Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Bình Định (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Bình Định (Có lời giải chi tiết)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi : 11/6/2022 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) 2x+ 3y= 1 1.Không dùng máy tính, giải hệ phương trình: x - 4y= 6 x 2 x 2 x 1 2.Cho Q . ; x 0, x 1 x 2 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên lớn nhất. Bài 2: (2 điểm) 1.Cho phương trình 2x2 (m 1)x m 1 0 .Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng. 2.Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y x 4 và điểm A( 2; 2) a) Chứng tỏ điểm A thuộc đường thẳng (d) b)Tìm a để parabol (P) y = ax2 đi qua điểm A. Với giá trị a tìm được , hãy xác định tọa độ điểm B là giao điểm thứ hai của (d) và (P). c)Tìm diện tích tam giác OAB. Bài 3: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13cm, diện tích là 30cm2. Tính độ dài các cạnh góc vuông. Bài 4. (3,5 điểm) Từ một điểm S ở ngoài đường tròn kẽ tiếp tuyến SB, SC (B, C là các tiếp điểm) và một cát tuyến cắt (O) tại D và E ( D nằm giữa S và E) . Qua B kẽ đường thẳng song song với DE cắt (O) tại điểm thứ hai là A. BC và AC cắt DE lần lượt tại F và I a) Chứng minh: S· IC S·BC b) Chứng minh: 5 điểm S, B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh: FI.FS = FD.FE
2. d) Đường thẳng OI cắt (O) tại M và N ( M thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng NF cắt đường tròn (O) tai điểm thứ hai là K. Chứng minh ba điểm S, K, M thẳng hàng. Bài 5: ( 1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: a b c 3 b c a a c b a b c LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1. 1.Không dùng máy tính, giải hệ phương trình: 2x+ 3y= 1 2x 3y 1 11y 11 y 1 x - 4y= 6 2x 8y 12 2x 3y 1 x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ; y ) = ( 2; -1) x 2 x 2 x 1 2.a) Q . x 2 x 1 x 1 x x 2 x 2 x 1 . 2 x 1 x 1 x 1 x ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 . ( x 1)2( x 1) x x x 2 x 2 x x 2 x 2 x 1 . ( x 1)2( x 1) x 2 x x 1 2 2 . ( x 1)2( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1 b) Q nguyên 2x 1 x 1 U(2) 1; 2 x-1 1 -1 2 -2 x 2 0 3 -1 Q 2 -2 1 Loại Thỏa Vậy x = 2 thì Q đạt giá trị nguyên lớn nhất. Bài 2. 1/ 2x2 (m 1)x m 1 0
3. m 1 2 4.2. m 1 m2 2m 1 8m 8 m2 6m 9 m 3 2 0,m. Phương trình đã cho luôn có nghiệm x1, x2 . Theo định lý Viet ta có: m 1 m 1 S x x , P x x . 1 2 2 1 2 2 Theo bài ra giả sử: x1 x2 x1x2 2 2 x1 x2 x1x2 2 2 x1 x2 4x1x2 x1x2 0 2 2 m 1 m 1 m 1 4. 0 2 2 2 4m 8 0 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. 2/ a/ Thay x 2, y 2 vào d : 2 2 4 ( đúng) Vậy điểm A thuộc đường thẳng (d) 1 1 b/ Thay x 2, y 2 vào P : 4a 2 a . P : y x2 . 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 1 2 2 x 2 y 2 x x 4 x 2x 8 0 2 x 4 y 8 Vậy giao điểm còn lại là ( -4; 8). c)
4. Bài 3: Gọi độ dài hai cạnh của tam giác vuông lần lượt là x; y(0 x; y 13 ) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13: x2 y2 169 1 Diện tích tam giác vuông là 30cm2 : xy 30 . (cm2) 2 60 y xy 60 x Ta có hệ phương trình: x2 y2 169 602 x2 169 x2 Ta có: 602 x2 169 x 0 x2 x4 169x2 602 0 x2 144 x 12 y 5 2 x 25 x 5 y 12 Vậy độ dài các cạnh của tam giác vuông là 12cm và 5cm. Bài 4. M A B Giải: E K I D F S O N C
5. a Chứng minh: S· IC S·BC Ta có: S·BC B· AC ( cùng chắn B»C ) Mà B· AC S· IC ( đồng vị) => S·BC S· IC b)Chứng minh: 5 điểm S, B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. Ta có: S·OB S·OC 900 900 1800 tg : SBOC nội tiếp đường tròn S·BC S·OC S· IC Do đó B, I, O cùng nhìn SC dưới 1 góc bằng nhau Nên 5 điểm S, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh: FI.FS = FD.FE Ta có: FBS∽ FIC g g FB FS FI.FS FB.FC (1) FI FC Mà FBD ∽ FEC(g g) FB FD FB.FC FE.FD(2) FE FC Từ (1) và (2) => FI.FS = FD.FE ( đpcm). d) Đường thẳng OI cắt (O) tại M và N ( M thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng NF cắt đường tròn (O) tai điểm thứ hai là K. Chứng minh ba điểm S, K, M thẳng hàng.
6. SFB ∽ CFI (g g) FS FB FB.FC FS.FI (*) FC FI Lại có: FBK ∽ FNC (g - g) FB FK FB.FC FN.FK (* *) FN FC Từ (*) và ( ) => FS.FI =FN.FK FS FK và K· FS I·FN ( đối đỉnh) FN FI Nên KFS∽ IFN (c g c) F· KS F· IN 900 Mà N· KM 900 F· KS N· KM 900 900 1800 S, K, M thẳng hàng. Bài 5: Giải: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: a2 b2 c2 (a b c)2 a b c . Dấu “=” xảy ra khi x y z x y z x y z Ta có: a b c b c a a c b a b c a2 b2 c2 (a b c)2 ab bc a2 ab bc b2 ac bc c2 2(ab bc ca) (a2 b2 c2) Mà a2 b2 c2 ab bc ca và (a b c)2 3(ab bc ca)
7. a b c b c a a c b a b c (a b c)2 (a b c)2 2(ab bc ca) (a2 b2 c2) 2(ab bc ca) (ab bc ca) 3(ab bc ca) 3 ab bc ca a b c Vậy 3. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. b c a a c b a b c Cách hai: y z a x b c a 2 x z Đặt y a c b b 2 z a b c x y c 2 Khi đó: a b c y z x z x y b c a a c b a b c 2x 2y 2z 1 x y x z z y 1 2 2 2 3 2 y x z x y x 2 a b c Vậy 3. Dấu “=” xảy ra khi x = y =z a b c b c a a c b a b c