Luyện tập sâu và có chủ đích 5 chủ đề thi tuyển sinh và 50 đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán - Lê Văn Hưng

182 trang thaodu 7230

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luyện tập sâu và có chủ đích 5 chủ đề thi tuyển sinh và 50 đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán - Lê Văn Hưng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luyen_tap_sau_va_co_chu_dich_5_chu_de_thi_tuyen_sinh_va_50_d.pdf

Nội dung text: Luyện tập sâu và có chủ đích 5 chủ đề thi tuyển sinh và 50 đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán - Lê Văn Hưng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS Ths: LÊ VĂN HƯNG LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH 5 CHỦ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀ 50 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN A 1 E F H I O D 1 B 2 C K CẬP NHẬT - CHỌN LỌC - BÁM SÁT NỘI DUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HÀ NỘI √ Bám sát đề thi nhất √ Phương pháp tư duy hay nhất √ Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập nhất HÀ NỘI, 20 - 7 - 2018
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỤC LỤC Lời nói đầu 5 Minh họa cấu trúc đề thi vào 10 Hà Nội 6 CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN PHỤ A. Lý thuyết. 1. Các công thức biến đổi căn thức 7 2. Cách xác định nhanh điều kiện của biểu thức 7 3. Các bước rút gọn một biểu thức 9 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Các bài toán rút gọn căn thức chứa số. Dạng 1. Tính giá trị cuả biểu thức A khi x = x0 11 Dạng 2. Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức 12 Dạng 3. So sánh biểu thức A với k hoặc 13 Dạng 4. Tìm giá trị nguyên để của x để biểu A có giá trị nguyên 14 Dạng 5. Tìm giá trị của x để biểu A có giá trị nguyên 15 Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức A 16 Dạng 7. Chứng minh biểu thức A luôn luôn âm hoặc luôn luôn dương 18 Dạng 8. Chứng minh biểu thức thỏa mãn với điều kiện nào đó 19 C. Luyện tập bài tập nhiều ý hỏi. D. Một số câu về rút gọn và câu hỏi phụ đề tuyển sinh Hà Nội. CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần I: Giải và biện luận hệ phương trình A. Lý thuyết. 1. Hệ phương trình cơ bản 27 2. Hệ phương trình không cơ bản 27 3. Hệ phương trình chứa tham tham số 27 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Dạng 1. Giải hệ phương trình cơ bản 28 Dạng 2. Giải hệ phương trình không cơ bản 29 Dạng 3. Giải hệ phương trình chứa tham tham số 31 C. Giới thiệu một câu về giải hệ phương trình của đề thi chính thức Hà Nội. Phần II: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 1
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A. Lý thuyết. 1. Phương pháp chung 36 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Dạng 1. Tìm các chữ số tự nhiên 36 Dạng 2. Tính tuổi 37 Dạng 3. Hình học 37 Dạng 4. Toán liên quan đến tỉ số phần trăm 38 Dạng 5. Toán làm chung công việc 40 Dạng 6. Bài toán liên quan đến sự thay đổi của tích 44 Dạng 7. Toán chuyển động 45 C. Bài tập trắc nghiệm. D. Một số câu giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình của đề chính thức Hà Nội. CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ĐƯỜNG THẲNG - PARABOL A. Lý thuyết. 1. Hàm số y = ax + b (a 6= 0) 55 2. Hàm số y = ax2 (a 6= 0) 55 3. Phương trình bậc hai một ẩn 56 4. Hệ thức vi - ét và ứng dụng 56 5. Phương trình quy về phương trình bậc hai 57 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình 57 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. 2 Dạng 1. Tính giá trị của hàm số y = f(x) = ax tại x = x0 58 Dạng 2. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 58 Dạng 3. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = ax2 (a 6= 0) 59 Dạng 4. Xác định tham số 59 Dạng 5. Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng 59 Dạng 6. Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc hai 59 Dạng 7. Giải phương trình bậc hai 59 Dạng 8. Giải và biện luận phương trình bậc hai 59 Dạng 9. Giải hệ phương trình hai ẩn gồm một ẩn 59 Dạng 10. Giải hệ phương trình có hai ẩn số 60 Dạng 11. Hệ thức vi - ét và ứng dụng 60 Dạng 12. Giải và biện luận phương trình trùng phương 62 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 2
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dạng 13. Giải một số phương trình, hệ phương trình 62 Dạng 14. Giải bài toán bằng cách lập phương trình 62 Tổng hợp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình. Dạng 15. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc 67 Dạng 16. Tìm điểm cố định của đường thẳng phụ thuộc tham số 68 Dạng 17. Tìm tham số m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến 68 C. Luyện tập tổng hợp. D. Giới thiệu một số câu về phương trình bậc hai trong đề tuyển sinh Hà Nội. CHỦ ĐỀ IV: HÌNH HỌC A. Kiến thức cần nhớ lớp 7 74 B. Kiến thức cần nhớ lớp 8 75 C. Kiến thức lớp 9 76 D. Các dạng cơ bản 86 E. Phương tích giải các bài toán khó 93 F. Kĩ thuật tư duy các dạng hay hỏi 104 G. Một số đề thi chính thức Hà Nội 103 H. Các bài hình học để luyện tập phản xạ theo mô hình 108 CHỦ ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN - MAX, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A. Lý thuyết. 1. Bất đẳng thức Cô - si 113 2. Một số bổ đề thường dùng 113 3. Giải phương trình chứa căn thức 114 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Bài toán Min - Max. Dạng 1. Kĩ thuật chọn điểm rơi 114 Dạng 2. Kĩ thuật khai thác giả thiết 116 Dạng 3. Kĩ thuật Cô - si ngược dấu 117 Giải phương trình chứa căn thức. Dạng 1. Sử dụng biến đổi đại số 120 Dạng 2. Đặt ẩn phụ 121 Dạng 3. Đánh giá 123 C. Luyện tập sâu và có chủ đích. ĐỀ MINH HỌA "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 3
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Luyện tập bộ 10 đề do thầy Lê Văn Hưng sưu tầm biên soạn 130 Luyện tập bộ 30 đề của thầy LÊ ĐỨC THUẬN chủ biên 140 Luyện tập bộ 10 đề thi thử không chuyên và đề chuyên 170 Tài liệu này sẽ liên tục được chỉnh sửa và cập nhật . "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 4
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Với mong muốn tổng hợp những nội dung hay và bám sát theo đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán THPT, giải quyết được tất cả các bài toán trên lớp cho các em học sinh, tôi đã sưu tầm và biên soạn tài liệu này để giúp các em học sinh khối 9 có cái nhìn tổng quan về nội dung cần học. Tài liệu này được siêu tầm trên nhiều nguồn, nhiều cuốn sách với sự trân trọng như của thầy "LÊ ĐỨC THUẬN", , các đề thi của các trường trong cả nước và được viết lại với ý tưởng của tôi. Tài liệu tổng hợp này có phân ra các chủ đề trọng tâm có cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập rõ ràng và cụ thể, có các ví dụ mẫu minh họa với các cách giải theo mô hình tư duy. Đặc biệt là 50 đề luyện tập sẽ giúp các em nâng cao kĩ năng và tốc độ làm bài. Dù đã rất cố gắng kiểm soát nội dung bài viết của tài liệu nhưng cũng không thể tránh được những sai sót vì thế rất mong nhận được sự góp ý chân thành của bạn đọc. Tài liệu sẽ luôn được cập nhật và chỉnh sửa để trở nên hay hơn nữa. Xin chân thành cảm ơn!!! Ý tưởng & biên soạn LÊ VĂN HƯNG "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 5
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MINH HỌA CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀO 10 HÀ NỘI DỰA TRÊN ĐỀ TUYỂN SINH Bài I. (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức (1,0 điểm). b) Tìm giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện (0,5 điểm). c) Bài toán phụ (0,5 điểm). Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình. Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (1,0 điểm). 2) (1,0 điểm) a) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai (0,5 điểm). b) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai (0,5 điểm). Bài IV. (3,5 điểm) Hình học tổng hợp. 1) Chứng minh tứ giác nội tiếp (hoặc chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn) (1,0 điểm). 2) Tam giác đồng dạng, , hệ thức lượng trong tam giác (1,0 điểm). 3) Câu hỏi vận dụng (1,0 điểm). 4) Câu hỏi vận dụng cao (0,5 điểm). Chú ý: Chứng minh phần nào thì có hình vẽ đúng phần đó mới có điểm. Bài V. (0,5 điểm) Vận dụng cao. 1) Bài toán Min - Max (bất đẳng thức). 2) Giải phương trình chứa căn thức. 3) Giải hệ phương trình nâng cao. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 6
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC BÀI TOÁN PHỤ A. LÝ THUYẾT 1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC √ A nếu A ≥ 0 1. A2 =| A |= . −A nếu A 0). √ B B √ 4. A2B =| A | B (với B ≥ 0). √ √ 5. A B = A2B (với A ≥ 0; B ≥ 0). √ √ 6. A B = − A2B (với A 0). B B √ C C A ∓ B 9. √ = (với A ≥ 0 và A 6= B2). A ± B A − B2 √ √ C C A ∓ B 10. √ √ = (với A ≥ 0; B ≥ 0; A 6= B). A ± B A − B √ 3 √ 11. 3 A = 3 A3 = A. 2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC √ √ • A ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0. Ví dụ: x − 2018 ⇒ ĐKXĐ: x ≥ 2018. A x + 2 • ⇒ ĐKXĐ: B 6= 0. Ví dụ: ⇒ ĐKXĐ: x 6= 3. B x − 3 A x + 2 • √ ⇒ ĐKXĐ: B > 0. Ví dụ: √ ⇒ ĐKXĐ: x > 3. B x − 3 √ √  A x x ≥ 0 • √ ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0; B > 0. Ví dụ: √ ⇒ ĐKXĐ: ⇔ x > 3. B x − 3 x > 3     A ≤ 0 x − 1 ≤ 0    r  r  A  B 0 x + 2 > 0  √  x > a x > 2 • Cho a > 0 ta có x2 > a ⇔  √ . Ví dụ: x2 > 4 ⇒  . x < − a x < −2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 7
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ √ • Cho a > 0 ta có x2 0 thì |f(x)| g(x) • Dạng tổng quát 2: |A(x)| > g(x) ⇔  . f(x) k Đặc biệt với hằng số k > 0 thì |f(x)| > k ⇔  . f(x) |g(x)| ⇔ [f(x)]2 > [g(x)]2. Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô - si cho hai số a, b không âm ta có: √ a + b ≥ 2 ab Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b. Chú ý: Với hai số a, b bất kỳ ta luôn có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b. 1 Ví dụ: Cho x ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + . x Hướng dẫn 1 r 1 Vì x ≥ 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có A = x + ≥ 2 x. = 2. x x 1 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x = 1. x Vậy Amin = 2 ⇔ x = 1. 1 Ví dụ: Cho x ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + . x Hướng dẫn "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 8
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 1 r 1 Cách giải sai: Vì x ≥ 2 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có B = x + ≥ 2 x. = 2. x x 1 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x = 1 (không thỏa mãn vì x ≥ 2). x Vậy Bmin = 2 ⇔ x = 1. Gợi ý cách giải đúng:  1 1 nx = Dự đoán Bmin đạt được tại x = 2. Ta có B = nx + + x − nx. Dấu ” = ” xảy ra khi x . x  x = 2 3x x 1 4 1 rx 1 Do đó ta có A = + + . Áp dụng bất đẳng thức Cô - si + ≥ 2 . = 1. 4 4 x x x 4 x x 1 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ = ⇔ x = 2 (vì x ≥ 2). 4 x 5 Vậy B = ⇔ x = 2. min 2 1 Ví dụ: Cho x ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + . x Hướng dẫn 1 8x x 1 10 Tương tự ta có C = x + = + + ≥ . Dấu ” = ” xảy ra khi x = 3. x 9 9 x 3 x + 12 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = √ . Với x ≥ 0. x + 2 Hướng dẫn √ 16 Gợi ý: D = ( x + 2) + √ − 4 ≥ 4. Dấu ” = ” xảy ra khi x = 4. x + 2 . 3. Các bước rút gọn một biểu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân số tối giản thì√ ta đã hoàn√ thành việc rút gọn. x + 2 x − 2 x + 1 √ Ví dụ: Rút gọn biểu thức A = √ − . √ − x + 1 . x + 2 x + 1 x − 1 x Hướng dẫn  x > 0 Điều kiện: . x 6= 1 √ √ √ √ x + 2 x − 2 x + 1 x(1 − x) A = √ − √ √ . √ + √ 2 ( √x + 1) √ ( x − 1)( √x + 1) √ x x √ ( x + 2)( x − 1) ( x − 2)( x + 1) x + 1 + x − x A = √ √ − √ √ . √ 2 2 ( x + 1)√( x − 1) ( x − 1)(√ x + 1) √ x x + x − 2 x − x − 2 x + 1 A = √ √ − √ √ . √ ( x + 1)2( x − 1) ( x − 1)( x + 1)2 x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 9
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ √ √ x + x − 2 − x + x + 2 x + 1 A = √ √ . √ 2 ( x +√ 1) ( x − 1) √ x 2 x x + 1 A = √ √ . √ ( x + 1)2( x − 1) x 2 A = . x − 1 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức. p √ p √ a) A = 6 − 2 5 b) B = 4 − 12. p √ p √ p √ c) C = 19 − 8 3 d) D = 5 − 2 6 − 4 + 12. Hướng dẫn p √ q √ √ √ a) A = 6 − 2 5 = ( 5 − 1)2 = | 5 − 1| = 5 − 1. p √ p √ q √ √ √ b) B = 4 − 12 = 4 − 2 3 = ( 3 − 1)2 = | 3 − 1| = 3 − 1. p √ q √ √ √ c) C = 19 − 8 3 = ( 3 − 4)2 = | 3 − 4| = 4 − 3. p √ p √ q √ √ q √ √ √ √ d) D = 5 − 2 6 − 4 + 12 = ( 3 − 2)2 − ( 3 + 1)2 = | 3 − 2| − | 3 + 1| √ √ √ √ = 3 − 2 − 3 − 1 = −1 − 2. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức. p √ p √ a) A = 4 + 2 3 b) B = 8 − 2 15. p √ p √ p √ c) C = 9 − 4 5 d) D = 7 + 13 − 7 − 13. Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức. p √ p √ 6 + 2 5 5 − 2 6 3 4 1 a) A = √ + √ √ b) B = √ √ + √ √ + √ √ . 5 + 1 3 − 2 5 − 2 6 + 2 6 + 5 1 1 1 1 c) C = √ √ + √ √ + √ √ + + √ √ . 1 + 2 2 + 3 3 + 4 99 + 100 p3 √ p3 √ d) D = 5 2 + 7 − 5 2 − 7. Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức. p √ p √ p √ p √ a) A = 3 − 2 2 − 6 − 4 2 b) B = 9 +√ 4 5 −√ 9 −√4 5. √ √ p √ 3 + 3 5 − 2 − 10 c) C = 14 + 6 5 − 21 d) D = √ . 6 + 2 5 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức. r p √ p √ √ q p √ a) A = 4 − 2 3 + 4 + 2 3 b) B = 5 − 3 − 29 − 12 5. p3 √ p3 √ p3 √ p3 √ c) C = 5 2 + 7 − 5 2 − 7 d) D = 2 + 5 + 2 − 5. Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức. p √ p √ q p √ q p √ a) A = 7 − 4 3 − 7 + 4 3 b) B = 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3. p3 √ p3 √ p3 √ p3 √ c) C = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 d) D = 9 + 4 5 + 9 − 4 5. Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 10
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội p √ p √ p √ p √ a) 11 + 6 2 + 11 − 6 2 b) 41 − 12 5 − 41 + 12 5. p √ p √ q√ √ p √ c) 3 − 2 2 − 6 − 4 2 d) 5 − 3 − 29 − 12 5. Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x = x0 Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả. Ví dụ: Cho biểu thức A = 2x+ | x − 4 |. a) Rút gọn A. b) Tính giá của A khi x = 3. Hướng dẫn  2x + x − 4 nếu x ≥ 4 Ta có A = 2x+ | x − 4 |= 2x − (x − 4) nếu x < 4  3x − 4 nếu x ≥ 4 =  x + 4 nếu x < 4 Khi x = 3 < 4 thì giá trị của A√là: A = 3 + 4√ = 7. √ x − 1 2 x 2 − 5 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ + . x + 2 x − 2 4 − x a) Rút gọn A. 2 b) Tính giá trị của A biết x = √ . 2 −√ 3 √ x + 2 x − 2 4x Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ : . x − 1 x − 2 x + 1 (x − 1)2 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết |x − 5| = 4. √ √ √ √ 2 xy x + y 2 x Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ √ .√ √ . x − y 2 x − 2 y x − y a) Rút gọn A. x 4 b) Tính giá trị của A biết = . y 9 x2 − 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = + . 1 − − . 2x2 + 8 x3 − 2x2 + 4x − 8 x x2 a) Rút gọn A. p √ b) Tính giá trị của A biết x = 4 −√2 3. x − x 1 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = + √ − √ . x − 9 x + 3 x − 3 a) Rút gọn A. p √ b) Tính giá trị của A biết x = 11 − 6 2. 1 1 c) Tính giá trị của A biết x = √ − √ . 3 − 1 3 + 1 r 2 r 2 d) Tính giá trị của A biết x = 2 √ − √ . 3 + 1 3 − 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 11
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A − k = 0 tính kết quả, kết hợp với điều kiện để kết luận. • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k (≥, ≤, 0 với điều kiện của đề√ bài để tìm x. 2 − x 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0, x 6= 4. Tìm x để A = − . 2 + x 2 Hướng dẫn √ 1 2 − x 1 √ √ √ Ta có A = − ⇔ √ = − ⇔ 2 x − 4 = x + 2 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36 (thỏa mãn điều kiện). 2 2 + x 2 1 2 2 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ : − √ . x + 2 x + 4 x + 4 x − 4 x − 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 0. √ √ √ √ x x x − 2 x x + 2 Ví dụ: Cho biểu thức P = √ + √ − và Q = √ với x ≥ 0; x 6= 4. x − 2 x + 2 x − 4 x − 2 a) Rút gọn P . b) Tìm x sao cho P = 2. 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0, x 6= 9. Tìm x để A > 1. x − 3 Hướng dẫn √ √ 1 1 1 − x + 3 x − 4 Ta có A > 1 ⇔ √ > 1 ⇔ √ − 1 > 0 ⇔ √ > 0 ⇔ √ 0 x > 16  √      x − 3 0  x > 9 √ 3 x − 5 3 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0. Tìm x để A < . 2 x + 1 2 Hướng dẫn √ √ 3 3 x − 5 3 3 x − 5 3 −13 Cách 1: Ta có A < ⇔ √ < ⇔ √ − < 0 ⇔ √ < 0 luôn đúng với 2 2 x + 1 2 2 x + 1 2 2 (2 x + 1) x ≥ 0. 3 Vậy A < với x ≥ 0. 2 √ 3 3 x − 5 3 −13 Cách 2: Xét hiệu A − = √ − = √ < 0 2 2 x + 1 2 2 (2 x + 1) 3 Vậy A < với x ≥ 0. 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 12
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ √ 1 3 x 3 x − 3 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ √ : √ − √ . x + 3 x x − 9 x x + 3 x + 3 x a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 1. x2 − 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = + . 1 − − . 2x2 + 8 x3 − 2x2 + 4x − 8 x x2 a) Rút gọn A. 1 b) Giải bất phương trình A > . 3 √ √ √ √ x x x − 2 x x + 2 Ví dụ: Cho biểu thức P = √ + √ − và Q = √ với x ≥ 0; x 6= 4. x − 2 x + 2 x − 4 x − 2 a) Rút gọn P . 1 b) Biết M = P : Q. Tìm giá trị của x để M 2 0, x 6= 1, x 6= 4. x − 2 x − x − 2 p √ p √ a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8. B b) Rút gọn biểu thức P = . A √ 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P x ≥ − . 2 Dạng 3: SO SÁNH BIỂU THỨC A VỚI k HOẶC BIỂU THỨC B (k LÀ HẰNG SỐ) Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức A với hằng số k hay biểu thức khác là B thì ta đi xét hiệu A − k, A − B và xét√ dấu biểu thức√ này rồi kết luận.√ 2 x x + 9 x x + 5 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − và B = với x ≥ 0, x 6= 9 và x 6= 25. x − 3 x − 9 x − 25 a) Rút gọn A. A b) Hãy so sánh P = với 1. B Hướng dẫn √ x a) A = √ . x + 3 √ √ √ A x x + 5 x x − 5 b) Ta có: P = = √ : = √ . B √ x + 3 x − 25 x + 3 x − 5 −8 Xét hiệu: P − 1 = √ − 1 = √ < 0 với x ≥ 0, x 6= 9 và x 6= 25. x + 3 √x + 3 √ √ 2 x − 9 x + 3 2 x + 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ − √ với x ≥ 0, x 6= 4 và x 6= 9. x − 5 x + 6 x − 2 3 − x a) Rút gọn A. b) Hãy so sánh A với 1. √ √ √ 3x + 9x − 3 x + 1 x − 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ + √ với x ≥ 0, x 6= 1. x + x − 2 x − 2 1 − x a) Rút gọn A. 1 b) Hãy so sánh A với . 2 √ √ 1 2 x x + x 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ √ : √ √ + x − 1 x x − x + x − 1 x x + x + x + 1 x + 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 13
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội với x ≥ 0, x 6= 1. a) Rút gọn A. 1 b) Hãy so sánh A với . 3 √ √ √ x − 1 6 x + 1 x Ví dụ: Cho biểu thức A = 2 − √ : √ √ + √ . 2 x − 3 (2 x − 3)( x + 1) x + 1 a) Rút gọn A. 3 b) Hãy so sánh A với . 2 Dạng 4: TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng phân thức có tử là số nguyên, lí luận chặt chẽ để rồi chỉ ra mẫu phải thuộc ước tự nhiên của tử và kết luận. 1 5 6 6 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ − : √ . x + 3 x − 3 9 − x x + 2 a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn a) Điều√ kiện: x ≥ 0√; x 6= 9. Khi√ đó ta có ( x − 3) + 5( x + 3) + 6 x + 2 A = √ √ . ( √x + 3)( x −√3) 6 6 x + 18 x + 2 A = √ √ . ( x +√ 3)( x − 3) √ 6 6( x + 3) x + 2 A = √ √ . (√ x + 3)( x − 3) 6 x + 2 A = √ . x − 3 √ √ x + 2 x − 3 + 5 5 b) Ta có A = √ = √ = 1 + √ . x − 3 x − 3 x − 3 5 √ √ A có giá trị nguyên ⇔ √ có giá trị nguyên ⇔ x − 3 ∈Ư(5) ⇔ x − 3 ∈ {±1; ±5}. x − 3 √ Ta biết rằng khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô 5 √ tỉ (nếu x không là số chính phương). Để √ là số nguyên thì x không thể là số vô tỉ, do đó √ √ x − 3 x là số nguyên, suy ra x − 3 là ước tự nhiên của 5. Ta có bảng sau. √ x − 3 1 -1 5 -5 √ x 4 2 8 -2 . x 16 4 64 || √ 1 x − 1 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = x + √ . √ − √ . x x − x + 1 x + 1 a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. √ 3 x x + 1 1 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ + √ − √ . √ . x x − x x x − 1 x + x + 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 14
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A ≥ 10. c) Tìm các giá trị nguyên của x√để A có giá trị nguyên.√ √ x + 2 x 1 x + 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = + √ : với x ≥ 0, x 6= 4. x − 2 x − 4 x − 2 x − 4 a) Rút gọn B. b) Tìm các giá trị nguyên của x√để P = A(B − 2) √có giá trị nguyên. √ x + 2 x 1 x + 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = + √ : với x ≥ 0, x 6= 4. x − 2 x − 4 x − 2 x − 4 a) Rút gọn B. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P = A(B − 2) có giá trị nguyên. Dạng 5: TÌM GIÁ TRỊ CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm ra khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu thức nguyên nên ta chỉ ra được các giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với mỗi giá trị của biểu thức ta sẽ tìm ra được các nghiệm của biến tương ứng. Cách 2: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, biến đổi suy ra một vế chỉ còn chứa căn thức bậc hai, dựa vào căn thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm trong rồi giải với các tham số tương ứng để tìm ra các nghiệm của biến tương ứng. 7 Ví dụ: A = √ với x ≥ 0. Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên. x + 3 Cách 1: Với x ≥ 0 ta có A > 0. 7 7 • A = √ ≤ . x + 3 3 Mà A ∈ Z ⇒ A ∈ {1; 2}. Với A = 1 ⇔ x = 16 (thỏa mãn). 1 Với A = 2 ⇔ x = (thỏa mãn). 4 7 Cách 2: Đặt A = √ = n với n ∈ . x + 3 Z 7 √ 7 − 3n √ 7 − 3n 7 A = √ = n ⇔ x = . Vì x ≥ 0 nên ≥ 0 ⇔ 0 < n ≤ . x + 3 n n 3 Mà n ∈ Z ⇒ n ∈ {1; 2}. Với n = 1 ⇔ x = 16 (thỏa mãn). 1 Với n = 2 ⇔ x = (thỏa mãn). 4 1 Vậy với x = 16, x = thì biểu thức A có giá trị nguyên. 4 √ √ √ 7 x − 2 x + 3 x − 3 36 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = √ − √ − với x ≥ 0, x 6= 9. 2 x + 1 x − 3 x + 3 x − 9 a) Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị của x để A = B. b) Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 15
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ √ √ ( x − 3)2 − ( x + 3)2 − 36 12 x − 36 12 a) B = = = √ . √ x − 9 x − 9 x + 3 7 x − 2 12 √ √ √ √ Để A = B ⇔ √ = √ ⇔ (7 x − 2)( x + 3) = 12(2 x + 1) ⇔ 7x − 5 x − 18 = 0 2 x + 1 x + 3  √ x = 2 ⇔  √ 9 ⇒ x = 4. x = − (loại) 7 Vậy để A√= B thì x = 4√. √ 7 x − 2 7 (2 x + 1) − 11 7 (2 x + 1) 7 b) A = √ = 2 √ 2 < 2 √ = 2 x + 1 2 x + 1 2 x + 1 2 7 7 A < mà A nhận giá trị nguyên dương ⇒ 0 < A < . A nguyên ⇒ A = 1; 2; 3 2 2 √ 3 9 Với A = 1 ⇒ x = 5 ⇒ x = 25 √ 4 16 Với A = 2 ⇒ x = 3 ⇒ x = 9 √ Với A = 3 ⇒ x = 5 ⇒ x = 25. 9 16 Vậy để A nhận giá trị nguyên dương thì x = ; ; x = 25. √ √ 25 9 x 2 x − 24 7 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + và B = √ với x ≥ 0, x 6= 9. x − 3 x − 9 x + 8 a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 36. b) Rút gọn A. c) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên. Hướng dẫn √ x + 8 b) A = √ . x + 3 7 c) Ta có đánh giá 0 ≤ P ≤ . 3 Với P = 1 ⇒ x = 16 (TM). 1 Với P = 2 ⇒ x = (TM). 4 √ √ √ 1 − x 15 − x 2 x + 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = + √ : √ với x ≥ 0, x 6= 25. 1 + x x − 25 x + 5 x − 5 a) Rút gọn B. b) Tìm các giá trị của x để P = B − A có giá trị nguyên.√ 1 1 x − 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ . √ với x ≥ 0, x 6= 4. x + 2 x − 2 x a) Rút gọn A. 7A b) Tìm x thực để có giá trị nguyên. 3 Dạng 6: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: Cách 1: Thêm bớt rồi dùng định lí cô si hoặc đánh giá dựa vào điều kiện. Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị. Chú ý: "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 16
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội • Biểu thức A có giá trị lớn nhất là a, kí hiệu là Amax = a nếu A ≤ a với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu ” = ” xảy ra. • Biểu thức A có giá trị nhỏ nhất là b, kí hiệu là Amin = b nếu A ≥ b với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị√ của biến√ dấu ” = ” xảy√ ra. √ x x + 26 x − 19 2 x x − 3 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ + √ với x ≥ 0, x 6= 1. x + 2 x − 3 x − 1 x + 3 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Hướng dẫn x + 16 a) A = √ x + 3 b) Cách 1: Thêm bớt rồi dùng Cô - si hoặc đánh giá dựa vào điều kiện xác định. x + 16 x − 9 + 25 √ 25 √ 25 r √ 25 A = √ = √ = x − 3 + √ = x + 3 + √ − 6 ≥ 2 ( x + 3).√ − 6 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 √ 25 = 2.5 − 6 = 4. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khỉ x + 3 = √ ⇔ x = 4. x + 3 ⇒ A ≥ 4. Suy ra minA = 4 khi x = 4. Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị. x + 16 √ √ A = √ ⇔ ( x)2 − A x + 16 − 3A = 0. x + 3  A ≥ 4 Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔  . Suy ra minA = 4 dấu ” = ” xảy ra khi và A ≤ −16 √ A chỉ khi x = = 2 ⇔ x = 4 (thỏa mãn). 2 √ √ x 1 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ : √ + √ . x + x x x + 1 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Hướng dẫn a) Điều kiện√ x > 0. Khi√ đó ta có x x + 1 + x A = √ √ : √ √ . x( √x + 1) √ x√( x + 1) x x( x + 1) A = √ √ . √ . x(√x + 1) x + 1 + x x A = √ . x + 1 + x √ x 1 b) Ta có: A = √ = . x + 1 + x 1 √ 1 + √ + x x 1 √ r√ 1 Xét biểu thức ở mẫu: 1 + √ + x ≥ 2 x.√ + 1 = 3 (áp dụng cô si). x x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 17
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 1 1 √ 1 Ta có A ≤ . Do đó maxA = khi x = √ ⇔ x = 1. 3 3 √ √x √ √ x x − 6 x x − 36 x Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ . √ √ . x − 36 x + 6 x 2( x − 3)(x − 2 x + 3) a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Hướng dẫn 6 a) A = √ với điều kiện x > 0; x 6= 9; x 6= 36. x − 2 x + 3 6 6 √ b) A = √ ≤ = 3 vì ( x + 1)2 ≥ 0. ( x + 1)2 + 2 2 Suy ra maxA = 3 khi x = 1. √ √ √ 2 x + 3 3 x − 2 15 x − 11 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ − √ . x + 3 x − 1 x + 2 x − 3 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Hướng dẫn √ 5 x − 2 a) A = √ với điều kiện x ≥ 0; x 6= 1. √x + 3 5 x + 15 − 17 17 17 2 √ b) A = √ = 5 − √ ≥ 5 − ⇒ A ≥ − vì x ≥ 0. x + 3 x + 3 3 3 2 Suy ra minA = − khi x = 0. 3 √ √ √ x + x + 4 3x − 4 x + 1 x − 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = √ − √ + √ với x > 0, x 6= 4. √ x − 2 x − 2 x x 2 − x x + 1 a) Chứng minh B = √ . x − 2 √ √ √ √ b) Tính giá trị của A khi x + x + 1 + (2 5 − 1) x = 3x − 2 x − 4 + 3. A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = . B Dạng 7: CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN LUÔN ÂM HOẶC LUÔN LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN Phương pháp: 2 • Để chứng minh biểu thức A > 0 ta chỉ ra A = A1 + k với (k là hằng số dương). 2 • Để chứng minh biểu thức A 0. Khi đó ta có (x − x + 1) − (x + 2) 2 A = √ √ : √ . ( x + 1)(x − x + 1) x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 18
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ √ −( x + 1) x A = √ √ . . ( x +√ 1)(x − x + 1) 2 − x A = √ . 2(x − x + 1) √ b) Ta có: x > 0 nên − x 0. 2 4 Do đó A 0. √ 1 1 x x + x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ √ + √ √ + √ . x − 1 + x x − 1 − x x + 1 a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn không âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn a) Điều kiện x ≥ 1. Khi đó ta có √ A = x − 2 x − 1. √ √ √ b) Ta có: A = x − 2 x − 1 = (x − 1) − 2 x − 1 + 1 = ( x − 1 − 1)2 ≥ 0. Vậy A luôn luôn không âm với mọi x ≥ 1. Dạng 8: CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN VỚI ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ Phương pháp: Vận dụng linh√ hoạt các kiến thức√ đã học. √ x − 2 x − 1 7 x − 9 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = √ − (với x > 0, x 6= 9). x x − 3 x − 9 a) Rút gọn biểu thức B. 1 1 b) Tính giá trị của A khi x = √ − √ . 2 − 1 2 + 1 A c) Cho biểu thức P = . Hãy tìm các giá trị của m để có x thỏa mãn P = m. B Hướng dẫn √ x − 2 a) B = √ . x + 3 √ √ √ 1 1 2 + 1 2 − 1 2 − 2 b) x = √ − √ = − = 2 thay vào A = . 2 −√1 2 + 1 2 − 1 2 − 1 2 A x + 3 c) P = = √ với điều kiện x > 0, x 6= 4, x 6= 9. B x√ P = m ⇔ (m − 1) x = 3 (1) Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô nghiệm. √ 3 Nếu m 6= 1 thì từ (1) ⇒ x = . √ m√− 1 √ Do x > 0, x 6= 4, x 6= 9 ⇒ x > 0, x 6= 2, x 6= 3.  3   > 0 m − 1 m > 1  3  5 Để có x thỏa mãn P = m ⇔ 6= 2 ⇔ m 6= m − 1  2  3   6= 3 m 6= 2 m − 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 19
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 5 Vậy m > 1, m 6= 2, m 6= (Thỏa mãn yêu cầu bài toán). 2 √ √ √ x − 2 x − 1 7 x − 9 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = √ − với x > 0, x 6= 9. x x − 3 x − 9 a) Rút gọn A. p √ b) Tìm giá trị của A khi x = 4 − 2 3. A c) Tìm x để biểu thức = 1 . B A d) Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn = m. √B √ x2 − x 2x + x 2(x − 1) Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ + √ . x + x + 1 x x − 1 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A√. 2 x c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên. A √ √ √ √ x 3 3 x + 2 x + 3 2 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ + : √ + √ . x + 2 2 − x x − 4 x − 2 2 x − x a) Rút gọn A. √ b) Tính giá trị của A khi x = 9 − 4 5. √ c) Tìm x sao cho A.(x − 1) = 3 √x. √ √ 7 x + 3 2 x x + 1 x + 7 Ví dụ: Cho biểu thức A = + √ + √ và B = √ (ĐKXĐ: x > 0, x 6= 9). √ 9 − x x + 3 x − 3 3 x 3 x a) Chứng minh rằng A = √ . x + 3 b) So sánh A với 3. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức√P = A.B√. √ x − 2 x x + 1 1 + 2x − 2 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ √ + √ (với x > 0, x 6= 1). x x − 1 x x + x + x x2 − x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn √ x + 2 a) A = √ . x + x + 1 √ √ b) Cách 1: Với√x > 0, x 6= 1√⇒ x + x + 1 > x + 1 > 1. x + 2 x + 2 1 Vậy 0 < A = √ < √ = 1 + √ < 2. x + x + 1 √x + 1 x + 1 x + 2 Vì A nguyên nên A = 1 ⇔ √ = 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn). x + x + 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị của A là một số nguyên. Cách 2:√ Dùng miền giá trị x + 2 √ A = √ ⇔ Ax + (A − 1) x + A − 2 = 0 x + x + 1 √ Trường hợp 1: A = 0 ⇒ x = −2 ⇒ x ∈ ∅ 1 Trường hợp 2: A 6= 0 ⇒ ∆ = (A − 1)2 − 4A(A − 2) = −3A2 + 6A + 1 ≥ 0 ⇔ A2 − 2A − ≤ 0 ⇔ 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 20
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 4 4 A2 − 2A + 1 ≤ ⇔ (A − 1)2 ≤ ⇒ A ∈ {1; 2} do A ∈ và A > 0. 3 3 Z Với A = 1 ⇒ x =√ 1 (loại). x + 2 √ √ √ Với A = 2 ⇒ √ = 2 ⇔ 2x + x = 0 ⇔ x(2 x + 1) = 0 ⇔ x = 0 (loại). x + x + 1 √ √ √ x + 1 1 x x − x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = √ + . √ (với x ≥ 0, x 6= 1). x − 1 x − 1 x − 1 2 x + 1 a) Rút gọn biểu thức B. √ b) Tính giá trị của A khi x = 5 + 2 6. c) Với x ∈ N và x 6= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 21
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội C. LUYỆN TẬP BÀI TẬP GỒM NHIỀU Ý HỎI Bài I. Cho biểu thức: √ √ √ x − 1 2 − 2 x x + 2 2 A = + √ √ : √ − với x ≥ 0, x 6= 1 x − 1 x x + x − x − 1 x + x − 2 x − 1 . √ x − 1 1. Chứng minh A = √ . x + 1 2. Tính giá trị của A khi: √ a) x = 6 − 4 2. 1 p √ p √ b) x = 9 + 80 − 9 − 80 . 4 p3 √ p3 √ c) x = 10 + 6 3 + 10 − 6 3. 1 1 1 d) x = √ + √ √ + + √ √ . 1 + 3 3 + 5 √ 79 + 81 e) x là nghiệm của phương trình 2x2 − 3x − 5 = x − 1. f) x là nghiệm của phương trình |2x − 6| = 3x + 1. √ √ g) x là giá trị của biểu thức M = x (1 − x) đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: 1 a) A = ; b) |A| = A; c) A2 + A ≤ 0. 6 4. So sánh : √ x − 3 a) A với 1. b) A với biểu thức N = √ . 2 x 2 5. Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên. A 6. Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên. 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ a) P = A (x − x − 2). A b) Q = √ với 0 ≤ x 1. A 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A a) B = 2 − A; b) C = √ . với x > 1. x + 7 √ √ √ √ 9. Tìm x thỏa mãn A ( x + 1) − 2 6 − 1 x = 2x − 2 x − 5 + 1. Bài II. Cho biểu thức: √ √ √ 2x + 1 x 1 + x x √ 2 − 2 x B = √ − √ . √ − x + √ với x > 0, x 6= 1 x x − 1 x + x + 1 1 + x x . √ x − 3 x + 2 1. Chứng minh B = √ . x 2. Tính giá trị của B khi: "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 22
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ a) x = 7 − 48. p √ p √ b) x = 11 + 6 2 + 11 − 6 2. p3 √ p3 √ c) x = 5 2 + 7 − 5 2 − 7. 1 1 1 d) x = √ + √ √ + + √ √ . 1 + 4 4 + 7 √ 97 + 100 e) x là nghiệm của phương trình x2 − x + 2 = x. f) x là nghiệm của phương trình |x − 1| = |2x − 5|. √ g) x là giá trị của biểu thức P = x − 4 x + 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm x để: √ 3 x − 4 a) B = 0; b) B + √ ≤ 0. x 4. So sánh : √ x − 3x a) B với −2. b) B với biểu thức C = . x 5. Tìm x để B nhận giá trị nguyên. √ 6. Xét dấu biểu thức T = B ( x − 1). 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ B a) B. b) D = B x. c) E = √ . x 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: √ a) G = −3 − B; b) Q = 1 − B x. √ √ √ √ 9. Tìm x thỏa mãn B x + 2 3 + 3 x = 3x − 4 x + 1 + 10. Bài III. Cho biểu thức: √ √ √ x + 2 x 2x x − 1 2 x + 2 B = √ + : √ − √ với x > 0, x 6= 4, x 6= 9 x + 4 x + 4 4 − x x − 2 x x + x . x 1. Chứng minh C = √ . x − 3 2. Tính giá trị của C khi: √ a) x = 6 − 2 8. p √ p √ b) x = 11 + 3 8 + 11 − 3 8. p3 √ p3 √ c) x = 14 2 + 20 − 14 2 − 20 − 1. 1 1 1 d) x = √ + √ √ + + √ √ . 1 + 5 5 + 9 √ 77 + 81 e) x là nghiệm của phương trình x2 − x = x − 1. f) x là nghiệm của phương trình |x − 3| = 3. √ g) x là giá trị của biểu thức M = −x + 3 x + 5 đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: a) C2 ≤ 0; b) |C| = −C. √ 4. So sánh C với biểu thức D = x khi x > 9. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 23
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 2C 5. Tìm x để E = √ nhận giá trị nguyên. x 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C a) Biểu thức C với x > 9. b) I = − √ với 0 < x < 9, x 6= 4. x x C 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = √ . x − 1 + C √ √ √ 8. Tìm x thỏa mãn 2 2 + C x − 3C = 3x − 2 x − 1 + 2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 24
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội D. MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ : (TS 10 -√ THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) x + 4 1) Cho biểu thức A = √ . Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. x + 2 √ x 4 x + 16 2) Rút gọn biểu thức B = √ + √ : √ với x ≥ 0, x 6= 16. x + 4 x − 4 x + 2 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên x để giá trị của biểu thức B(A − 1) là số nguyên. Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội,√ năm học√ 2013 - 2014)√ 2 + x x − 1 2 x + 1 Với x > 0, cho hai biểu thức A = √ và B = √ + √ . x x x + x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để > . B 2 Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà√ Nội, năm học 2014 - 2015) x + 1 1) Tính giá trị của biểu thức A = √ khi x = 9. x − 1 √ x − 2 1 x + 1 2) Cho biểu thức P = √ + √ .√ với x > 0 và x 6= 1. √x + 2 x x + 2 x − 1 x + 1 a) Chứng minh P = √ . x √ b) Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x + 5. Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội,√ năm học 2015√ - 2016) x + 3 x − 1 5 x − 2 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + với x > 0, x 6= 4. x − 2 x + 2 x − 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P = đạt giá trị nhỏ nhất. B Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm√ học 2016√ - 2017) 7 x 2 x − 24 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + với x ≥ 0, x 6= 9. x + 8 x − 3 x − 9 1) Tính giá trị của biểu√ thức A khi x = 25. x + 8 2) Chứng minh B = √ . x + 3 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên. Ví dụ : (TS 10 - THPT√ Hà Nội, năm học 2017√ - 2018) x + 2 3 20 − 2 x Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + với x ≥ 0, x 6= 25. x − 5 x + 5 x − 25 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B = √ . x − 5 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 25
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A = B|x − 4|. Ví dụ : (TS 10 - THPT√ Hà Nội, năm√ học 2018 - 2019) x + 4 3 x + 1 2 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ − √ với x ≥ 0, x 6= 1. x − 1 x + 2 x − 3 x + 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B = √ . x − 1 A x 3) Tìm tất cả các giá trị của x để ≥ + 5. B 4 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 26
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Hệ phương trình cơ bản   ax + by = c Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (I) a0x + b0y = c0 • Cặp số (x0; y0) là một nghiệm của hệ (I) nếu hai phương trình của hệ có chung một nghiệm (x0; y0). • Nếu hệ (I) không có nghiệm thì ta kết luận hệ (I) vô nghiệm. • Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó. • Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường 0 0 0 thẳng (d1): ax + by = c và (d2): a x + b y = c . Khi đó: +) Nếu (d1) cắt (d2) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất. +) Nếu (d1) // (d2) thì hệ (I) vô nghiệm. +) Nếu (d1) trùng (d2) thì hệ (I) có vô số nghiệm. • Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Giải hệ phương trình không cơ bản Phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. 3. Giải và biện luận hệ phương trình cơ bản Phương pháp: • Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax = b. • Biện luận: b +) Nếu a 6= 0 thì x = thay vào biểu thức để tìm y, khi đó hệ có duy nhất nghiệm. a +) Nếu a = 0 thì ta có 0.x = b Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm. Nếu b 6= 0 thì hệ vô nghiệm. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 27
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dạng 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. • Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp: Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn. Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Chú ý: Ở bước 1 ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế  x − 2y = −1  2x + 3y = 5 Hướng dẫn  x − 2y = −1 (1) . Từ phương trình (1) ⇒ x = y − 1 thế vào phương trình (2) 2x + 3y = 5 (2) ta được 2(y − 1) + 3y = 5 ⇔ y = 1 ⇒ x = 1.  x = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y = 1 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế   √ √   x − y = 3 5x 3 + y = 2 2  2x + y = 7 1) 2) 3) √ √ 3x − 4y = 4  −x + 4y = 10 x 6 − y 2 = 2  √ √   x 2 − 3y = 1 2x + 3y = 4  x − 2y = 3 4) √ √ 5) 6)  x + 3y = 2 6x + 9y = 1 −2x + 4y = −6  √ √  √ 5x − 4y = 3  3x − 2y = −1  x + 2y = 1 7) 8) √ √ 9) √ . 7x − 9y = 8  2 2 + 3y = 0  2x − 3y = 4 • Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Phương pháp: Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2: Cộng hay trừ vế với vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới một ẩn. Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên phương trình kia. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số    x + y = 2  x − 2y = 6 a) b) . 2x − y = 1 2x + 3y = 5 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 28
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Hướng dẫn     3x = 3  x = 1 x = 1 a) Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta có: ⇔ ⇔ . 2x − y = 1 2x − y = 1 y = 1  x = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y = 1       x − 2y = 6 2x − 4y = 12  −7y = 7  y = −1 y = −1 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2x + 3y = 5  2x + 3y = 5 2x + 3y = 5 2x + 3y = 5  x = 4  x = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm .  y = 4 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số     x − y = 2 2x + 3y = 2 −4x + y = −12 1) 2) 3) 2x + y = 4  x + 2y = 3  x − y = 2  √ √   x 2 − 3y = 1 2x + 3y = 4  x − 2y = 3 4) √ √ 5) 6)  x + 3y = 2 6x + 9y = 1 −2x + 4y = −6  √ √  √ 5x − 4y = 3  3x − 2y = −1  x + 2y = 1 7) 8) √ √ 9) √ 7x − 9y = 8  2 2 + 3y = 0  2x − 3y = 4 Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau  x y y x + y   = + = 0, 1 2x + y = 7  2 3 2 5  1) x + 8 9 2) y x − y 3) .  =  − = 0, 1  x − y = 2 y + 4 4 5 2 Dạng 2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CƠ BẢN Phương pháp: Đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau  1 1  √  + = −1 x + 1 y − 2 3 x + 2018 + 2(y + 2020) = 13 a) 3 2 b) √  − = 7  5 x + 2018 − 3(y + 2020) = 9  x + 1 y − 2 Hướng dẫn a) Điều kiện: x 6= −1; y 6= 2.  1 1 a + b = −1 Đặt = a; = b. Khi đó hệ trên trở thành . Giải phương trình cơ bản x + 1 y − 2 3a − 2b = 7 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 29
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội   a = 1 này ta được . b = −2  1   = 1 x = 0  x + 1  Trở lại ẩn x; y ta có 2 ⇔ 1 .  = −2 y = y − 2 2  x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 . y = 2 b) Điều kiện: x ≥ −2018.  √ 3a + 2b = 13 Đặt x + 2018 = a; (y + 2020) = b. Khi đó hệ trên trở thành . Giải phương trình  5a − 3b = 9  a = 3 cơ bản này ta được . b = 2 √   x + 2018 = 3 x = −2009 Trở lại ẩn x; y ta có ⇔ . (y + 2020) = 2 y = −2018  x = −2009 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y = −2018 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau x + 2 2   1 1  + = 6 (x2 − 2x)2 + 4(x2 − 2x) = 0  x + = − x + 1 y − 2   y 2 1) 5 1 2) 1 1 3 3) 3 7  − = 3  + = 2x − = − x + 1 y − 2 x y − 1 2  y 2  √ y  8 1  4 y − 15 2 3 2x − 1 − = 1 √ + = 5  + =  y + 1  x − 3 |2y − 1| x − 1 y + 2 5 4) √ 2y 5) 4 1 6) x − 9 30  2x − 1 + = 5 √ + = 3  + = 2  y + 1  x − 3 |2y − 1|  x − 1 y + 2 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau  1 1 1  3 6  5x y  + =  − = −1  + = 27  x y 2 2x − y x + y x + 1 y − 3 1) 3 4 2) 1 1 3) 2x 3y  − = −1  − = 0  − = 4 x y  2x − y x + y  x + 1 y − 3  7 3  2x 2y  3 y  + = 2  + = 27  − = −1  x + 2 y x + 4 2y − 3  x + 2 y + 1 4) 4 1 5 5) 2x 6y 6) x 2 5  − =  − = 4  − = − x + 2 y 2  x + 4 2y − 3 x + 2 y + 1 3    3x 2 √ √ √ √  + = 4  3x − 1 − 2y + 1 = 1  x − 2 + y − 3 = 3 x + 1 y + 4 7) √ √ 8) √ √ 9) 2x 5 2 3x − 1 + 3 2y + 1 = 12 2 x − 2 − 3 y − 3 = −4  − = 9 x + 1 y + 4 2x + 3y − 1 12  √  81 105  =  2(x2 − 2x) + y + 1 = 0  + = 8 10) x − y + 2 13 11) 12) x + y x − y 2 √ 54 42  2x + 3y + 2 = 0 3(x − 2x) − 3 y + 1 = −7  + = 4 x + y x − y "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 30
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  4 5 5   + = x + y − 1 xy − 2x − 3 2  5|x − 1| − 3|y + 2| = 7 13) 3 1 7 14) √ p  − = 2 4x2 − 8x + 4 + 5 y2 + 4y + 4 = 13 x + y − 1 xy − 2x − 3 5  1 9  4 1  1 1  x + y + =  − = 1  x + y + + = 4  y x x + 2y x − 2y  x y 15) 4 4y 16) 20 3 17) 1 1 x + y − =  + = 1 x2 + y2 + + = 4  x x2 x + 2y x − 2y  x2 y2   7  x + y + x2 + y2 + xy = 4 x + y + xy = x3 + y3 = 8   2  18) 19) 5 20) .  x + +y + xy = 2  xy(x + y) = x + y + 2xy = 2  2 Dạng 3. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: • Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax = b. • Biện luận: b +) Nếu a 6= 0 thì x = thay vào biểu thức để tìm y, khi đó hệ có duy nhất nghiệm. a +) Nếu a = 0 thì ta có 0.x = b Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm. Nếu b 6= 0 thì hệ vô nghiệm. Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau   √   mx − y = 2m  2x + my = 5 2  mx − y = 2m 1) 2) 3) x − my = m + 1 mx + 2y = 2m + 1 4x − my = m + 6    mx + y = 3m − 1 mx + 4y = 10 − m (m − 1)x − my = 3m − 1 4) 5) 6)  x + my = m + 1  x + my = 4  2x − y = m + 5     x + my = 3m x − my = 1 + m2  2x − y = 3 + 2m 7) 8) 9) mx − y = m2 − 2 mx + y = 1 + m2 mx + y = (m + 1)2  (m + 1)x − y = m + 1 10)  x + (m − 1)y = 2 Ví dụ: Tìm giá trị của m ∈ Z để hệ phương trình sau có nghiệm (x; y) với x, y ∈ Z  (m + 1)x − my = 5 . x + my = m2 + 4m Hướng dẫn  (m + 1)x − my = 5 (1) . x + my = m2 + 4m (2) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 31
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Từ (2) suy ra x = m2 + 4m − my Thay vào (1) ta được m(m + 2)y = m3 + 5m2 + 4m − 5 (3)  m = 0 • Nếu  thì phương trình (3) vô nghiệm. m = −2  m 6= 0 m3 + 5m2 + 4m − 5 m2 + 4m + 5 • Nếu  . Khi đó y = . Từ đó ta được x = . m 6= −2 m(m + 2) m + 2 Trướ hết ta tìm m ∈ Z để x ∈ Z. m2 + 4m + 5 1 x = = m + 2 + . Để x ∈ thì m + 2 ∈ Ư(1). m + 2 m + 2 Z Suy ra m + 2 = ±1 ⇒ m = −3; m = −1. 1 Với m = −3 ⇒ y = ∈/ . 3 Z Với m = −1 ⇒ y = 5 ∈ Z. Vậy với m = −1 thì hệ có nghiệm nguyên (2; 5).  mx + 4y = 10 − m Ví dụ: Cho hệ phương trình  x + my = 2m + 1 a) Xác định các giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0, y > 0. b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên dương. Hướng dẫn a) Điều kiện hệ có nghiệm duy nhất là m 6= ±2.  8 − m x =  2 + m Khi đó hệ có nghiệm 5 . y =  2 + m  8 − m  > 0 x > 0 2 + m Điều kiện ⇔ 5 ⇔ −2 0  > 0 2 + m Với m ∈ Z ⇒ m ∈ {−1; 0; 1; 2; 3; ; 7}. b) m = {−1; 3}.   x + my = 2 Ví dụ: Cho hệ phương trình mx − 2y = 1 a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0, y < 0. b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên. Hướng dẫn 1 a) Với m = 0 thì hệ có nghiệm 2; thỏa mãn đề bài. 2  m + 4 x =  m2 + 2 Với m 6= 0 khi đó hệ có nghiệm duy nhất 2m − 1 y =  m2 + 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 32
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội   m + 4  > 0 x > 0  m2 + 2 1 Ta có: ⇔ 2m − 1 ⇔ −4 0; y 2 nên m2 + 2 ∈ {3; 6; 9; 18} ⇒ m2 ∈ {1; 4; 7; 16}. Vì m ∈ Z nên m ∈ {±1; ±2; ±4}. Thử trực tiếp để x ∈ và y ∈ thì chỉ có m = −1 thỏa mãn. Z Z   x − 2y = 3 − m Ví dụ: Cho hệ phương trình 2x + y = 3(m + 2) a) Giải hệ phương trình khi m = −1. b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn   x − 2y = 3  x = 2 a) Khi m = −1 thì hệ phương trình có dạng ⇔ 2x + y = 3 y = −1  x = m + 3 b) Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.  y = m 32 9 9 • Ta có S = x2 + y2 = (m + 3)2 + m2 = 2m2 + 6m + 9 = 2. m + + ≥ . 2 2 2 9 3 Vậy S nhỏ nhất bằng khi m = − . 2 2   mx − y = 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình sau 2x + my = 9 a) Giải hệ phương trình khi m = 1. b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức P = 3x−y nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn    x − y = 3 x = 4 a) Khi m = 1 thì hệ phương trình có dạng ⇔ 2x + y = 9 y = 1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 33
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  3m + 9 x =  m2 + 2 b) Hệ phương trình luôn có nghiệm 9m − 6 với mọi giá trị của m. y =  m2 + 2 33 • Xét A = 3x − y = . m2 + 2 Để A ∈ Z ⇔ m2 + 2 ∈ Ư(33) mà m2 + 2 ≥ 2; m ∈ Z. Suy ra: m ∈ {−3; −1; 1; 3}.  (m + 1)x − y = m + 1 Ví dụ: Cho hệ phương trình sau  x + (m − 1)y = 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 2. b) Giải và biện luận hệ phương trình. c) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y có giá trị nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn   5 3x − y = 3 x =   4 a) Khi m = 2 thì hệ phương trình có dạng ⇔ 3  x − y = 2 y =  4 b) • Với m = 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm.  m2 + 1 x = m2 • Với m 6= 0 ⇒ hệ có nghiệm duy nhất m + 1 .  y =  m2  m2 + 1 x = m2 c) • Với m 6= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất m + 1 .  y =  m2 m2 + 1 • Để ∈ ⇒ m = ±1. m2 Z m2 + 1 m + 1 Thử lại với m = ±1 thì , ∈ . m2 m2 Z Vậy với m = ±1 thì hệ có nghiệm duy nhât (x; y) với x, y ∈ Z.  m2 + 1 x = m2 d) • Với m 6= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất m + 1 .  y =  m2 m2 + 1 m + 1 7 (m + 4)2 7 • Xét x + y = + = + ≥ . m2 m2 8 8m2 8 7 Vậy với m = −4 thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng .  8  x + 2y = 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình sau (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của x + my = 1 m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x, y là các số nguyên. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 34
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội C. MỘT SỐ CÂU GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐỀ THI TUYỂN SINH HÀ NỘI.  2 1  + = 2 x y Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) 6 2 .  − = 1 x y  2 1  + = 2 |x| |y| Ví dụ: (Biên soạn) 6 2 .  − = 1 |x| |y|  3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) .  4(x + y) − (x + 2y) = 9  4 1  + = 5  x + y y − 1 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) 1 2 .  − = −1 x + y y − 1  √  2(x + y) + x + 1 = 4 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) √ . (x + y) − 3 x + 1 = −5  3x 2  − = 4 x − 1 y + 2 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) 2x 1  + = 5 x − 1 y + 2 √ √  x + 2 y − 1 = 5 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) √ √ . 4 x − y − 1 = 2  4x − |y + 2| = 3 Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) . x + 2|y + 2| = 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 35
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Phương pháp Các bước thực hiện Bước 1: Lập hệ phương trình. • Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn. (chọn ẩn là các đại lượng cần tìm). • Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. • Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3: Kểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. TÌM CÁC CHỮ SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: • ab = 10.a + b (a, b ∈ N, 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9) • abc = 100.a + 10.b + c (a, b, c ∈ N, 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9) a • Tỉ số của hai số a và b (b 6= 0) là b • Tổng hai số x và y là x + y • Tổng bình phương hai số x và y là x2 + y2 1 1 • Tổng nghịc đảo của hai số x và y là + . x y Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7, nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo th tự ngược lại ta được thương là 3 và số dư là 5. Hướng dẫn  ∗  a, b ∈ Z  Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện: a = 1, , 9  b = 1, , 9 Vì hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7 nên: a − b = 7 (1) Vì lấy số đã cho chia cho số viết theo th tự ngược lại ta được thương là 3 và số dư là 5 nên: ab = 3ba + 5 ⇔ 7a − 29b = 5 (2)    a − b = 7 a = 9 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 7a − 29b = 5 b = 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 36
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Ví dụ 2: Tìm một có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số của số đó đều bằng 9 2 và viết các chữ số đó theo thứu tự ngược lại thì được một số bằng số ban đầu. 9 Hướng dẫn  ∗  a, b ∈ Z  Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện: a = 1, , 9  b = 1, , 9 Vì tổng của các chữ số của số đó đều bằng 9 nên: a + b = 9 (1) 2 Vì viết các chữ số đó theo thứu tự ngược lại thì được một số bằng số ban đầu nên: 9 2 11 88 ba = ab ⇔ a − b = 0 (2) 9 9 9    a + b = 9 a = 8 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 11 88 ⇔  a − b = 0 b = 1 9 9 Dạng 2. TÍNH TUỔI Ví dụ 1: Hai năm trước đây tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn tám năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi của em. Hỏi hiện nay anh và em là bao nhiêu tuổi. Hướng dẫn Gọi tuổi của anh hiện nay là x và tuổi của em hiện nay là y điều kiện: x, y ∈ N, x, y > 8 Vì Hai năm trước đây tuổi của anh gấp đôi tuổi của em nên: x − 2 = 2.(y − 1) ⇔ x − 2y = −2 (1) Vì còn tám năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi của em nên: x−8 = 5.(y −8) ⇔ x−5y = −32 (2)   x − 2y = −2 x = 18 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 5y = 32 y = 10 Vậy tuổi anh là 18 và tuổi em là 10. Ví dụ 2: Bảy năm trước, tuổi của mẹ bằng 5 lần tuổi của con cộng thêm 4, năm nay tuổi mẹ vừa bằng đúng 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi. Hướng dẫn Gọi tuổi của mẹ hiện nay là x và tuổi của con hiện nay là y điều kiện: x, y ∈ N, x > y > 7 Vì Bảy năm trước, tuổi của mẹ bằng 5 lần tuổi của con cộng thêm 4 nên: x − 7 = 5.(y − 7) + 4 ⇔ x − 5y = −38 (1) Vì năm nay tuổi mẹ vừa bằng đúng 3 lần tuổi con nên: x − 8 = 5.(y − 8) ⇔ x = 3y (2)   x − 5y = −38 x = 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 3y  y = 8 Vậy tuổi mẹ là 24 và tuổi con là 8. Dạng 3. HÌNH HỌC "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 37
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Phương pháp: • Định lí Py-ta-go: ∆ABC vuông tại A ⇔ AB2 + AC2 = BC2 • Chu vi và diện tích của hình chữ nhật lần lượt là Cchu vi = 2(a + b), S = a.b với a, b lần lượt là chiều dai và chiều rộng. (a + b).h • Diện tích hình thang S = hoặc S = m.h với a, b là độ dài hai đáy, h là đường cao, m 2 là độ dài đường trung bình. Ví dụ 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều rộng đi 4m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Hướng dẫn Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét) x > 4 Gọi chiều rộng mảnh đất là y (mét) y > 5 Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m nên: x − y = 5 (1) Nếu giảm chiều rộng đi 4m và giảm chiều dài đi 5m thì: x.y − (x − 5)(y − 4)180 ⇔ x + 5y = 200 (2)    x − y = 5 x = 25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ x + 5y = 200 y = 20 Vậy chiều dài mảnh đất là 25m và chiều rộng mảnh đất là 20m. Ví dụ 2: Một hình thang có diện tích 140cm2, chiều cao là 8cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau 15cm Hướng dẫn Gọi đáy lớn của hình thang là x và đáy nhỏ của hình thang là y điều kiện: x, y ∈ N, x > y > 7 (x + y).8 Vì hình thang có diện tích 140cm2, chiều cao là 8cm nên: = 140 ⇔ 8x + 8y = 280 (1) 2 Vì độ dài các đáy của hình than hơn kém nhau 15cm nên: x − y = 15 (2)   8x + 8y = 280 x = 30 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − y = 15  y = 5 Vậy độ dài đáy lớn là 30cm và độ dài đáy nhỏ là 5cm. Dạng 4. TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ PHẦN TRĂM. Phương pháp: • Khối lượng công việc = Năng suất . Thời gian. • Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian. • Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất. Ví dụ 1: Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, tổ I vượt mức 10 phần trăm, tổ II vượt mức 20 phần trăm nên cả hai tổ đã làm được 910 sản phẩm. Tính số phản phẩm phải làm theo kế hoạch. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 38
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Hướng dẫn Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II làm theo kế hoạch lần lượt là x, y (x, y ∈ N∗, x, y < 800) Cả hai tổ theo kế hoạch là 800 sản phẩm ta có: x + y = 800 (1) 10 Nhờ tăng năng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm là x, tổ II vượt mức 20 phần trăm là 100 20 y. Cả hai tổ làm được 910 sản phẩm ta có: 100 10 20 10 20 x y x + x + y + y = 910 ⇔ x + y = 910 − 800 ⇔ + = 110 ⇔ x + 2y = 1100 100 100 100 100 10 5 (2)    x + y = 800 x = 500 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ x + 2y = 1100 y = 300 (thỏa mãn) Vậy số sản phẩm tổ I là 500 và tổ II là 300. Ví dụ 2: Hai trường A và B có 420 em học sinh đỗ vào lớp 10 đạt tỷ lệ 84 phần trăm, Riêng trường A tỷ lệ 80 phần trăm, riêng trường B tỷ lệ đỗ 90 phần trăm. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường. Hướng dẫn Gọi số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là x, y (x, y ∈ N∗, x, y < 800) 100 ta có: x + y = 420. (1) 84 10 Nhờ tăng năng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm là x, tổ II vượt mức 20 phần trăm là 100 20 y. Cả hai tổ làm được 910 sản phẩm ta có: 100 80 90 x + y = 420 (2) 100 100  100   x + y = 420. x = 500 (thỏa mãn)  84  Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 80 90 ⇔  x + y = 420 y = 300 (thỏa mãn) 100 100 Vậy số sản phẩm tổ I là 500 và tổ II là 300. Ví dụ 3: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15 phần trăm và tổ II vượt mức 10 phần trăm so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. Hướng dẫn    x + y = 900. x = 400 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 115 110 ⇔  x + y = 1010 y = 500 (thỏa mãn) 100 100 Ví dụ 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18 phần trăm và tổ II đã vượt "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 39
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội mức 21 phần trăm. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch. Hướng dẫn    x + y = 600. x = 200 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 18 21 ⇔ .  x + y = 120 y = 400 (thỏa mãn) 100 100 Dạng 5. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Phương pháp: • Coi toàn bộ công việc là 1. • Năng suất = 1 : Thời gian. • Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung. Ví dụ 1: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó người thứ hai làm một mình trong 3 giờ thì cả 2 hai người làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu giờ 5 xong công việc? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ, x, y > 6) +) Trong 1 giờ 1 Người thứ nhất làm được (công việc) x 1 Người thứ hai làm được (công việc) y 1 Cả hai người làm được (công việc) 6 1 1 1 ⇒ + = (1) x y 6 2 Trong 2 giờ người thứ nhất làm được (công việc) x 3 Trong 3 giờ người thứ hai làm được (công việc) y 2 Cả hai người làm được (công việc) 5 2 3 2 ⇒ + = (2) x y 5  1 1 1   + = x y 6 x = 10 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 2 3 2 ⇔  + = y = 15 (thỏa mãn) x y 5 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là 10 giờ người thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 40
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 7 giờ 12 phút. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm một mình trong 6 3 giờ thì cả hai người hoàn thành được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì 4 hoàn thành công việc sau bao lâu? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ, x, 36 y > ) 5 +) Trong 1 giờ 1 Người thứ nhất làm được (công việc) x 1 Người thứ hai làm được (công việc) y 1 1 Cả hai người làm được + (công việc) x y 36 1 1 1 5 Đổi 7h120 = h ⇒ + = = (1) 5 x y 36 36 5 5 Trong 5 giờ người thứ nhất làm được (công việc) x 6 Trong 6 giờ người thứ hai làm được (công việc) y 3 Cả hai người làm được (công việc) 4 5 6 3 ⇒ + = (2) x y 4  1 1 5   + = x y 36 x = (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 5 6 3 ⇔  + = y = (thỏa mãn)  x y 4 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là . giờ người thứ hai làm một mình xong công việc là / giờ. Ví dụ 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy. Nếu 2 mở vòi I trong 10 phút và vòi II trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy 15 một mình thì sau bao lâu đầy bể? Hướng dẫn 4 1 1 Đổi 1h200 = h và 100 = h, 120 = h 3 6 5 Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ, x, y > 0) 1 1 +) Trong 1 giờ: Vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 1 1 3 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (1) x y 4 1 1 1 1 +) Trong 100 = h vòi I chảy được (bể), trong 120 = h vòi II chảy được (bể) 6 6x 5 5y "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 41
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 1 1 2 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (2) 6x 5y 15  1 1 3   + =  x y 4 x = 2 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 1 2 ⇔  + = y = 4 (thỏa mãn) 6x 5y 15 Vậy vòi thứ I chảy một mình đầy bể là 2 giờ, vòi thứ II chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Ví dụ 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể sẽ đầy. Nếu chảy một mình thì vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 2 giờ. Hỏi thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Hướng dẫn 4 1 1 Đổi 1h200 = h và 100 = h, 120 = h 3 6 5 Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ, x, y > 0) 1 1 +) Trong 1 giờ: Vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 1 1 3 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (1) x y 4 1 1 1 1 +) Trong 100 = h vòi I chảy được (bể), trong 120 = h vòi II chảy được (bể) 6 6x 5 5y 1 1 2 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (2) 6x 5y 15  1 1 3   + =  x y 4 x = 2 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 1 2 ⇔  + = y = 4 (thỏa mãn) 6x 5y 15 Vậy vòi thứ I chảy một mình đầy bể là 2 giờ, vòi thứ II chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Ví dụ 5: Cho ba vòi A, B, C cùng chảy vào một bể. Vòi A và vòi B chảy đầy bể trong 71 phút. Vòi A và vòi C chảy đầy bể trong 63 phút. Vòi C và vòi B chảy đầy bể trong 56 phút. a) Hỏi mỗi vòi chảy sau bao lâu thì đầy bể? Cả ba vòi cùng mở một lúc thì sau bao lâu đầy bể. b) Biết vòi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vời A và vời C. Tính sức chứa của bề và sức chảy của mồi vòi. Hướng dẫn 1 Gọi thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là x (mỗi phút chảy đầy bể là ). x 1 Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là y (mỗi phút chảy đầy bể là ). y 1 Thời gian vòi C chảy một mình đầy bể z (mỗi phút chảy đầy bể là ). z 1 1 +) Trong 1 phút: Vòi A chảy được (bể), vòi B chảy được (bể) x y 1 1 1 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (1) x y 72 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 42
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 1 1 +) Trong 1 phút vòi A chảy được (bể), vòi C chảy được (bể) x z 1 1 1 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (2) x z 63 1 1 +) Trong 1 phút vòi C chảy được (bể), vòi B chảy được (bể) z y 1 1 1 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (3) z y 56  1 1 1   + = x y 72 x = 168 (thỏa mãn)  1 1 1  Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình sau: + = ⇔ y = 126 (thỏa mãn) x z 63  504  1 1 1   + = z = (thỏa mãn) z y 56 5 Vậy thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là 168. Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là 126 phút. 504 Thời gian vòi C chảy một mình đầy bể phút. 5 5 + 4 + 3 12 Nếu ba vòi cùng mở một lúc thì mỗi phút đầy bể là = . 504 504 504 Vậy ba vòi cùng chảy đầy bể sau phút. 12 5 b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy được .t lít, vòi A và B chảy được 504 3 4 5 3 4 + .t lít. Theo đề bài ta có phương trình: .t + 10 = + .t ⇒ t = 2520 (lít). 5 504 504 5 504 3.2520 Sức chảy vòi A là: = 15 (lít/p). 504 4.2520 Sức chảy vòi B là: = 20 (lít/p). 504 5.2520 Sức chảy vòi C là: = 25 (lít/p). 504 Ví dụ 6: Hai công nhân cùng làm một công việc trong 18h thì xong. Nếu người thứ nhất là 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50 phần trăm công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu. Hướng dẫn  1 1 1   + = .  x y 18 x = 36 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 6 12 50 ⇔  + = y = 36 (thỏa mãn) x y 100 Ví dụ 7: Hai vòi nước chảy cùng vào một bể không có nước thì sau 1h 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II chảy trong 20 phút 1 thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể. 5 Hướng dẫn  1 1 2  15  + = . x = (thỏa mãn)  x y 3  4 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 1 1 1 ⇔ 5  + =  y = (thỏa mãn) 4x 3y 5  2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 43
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Ví dụ 8: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất là một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75 phần trăm công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu. Hướng dẫn  1 1 1   + = .  x y 16 x = 24 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 15 6 75 ⇔  + = y = 48 (thỏa mãn)  x y 100 Ví dụ 9: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó. Hướng dẫn  1 1 1   + = .  x y 6 x = 15 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 1 1 10 ⇔ 2. + + = 1 y = 10 (thỏa mãn)  x y x Ví dụ 10: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai chỉ làm 3 được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong thời gian bao lâu hoàn thành công 4 việc đó. Hướng dẫn  1 1 5   + = . x y 36 x = 12 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 5 6 3 ⇔  + = y = 18 (thỏa mãn)  x y 4 Ví dụ 11: Hai vòi nước cùng chày thì sao 5h50 phút sẽ đầy bể. Nếu để hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ nhất lại thì vòi thứ hai phải chảy trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể. Hướng dẫn  1 1 6   + = .  x y 35 x = 10 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 1 1 2 ⇔ . 5. + + = 1 y = 14 (thỏa mãn)  x y y Dạng 6. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ THAY ĐỔI CỦA TÍCH Ví dụ 1: Trong một ngôi trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định một số người như nhau. Nếu bớt hai ghế băng và mỗi ghế băng thêm một người thì thêm được 8 chỗ. Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi rút 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong hội trường và số người theo quy định ngồi trong mỗi ghế. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 44
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Hướng dẫn Gọi số ghế băng trong hội trường là x (cái, x > 0) Số người quy định ngồi trên mỗi ghế băng là y (người y > 0) Số chỗ ngồi quy định trong hội trường là x.y (chỗ) +) Nếu bớt hai ghế băng và mỗi ghế băng thêm một người thì thêm được 8 chỗ thì (x − 2)(y + 1) = xy + 8 ⇔ x − 2y = 10 (1) +) Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi rút 1 người thì giảm 8 chỗ thì (x + 3)(y − 1) = xy + 8 ⇔ x − 3y = 5 (2)   x − 2y = 10  x = 5 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 3y = 5 y = 20 (thỏa mãn) Vậy số ghế băng là 20 cái, mỗi ghế quy định ngồi 5 người. Ví dụ 2: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Hướng dẫn Gọi số ghế băng trong hội trường là x (cái, x > 0) Số người quy định ngồi trên mỗi ghế băng là y (người y > 0) Số chỗ ngồi quy định trong hội trường là x.y (chỗ) +) Nếu bớt hai ghế băng và mỗi ghế băng thêm một người thì thêm được 8 chỗ thì (x − 2)(y + 1) = xy + 8 ⇔ x − 2y = 10 (1) +) Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi rút 1 người thì giảm 8 chỗ thì (x + 3)(y − 1) = xy + 8 ⇔ x − 3y = 5 (2)   x − 2y = 10 x = 20 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 3y = 5  y = 5 (thỏa mãn) Vậy số ghế băng là 20 cái, mỗi ghế quy định ngồi 5 người. Dạng 7. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp: S = v.t. Trong đó: +) S là quãng đường (m, km). +) v là vận tốc (m/s, km/h). +) t là thời gian (s, phút, h). • Nếu chuyển động trong dòng chảy thì: +) Vxuôi = Vriêng + Vdòng nước. +) Vxuôi = Vriêng − Vdòng nước. Ví dụ 1: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/giờ, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/giờ. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 45
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường. Hướng dẫn Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x (giờ, x > 0). Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là y (giờ, y > 0). Độ dài quãng đường AB là 50x (km). Độ dài quãng đường BC là 45y (km). Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút nên ta 1 có phương trình: x + = y (2) 2   3 10x + 9y = 33 x = (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 ⇔ 2  y = x + y = 2 (thỏa mãn) 2 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 2 2 (giờ). Ví dụ 2: Quãng đường AB dài 650km. Hai ô tô khởi hành từ A đến B đi ngược chiều nhau. Nếu cùng khởi hành thì sau 10 giờ chúng gặp nhau và nếu xe đi từ B khởi hành trước xe kia 4 giờ 20 phút thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A khởi hành được 8 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn Gọi vận tốc ô tô đi trên quãng đường từ A đến B là x (km, x > 0). Gọi vận tốc ô tô đi trên quãng đường từ B đến A là y (km, y > 0). Độ dài quãng đường AB là 50x (km). Độ dài quãng đường BC là 45y (km). Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút nên ta 1 có phương trình: x + = y (2) 2   3 10x + 9y = 33 x = (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 ⇔ 2  y = x + y = 2 (thỏa mãn) 2 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 2 2 (giờ). Ví dụ 3: Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 60km, sau đó chạy ngược dòng 48km trên khúc sông đó thì hết 6h giờ. Nếu ca nô ấy chạy xuôi dòng 40km và ngược dòng 80km trên khúc sông đó thì hết 7 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và dòng nước. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 46
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/giờ, x > 0). Gọi vận tốc riêng của dòng nước là y (km/giờ, y > 0). Vận tốc ca nô chạy xuôi dòng là x + y (km/giờ). Vận tốc ca nô chạy ngược dòng là x − y (km/giờ). 60 Thời gian ca nô chạy xuôi dòng 60km là h x + y 48 Thời gian ca nô chạy ngược dòng 48km là h x − y 60 48 10 8 Ta có phương trình: + = 6 ⇔ + = 1 (1) x + y x − y x + y x − y 40 80 Tương tự ta có phương trình: + = 7 (2) x + y x − y  10 8   + = 1 x + y x − y x = 18 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 40 80 ⇔  + = 7  y = 2 (thỏa mãn) x + y x − y Vậy vận tốc riêng của ca nô là 18 (km/h), vận tốc riêng của dòng nước là 2 (km/h). Ví dụ 4: Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên một khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Cho thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc của dòng nước. Ví dụ 5: Tìm vận tốc và chiều dài của một 1 đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho tới khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. Hướng dẫn Gọi vận tốc của tàu khi vào sân ga là x (m/s, x > 0). Gọi chiều dài của đoàn tàu là y (m, y > 0). Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nên y = 7x (1) Khi đầu máy bắt đầu và sân ga dài 378m, cho tới khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây ta có phương trình: y + 378 = 25x (2)    y = 7x  x = 21 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ y + 378 = 25x y = 147 (thỏa mãn) Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21 (m/s), chiều dài của đoàn tàu là 147 (m). Ví dụ 6: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc dòng nước. Hướng dẫn "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 47
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Gọi vận tốc riêng của thuyền lúc nước yên lặng là x (km/giờ, x > 0). Gọi vận tốc riêng của dòng nước là y (km/giờ, y > 0). Vận tốc thuyền chạy xuôi dòng là x + y (km/giờ). Vận tốc thuyền chạy ngược dòng là x − y (km/giờ). 40 Thời gian thuyền chạy xuôi dòng 40km là h x + y 40 Thời gian thuyền chạy ngược dòng 40km là h x − y 40 40 9 Ta có phương trình: + = (1) x + y x − y 2 5 4 Tương tự ta có phương trình: = (2) x + y x − y  40 40 9   + = x + y x − y 2 x = 18 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 5 4 ⇔  =  y = 2 (thỏa mãn)  x + y x − y Vậy vận tốc riêng của thuyền là 18 (km/h), vận tốc riêng của dòng nước là 2 (km/h). Ví dụ 7: Trên một đường tròn chu vi 1, 2m, ta lấy một điểm A cố định. Hai điểm M, N chạy trên đường tròn, cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi. Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu di chuyển cùng chiều thì điểm M sẽ vượt điểm N đúng một vòng sau 60 giây. Tìm vận tốc mỗi điểm M, N? Hướng dẫn Gọi vận tốc của điểm M là x (m/s, x > 0). Gọi vận tốc của điểm N là y (m/s, y > 0). Khi chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây Ta có phương trình: 15x + 15y = 1, 2 (1) Khi chúng di chuyền cùng chiều thì điểm M sẽ vượt điểm N đúng một vòng sau 60 giây ta có phương trình: 60x − 60y = 1, 2 (2)   15x + 15y = 1, 2 x = 0, 05 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 60x − 60y = 1, 2 y = 0, 03 (thỏa mãn) Vậy vận tốc của điểm M là 0, 05 (m/s), vận tốc của điểm N là 0, 03 (m/s). Ví dụ 8: Một chiếc xe máy và ô tô đi từ A đến B với vận tốc khác nhau. Vận tốc xe máy là 62km/giờ, còn vận tộc ô tô là 55km/giờ. Để hai xe đến đích cùng một lúc người ta 2 đã cho ô tô chạy trước một thời gian. Nhưng vì một lí do đặc biệt nên khi chạy được 3 quãng đường ô tô buộc phải chạy với vận tốc 27, 5km/giờ. Vì vậy khi còn cách B 124km thì xe máy đuổi kịp ô tô. Tính quãng đường từ A đến B. Hướng dẫn Gọi khoảng cách AB là x (km, x > 0). Gọi thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là y (h, y > 0). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 48
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  x x + y =   62 55 x = 514 (thỏa mãn)  2 x  Ta có hệ phương trình sau: x − 124 ⇔ 94  3 3 x − 124 y = 1 (thỏa mãn)  + = y + 1705  65 27, 5 62 94 Vậy khoảng cách AB là 514 (km), thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là 1 (h). 1705 Ví dụ 9: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0, 4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Hướng dẫn Gọi khoảng cách AB là x (km, x > 0). Gọi thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là y (h, y > 0).  x x + y =   62 55 x = 514 (thỏa mãn)  2 x  Ta có hệ phương trình sau: x − 124 ⇔ 94  3 3 x − 124 y = 1 (thỏa mãn)  + = y + 1705  65 27, 5 62 94 Vậy khoảng cách AB là 514 (km), thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là 1 (h). 1705 Ví dụ 10: Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3km/h thì thời gian tăng 3 gờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô. Hướng dẫn Gọi vận tốc dự định của ca nô là x (km/h; x > 3). Gọi thời gian dự định của ca nô là y (giờ; y > 0).   (x + 3)(y − 2) = xy. x = 15 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔  (x − 3)(y + 3) = xy y = 12 (thỏa mãn) Vậy vận tốc dự định của ca nô là 15km/h. Thời gian dự định của ca nô là 12 giờ. Ví dụ 11: Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc dòng nước không đổi). Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 0). Vận tốc dòng nước là y (km/h; x > y > 0).  81 105   + = 8. x + y x − y x = 24 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: 54 42 ⇔  + = 4  y = 3 (thỏa mãn)  x + y x − y "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 49
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Vậy vận tốc dự định của ca nô là 24km/h. vận tốc dòng nước là 3km/h. Ví dụ 12: Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc 45km/h sẽ tới B chậm mất nửa giờ. Nếu đi với vận tốc 60km/h sẽ tới B sớm 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định. Hướng dẫn Gọi quãng đường AB là x (km; x > 0). Thời gian dự định đi từ Aến B là y (h; y > 0).  1  x = 45. y + .  2 x = 225 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔ 3  x = 60. y − y = 4, 5 (thỏa mãn)  4 Vậy quãng đường AB là 225 (km). Thời gian dự định đi từ A đến B hết 4, 5 giờ. Ví dụ 13: Một ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 42km mất 5 giờ. Một lần khác, ca nô xuôi dòng 9km và ngược dòng 7km thì mất 40 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc của dòng nước không đổi). Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 0). Vận tốc dòng nước là y (km/h; x > y > 0).  81 42   + = 5. x + y x − y x = 24 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: 9 7 2 ⇔  + =  y = 3 (thỏa mãn)  x + y x − y 3 Vậy vận tốc dự định của ca nô là 24km/h. vận tốc dòng nước là 3km/h. Ví dụ 14: Một ô tô đi từ Hà Nội và dự định đến Huế lúc 20h 30 phút. Nếu xe đi với vận tốc 45km/h thì sẽ đến Huế chậm hơn so với dự định là 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h thì sẽ đến Huế sớm hơn 2 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường Hà Nội - Huế và thời gian xe xuất phát từ Hà Nội. Hướng dẫn Gọi quãng đường Hà Nội - Huế là x (km; x > 0). Thời gian ô tô dự định đi là y (giờ; y > 0).   x = 60.(y − 2). x = 720 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 45.(y + 2)  y = 14 (thỏa mãn) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 50
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Vậy quãng đường Hà Nội - Huế là 720km. Thời gian xe xuất phát từ Hà Nội là 20h30 phút − 14h = 6h30 phút. Ví dụ 15: Hai địa điểm A và B cách nhau 36km. Cùng lúc đó một xe tải khởi hành từ A chạy về B và một xe con chạy từ B về A. Sau khi gặp nhau xe tải chạy tiếp 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy tiếp 3 giờ 12 phút thì tới A. Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn Gọi vận tốc xe tải là x (km/h; x > 0). vận tốc xe con là x (km/h; y > 0).  16 5x + = 360.   5y x = 40 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: 16 ⇔ y  5x y = 50 (thỏa mãn)  5 =  x y Vậy vận tốc xe tải là 40 (km/h). vận tốc xe con là 50 (km/h). Ví dụ 16: Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng. Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A khi còn cách bến A là 36km thì gặp bè nứa nói trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 3). Vận tốc dòng nước là y (km/h; x > y > 0).  144 144   + = 21  x + y x − y x = 14 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: 144 144 − 36 36 ⇔  + =  y = 3 (thỏa mãn) x + y x − y y Vậy vận tốc dự định của ca nô là 14km/h. vận tốc dòng nước là 2km/h. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. A. 75. B. 85. C. 95. D. 65. Bài 2. Có hai số tự nhiên, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó. A. 30, 35. B. 25, 34. C. 30, 34. D. 25, 35. Bài 3. Cho môt số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 10, tích của hai số đó bằng 12. Tìm số đã cho. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 51
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A. 26. B. 27. C. 28. D. 29. Bài 4. Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nật đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích nó tăng thêm 144m2. Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là. A. 45, 86. B. 45, 68. C. 54, 68. D. 54, 86. Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của hình chữ nật tăng đi 10m và giảm chiều rộng thêm 5m thì diện tích nó tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu. A. 3000m2. B. 6000m2. C. 9000m2. D. 10000m2. Bài 6. Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và có diện tích 1500m2. Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là. A. 20, 75. B. 25, 60. C. 10, 150. D. 30, 50. Bài 7. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích sân trường. A. 3000m2. B. 4000m2. C. 6000m2. D. 7000m2. Bài 8. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác. A. 20cm, 25cm. B. 25cm, 25cm. C. 20cm, 20cm. D. 30cm, 35cm. Bài 9. Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh góc vuông. A. 3cm, 4cm. B. 3cm, 4cm hoặc 4cm, 3cm. C. 4cm, 5cm hoặc 5cm, 4cm. D. 5cm, 4cm. Bài 10. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu 3 mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi vòi một và vòi hai 4 theo thứ tứ chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể? A. 12h, 8h. B. 8h, 12h. C. 9h, 15h . D. 15, 9h. Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ 2 được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể? 15 A. Vòi một chảy đầy bể sau 2h, vòi hai chảy đầy bể sau 8h. B. Vòi một chảy đầy bể sau 8h, vòi hai chảy đầy bể sau 2h. C. Vòi một chảy đầy bể sau 4h, vòi hai chảy đầy bể sau 2h. D. Vòi một chảy đầy bể sau 2h, vòi hai chảy đầy bể sau 4h. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 52
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Bài 12. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể? A. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 425h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h B. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 72h C. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 524h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h D. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - ĐÁP ÁN 1 A 3 C 5 B 7 D 9 B 11 D 2 B 4 D 6 D 8 A 10 A 12 D "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 53
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỘT SỐ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2011 - 2012) Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì 15 thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Ví dụ : (THI THỬ 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Hai khối 8 và 9 của một trường THCS có 420 học sinh có học lực trên trung bình đạt tỉ lệ 84%. Khối 8 đạt tỉ lệ 80% là học sinh trên trung bình, khối 9 đạt 90%. Tính số học sinh của mỗi khối. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 54
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ĐƯỜNG THẲNG - PARABOL A. LÝ THUYẾT 1. Hàm số y = ax + b (a 6= 0) • Hàm số bậc nhất y = ax + b, a 6= 0 +) Đồng biến trên R khi a > 0. +) nghịch biến trên R khi a 0 góc tạo bởi trục Ox và d là góc nhọn α và a = tanα. +) Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0. • Nếu a 0 và đồng biến khi x 0 thì y > 0 ∀x 6= 0. +) y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. • Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 55
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội • Nếu a 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = ; x = . 1 2a 2 2a −b • Nếu ∆ = 0 thì phương trình nghiệm kép: x = x = . 1 2 2a • Nếu ∆ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = ; x = . 1 a 2 a −b0 • Nếu ∆0 = 0 thì phương trình nghiệm kép: x = x = . 1 2 a • Nếu ∆0 0  a  ∆ ≥ 0   c • Phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương ⇔ P = > 0 . a  b S = − > 0 a  ∆ ≥ 0   c • Phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm ⇔ P = > 0 . a  b S = − < 0 a • Phương trình có hai nghiệm trái dấu, mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 56
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội   a.c < 0 ⇔ b . S = − < 0 a 5. Phương trình quy về phương trình bậc hai a) Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0) (1) Phương pháp giải: Đặt t = x2 = t ≥ 0 đưa về phương trình at2 + bt + c = 0 (2) . b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Kiểm tra nghiệm với điều kiện rồi kết luận. b) Phương trình tích Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0. Bước 2: Giải phương trình tích. 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1: Lập hệ phương trình. • Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn. (chọn ẩn là các đại lượng cần tìm). • Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. • Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3: Kểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời. Kiến thức cần nhớ 1: S = v.t. Trong đó: +) S là quãng đường (m, km). +) v là vận tốc (m/s, km/h). +) t là thời gian (s, phút, h). • Nếu chuyển động trong dòng chảy thì: +) Vxuôi = Vriêng + Vdòng nước. +) Vngược = Vriêng − Vdòng nước. Kiến thức cần nhớ 2 • Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian. • Năng suất = Khối lượng công việc ÷ Thời gian. • Thời gian = Khối lượng công việc ÷ Năng suất. Kiến thức cần nhớ 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 57
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Coi toàn bộ công việc là 1. • Năng suất = 1 ÷ Thời gian. • Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung. Kiến thức cần nhớ 4 • Biểu diễn: ab = 10.a + b a, b ∈ N, (0 0. b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến khi x > 0. √ Ví dụ 2: Cho hàm số y = ( m + 2 − 3)x2. a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến khi x > 0. b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến khi x > 0. Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m2 − 2m + 3)x2. Chứng minh rằng khi x > 0 thì hàm số đông biến. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) = 2x2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi: a) 0 ≤ x ≤ 3 b) −3 ≤ −1. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = (m2 + m + 1)x2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi: a) Chứng minh rằng khi x < 0 thì hàm số nghịch biến. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 58
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội b) Với m = −2, tìm các giá trị nguyên của x để f(x) < 100. Dạng 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a 6= 0) Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 1 1 1 a) y = x2 b) y = x.|x| c) y = − x2 d) y = x.|x|. 2 2 3 3 Dạng 4. XÁC ĐỊNH THAM SỐ Ví dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax2. Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(10; 30). Ví dụ 2: Cho hàm số y = (k + 2)x2 có đồ thị cắt đường thẳng y − 2x + 3 = 0. Tại điểm M(1; m). Hãy xác định k và m. Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax2 + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị hàm số đã cho song song với đường 1 thẳng y = −3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P ): y = x2 có hoành độ bằng −2. 2 Dạng 5. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x2 − 1 = m. Ví dụ 2: Cho Parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = −x + 2. a) Vẽ (P ) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm A; B của (P ) và (d) bằng phép tính. c) Tính diện tích ∆AOB (đơn vị trên hai trục là cm). Dạng 6. XÁC ĐỊNH HỆ SỐ a, b, c CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI y = ax2 + bx + c (a 6= 0) Ví dụ 1: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c. a) 2x2 − 3x = 4 + 3x b) x2 + 3x = mx + m m là hằng số. √ √ c) 2x2 + 2(3x − 1) = 1 + 2. √ Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có các hệ số hữu tỉ có một nghiệm là 2 + 1. Xác định các hệ số của phương trình. Dạng 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) x2 − 2 = 0 b) x2 − 2x = 0 c) 2x2 + 4 = 0 d) x2 − 2x + 1 = 0. e) 2x2 + 5x + 3 = 0 f) x2 − x − 12 = 0 g) x2 − 3(x − 1)2 = 0 h) x2 + 6x − 16 = 0. i) 2x2 − 6x + 1 = 0. Dạng 8. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: √ √ √ x2 2x 2x + 7 a) x2 − 5x − 12 = 0 b) x2 + ( 3 + 2)x + 6 = 0 c) + = . 2 3 6 Ví dụ 2: Giải và biện luận các phương trình sau: a) x2 − 4x + m + 1 = 0 b) (m + 1)x2 − 2(m + 1)x + m − 3 = 0. Dạng 9. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 59
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội   2x − y = 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x2 − 3xy + y2 + 2x + 3y − 2 = 0   2x + y = m Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm . x2 − xy + y2 = 7 Dạng 10. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI ẨN SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2y4 − 16xy3 + 68y2 − 4xy + x2 = 0. Ví dụ 2: Với mỗi cặp (x; y) thỏa mãn x2 − x2y − y + 8x + 7 = 0. Hãy tìm cặp nghiệm mà y lớn nhất. Dạng 11. HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 + 2x + m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có 1 1 hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn + = 3. x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình (m + 2)x2 − (2m − 1)x − 3 + m = 0. a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó hãy tìm m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm cùng dương. Ví dụ 4: Cho phương trình 2x2 − 2mx + m + 6 = 0. Biện luận dấu các nghiệm của phương trình này. Ví dụ 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0. a) Giải phương trình khi m = 1. 2 2 b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 10. Ví dụ 6: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + 2m = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình chứng tỏ x1 + x2 − x1x2 không phụ thuộc vào giá trị của m. Ví dụ 7: Tìm tọa độ điểm A và B của đồ thị hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Ví dụ 8: Cho phương trình x2 − 2(m + 2)x + m + 1 = 0. a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1(1 − 2x2) + x2(1 − 2x1) = m . Ví dụ 9: Cho phương trình x2 − (2m + 2)x + 2m − 4 = 0 với x là ẩn và m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại. c) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 60
Phone: 0165.849.4609 Ths: Lê Văn Hưng Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội d) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Hãy Tìm m để: 2 2 i) x1 + x2 = 13 ii) 2x1 + 3x2 = 3 iii) |x1 + x2| = 4 iv) |x1| + |x2| = 5 v) Nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. e) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m. f) Tìm các giá trị của m để phương trình: i) Có hai nghiệm trái dấu; ii) Có hai nghiệm cùng âm; iii) Có hai nghiệm cùng dương; iv) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương; v) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2. 2 2 g) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Xét biểu thức A = x1 + x2 − 4x1x2 + 4: i) Tính giá trị của biểu thức A theo m; ii) Tìm các giá trị của m để A = 41; iii) Tìm các giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. h) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho.√ Tìm các giá trị của m để x1, x2 là độ dài 205 hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng . 2 k) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Với m 6= 2 lập phương trình bậc hai có hai 1 1 nghiệm là và có tham số m. x1 x2 Ví dụ 10: Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3 = 0 với x là ẩn và m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x = −2. Tìm nghiệm còn lại. c) Tìm các giá trị của m để phương trình: i) Có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó; ii) Có nghiệm kép. Tìm nghiệm với m vừa tìm được; iii) Vô nghiệm. d) Trong trường hợp phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm các giá trị của m để: 2 2 i) x1 + x2 = 8 ii) 2x1 − 3x2 = 8 iii) |x1 − x2| = 4 iv) |x1| + |x2| = 3. e) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: i) x1, x2 trái dấu ii) x1, x2 cùng dương 2 2 iii) x1, x2 cùng âm iv) x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 61