Lời giải đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 Thành phố Hà Nội - Năm học 2019-2020 - Câu lạc bộ Toán A1

Nội dung text: Lời giải đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 Thành phố Hà Nội - Năm học 2019-2020 - Câu lạc bộ Toán A1

1. HSG lớp 9 Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộ toán A1 Lời giải đề thi HSG lớp 9 thành phố Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộ Toán A1 1 Bài 1. (5,0 điểm) √ √ 1) Giải phương trình (4x + 2) x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x + 2) 4x + 5. 2) Cho bốn số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a3 +b3 +c3 = 3d3,b5 +c5 +d5 = 3a5 và c7 +d7 +a7 = 3b7. Chứng minh rằng a = b = c = d. 5 Lời giải. 1) Điều kiện xác định: x ≥ − . Đặt a = 4x + 2,b = x2 + 2x + 2 thì phương trình trở thành 4 √ √ a b + 3 = b a + 3. Bình phương hai vế và biến đổi ta được (a − b)(ab + 3a + 3b) = 0. Lưu ý là từ đề bài ta phải có a,b ≥ 0 nên phương trình trên tương đương với a = b. Giải ta tìm được x = 0,x = 2 đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 2. 2) Nếu một trong ba số a,b,d lớn nhất thì ta suy được a = b = c = d. Thật vậy, nếu a lớn nhất thì từ điều kiện thứ 2 ta có 3a5 = b5 + c5 + d5 ≤ a5 + a5 + a5 nên ta phải có a = b = c = d. Tương tự với các trường hợp còn lại. Giờ xét c là số lớn nhất thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có d3 ≥ abc,a3 ≥ bcd,b3 ≥ cda. Nhân các bất đẳng thức trên và rút gọn, ta được abd ≥ c3, kéo theo a = b = c = d. Tóm lại, a = b = c = d. Bài 2. (5,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + 3n + 11 chia hết cho 49. 2) Tìm tất cả các bộCâu ba số nguyên lạc dương (x,y, bộp) với p là Toán số nguyên tố thỏa A1 mãn x2 + p2y2 = 6(x + 2p). Chứng minh. 1) Giả sử phản chứng n2 + 3n + 11 chia hết cho 49, kéo theo n2 + 3n + 11 chia hết cho 7. Thế thì vì n2 +3n+11 = (n−2)2 +7n+7 nên ta phải có (n−2)2 chia hết cho 7. Suy ra n−2 chia hết cho 7, tức là n chia 7 dư 2. Đặt n = 7k + 2 với k ∈ N thì n2 + 3n + 11 = 49k2 + 49k + 21 không chia hết cho 49, mâu thuẫn. Vậy, giả sử là sai tức là ta có đpcm. 2) Viết lại đề bài dưới dạng (x − 3)2 + p2y2 = 12p + 9. 1A1 Maths Club (AMC), Phụ trách CLB: Nguyễn Tiến Lâm
2. HSG lớp 9 Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộ toán A1 Vế phải chia hết cho 3 nên vế trái chia hết cho 3. Với a,b ∈ Z, vì a2,b2 chia 3 dư 0 hoặc 1 nên a2 +b2 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a,b đều chia hết cho 3. Từ nhận xét này, ta có ngay x − 3 và py đều chia hết cho 3. Suy ra (x − 3)2 + (py)2 chia hết cho 9, kéo theo 12p + 9 chia hết cho 9 tức là 12p phải chia hết cho 9, dẫn tới p chia hết cho 3. Khi đó ta phải có p = 3. Thay vào phương trình ta có (x − 3)2 + 9y2 = 45. Suy ra y2 ≤ 4 hay y ∈ {1,2}. Kiểm tra trực tiếp, ta có các bộ nghiệm (x,y, p) là (9;1;3),(6;2;3). Bài 3. (3,0 điểm) 1 x 1) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 5(x − y)2 ≤ x2 + y2. Chứng minh rằng ≤ ≤ 2. 2 y 2) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 5(x + y + z)2 ≥ 14(x2 + y2 + z2). Tìm giá trị lớn 2x + z nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . x + 2z Chứng minh. 1) Khai triển, và rút gọn ta được 2x2 −5xy+2y2 ≤ 0. Chia cả hai vế cho y2 > 0, ta được x2 x 2 − 5 + 2 ≤ 0. y y Phân tích vế trái thành nhân tử, ta có  x x  2 − 1 − 2 ≤ 0. y y 1 x Giải điều kiên nói trên, ta có ngay ≤ ≤ 2. 2 y 2) Từ giả thiết, viết lại thành 9y2 − 10y(x + z) + 9(x2 + z2) − 10xz ≤ 0 hay tương đương Câu lạc5(x + z)2 bộ56x2 − Toán140xz + 56z2 A1 3y − ≤ − . 3 9 1 x x 2t + 1 3 Suy ra 2x2 − 5xz + 2z2 ≤ 0. Theo ý 1) thì ≤ ≤ 2. Từ đó nếu đặt t = thì P = = 2 − 2 z z t + 2 t + 2 5 sẽ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương ứng với t đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Thế thì, P = và max 4 4 P = . min 5
3. HSG lớp 9 Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộ toán A1 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với AB a2 > ··· > an nên 2a1 < S < 2a1+1. VìCâu số bi của mỗi lạc hộp nhỏ hơn bộ2a1+1 nên Toán suy ra số bi được A1 bỏ vào tất cả các hộp ở mỗi bước không vượt quá Q = 2a1 + 2a1−1 + ··· + 2a1−14. Suy ra trong k bước, tổng số bi các hộp không vượt quá kQ ≤ 7(2a1 + 2a1−1 + ··· + 2a1−14) < 7.2a1+1 = 14.2a1 < 15S, mâu thuẫn. Ta chỉ ra với k = 8 thì có cách bỏ bi thỏa mãn, cụ thể là bỏ bi sao cho số bi ở mỗi hộp là 8. 1. Bước 1: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,2,0,4,0,0,0,8,0,0, ,0. 2. Bước 2: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,2,0,4,0,0,0,0,8,0, ,0. 3. Bước 3: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,2,0,0,4,0,0,0,0,8, ,0.
4. HSG lớp 9 Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộ toán A1 4. Bước 4: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,2,0,0,4,0,0,0,0,0,8, ,0. 5. Bước 5: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,0,2,0,0,4,0,0,0,0, ,0. 6. Bước 6: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,0,2,0,0,4,0,0,0,0, ,0. 7. Bước 7: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,0,2,0,0,0,4,0,0, ,0. 8. Bước 8: Số bi tương ứng bỏ vào 15 hộp là 1,0,2,0,0,0,4,0,0, ,8. Câu lạc bộ Toán A1