Lời giải câu V trong đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2017

Nội dung text: Lời giải câu V trong đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2017

1. Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 . Tìm giá trị 9 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 z2 xyz . 1,0 2 Đáp án chấm 9 2 9 P x2 y2 z2 xyz x y z xyz 2 xy yz zx 2 2 0,25 1 1 9xyz 4 xy yz zx 2 Xét hàm số g(x) ax b với x  . Ta có: a 0 g( ) g(x) g( );a 0 g(x) g( );a 0 g( ) g(x) g( ). 0,25 Vậy ming( ); g( ) g(x) maxg( ); g( ) . 1 Không mất tính tổng quát có thể giả sử x y z x 1 . 3 Ta có 9xyz 4 xy yz zx 9yz 4y 4z x 4yz . 1 Đặt f (x) 9yz 4y 4z x 4yz x 1 . Coi f (x) là hàm số biến x ; còn 3 y, z là tham số. 1 1 2 1 Với x z y z y , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y z . 3 3 3 3 0,25 1 2 1 1 Mặt khác x z y 1 x do đó y z . Suy ra f 1 . 3 3 3 3 Với x 1 y z 0 , suy ra f 1 0 . 1  1  1 Do đó min f 1 ; f  f (x) max f 1 ; f  1 f (x) 0 x 1 3  3  3 1 1 Suy ra 1 P 1 0 P 1 . 2 2 1 1 1 Ta có P khi x y z . Vậy MinP . 2 3 2 0,25 Ta có P 1 khi x 1; y z 0 hoặc y 1; x z 0 hoặc z 1; y x 0 . Vậy MaxP 1. Cách khác Tìm Min Theo nguyên tắc Điriclê trong 3 số 1 3x;1 3y;1 3z có ít nhất hai số cùng dấu giả sử 1 3x;1 3y nên 1 3x 1 3y 0 9xy 3x 3y 1 0 9xyz 3xz 3yz z Nên 2 9 3xz 3yz z x y 3z z P x2 y2 z2 xyz x2 y2 z2 x y P/ 2 2 2 2 2 2 2
2. Mà x y 1 z 2 1 z 3z z 1 2z z2 3z 3z2 z 1 P P/ 1 z z2 z2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3x 0 1 1 3y 0 1 Min(P) x y z 2 x y 3 x y z 1 Tìm Max 9 2 9 P x2 y2 z2 xyz x y z xyz 2 xy yz zx 2 2 1 1 1 9xyz 4 xy yz zx 1 9yz 4y 4z x 4yz 2 2 Giả sử 0 z y x y z 0; x 1 nên 2 1 1 1 y z P 1 9yz 4y 4z x 4yz 1 5yz 4y 4z 1 4 y z 2 2 2 4 2 2 1 y z 1 1 x 1 1 2x x2 P 1 4 y z 1 4 1 x 1 4 4x 2 4 2 4 2 4 2 2 1 x2 7x 49 1 x 7 1 1 7 P 1 6 1 16 1 16 1 2 4 2 4 2 2 2 2 Vậy Max(P) 1 x 1; y z 0 và các hoán vị