a cột thì số ô mang dấu – trong a cột là (2020-b)a. Nếu có b cột thì số ô mang dấu – trong a cột là (2020-a)b.Tổng số ô mang dấu – là :(2020 b ) a (2020 a ) b 18 (1010 b ) a 9 1010 b ( b 1010) 1020091 19.53.1013 a 1010 1010 . Phƣơng trình này không có nghiệm nguyên 1010 bb 1010 nên bảng không có 18 dấu -
7. Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dƣợc vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi nhƣ thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến nhƣ vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm ngƣời nhà và tiền .Kẻ nhƣ tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và nhƣ thế bị vứt ra đƣờng trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao ngƣời ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không đƣợc ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Ngƣời
8. bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trƣớc .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thƣợng lƣu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ nhƣ bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa “Tôi tên là :Trƣơng Quang An Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận đƣợc 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhƣng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lƣơng quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lƣơng ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lƣơng ,một tháng đƣợc 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xƣa làm phụ hồ ,làm thuê làm mƣớn cho ngƣời ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhƣng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thƣ mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo đƣợc ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều ngƣời đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thƣờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí
9. Tên : Trƣơng Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trƣờng đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trƣờng cấp 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc đi học : Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp 3 học Trƣờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đƣờng đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Quảng Ngãi 3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : - Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong 3 lần đại diện cho trƣờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trƣờng . -Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là ngƣời rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thƣờng giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lƣu học hỏi -Xóm tôi bình thƣờng lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thƣờng nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán
10. học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đƣợc tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bƣớc vào sƣ phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi đƣợc tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sƣớng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trƣờng ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sƣ thật .Nhƣng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt đƣợc ƣớc mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thƣ ra bƣu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trƣớc cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu nhƣ tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bƣu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tƣ nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thƣ nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo nhƣ tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trƣơng vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cƣới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhƣng khi rảnh mình thƣờng lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí nhƣ một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin đƣợc hợp đồng cho 1 trƣờng cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mƣợn báo để phô tô cũng có .Hồi xƣa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thƣờng ra bƣu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhƣng khi mua đƣợc báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bƣu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua đƣợc chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ƣớc mơ ,thứ nhất đƣợc ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái đƣợc tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhƣng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong đƣợc học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại
11. chức ,nhƣng tôi thích học chính quy hơn ,ƣớc mơ đó có thể với mọi ngƣời rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mƣu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng nhƣ tôi không .Lƣơng hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống đƣợc bằng nghề sƣ phạm , Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An