Lý thuyết tổng hợp Giải tích Lớp 12 - Chuyên đề 3: Nguyên hàm và tích phân

Nội dung text: Lý thuyết tổng hợp Giải tích Lớp 12 - Chuyên đề 3: Nguyên hàm và tích phân

1. CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm Công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số công thức mở rộng 1. ; 2. dx 1dx x C cos ax b 0dx C 13. sin ax b dx C x 1 1 a 3. x dx C 1 ; 4. dx ln x C 1 x sin ax b 14 cos ax b dx C 5. sin xdx cos x C ; 6. cos xdx sin x C; a 1 1 1 tan ax b 7. 8. 15. dx C; 2 dx tan x C; dx cot x C. 2 cos x sin2 x cos ax b a x a x x 9. x , 0 a 1 ; 10. e dx e C; 1 cot ax b a dx C 16. dx C. ln a sin2 ax b a ax b 1 1 ln ax b 11. 1 ; 12. dx C ax b ax b dx C e a 1 ax b a 17. e ax b dx C; a 2. Tích phân a/. Tính chất: Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có: a b c c 5. 1. f x dx 0 3. f x dx f x dx f x dx b b a a b a kf x dx k f x dx b a b b b 2. 4. a a f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx a b a a a ( với k ¡ . ) b u b b/ Phương pháp đổi biến số: f u x u' x dx f u du a u a Trong đó: u u x có đạo hàm liên tục trên K , hàm số y f u liên tục và sao cho hàm hợp f u x xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K . c/ Phương pháp tích phân từng phần: b b b b u x v' x dx u x v x |b v x u' x dx Hay udv uv |b vdu a a a a a a Trong đó các hàm số u,v có đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: C : y f x b là S f x dx Ox : y 0 a 2dt : x a; x b + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: C1 : y f x b là S f x g x dx C2 : y g x a 2dt : x a; x b e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
2. C : y f x Ox : y 0 2dt : x a; x b b 2 quay quanh trục hoành là: V f x dx a + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: C : x g y Oy : x 0 2dt : y a; y b b 2 quay quanh trục tung là: V g y dy a