›
›
›

Lý thuyết và bài tập môn Toán Lớp 11

pdf 455 trang hangtran11 10/03/2022 5680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và bài tập môn Toán Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfly_thuyet_va_bai_tap_mon_toan_lop_11.pdf

Nội dung text: Lý thuyết và bài tập môn Toán Lớp 11

  1. CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x sinx : x yx= sin được gọi là hàm số sin, kí hiệu là yx= sin . Tập xác định của hàm số sin là . 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x cosx : x yx= cos được gọi là hàm số sin, kí hiệu là yx= cos . Tập xác định của hàm số cô sin là . 3) Hàm số tang sin x Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức yx=¹ () cos 0 , kí hiệu là cos x yx= tan . ïïìüp Tập xác định của hàm số yx= tan là D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 4) Hàm số côtang cos x Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức yx=¹ () sin 0 , kí hiệu là sin x yx= cot . Tập xác định của hàm số yx= cot là D\,=Î {kkp } . II – TÍNH TUẦN HOÀN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số yfx= () có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T ¹ 0 sao cho với mọi x Î D ta có: ● xT-ÎD và xT+ÎD. ● f ()()xT+= fx. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 1 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  2. Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số yx= sin tuần hoàn với chu kì T = 2p ; hàm số yx= cos tuần hoàn với chu kì T = 2p ; hàm số yx= tan tuần hoàn với chu kì T = p ; hàm số yx= cot tuần hoàn với chu kì T = p. 2) Chú ý 2p ● Hàm số yaxb=+sin () tuần hoàn với chu kì T = . 0 a 2p ● Hàm số yaxb=+cos() tuần hoàn với chu kì T = . 0 a p ● Hàm số yaxb=+tan() tuần hoàn với chu kì T = . 0 a p ● Hàm số yaxb=+cot() tuần hoàn với chu kì T = . 0 a ● Hàm số yfx= 1 () tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số yfx= 2 () tuần hoàn với chu kì T 2 thì hàm số yfxfx= 12() () tuần hoàn với chu kì T 0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T 2 . Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung nn, nên là TmTnT012 với m,n là 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ) III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số yx= sin ● Tập xác định D = , có nghĩa và xác định với mọi x Î ; ● Tập giá trị T =-[ 1;1], có nghĩa -£1sin1;x £ ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2,p có nghĩa sin()x +=kx 2p sin với k Î ; æöpp ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ç-+kk2;pp + 2÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng èøç 22÷ æöpp3 ç ++kk2;pp 2÷, k Î ; èøç22÷ ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 2) Hàm số yx= cos ● Tập xác định D = , có nghĩa và xác định với mọi x Î . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 2 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  3. ● Tập giá trị T =-[ 1;1], có nghĩa -£1cos1;x £ ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2,p có nghĩa cos()x +=kx 2p cos với k Î ; ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ()-+pppkk2;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng ()kk2;pp+ 2 p , k Î ; ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 3) Hàm số yx= tan ïïìüp ● Tập xác định D\=+Î ïïíýkkp , ; îþïï2 ● Tập giá trị T = ; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan()x +=kxp tan với k Î ; æöpp ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ç-+kkkpp;, +÷ Î ; èøç 22÷ ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. y x 3p -p p O p p 3p - - 2 2 2 2 4) Hàm số yx= cot ● Tập xác định D\,=Î {kkp } ; ● Tập giá trị T = ; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan()x +=kxp tan với k Î ; ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ()kkkpp;,+Î p ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 3 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  4. y -2p 3p -p p O p p 3p 2p - - x 2 2 2 2 B. PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số 1. Phương pháp Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau . yux có nghĩa khi và chỉ khi ux xác định và u(x) 0 . u(x) . y có nghĩa khi và chỉ ux , vx xác định và v(x) 0 . v(x) u(x) . y có nghĩa khi và chỉ ux , vx xác định và v(x) 0 . v(x) . Hàm số y sinx, y cosx xác định trên và tập giá trị của nó là: 1sinx1; 1cosx1 . Như vậy, ysinux,ycosux xác định khi và chỉ khi ux xác định. . ytanux có nghĩa khi và chỉ khi ux xác định và ux k,k 2 . ycotux có nghĩa khi và chỉ khi ux xác định và xk,k . 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 5x 2 a) ysin ; b) ycos4x; c) ysinx; d) y2sinx . x12 Giải 5x 2 a) Hàm số ysin xác định x10x 1. x12 Vậy D\1.  b) Hàm số ycosx 2 4 xác định 4x 22 0 x 4 2x2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 4 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  5. Vậy Dx |2x2.  c) Hàm số ysinx xác định sinx 0 k2 x k2 ,k . Vậy Dx |k2x k2,k. d) Ta có: 1 sinx 1 2 sinx 0 . Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D. Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: sin x 1 a) ytanx ; b) ycotx ; c) y; d) y. 6 3 cos(x ) tan x 1 Giải 2 a) Hàm số ytanx xác định xkxk,k. 6 62 3 2 Vậy D\  k,k. 3 b) Hàm số ycotx xác định xkxk,k. 3 33  Vậy D\  k,k. 3 sin x 3 c) Hàm số y xác định cos x 0 x k x k ,k . cos(x ) 22 3 Vậy D\  k,k. 2 1 d) Hàm số y xác định tanx 1 x k ,k . tan x 1 4  Vậy D\  k,k. 4 Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 3cos2x a) ycos2x ; b) y. cosx sin3x cos3x Giải 1 a) Hàm số ycos2x xác định cosx 0 x k ,k . cosx 2  Vậy D\  k,k. 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 5 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  6. 3cos2x b) Hàm số y xác định sin3x cos3x 1k sin3x cos3x 0 sin6x 0 6x k x ,k . 26 k Vậy D\,k.  6 Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên : y2m3cosx. Giải 2m Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m 3cosx 0 cosx 3 2m 3 Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 1m. 32 3. Bài tập trắc nghiệm 2021 Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = . sin x A. D.= B. D\0.= { } ïïìüp C. D\,=Î {kkp } . D. D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 Lời giải Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi sinxxkk¹ ¹ 0p , Î . Vật tập xác định D\,=Î {kkp } . 1sin+ x Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = . cosx- 1 ïïìüp A. D.= B. D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 C. D\,=Î {kkp } . D. D\2,.=Î {kkp } Lời giải Chọn D Hàm số xác định khi và chỉ khi cosxxxkk-¹ 1 0 cos ¹ 1 ¹ 2p , Î . Vậy tập xác định D\2,.=Î {kkp } cos x Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = . æöp sinçx - ÷ èøç 2÷ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 6 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  7. ïïìüp A. D\=Î íýïïkk , . B. D\,=Î {kkp } . îþïï2 ïïìüp C. D\12,=+ íýïï()kk Î . D. D\12,=+ {()kkp Î} . îþïï2 Lời giải Chọn C æöpp p Hàm số xác định -¹ -¹ ¹+Îsinçxxkxkk÷ 0pp , . èøç 22÷ 2 ïïìüp Vậy tập xác định D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 2021 Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = . sinx- cos x ïïìüp A. D.= B. D\=-+Î íýïïkkp , . îþïï4 ïïìüp ïïìüp C. D\=+Î íýïïkk 2,.p D. D\=+Î íýïïkkp , . îþïï4 îþïï4 Lời giải Chọn D p Hàm số xác định -¹ ¹ ¹+Îsinxx cos 0 tan x 1 x kkp , . 4 ïïìüp Vậy tập xác định D\=+Î íýïïkkp , . îþïï4 æöp Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số yx=-+cotç 2÷ sin 2 x . èøç 4 ÷ ïïìüp A. D\=+Î íýïïkkp , . B. D.=Æ îþïï4 ïïìüpp C. D\=+Î íýïïkk , . D. D.= îþïï82 Lời giải Chọn C æöppppk Hàm số xác định sinç 2xxkxk-¹ -¹ ¹+÷ 0 2p , Î . èøç 4482÷ ïïìüpp Vậy tập xác định D\=+Î íýïïkk , . îþïï82 2 æöx p Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y =-3tanç ÷ . èøç24÷ ïïìü3p ïïìüp A. D\=+Î íýïïkk 2,.p B. D\=+Î íýïïkk 2,.p îþïï2 îþïï2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 7 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  8. ïïìü3p ïïìüp C. D\=+Î íýïïkkp , . D. D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 îþïï2 Lời giải Chọn A 2 æöxxpppp3 Hàm số xác định -¹ -¹+ ¹+Îcosç ÷ 0kxpp kk 2 , . èøç24÷ 24 2 2 ïïìü3p Vậy tập xác định D\=+Î íýïïkk 2,.p îþïï2 3tanx - 5 Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1sin- 2 x ïïìüp ïïìüp A. D\=+Î íýïïkk 2,.p B. D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 îþïï2 C. D\=+Î {ppkk ,} . D. D.= Lời giải Chọn B Hàm số xác định khi và chỉ khi 1sin-¹2 x 0 và tan x xác định ïìsin2 x ¹ 1 p ¹ ¹+Îíï cosxxkk 0p , . îïcosx ¹ 0 2 ïïìüp Vậy tập xác định D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số yx=+sin 2. A. D.= B. D2;.=-[ +¥) C. D0;2.= [ p] D. D.=Æ Lời giải Chọn A Ta có -£1 sinxxx £¾¾ 1 £ 1 sin + 2 £ 3, "Î . Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sinx + 2 với mọi x Î . Vậy tập xác định D.= Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số yx=-sin 2. A. D.= B. \,{kkp Î } . C. D1;1.=-[ ] D. D.=Æ Lời giải Chọn D Ta có -£1 sinxxx £¾¾ 1 - 3 £ sin - 2 £- 1, " Î . Do đó không tồn tại căn bậc hai của sinx - 2. Vậy tập xác định D.=Æ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 8 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  9. 1 Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1sin- x ïïìüp A. D\,=Î {kkp } . B. D\=+Î íýïïkkp , . îþïï2 ïïìüp C. D\=+Î íýïïkk 2,.p D. D.=Æ îþïï2 Lời giải Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi 1-> < sinxx 0 sin 1. ()* p Mà -£1sin1x £ nên ()*sin1 ¹ ¹+Îxxkk 2,.p 2 ïïìüp Vậy tập xác định D\=+Î íýïïkk 2,.p îþïï2 Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số yxx=-1 sin 2 -+ 1 sin 2 . A. D.=Æ B. D.= éùpp5 é513ppù C. D2;2,.=+êúkkkpp + Î D. D2;2,.=+êúkkkpp + Î ëûêú66 êúë 66û Lời giải Chọn B ïì1sin20+³x Ta có -£1sin21xx £ íï , "Î . îï1sin2-³x 0 Vậy tập xác định D.= æöp Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số yx= tanç cos÷ . èøç2 ÷ ïïìüp ïïìüp A. D\=+Î íýïïkkp , . B. D\=+Î íýïïkk 2,p . îþïï2 îþïï2 C. D = . D. D\,=Î {kkp } . Lời giải Chọn D pp Hàm số xác định khi và chỉ khi .cosx ¹+kxkp cos ¹+ 1 2 . ()* 22 Do k Î nên ()*cos1sin0 ¹ ¹ ¹Îxxxkkp , . Vậy tập xác định D\,=Î {kkp } . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 9 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  10. Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 1. Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số yf(x) . Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là  x,xD xD (1) . Bước 2: Tính f( x) và so sánh f( x) với f(x) - Nếu f( x) f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2) - Nếu f( x) f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm không chẵn và không lẻ trên D; - Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f(x) là hàm không chẵn và cũng không lẻ trên D . Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm xD0 sao cho f(x) 00 f(x) f(x) 00 f(x) 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = sin2x; b) y = tan x ; c) ysinx 4 . Giải a) TXĐ: D. Suy ra  xD xD. Ta có: fx sin2xsin2xfx . Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.  b) TXĐ: D\  k,k. Suy ra xD xD. 2 Ta có: f x tan x tan x f x . Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. c) TXĐ: D. Suy ra  xD xD. Ta có: fx sinx44 sinxfx . Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 10 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  11. Giải k a) TXĐ: D\,k.  Suy ra xD xD 2 Ta có: f x tan x cot x tanx - cot x tanx cot x f x Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. b) TXĐ: D . Suy ra  xD xD Ta có: f x sin x .cos x sinxcosx f x Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = 2sinx + 3; b) ysinxcosx . Giải a) TXĐ: D. Suy ra  xD xD Ta có: f2sin31 ; f2sin35 22 22 ff 22 Nhận thấy ff 22 Do đó hàm số không chẵn không lẻ. b) TXĐ: D. Suy ra  xD xD Ta có: ysinxcosx2sinx 4 f2sin0;f2sin2 444444 ff 44 Nhận thấy ff 44 Do đó hàm số không chẵn không lẻ. Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: sinx tan x cos3 x 1 a) y ; b) y. sin x cot x sin3 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 11 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  12. Giải a) Hàm số xác định khi cosx 0 cosx 0 cosx 0 k sinx 0 sinx 0 x ,k . sinx 0 2 2 sinx cotx 0 sin x cosx 0 k TXĐ: D\  ,k Suy ra  xD xD 2 sinxtanx sinx tanx sinx-tanx Ta có: fx fx sin x cot x sin x cot x sin x cot x Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. b) TXĐ: D\k,k  Suy ra  xD xD 3 cos x 1 cos33 x 1 cos x 1 Ta có: fx fx sin333 x sin x sin x Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: yfx3msin4xcos2x là hàm số chẵn. Giải TXĐ: D. Suy ra  xD xD Ta có: f x 3msin 4x cos 2x 3msin 4x cos2x Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì: f x f x ,  x D 3msin4x cos2x -3msin4x cos2x,  x D 6msin4x 0 m 0 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. yx= sin . B. yx= cos . C. yx= tan . D. yx= cot . Lời giải Chọn B Nhắc lại kiến thức cơ bản: Hàm số yx= sin là hàm số lẻ. Hàm số yx= cos là hàm số chẵn. Hàm số yx= tan là hàm số lẻ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 12 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  13. Hàm số yx= cot là hàm số lẻ. Vậy B là đáp án đúng. Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. yx=-sin . B. yxx=-cos sin . C. yx=+cos sin2 x . D. yxx= cos sin . Lời giải Chọn C Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = . Do đó "ÎxxDD. -Î Bây giờ ta kiểm tra f ()-=xfx () hoặc f ()-=-xfx (). Với yfx==-() sin x. Ta có f ()-= =xxxxsin () sin = ( sin ) ¾¾ -=-f ()xfx (). Suy ra hàm số yx=-sin là hàm số lẻ. Với yfx==-() cos x sin x . Ta có f ()-=xxxxxcos () sin () -= cos + sin ¾¾ -¹-f (xfxfx ){ (), ()} . Suy ra hàm số yxx=-cos sin không chẵn không lẻ. Với yfx==+() cos x sin 2 x. Ta có f ()-=xxcos () -+ sin 2 () - x éù2 2 2 =-+-=cos()x ëû sin ()xxxxx cos +-= [ sin ] cos + sin ¾¾ -=f ()xfx (). Suy ra hàm số yx=+cos sin 2 x là hàm số chẵn. Với yfx==() cos x sin x . Ta có f ()-=xxxxxcos () - .sin () -=- cos sin ¾¾ -=-f ()xfx (). Suy ra hàm số yxx= cos sin là hàm số lẻ. Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? tan x A. yx= sin 2 . B. yx= cos x . C. yxx= cos .cot . D. y = . sin x Lời giải Chọn D Xét hàm số yfx==() sin 2 x . TXĐ: D = . Do đó "ÎxxDD. -Î Ta có f ()-=xxxfxsin ( - 2 ) =- sin 2 =- ()¾¾ f ()x là hàm số lẻ. Xét hàm số yfxx==() cos x . TXĐ: D = . Do đó "ÎxxDD. -Î Ta có f ()()()-xx = -.cos - xxxfx =- cos =- ()¾¾ f ()x là hàm số lẻ. Xét hàm số yfx==() cos x cot x . TXĐ: D\=Î {kkp ()}. Do đó "ÎxxDD. -Î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 13 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  14. Ta có f ()-xxxxxfx =cos () - .cot () - =- cos cot =- ()¾¾ f ()x là hàm số lẻ. tan x Xét hàm số yfx==() . sin x ïïìüp TXĐ: D\=Î íýïïkk (). Do đó "ÎxxDD. -Î îþïï2 tan()-x -tanxx tan Ta có f ()-=xfx = = =()¾¾ f ()x là hàm số chẵn. sin() xxx sin sin Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? x A. yx= sin . B. yx= 2 sin x . C. y = . D. yx=+sin x . cos x Lời giải Chọn A Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? 3 æöp tan x 3 A. yxx= sin cos2 . B. yxx=-sin .cosç ÷ . C. y = . D. yxx= cos sin . èøç 2 ÷ tan2 x + 1 Lời giải Chọn B Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O . 334æöp Xét đáp án B, ta có yfx==() sin x .cosç x -=÷ sin x .sin x = sin x. Kiểm tra được đây là èøç 2 ÷ hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. yx=+cos sin2 x . B. yxx=+sin cos . C. yx=-cos . D. yxx= sin .cos3 . Lời giải Chọn D Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? sinx + 1 A. yx= cot 4 . B. y = . C. yx= tan2 . D. yx= cot . cos x Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 14 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  15. Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn. Câu 8: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? æöp 2 cot x tan x A. yx=-sinç ÷ . B. yx= sin . C. y = . D. y = . èøç2 ÷ cos x sin x Lời giải Chọn C æöp Viết lại đáp án A là yxx=-=sinç ÷ cos . èøç2 ÷ Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Câu 9: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. yx=-1sin.2 B. yxx= cot .sin2 . C. yx=-2 tan 2 x cot x . D. yxx=+1cottan. + Lời giải Chọn C Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Câu 10: Cho hàm số f ()xx= sin 2 và g()xx= tan2 . Chọn mệnh đề đúng A. f (x) là hàm số chẵn, g()x là hàm số lẻ. B. f ()x là hàm số lẻ, g()x là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số chẵn, g()x là hàm số chẵn. D. f (x) và g()x đều là hàm số lẻ. Lời giải Chọn B Xét hàm số f ()xx= sin 2 . TXĐ: D = . Do đó "ÎxxDD. -Î Ta có f ()-=xxxfxsin ( - 2 ) =- sin 2 =- ()¾¾ f ()x là hàm số lẻ. Xét hàm số g()xx= tan2 . ïïìüp TXĐ: D\=+Î íýïïkkp (). Do đó "ÎxxDD. -Î îþïï2 éù2 2 2 Ta có g()-=xxëûtan () - =- ( tan xxgx ) = tan = ()¾¾ f ()x là hàm số chẵn. cos2x sin 2x - cos3x Câu 11: Cho hai hàm số fx()= và gx()= . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1sin3+ 2 x 2tan+ 2 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 15 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  16. A. f (x) lẻ và g()x chẵn. B. f (x) và g()x chẵn. C. f (x) chẵn, g()x lẻ. D. f ()x và g()x lẻ. Lời giải Chọn B cos2x Xét hàm số fx()= . 1sin3+ 2 x TXĐ: D = . Do đó "ÎxxDD. -Î cos()- 2x cos2x Ta có f ()-=xfx = =()¾¾ f ()x là hàm số chẵn. 1sin3+-22()xx 1sin3 + sin 2x - cos3x Xét hàm số gx()= . 2tan+ 2 x ïïìüp TXĐ: D\=+Î íýïïkkp (). Do đó "ÎxxDD. -Î îþïï2 sin() 2xx cos() - 3 sin 2xx- cos3 Ta có g()-=xgx = =()¾¾ g()x là hàm số chẵn. 2tan+-22()xx 2tan + Vậy f ()x và g()x chẵn. Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? 1 æöp æöp A. y = . B. yx=+sinç ÷ . C. yx=-2cosç ÷ . D. yx= sin 2 . sin 3 x èøç 4 ÷ èøç 4 ÷ Lời giải Chọn A æöp 1 Viết lại đáp án B là yx=+=sinç ÷ () sin xx + cos . èøç 4 ÷ 2 æöp Viết lại đáp án C là yx=-=+2 cosç ÷ sin xx cos . èøç 4 ÷ Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ. Xét đáp án D. é p ù Hàm số xác định ³ Î+ Î+sin 2x 0 2xk[] 2pp ; k 2 p xkê p ; k pú ëê 2 ûú éùp ¾¾ =Dkêúpp; + k () k Î . ëûêú2 p p Chọn x =ÎD nhưng -=-Ïx D. Vậy yx= sin 2 không chẵn, không lẻ. 4 4 Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 16 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  17. A. Đồ thị hàm số yx= sin đối xứng qua gốc tọa độ O. B. Đồ thị hàm số yx= cos đối xứng qua trục Oy. C. Đồ thị hàm số yx= tan đối xứng qua trục Oy. D. Đồ thị hàm số yx= tan đối xứng qua gốc tọa độ O. Lời giải Chọn A Ta kiểm tra được hàm số yx= sin là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy . Do đó đáp án A sai. Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 1. Phương pháp: Cho hàm số yf(x) xác định trên tập D f(x)  M, x D . Mmaxf(x) D  xD:f(x)M00 f(x)  m, x D . mminf(x) D  xD:f(x)m00 Lưu ý: 1sinx1;1cosx1. 0sinx1;0cosx1. 22 0sinx1;0cosx1. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản 2 0 o Phương trình bậc hai: ax bx c 0 có nghiệm x khi và chỉ khi a0 o Phương trình asinx bcosx c có nghiệm x khi và chỉ khi abc222 a sinx b cosx c o Nếu hàm số có dạng: y 11 1 asinxbcosxc22 2 Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình asinx bcosx c. 2. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y2sinx 1 ; b) y2cosx13 . 4 Giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 17 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  18. a) Ta có: 1sinx 1 22sinx 2 12sinx 13 444 Hay 1y3 . Suy ra: Maxy 3 khi sin x 1 x k2 ,k . 44 3 Miny 1 khi sin x 1 x k2 ,k . 44 b) Ta có: 1cosx10cosx12 0 cosx1 2 02cosx122 32cosx13223 Hay 3y223 Suy ra Maxy 2 2 3 khi cosx 1 x k2 ,k . Miny 3 khi cosx 0 x k ,k . 2 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) ysinxcosx ; b) y3sin2xcos2x . Giải a) Ta có: ysinxcosx2sinx 2y 2 . 4 Suy ra: Maxy 2 khi sin x 1 x k2 ,k . 44 3 Miny 2 khi sin x 1 x k2 ,k . 44 31 b) Ta có: y 3 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x 2sin 2x 22 6 Suy ra: 2y2 . Do đó: Maxy 2 khi sin 2x 1 2x k2 x k2 ,k . 6623 Miny 2 khi sin 2x 1 2x k2 x k2 ,k . 6626 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 18 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  19. a) ycosx2sinx2 2 ; b) ysinx2cosx1 42 . Giải a) Ta có: 2 y cos22 x 2sin x 2 1 sin x 2sin x 2 2 sin2 x 2sin x 3 sin x 1 4 2 Vì 1 sinx 1 2 sinx 1 0 4 sin x 1 0 22 4sinx100sinx144 Hay 0y4 Do đó: Maxy 4 khi sin x 1 x k2 ,k . 2 Miny 0 khi sin x 1 x k2 ,k . 2 Lưu ý: 2 Nếu đặt t sinx,t 1;1 . Ta có (P): yft t 2t3 xác định với mọi t1;1 , (P) có hoành độ đỉnh t1 và trên đoạn 1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t1haysinx1 và đạt giá trị lớn nhất khi t1haysinx1 . b) Ta có 2 y sin42 x 2cos x 1 1 cos 2 x 2cos 2 x 1 2 cos42 x 4cos x 2 cos 2 x 2 2 2 Vì 0cosx1 22 2cosx2 1 4 cosx2 2 1 2 2cosx22 2 12y1 Do đó: Maxy 2 khi Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 19 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  20. cos2 x 0 cosx 0 x k ,k . 2 Miny 1 khi cos2 x 1 sinx 0 x k ,k . Lưu ý: 2 2 Nếu đặt t cos x,t 0;1 . Ta có (P): yftt 4t2 xác định với mọi t0;1 , (P) có hoành độ đỉnh t2 0;1 và trên đoạn 0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t1 và đạt giá trị lớn nhất khi t0. 2sinx cosx 1 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y sin x cos x 2 Giải π Ta có: sin x cos x 2 2 sin x 2 4 π Vì 22sinx 2,x  nên 4 π π 2sin x  2 2 2 0, x sin x cosx 2 2 sin x  2 0, x 4 4 Do đó: D 2sinx cosx 1 Biến đổi y sin x cos x 2 ysin x ycos x 2y 2sin x cos x 1 y2sinxy1cosx2y1 * Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm x là abc222 317 317 y222 y1 2y1 2 2y6y402 y 22 317 317 Kết luận: max y ;min y 22 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số yx=-3sin 2. A. Mm==-1, 5. B. Mm==3, 1. C. Mm==-2, 2. D. Mm==-0, 2. Lời giải Chọn A Ta có -£1 sinxxx £¾¾ 1 - 3 £ 3sin £ 3 ¾¾ - 5 £ 3sin - 2 £ 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 20 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  21. ïìM = 1 ¾¾ -51 £y £ ¾¾ íï . îïm =-5 Câu 2: Tìm tập giá trị T của hàm số yx=+3cos2 5. A. T =-[ 1;1] . B. T =-[ 1;11] . C. T =[2;8] . D. T = [5;8] . Lời giải Chọn C Ta có -£1 cos2xxx £¾¾ 1 - 3 £ 3cos2 £ 3 ¾¾ £ 2 3cos2 +£ 5 8 ¾¾ £28yT £¾¾ =[ 2;8.] Câu 3: Tìm tập giá trị T của hàm số yx=-53sin. A. T =-[ 1;1] . B. T =-[ 3;3] . C. T =[2;8] . D. T = [5;8] . Lời giải Chọn C Ta có -£1 sinxx £¾¾ 1 ³- 1 sin ³-¾¾ 1 ³- 3 3sin x ³- 3 ¾¾ ³-853sin2xyT ³¾¾ £ 2 £¾¾ 8 =[ 2;8.] Câu 4: Hàm số yxx=+54sin2cos2 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C Ta có yxxx=+5 4 sin 2 cos 2 =+ 5 2 sin 4 . Mà -£1 sin 4xx £¾¾ 1 - 2 £ 2 sin 4 £ 2 ¾¾ £+ 3 5 2 sin 4 x £ 7 ¾¾ £3yy £¾¾¾ 7yÎ Î{ 3; 4;5;6;7} nên y có 5 giá trị nguyên. Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số yx=-2 sin() 2016 + 2017 . A. m =-2016 2. B. m =- 2. C. m =-1. D. m =-2017 2. Lời giải Chọn B Ta có-£1 sin() 2016xx + 2017 £¾¾ 1 ³- 2 2 sin() 2016 + 2017 ³- 2. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là - 2. 1 Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = . cosx + 1 1 1 A. m = . B. m = . C. m =1. D. m = 2. 2 2 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 21 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  22. Chọn A Ta có -£1cos1x £. 1 Ta có nhỏ nhất khi và chỉ chi cos x lớn nhất =cosx 1 . cosx + 1 11 Khi cosxy=¾¾ 1 = = . cosx + 1 2 Câu 7: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yxx=+sin cos . Tính PMm=-. A. P = 4. B. P = 22. C. P = 2. D. P = 2. Lời giải Chọn B æöp Ta có yxx=+=sin cos 2 sinç x +÷ . èøç 4 ÷ æöpp æö Mà -£1sinççxx +÷÷ £¾¾ 1 - 2 £ 2sin + £ 2 èøçç44÷÷ èø ì ïM = 2 ¾¾ =-=íï PMm22. ï îïm =- 2 Câu 8: Tập giá trị T của hàm số yxx=-sin 2017 cos2017 . A. T =-2;2 . B. T =-4034;4034 . C. T =-é 2; 2ù . D. T = éù0; 2 . [ ] [ ] ëê ûú ëûêú Lời giải Chọn C æöp Ta có yxx=-=sin 2017 cos2017 2 sinç 2017 x -÷ . èøç 4 ÷ æöpp æö Mà -£1 sinçç 2017xx -÷÷ £¾¾ 1 - 2 £ 2 sin 2017 - £ 2 èøçç44÷÷ èø ¾¾ -22 £yT £ ¾¾ =-é 2;2.ù ëê ûú æöp Câu 9: Hàm số yx=+-sinç ÷ sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? èøç 3 ÷ A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C ab+- ab Áp dụng công thức sinab-= sin 2 cos sin , ta có 22 æöpppp æö æö sinçççxxx+-÷÷÷ sin = 2 cos + sin = cos x + . èøççç3666÷÷÷ èø èø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 22 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  23. æöp yÎ Ta có -£1cosçxyy +÷ £¾¾ 1 - 1 £ £ 1 ¾¾¾ Î-{} 1;0;1. èøç 6 ÷ 44 Câu 10: Hàm số yxx=-sin cos đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. xkk0 =Î2,p . B. xkk0 =Îp,. p C. xkk=+pp2, Î . D. xkk=+p,. Î 0 0 2 Lời giải Chọn B Ta có yxx=-=sin44 cos()() sin 2222 xxxx + cos sin - cos =- cos 2 x . Mà -£1 cos2xxy £¾¾ 1 - 1 ³- cos2 ³ 1 ¾¾ - 1 ³ ³ 1. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 . Đẳng thức xảy ra = = =Îcos2xxkxkk 1 2 2pp () . Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số yx=-12cos3. A. Mm==-3, 1. B. Mm==-1, 1. C. Mm==-2, 2. D. Mm==-0, 2. Lời giải Chọn B Ta có -£1 cos3xx £¾¾ 1 £ 0 cos3 £¾¾ 1 ³- 0 2 cos3 x ³- 2 ïìM =1 ¾¾ ³-112cos3xy ³-¾¾ 1 ³ 1 ³-¾¾ 1 íï . îïm =-1 2 æöp Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số yx=+4sin 2sinç 2 x +÷ . èøç 4 ÷ A. M = 2. B. M =-21. C. M =+21. D. M =+22. Lời giải Chọn D 2 æöæöp 1cos2- x Ta có yx=+4 sin 2 sinçç 2 x +=÷÷ 4 ++ sin 2 xx cos2 èøèøçç42÷÷ æöp =-+=-+sin 2xx cos2 2 2 sinç 2 x÷ 2. èøç 4 ÷ æöpp æö Mà -£1 sinçç 2xx -÷÷ £¾¾ 1 - 2 + 2 £ 2 sin 2 - + 2 £ 2 + 2 . èøçç44÷÷ èø Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 22.+ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 23 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  24. Câu 13: Tìm tập giá trị T của hàm số yxx=+sin66 cos . é1 ù é1 ù éù1 A. T = [0;2] . B. T = ê ;1ú . C. T = ê ;1ú . D. T = êú0; . ëê2 ûú ëê4 ûú ëûêú4 Lời giải Chọn C 2 Ta có yxx=+=sin66 cos() sin 22 xx + cos - 3sin 2222 xxxx cos () sin + cos 331cos453- x =-1 3sin22x cosxx =- 1 sin 2 2 =- 1 . = + cos4 x . 44288 153 1 Mà -£1cos41xxy £¾¾ £+ cos41 £¾¾ ££ 1. 488 4 Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số yx=+sin22 2 cos x . A. Mm==3, 0. B. Mm==2, 0. C. Mm==2, 1. D. Mm==3, 1. Lời giải Chọn C Ta có yx=+sin22222 2 cos x =() sin xx + cos +=+ cos x 1 cos 2 x ïìM = 2 Do -£1cos1xx £¾¾ £ 0cos22 £¾¾ 1 £+ 11cos x £ 2 ¾¾ ïí . îïm = 1 2 Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = . 1tan+ 2 x 1 2 A. M = . B. M = . C. M =1. D. M = 2. 2 3 Lời giải Chọn D 22 Ta có yx===2cos2 . 1tan+ 2 x 1 cos2 x Do 0cos1££¾¾2 xyM £ 0 £¾¾ 2 = 2. Câu 16: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yxx=+8sin2 3cos2 . Tính P =-2.Mm2 A. P = 1. B. P = 2. C. P = 112. D. P = 130. Lời giải Chọn A Ta có yx=+8 sin2222 3cos 2 xx =+-=+ 8 sin 3() 1 2 sin x 2 sin x 3. Mà -£1 sinxx £¾¾ 1 £ 0 sin22 £¾¾ 1 £ 3 2 sin x +£ 3 5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 24 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  25. ïìM = 5 ¾¾ £35yPMm £¾¾ ¾¾íï = 2 -2 = 1. îïm = 3 Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số yx=+2 sin2 3 sin 2 x. A. m =-23. B. m =-1. C. m =1. D. m =- 3. Lời giải Chọn B Ta có yx=+2 sin2 3 sin 2 x =-+ 1 cos2 x 3 sin 2 x æö ç 31÷ =-+=-+3 sin 2xx cos2 1 2ç sin 2 x cos2 x÷ 1 ç 22÷ èø æöæöpp p =-+=-+2çç sin 2xxx cos sin cos2÷÷ 1 2 sin 2 1. èøèøçç66÷÷ 6 æöpp æö Mà -£1 sinçç 2xxy -÷÷ £¾¾ 1 - 1 £ 1 + 2 sin 2 - £ 3 ¾¾ - 1 £ £ 3. èøçç66÷÷ èø Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Câu 18: Tìm tập giá trị T của hàm số yxx=-12sin 5cos . A. T =-[ 1;1] . B. T =-[ 7;7] . C. T =-[ 13;13] . D. T =-[ 17;17] . Lời giải Chọn C æö12 5 Ta có yxx=-=12sin 5cos 13ç sin xx - cos÷ . èøç13 13 ÷ 12 5 Đặt =¾¾cosaa = sin . Khi đó yx=-=-13()() sin cosaa sin cos x 13sin x a 13 13 ¾¾ -13 £yT £ 13 ¾¾ =-[ 13;13] . Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số yxx=-4sin2 3cos2 . A. M = 3. B. M = 1. C. M = 5. D. M = 4. Lời giải Chọn C æö43 Ta có yxx=-=4 sin 2 3cos2 5ç sin 2 xx - cos2 ÷ . èøç55÷ 43 Đặt =¾¾cosaa = sin . Khi đó yxxx=-=-5()() cosaa sin 2 sin cos2 5sin 2 a 55 ¾¾ -55 £yM £ ¾¾ = 5. Câu 20: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yxx=-sin2 4 sin + 5 . Tính P =-Mm2.2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 25 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  26. A. P = 1. B. P = 7. C. P = 8. D. P = 2. Lời giải Chọn D Ta có yxx=-sin2 4 sin +=-+ 5() sin x 22 1. Do -£1sin1xx £¾¾ - 3sin21 £ - £- ¾¾ £ 1sin29() x -2 £ 2 ïìM = 10 ¾¾ £2sin2()xPMm - +£ 110 ¾¾ =-=íï 22 2. îïm = 2 Câu 21: Hàm số yxx=-cos2 cos có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C 2 2 æö11 Ta có yxxx=-= cos cosç cos÷ . èøç 24÷ 311æö 192 Mà -£1 cosxx £¾¾ 1 - £ cos - £ ¾¾ £ 0ç cos x -÷ £ 222èøç 24÷ 2 1111æö yÎ ¾¾ - £çcosxyy -÷ - £ 2 ¾¾ - £ £ 2 ¾¾¾ Î{} 0;1;2 nên có 3 giá trị thỏa mãn. 4244èøç ÷ 2 Câu 22: Hàm số yxx=++cos 2 sin 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? p p A. xkk=+2,p Î . B. xkk=- +2,p Î . 0 2 0 2 C. xkk0 =+pp2, Î . D. xkk0 =Î2,p . Lời giải Chọn B Ta có yxx=++=-++cos22 2 sin 2 1 sin xx 2 sin 2 =-sin2 xx + 2 sin + 3 =-() sin x - 12 + 4. Mà -£1 sinxx £¾¾ 1 - 2 £ sin - 1 £ 0 ¾¾ £ 0() sin x - 12 £ 4 ¾¾ ³-0sin144sin140()xx -22 ³-¾¾ ³- () - +³. Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 . p Dấu ''= '' xảy ra =- =-+Îsinxxkk 1 2p () . 2 Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số yx=-sin42 2 cos x + 1 A. Mm==-2, 2. B. Mm==1, 0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 26 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  27. C. Mm==-4, 1. D. Mm==-2, 1. Lời giải Chọn D 2 Ta có yx=sin42 - 2 cos x += 1 sin 4 x - 2()() 1 - sin 2 x += 1 sin 2 x + 1 - 2. 2 Do 0sin1££¾¾22xx £ 1sin121sin14 +£ ¾¾ £() 2 x + £ 2 ïìM = 2 ¾¾ -1sin1 £()2 x + - 22 £ ¾¾ íï . îïm =-1 Câu 24: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số yxx=-4sin4 cos4 . A. m =-3. B. m =-1. C. m = 3. D. m =-5. Lời giải. Chọn B 2 42æö1cos2- x Ta có yxx=-=4sin cos4 4.ç ÷ -() 2cos 2 x - 1 èøç 2 ÷ =-cos2 2xx - 2cos2 + 2 =-() cos2 x + 12 + 3 £ 3. Mà -£1 cos2xx £¾¾ 1 £ 0 cos2 +£¾¾ 1 2 £ 0() cos2 x + 12 £ 4 ¾¾ -1cos2133 £-()xm +2 + £ ¾¾ =- 1. Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số yx=-73cos.2 A. Mm==10, 2. B. Mm==7, 2. C. Mm==10, 7. D. Mm==0, 1. Lời giải Chọn B Ta có -£1cos1xx £¾¾ £ 0cos2 £ 1 ¾¾ £-473cos722xx £¾¾ £ 2 73cos - £ 7. Câu 26: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được é p ù cho bởi một hàm số yt=-+4 sinêú() 60 10 với t Î và 0<£t 365 . Vào ngày nào trong êúë178 û năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải Chọn B éùpp éù Vì sinêú()tyt-£¾¾ 60 1 = 4 sin êú() - 60 + 10 £ 14. ëûêú178 ëûêú 178 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 27 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  28. é p ù Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất =yt14 sinêú() - 60 = 1 êúë178 û pp -=+ =+()tktk60 2p 149 356 . 178 2 149 54 Do 0<£tkkk 365 ¾¾ < 0 149 + 356 £ 365 - <£ ¾¾¾kÎ = 0 . 356 89 Với kt=¾¾0 = 149 rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0<£t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày). Câu 27: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức æöppt h =++3cosç ÷ 12. Mực nước của kênh cao nhất khi: èøç 84÷ A. t = 13 (giờ). B. t =14 (giờ). C. t =15 (giờ). D. t =16 (giờ). Lời giải . Chọn B Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất æöpptt pp += +=cosç ÷ 1k 2p với 024<£t và k Î . èøç 84÷ 84 Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn ppt Vì với t =¾¾14 + = 2p (đúng với k =Î1 ). 84 Dạng 4. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó 1. Phương pháp Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau: . Xét hàm số yf(x) , tập xác định là D . Với mọi xD , ta có xT 0 D và xT 0 D (1) . Chỉ ra f(x T0 ) f(x) (2) Vậy hàm số yf(x) tuần hoàn Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ T0 Tiếp tục, ta đi chứng minh T0 là chu kỳ của hàm số tức chứng minh T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (1) và (2). Giả sử có T sao cho 0TT 0 thỏa mãn tính chất (2) mâu thuẫn với giả thiết 0TT 0 . Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (2). Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T0 Một số nhận xét: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 28 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  29. - Hàm số y sinx,y cosx tuần hoàn chu kỳ 2 . Từ đó y sin ax b ,y cos ax b có chu 2 kỳ T 0 a - Hàm số y tanx, y cot x tuần hoàn chu kỳ . Từ đó ytanaxb,ycotaxb có chu kỳ T 0 a Chú ý: yf(x) 1 có chu kỳ T1 ; yf(x) 2 có chu kỳ T2 Thì hàm số y f12 (x) f (x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn Hàm số yf(x) không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm . Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn . Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với xa hoặc xa . Phương trình f(x) k có vô số nghiệm hữu hạn . Phương trình f(x) k có vô số nghiệm sắp thứ tự xmm1 x mà xxmm1 0 hay 2. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T0 a)f(x) sinx, T 2 ; b)f(x) tan2x, T 002 Hướng dẫn giải a) Ta có : f(x 2 ) f(x),  x . Giả sử có số thực dương T2 thỏa f(xT)f(x)sinxTsinx,x  (*) Cho xVT(*)sinTcosT1;VP(*)sin1 22 2 (*) không xảy ra với mọi x . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T20 b) Ta có : f(x ) f(x),  x D . 2 Giả sử có số thực dương T thỏa f(x T) f(x) tan 2x 2T tan2x ,  x D ( ) 2 Cho x0 VT( )tan2T0; VP( )0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 29 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  30. B ( ) không xảy ra với mọi xD . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T 0 2 Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của các hàm số sau 3x x a) f(x) cos cos ; b)y cosx cos( 3x); c)f(x) sin x2 ; d)y tan x. 22 Hướng dẫn giải c) Hàm số f(x) sin x2 không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới 0 k1 k 0khik k1 k d) Hàm số f(x) tan x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới 2 k 1 22 k khi k 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số yx= sin tuần hoàn với chu kì 2.p B. Hàm số yx= cos tuần hoàn với chu kì 2.p C. Hàm số yx= tan tuần hoàn với chu kì 2.p D. Hàm số yx= cot tuần hoàn với chu kì p. Lời giải Chọn C Vì hàm số yx= tan tuần hoàn với chu kì p. Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? sin x A. yx= sin B. yx=+sin x C. yx= cos x . D y = . x Lời giải Chọn A Hàm số yx=+sin x không tuần hoàn. Thật vậy: Tập xác định D = . Giả sử fx()()+= T fx, "Î x D ++()()xTsin xT +=+ x sin x , "Î xD +TxTxxsin() + = sin , "ÎD . ()* Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 30 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  31. ïìTx+==sin sin 0 0 Cho x = 0 và x = p , ta được íï ï îïTT++==sin()pp sin 0 ¾¾ +2sinsinTT +()p += = T 0 T 0. Điều này trái với định nghĩa là T > 0 . Vậy hàm số yx=+sin x không phải là hàm số tuần hoàn. sin x Tương tự chứng minh cho các hàm số yx= cos x và y = không tuần hoàn. x Câu 3: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn? 1 A. yx= cos . B. yx= cos2 . C. yx= 2 cos x. D. y = . sin 2x Lời giải. Chọn C æöp Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số yx=-sinç 5÷ . èøç 4 ÷ 2p 5p p p A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 5 2 2 8 Lời giải Chọn A 2p Hàm số yaxb=+sin () tuần hoàn với chu kì T = . a æöp 2p Áp dụng: Hàm số yx=-sinç 5 ÷ tuần hoàn với chu kì T = . èøç 4 ÷ 5 æöx Câu 5: Tìm chu kì T của hàm số y =+cosç 2016÷ . èøç2 ÷ A. T = 4.p B. T = 2.p C. T =-2.p D. T = p. Lời giải Chọn A 2p Hàm số yaxb=+cos() tuần hoàn với chu kì T = . a æöx Áp dụng: Hàm số y =+cosç 2016÷ tuần hoàn với chu kì T = 4.p èøç2 ÷ 1 Câu 6: Tìm chu kì T của hàm số yx=-sin() 100pp + 50 . 2 1 1 p A. T = . B. T = . C. T = . D. T = 200p2 . 50 100 50 Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 31 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  32. 1 21p Hàm số yx=-sin() 100pp + 50 tuần hoàn với chu kì T ==. 2 100p 50 x Câu 7: Tìm chu kì T của hàm số yx=+cos2 sin . 2 p A. T = 4.p B. T = p. C. T = 2.p D. T = . 2 Lời giải Chọn A 2p Hàm số yx= cos2 tuần hoàn với chu kì T ==p. 1 2 x 2p Hàm số y = sin tuần hoàn với chu kì T ==4.p 2 2 1 2 x Suy ra hàm số yx=+cos2 sin tuần hoàn với chu kì T = 4.p 2 Nhận xét. T là của T1 và T 2 . Câu 8: Tìm chu kì T của hàm số yxx=+cos3 cos5 . A. T = p. B. T = 3.p C. T = 2.p D. T = 5.p Lời giải Chọn C 2p Hàm số yx= cos3 tuần hoàn với chu kì T = . 1 3 2p Hàm số yx= cos5 tuần hoàn với chu kì T = . 2 5 Suy ra hàm số yxx=+cos3 cos5 tuần hoàn với chu kì T = 2.p æöx Câu 9: Tìm chu kì T của hàm số yx=+ 3cos() 2 1 2sinç 3÷ . èøç2 ÷ A. T = 2.p B. T = 4p C. T = 6p D. T = p. Lời giải Chọn B 2p Hàm số yx=+3cos() 2 1 tuần hoàn với chu kì T ==p. 1 2 æö ç x ÷ 2p Hàm số y =-2sinç - 3÷ . tuần hoàn với chu kì T 2 ==4.p èøç2 ÷ 1 2 æöx Suy ra hàm số yx=+ 3cos() 2 1 2sinç 3÷ tuần hoàn với chu kì T = 4.p èøç2 ÷ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 32 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  33. æöpp æö Câu 10: Tìm chu kì T của hàm số yx=++-sinçç 2÷÷ 2 cos 3 x . èøçç34÷÷ èø A. T = 2.p B. T = p. C. T = 3.p D. T = 4.p Lời giải Chọn A æö ç p÷ 2p Hàm số yx=+sinç 2 ÷ tuần hoàn với chu kì T1 ==p. èøç 3 ÷ 2 æö ç p÷ 2p Hàm số yx=-2cosç 3 ÷ tuần hoàn với chu kì T 2 = . èøç 4 ÷ 3 æöpp æö Suy ra hàm số yx=++-sinçç 2÷÷ 2 cos 3 x tuần hoàn với chu kì T = 2.p èøçç34÷÷ èø Câu 11: Tìm chu kì T của hàm số yx= tan 3p . p 4 2p 1 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D p Hàm số yaxb=+tan() tuần hoàn với chu kì T = . a 1 Áp dụng: Hàm số yx= tan 3p tuần hoàn với chu kì T = . 3 Câu 12: Tìm chu kì T của hàm số yxx=+tan 3 cot . p A. T = 4.p B. T = p. C. T = 3.p D. T = . 3 Lời giải Chọn B p Hàm số yaxb=+cot() tuần hoàn với chu kì T = . a p Áp dụng: Hàm số yx= tan 3 tuần hoàn với chu kì T = . 1 3 Hàm số yx= cot tuần hoàn với chu kì T 2 = p. Suy ra hàm số yxx=+tan 3 cot tuần hoàn với chu kì T = p. Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T 2 . x Câu 13: Tìm chu kì T của hàm số yx=+cot sin 2 . 3 p A. T = 4.p B. T = p. C. T = 3.p D. T = . 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 33 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  34. Lời giải Chọn C x Hàm số y = cot tuần hoàn với chu kì T = 3.p 3 1 Hàm số yx= sin 2 tuần hoàn với chu kì T 2 = p. x Suy ra hàm số yx=+cot sin 2 tuần hoàn với chu kì T = 3.p 3 x æöp Câu 14: Tìm chu kì T của hàm số yx=-sin tanç 2 +÷ . 24èøç ÷ A. T = 4.p B. T = p. C. T = 3.p D. T = 2.p Lời giải Chọn A x Hàm số y = sin tuần hoàn với chu kì T = 4.p 2 1 æö ç p÷ p Hàm số yx=-tanç 2 + ÷ tuần hoàn với chu kì T 2 = . èøç 4 ÷ 2 x æöp Suy ra hàm số yx=-sin tanç 2 +÷ tuần hoàn với chu kì T = 4.p 24èøç ÷ Câu 15: Tìm chu kì T của hàm số yx=+2cos2 2017. A. T = 3.p B. T = 2.p C. T = p. D. T = 4.p Lời giải Chọn C Ta có yx=+=+2cos2 2017 cos2 x 2018. Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T = p. Câu 16: Tìm chu kì T của hàm số yx=+2sin22 3cos 3 x . p A. T = p. B. T = 2.p C. T = 3.p D. T = . 3 Lời giải Chọn A 1cos2-+xx 1cos6 1 Ta có yxx=+=-+2. 3.() 3cos6 2cos2 5 . 222 2pp Hàm số yx= 3cos6 tuần hoàn với chu kì T ==. 1 63 Hàm số yx=-2cos2 tuần hoàn với chu kì T 2 = p. Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = p. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 34 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  35. Câu 17: Tìm chu kì T của hàm số yx=-tan 3 cos2 2 x . p p A. T = p. B. T = . C. T = . D. T = 2.p 3 2 Lời giải Chọn C 1cos4+ x 1 Ta có yx=-tan 3 =() 2 tan 3 xx cos4 1 . 22 p Hàm số yx= 2tan3 tuần hoàn với chu kì T = . 1 3 2pp Hàm số yx=-cos 4 tuần hoàn với chu kì T ==. 2 42 Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = p. Câu 18: Hàm số nào sau đây có chu kì khác p ? æöp æöp A. yx=-sinç 2÷ . B. yx=+cos2ç ÷ . C. yx=-+tan() 2 1 . D. yxx= cos sin . èøç 3 ÷ èøç 4 ÷ Lời giải Chọn C pp Vì yx=-+tan() 2 1 có chu kì T ==. -22 1 Nhận xét. Hàm số yxxx==cos sin sin 2 có chu kỳ là p. 2 Câu 19: Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2p ? x x A. yx= cos3 . . y = sin cos . 22 2 2 æöx C. yx=+sin() 2 . D. y =+cosç 1÷ . èøç2 ÷ Lời giải. Chọn C 1 Hàm số yx==cos3 () cos3 xx + 3cos có chu kì là 2.p 4 xx1 Hàm số yx==sin cos sin có chu kì là 2.p 222 11 Hàm số yx=+=-+sin2 () 2 cos() 2 x 4 có chu kì là p. 22 2 æöx 11 Hàm số yx=+=++cosç 1÷ cos() 2 có chu kì là 2.p èøç222÷ Câu 20: Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 35 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  36. x A. yx= cos và y = cot . B. yx= sin và yx= tan 2 . 2 x x C. y = sin và y = cos . D. yx= tan 2 và yx= cot 2 . 2 2 Lời giải Chọn B x Hai hàm số yx= cos và y = cot có cùng chu kì là 2.p 2 p Hai hàm số yx= sin có chu kì là 2p , hàm số yx= tan 2 có chu kì là . 2 x x Hai hàm số y = sin và y = cos có cùng chu kì là 4.p 2 2 p Hai hàm số yx= tan 2 và yx= cot 2 có cùng chu kì là . 2 Dạng 5. Đồ thị của hàm số lượng giác 1. Phương pháp 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: - Tìm tập xác định D. - Tìm chu kỳ T0 của hàm số. - Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). - Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn: TT 00 x0,T 0 hoặc x, . 22 - Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. - Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v k.T0 .i về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu a < 0. c) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 36 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  37. f(x), neáu f(x) 0 d) Đồ thị yf(x) nên suy ra đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên -f(x), neáu f(x) < 0 hần đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành và lấy đối xứng y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số y=-f(x) Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị y=f(x+a) Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Tịnh tiến theo Đối xứng qua gốc O y=-f(-x) y=f(x) y=f(x+a)+b vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị y=f(x)+b y=f(-x) Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau: y = sin 4x Hướng dẫn giải a) Haøm soá y = sin 4x. Mieàn xaùc ñònh: D= . Ta chæ caàn veõ ñoà thò haøm soá treân mieàn 0; 2 2 (Do chu kì tuaàn hoaøn T= ) 42 Baûng giaù trò cuûa haøm soá y =sin 4x treân ñoaïn 0; laø: 2 x 3 5 5 3 0 16 8 16 24 4 16 8 3 2 y 2 2 3 2 3 0 1 0 - -1 - 0 2 2 2 2 2 Ta có đồ thị của hàm số y = sin4x trên đoạn 0; và sau đó tịnh tiến cho các 2 đoạn: , ,0 , , , 22 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 37 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  38. x Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = cos . 3 Hướng dẫn giải x Haøm soá y = cos . 3 Mieàn xaùc ñònh: D= . Ta chæ caàn veõ ñoà thò haøm soá treân mieàn 0;6 2 (Do chu kì tuaàn hoaøn T= 6 ) 1/3 x Baûng giaù trò cuûa haøm soá y = cos treân ñoaïn  0;6 laø: 3 x 3 3 21 15 9 33 0 3 4 2 6 4 2 6 6 y 2 3 2 3 1 0 - -1 - 0 1 2 2 2 2 x Ta có đồ thị của hàm số y= cos trên đoạn 0; 6 và sau đó tịnh tiến cho các 3 đoạn: , 6 ,0 , 6 ,12  , Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số y =sinx, (C) . Hãy vẽ các đồ thị của các hàm số sau: a) y = sin x+ b) y= sin x+ 2. 44 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 38 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  39. Hướng dẫn giải Từ đồ thị của hàm số y = sinx, (C) như sau: a) Từ đồ thị (C), ta có đồ thị y = sin x+ bằng cách tịnh tiến (C) sang trái 4 một đoạn là đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = sin x+ , (C') như (hình 8) 4 4 sau: b) Từ đồ thị (C’) của hàm số y = sin x+ , ta có đồ thị hàm số 4 y = sin x+ 2 bằng cách tịnh tiến (C’) lên trên một đoạn là 2 đơn vị, ta 4 được đồ thị hàm số y = sin x+ 2, (C'') như sau: 4 y Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 39 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  40. 3. Bài tập trắc nghiệm æöp Câu 1: Đồ thị hàm số yx=-cosç ÷ được suy từ đồ thị ()C của hàm số yx= cos bằng cách: èøç 2 ÷ p A. Tịnh tiến ()C qua trái một đoạn có độ dài là . 2 p B. Tịnh tiến ()C qua phải một đoạn có độ dài là . 2 p C. Tịnh tiến ()C lên trên một đoạn có độ dài là . 2 p D. Tịnh tiến ()C xuống dưới một đoạn có độ dài là . 2 Lời giải Chọn B Nhắc lại lý thuyết Cho ()C là đồ thị của hàm số yfx= () và p > 0 , ta có: + Tịnh tiến ()C lên trên p đơn vị thì được đồ thị của hàm số yfxp=+() . + Tịnh tiến ()C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số yfxp=-() . + Tịnh tiến ()C sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số yfxp=+(). + Tịnh tiến ()C sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số yfxp=-(). æöp Vậy đồ thị hàm số yx=-cosç ÷ được suy từ đồ thị hàm số yx= cos bằng cách tịnh tiến èøç 2 ÷ sang phải p đơn vị. 2 Câu 2: Đồ thị hàm số yx= sin được suy từ đồ thị ()C của hàm số yx= cos bằng cách: p A. Tịnh tiến ()C qua trái một đoạn có độ dài là . 2 p B. Tịnh tiến ()C qua phải một đoạn có độ dài là . 2 p C. Tịnh tiến ()C lên trên một đoạn có độ dài là . 2 p D. Tịnh tiến ()C xuống dưới một đoạn có độ dài là . 2 Lời giải Chọn B æöpp æö Ta có yx==sin cosçç -=- x÷÷ cos x . èøçç22÷÷ èø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 40 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  41. Câu 3: Đồ thị hàm số yx= sin được suy từ đồ thị ()C của hàm số yx=+cos 1 bằng cách: p A. Tịnh tiến ()C qua trái một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị. 2 p B. Tịnh tiến ()C qua phải một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị. 2 p C. Tịnh tiến ()C qua trái một đoạn có độ dài là và xuống dưới 1 đơn vị. 2 p D. Tịnh tiến ()C qua phải một đoạn có độ dài là và xuống dưới 1 đơn vị. 2 Lời giải Chọn D æöpp æö Ta có yx==sin cosçç -=- x÷÷ cos x . èøçç22÷÷ èø p Tịnh tiến đồ thị yx=+cos 1 sang phải đơn vị ta được đồ thị hàm số 2 æöp yx=-+cosç ÷ 1. èøç 2 ÷ æöp Tiếp theo tịnh tiến đồ thị yx=-+cosç ÷ 1 xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số èøç 2 ÷ æöp yx=-cosç ÷ . èøç 2 ÷ Câu 4: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx=+1sin2. B. yx= cos . C. yx=-sin . D. yx=-cos . Lời giải Chọn B Ta thấy tại x = 0 thì y =1. Do đó loại đáp án C và D. p Tại x = thì y = 0 . Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. 2 Câu 5: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 41 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  42. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? x x x æöx A. y = sin . B. y = cos . C. y =-cos . D. y =-sinç ÷ . 2 2 4 èøç 2 ÷ Lời giải Chọn D Ta thấy: Tại x = 0 thì y = 0 . Do đó loại B và C. Tại x = p thì y =-1. Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa. Câu 6: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 2x 2x 3x 3x A. y = cos . B. y = sin . C. y = cos . D. y = sin . 3 3 2 2 Lời giải Chọn A Ta thấy: Tại x = 0 thì y =1. Do đó ta loại đáp án B và D. Tại x = 3p thì y =1. Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn. Câu 7: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 42 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  43. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? æöp æö3p æöp æöp A. yx=-sinç ÷ . B. yx=+cosç ÷ . C. yx=+2sinç ÷ . D. yx=-cosç ÷ . èøç 4 ÷ èøç 4 ÷ èøç 4 ÷ èøç 4 ÷ Lời giải Chọn A Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng -1 . Do đó loại đáp án C. 2 Tại x = 0 thì y =- . Do đó loại đáp án D. 2 3p Tại x = thì y = 1. Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn. 4 Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx= sin . B. yx= sin . C. yx= sin . D. yx=-sin . Lời giải Chọn D Ta thấy tại x = 0 thì y = 0 . Cả 4 đáp án đều thỏa. p Tại x = thì y =-1. Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn. 2 Câu 9: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 43 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  44. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx= cos . B. yx=-cos C. yx= cos . D. yx= cos . Lời giải Chọn B Ta thấy tại x = 0 thì y =-1. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Câu 10: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx= sin . B. yx= sin . C. yx= cos . D. yx= cos . Lời giải Chọn A Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 . Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn. Ta thấy tại x = 0 thì y = 0 . Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn. Câu 11: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 44 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  45. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx= tan . B. yx= cot . C. yx= tan . D. yx= cot . Lời giải Chọn C Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 . Do đó ta loại đáp án A và B. Hàm số xác định tại x = p và tại x = p thì y = 0 . Do đó chỉ có C thỏa mãn. Câu 12: .Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? æöp æöp æöp A. yx= sinç ÷ 1. B. yx=-2sinç ÷ . C. yx=-sinç -÷ - 1. D. èøç 2 ÷ èøç 2 ÷ èøç 2 ÷ æöp yx=++sinç ÷ 1. èøç 2 ÷ Lời giải Chọn A Ta thấy hàm số có GTLN bằng 0 , GTNN bằng -2. Do đó ta loại đán án B vì æöp yx=-Î-2sinç ÷ [] 2;2 . èøç 2 ÷ Tại x = 0 thì y =-2 . Thử vào các đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn. Câu 13: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx=+1sin. B. yx= sin . C. yx=+1cos. D. yx=+1sin. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 45 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  46. Chọn A Ta có yx=+1cos1 ³ và yx=+1sin1 ³ nên loại C và D. Ta thấy tại x = 0 thì y =1. Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa mãn. Câu 14: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. yx=+1sin. B. yx= sin . C. yx=+1cos. D. yx=+1sin. Lời giải Chọn B Ta có yx=+1cos1 ³ và yx=+1sin1 ³ nên loại C và D. Ta thấy tại x = p thì y = 0 . Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 46 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  47. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1) Phương trình sin x = a Trường hợp a >¾¾1 phương trình vô nghiệm, vì -£1sin1x £ với mọi x . Trường hợp a £¾¾1 phương trình có nghiệm, cụ thể: ïïìü123 ▪ a Î íýïï0; ; ; ; 1 . Khi đó ïï îþïï22 2 éxk=+ap2 sin xa= sinxk= sina ê , Î . ê ëxk=-+pa2 p ïïìü123 éxak=+arcsin 2p ▪ a Ï íýïï0; ; ; ; 1 . Khi đó sinxa= ê , k Î . ïï ê îþïï22 2 ëxak=-pparcsin + 2 2) Phương trình cos x = a Trường hợp a >¾¾1 phương trình vô nghiệm, vì -£1cos1x £ với mọi x . Trường hợp a £¾¾1 phương trình có nghiệm, cụ thể: ïïìü123 ▪ a Î íýïï0; ; ; ; 1 . Khi đó ïï îþïï22 2 éxk=+ap2 cos xa= cosxk= cosa ê , Î . ê ëxk= -+ap2 ïïìü123 éxak=+arccos 2p ▪ a Ï íýïï0; ; ; ; 1 . Khi đó cosxa= ê , k Î . ïï ê îþïï22 2 ëxak=-arccos + 2p 3) Phương trình tan x = a p Điều kiện: xkk¹+p () Î . 2 ïïìü1 ● a Î íýïï0; ; 1; 3 . Khi đó tna,xk= a tanxxk==+ tan aap Î . îþïï3 ïïìü1 ● a Ï íýïï0; ; 1; 3 . Khi đó tanxa= = x arctan akk +p , Î . îþïï3 4) Phương trình cot x = a Điều kiện: xkk¹+pp () Î . ïïìü1 ● a Î íýïï0; ; 1; 3 . Khi đó cotxa==Î = cotxxk cotaap + k , . îþïï3 ïïìü1 ● a Ï íýïï0; ; 1; 3 . Khi đó cot xkk= =axarccot a +p , Î . îþïï3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 47 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  48. B. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ 1. Giải các phương trình a) cos 2x 0 ; b) cos 4x 1; c) cos x 1; 6 3 5 x d) sin 3x 0 e) sin 1 ; f) sin 2x 1 ; 3 24 6 Hướng Dẫn Giải k a) cos 2x 0 2x k x ,k 66 122 k b) cos 4x 1 4x k2 x ,k 33 122 4 c) cos x 1 x k2 x k2 ,k 55 5 k d) sin 3x 0 3x k x ,k 33 93 xx 3 e) sin 1 k2 x k4 ,k 24 242 2 f) sin 2x 1 2x k2 x k ,k 6623 Ví dụ 2. Giải phương trình 1 1 a) sin3x 1 ; b) cos 2x 2 2 2 x c) tan 2 3 ; d) cot 2x 3 4 34 Giải a) Ta có: k2 3x k2 x 6 18 3 1sin3xsin ,k 6 5k2 3x k2 x 6 183 k2 5 k2 Vậy nghiệm của phương trình (1) là x;x,k. 18 3 18 3 b) Ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 48 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  49. 2x k2 x k 2 33 2co s2x cos ,k 3 2 2x k2 x k 33 Vậy nghiệm của phương trình (*) là: xk,k 3 c) 3x3arctan2k3,k Vậy nghiệm của phương trình (*) là x 3arctan 2 k3 ,k d) Ta có: k 4cot2xcot2x k x ,k. 46 46 242 k x,k. Vậy nghiệm của phương trình là: 24 2 Lời bình: Những phương trình ch trên là nhưng phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác 1 Ở câu a) sin3x . Dùng MTCT (ở chế độ rad ) ta ấn SHIF sin 1 2 ta được kết quả là 2 π 1 π . Do đó: sin3x sin 6 26 1 Hoàn toàn tương tự cho câu b) cos2x . Ta ấn: 2 2π 12π SHIF cos  1 2 ta được kết quả là . Do đó: cos2x cos 3 23 Ở câu c) nếu ta dùng MTCT: Thử ấn SHIFT tan 2 ta được kết quả x x Do đó, phương trình tan 2 ta chỉ có thể ghi arctan2 kπ 3 3 1 Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết cot α . Do đó, đối với câu d) tanα cot 2x 3 ta ấn máy như sau: 4 π SHIT tan 1 3 ta được kết quả là . Do đó: cot 2x 3 cot 6 46 Ví dụ 3. Giải phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 49 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  50. 0 x a) sin 4x sin x ; b) cot g x 30 cot g . 3 2 32 c) cos2 x ; d) sin 2x cos3x. 4 Giải a) Ta có: k2 4x x k2 x 3 93 sin 4x sin x ,k 3 2k2 4x x k2 x 3 15 5 k2 2 k2 Vậy nghiệm của phương trình (*) là x;x 93 155 00 x30k.180 0 x30 b) Điều kiện: k,n x 0 n.180 xn.360 0 2 xx cot g x 3000000 cot g x 30 k.180 2x 60 x k.360 22 x60k.360,k00 Vậy nghiệm của phương trình là: x60k.360,k 00 c) Ta có 32 1cos2x32 cos2 x 2 1 cos 2x 3 2 424 3 cos2x cos 2x k2 x k ,k 26 6 12 Vậy nghiệm của phương trình (*) là xk, k 12 Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải theo cách sau: 32 32 xarccos k2 cos x 4 2 32 4 cos x ,k 4 32 32 cos x xarccos k2 4 4 Tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi cái vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số. d) Ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 50 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  51. 3x 2x k2 2 sin 2x cos3x cos3x cos 2x 2 3x 2x k2 2 k2 5x k2 x 2 10 5 ;k xk 2 xk 2 2 2 k2 Vậy nghiệm của (*) là x;xk2 ,k 10 5 2 Nhận xét: Phương trình sin 2x cos3x được chuyển thành cos3x cos 2x , ta cũng có thể 2 chuyển thành dạng sau: sin 2x sin 3x . 2 Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình sinx 4m 1 * Giải 1 4m 1 1 m Trường hợp 1: 4m 1 1 2 4m 1 1 m0 Phương trình (*) vô nghiệm 1 Trường hợp 2: 4m 1 1 1 4m 1 1 0 m 2 xarc sin 4m 1 k2 Phương trình (*) có nghiệm ,k xarcs in 4m 1k2 Tóm lại: 1 m Nếu 2 thì phương trình (*) vô nghiệm m0 1 xarcsin4m1k 2 Nếu 0m thì phương trình (*) có nghiệm 2 xarcsin4m1k2 Ví dụ 5. Tìm m để phương trình 2sin x m có nghiệm x0; 4 2 Giải 3 2 Ta có: 0x x sin x 1 24 44 24 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 51 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  52. 2m Phương trình đã cho có nghiệm x0;khi 11m2 22 2 Ví dụ 6. Giải phương trình a) sin 2x sin 2x cos x 0 1 ; b) sin x cos2x sin 2x cos3x 2 . Giải a) Ta có sin2x 0 2x k k 1sin2x1cosx0 x ,k cosx 1kx 2 2 k Vậy nghiệm của phương trình là x,k. 2 Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiệm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho sin2x , dẫn đến thiếu nghiệm b) Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. 1 Ta nhắc lại: sinacosb sin a b sin a b 2 Ta có 11 2 sin3x sinx sin 5x sinx sin 5x sin3x 22 xk 5x 3x k2 k ,k 5x 3x k2 x 84 k Vậy nghiệm của phương trình (*) là xk ;x ,k 84 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM x1 Câu 1. Nghiệm của phương trình sin là 52 7 A. x2k,k và x2k,k . 6 6 5 35 B. x2k,k và x2k,k . 6 6 5 35 C. x10k,k và x10k,k . 6 6 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 52 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  53. 5 35 D. x k1800o , k và x k1800o , k . 6 6 Hướng dẫn giải CHỌN C. x5 2k x 10k x 56 6 sin sin k k 56x35 2k x 10k 56 6 Câu 2. Nghiệm của phương trình sin x 1 là C. xk2,k A. xkk B. xk D. xk2,k 2 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN D. sin x 1 x k2 , k . 2 Câu 3. Nghiệm của phương trình sin x 1 là B. xk2,k 3 A. xk2,k C. xk2,k D. xk,k 2 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN C. 3 sin x 1 x k2 , k . 2 Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x 0 là C. xk,k D. B và C đúng A. xk,k B. xk,k 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN C. sin x 0 x k2 , k . Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx 1 là A. xk2,k B. xk,k C. xk,k D. xk2,k 2 2 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 53 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  54. CHỌN A. cosx 1 x k2 , k . Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx 1 là A. xk,k B. xk2,k D. xk,k C. xk2,k 2 Hướng dẫn giải CHỌN B. cosx 1 x k2 , k . Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx 0 là A. x 180oo k360 , k B. x90k180,k oo C. x 90oo k360 , k D. xk90,k o Hướng dẫn giải CHỌN B. cosx 0 x 90oo k180 , k . Câu 7. Nghiệm của phương trình tanx 1 là 3 A. xk2,k B. xk,k C. xk,k D. xk,k 4 4 4 4 Hướng dẫn giải CHỌN B. tan x 1 x k , k . 4 Câu 8. Nghiệm của phương trình tanx 1 là A. xk2,k B. xk2,k 4 4 2k 1 D. B và C đúng C. x1 k,k 4 Hướng dẫn giải CHỌN C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 54 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  55. 2k 1 tan x 1 x k 1 . k . 44 Câu 9. Phương trình tanx 0 có nghiệm là B. xk,k C. xk2,k 3 A. xk,k D. xk,k 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN B. tanx 0 x k , k . Câu 10. Phương trình cotx 1 có nghiệm là A. xk2,k B. xk2,k C. xk2,k D. xk,k 4 4 6 4 Hướng dẫn giải CHỌN D. cot x 1 x k , k . 4 Câu 11. Phương trình cot x 1 có nghiệm là 2k 1 A. x1 k,k B. xk2,k 4 4 3 D. tất cả đều đúng C. xk2,k 4 Hướng dẫn giải CHỌN A. 2k 1 cot x 1 x k , k 1 . k , k . 44 Câu 12. Phương trình cot x 0 có nghiệm là 3 D. tất cả đều đúng A. xk,k B. xk2,k C. xk2,k 2 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN A. cot x 0 x k , k . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 55 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  56. 1 Câu 13. Nghiệm của phương trình cotx là 2 A. xk2,k B. xk,k C. xk,k D. xk2,k 3 6 3 4 Hướng dẫn giải CHỌN A. 1 cosx cosx cos x k2 , k . 233 3 Câu 14. Nghiệm của phương trình cos2x là 2 5 5 5 A. xk,k B. xk,k C. xk,k D. xk,k 6 12 8 6 Hướng dẫn giải CHỌN B. 35 5 5 Ta có: cos2x cos 2x k2 x k , k . 26 6 12 Câu 15. Nghiệm của phương trình tan 2x 3 là k A. xk,k B. xk,k C. xk,k D. x,k 6 6 12 2 12 2 Hướng dẫn giải CHỌN D. k Ta có: tan2x 3 tan 2x k x , k . 66 122 Câu 16. Nghiệm của phương trình cot x 3 là 4 A. xk,k B. xk,k C. xk,k D. xk2,k 6 6 3 3 Hướng dẫn giải CHỌN B. Ta có: cot x 3 cot x k , k . 66 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 56 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  57. Câu 17. Nghiệm của phương trình tan x tan 25o là A. x 25oo k360 và x 155oo k360 , k . B. x25k180 oo và x 155oo k180 , k C. x 25oo k360 và x 25oo k360 , k D. x25k180,k oo Hướng dẫn giải CHỌN D. Câu 18. Nghiệm của phương trình tan x 5 là 12 A. x20k180,k oo B. x155k180,k oo oo C. x15arctan5k180,k D. xarctan5k,k 12 Hướng dẫn giải CHỌN D. o tan x 15 5 tan x arctan5 12 x arctan 5 k x arctan 5 k , k 12 12 æö2x p Câu 19: Giải phương trình sinç -=÷ 0 . èøç 33÷ 23ppk A. xk=Îp () k . B. xk=+() Î . 32 p ppk3 C. xkk=+p () Î . D. xk=+() Î . 3 22 Lời giải. Chọn D æö22xxpp Phương trình sinç -= -=÷ 0 kp èøç 33÷ 33 23xkppp =+ =+kxp () k Î . 33 22 3 Câu 20: Số nghiệm của phương trình sin() 2x -= 400 với -££18000x 180 là? 2 A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 57 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  58. Chọn B 3 Phương trình sin() 2xx-= 40000 sin() 2 -= 40 sin 60 2 ééé2xk-=+ 4000 60 360 0 2 xkxk = 100 0 + 360 0 =+ 50 0 180 0 êêê. êêê0000 00 00 ëëëêêê2xkxkxk-= 40 180 -+ 60 360 2 = 160 + 360 =+ 80 180 Xét nghiệm xk=+5000 180 . Vì -££¾¾18000xk 180 - 180 0000 £ 50 + 180 £ 180 23 13 ékx=-1 =- 1300 - £k £ ¾¾¾kÎ ê . ê 0 18 18 ëêkx= =050 Xét nghiệm xk=+8000 180 . Vì -££¾¾18000xk 180 - 180 0000 £ 80 + 180 £ 180 13 5 ékx=-1 =- 1000 - £k £ ¾¾¾kÎ ê . ê 0 99 ëêkx= =080 Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Cách 2 (CASIO). Ta có -££¾¾18000xx 180 - 360 0 £ 2 £ 360 0 . Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm 3 fX()= sin ( 2 X 40 ) với các thiết lập Start=- 360, End = 360, Step = 40 . Quan sát 2 bảng giá trị của f ()X ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm. æöp 1 Câu 21: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sinç 2x +=÷ trên đường tròn lượng giác èøç 32÷ là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn C é pp é p ê22xk+=+p êxk=- + p æöppê 36 ê 12 Phương trình += sinç 2xk÷ sinê ê () Î . èøç 36÷ ê ppê p ê22xkxk+=-+ppê =+ p ëê 36ëê 4 p Biểu diễn nghiệm x =- +kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). 12 p Biểu diễn nghiệm x =+kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 58 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  59. sin sin p 4 cos O cos O p - 12 Hình 1 Hình 2 Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. 2p Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng xk=+a ¾¾ số vị trí biểu diễn trên đường tròn n lượng giác là n . ppp2 Xét xkxk=- +p =- + ¾¾ có 2 vị trí biểu diễn. 12 12 2 ppp2 Xét xkxk=+p =+ ¾¾ có 2 vị trí biểu diễn. 442 Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau. Câu 22: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số yx= sin 3 và yx= sin bằng nhau? éxk= 2p éxk= p ê ê A. ê p ()k Î . B. ê pp()k Î . êxk=+2p êxk=+ ëê 4 êë 42 p p C. xkk=Î() . D. xkk=Î() . 4 2 Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x éxk= p é32xxk=+ p ê Îê ê k . ê pp() ë32xxk=-+ppêxk=+ ëê 42 2cos2x Câu 23: Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình = 0 . Mệnh đề nào sau đây là 0 1sin2- x đúng? æöp éppù æöpp3 éù3p Îç ÷ Î ê ú Îç ÷ Î êúp A. x0 ç0;÷ . B. x0 ;. C. x0 ç ;.÷ D. x0 ;. èøç 4 ëê 42ûú èøç24 ëûêú4 Lời giải Chọn D Điều kiện: 1sin2-¹ ¹xx 0 sin21. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 59 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  60. é 22 sin 2x = 1()loaïi 2cos2x sin 2xx+= cos 2 1 ê Phương trình =0cos20 x = ¾¾¾¾¾¾ ê 1sin2- x ëêsin 2x =- 1()thoûa maõn pp sin 2xxkxkk =- 1 2 =- + 2pp =- + () Î . 24 p 1 Cho -+kkp >¾¾0 > . 44 33ppé ù Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với kx= 1;. = Îê pú 44ëê ûú Câu 24: Hỏi trên đoạn [-2017;2017], phương trình ()sinxx+-= 1() sin 2 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Lời giải. Chọn D ésinx =- 1 ê p Phương trình =- =-+Îê sinxxkk 1 2p () . ëêsinx = 2() vo nghiem 2 pp -+2017 2017 + p Theo giả thiết -£-+£ 2017kk 2p 2017 22 ££ 222pp ¾¾¾xap xi -320,765 £kk £ 321,265 ¾¾¾kÎ Î-{ 320; - 319; ;321} . Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. æöp 3 Câu 25: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinç 3x -=÷ èøç 42÷ bằng: p p p p A. . B. - . C. . D. - . 9 6 6 9 Lời giải Chọn B é pp ê32xk-=+ p æöppp3 æö ê 43 Ta có sinçç 3xx-=÷÷ sin 3 -= sin ê èøçç42÷÷ èø 4 3ê pp ê32x -=-+ppk ëê 43 é 7p é 72ppk ê32xk=+p êx =+ ê 12 ê 36 3 ê ê ()k Î . ê 11pppê 11k 2 ê32xkx=+p ê =+ ëê 12ëê 36 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 60 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  61. é 77p êxk> >- 00 kmin = = x 72ppk Cho ê 24 36 TH1. Với x =+ ¾¾¾ ê . 36 3 ê 717p êxk >- 00 kmin = = x 11ppk 2 Cho ê 24 36 TH2. Với x =+ ¾¾¾ ê . 36 3 ê 11 13p êxk< <- 01 k =- =- x ëê 24max 36 13p So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là x =- và nghiệm dương nhỏ nhất 36 7p 13pp 7 p là x = . Khi đó tổng hai nghiệm này bằng -+=-. 36 36 36 6 Câu 26: Tổng các nghiệm của phương trình tan() 2x -= 150 1 trên khoảng ()-9000 ;90 bằng: A. 0.0 B. -300 . C. 300 . D. -600 . Lời giải Chọn B Ta có tan() 2xxkxkk-= -=+ 15000000 1 2 15 45 180 =+ 30 90 () Î . 42 Do xkkÎ-()9000 ;90 ¾¾ - 90 0 < 30 0 + 90 0 < 90 0 - < < 33 ékx=-160 =- 0 ¾¾¾kÎ ¾¾ê -6000 + 30 =- 30 0 . ê 0 ëêkx= =030 Câu 27: Giải phương trình cot() 3x -=- 1 3. 15pp 1 pp A. xkk=+ + () Î . B. xkk=+ +() Î . 3183 3183 5pp 1 p C. xkk=+ () Î . D. xkk=-+p () Î . 18 3 36 Lời giải Chọn A æöp Ta có cot3()xx-=- 1 3 cot3() -= 1 cotç -÷ èøç 6 ÷ pppp115 -=-+ =-+31xkxkkxp () ξ¾ =+ k=1 . 6 3 18 3 3 18 3p æöp Câu 28: Số nghiệm của phương trình tanx = tan trên khoảng ç ;2p÷ là? 11 èøç4 ÷ A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 61 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  62. 33pp Ta có tanxxkk= =+Î tanp () . 11 11 æöppp3 CASIO kÎ Do xkÎ <+<¾¾¾ç ;2ppp÷ 2 - 0,027 < kk < 1,72 ¾¾¾ Î{} 0;1 . èøç4411÷ xap xi Câu 29: Tổng các nghiệm của phương trình tan 5xx-= tan 0 trên nửa khoảng [0;p) bằng: 3p 5p A. p . B. . C. 2p . D. . 2 2 Lời giải Chọn B kp Ta có tan 5xx-= = tan 0 tan 5 x tan xxxkx =+ =Î 5p () k . 4 kp Vì x Î[0;p) , suy ra 0040;1;2;3£< £<¾¾¾p kkkÎ ={}. 4 ïïìüpp3 p Suy ra các nghiệm của phương trình trên [0;p) là íýïï0;;;. îþïï42 4 pp33 p p Suy ra 0.+++ = 42 4 2 Câu 30: Giải phương trình tan 3xx .cot 2= 1. p pp A. xk=Î () k . B. xkk=- +() Î . 2 42 C. xk=Îp () k . D. Vô nghiệm. Lời giải Chọn D ïì pp ïxk¹+ ïìcos3x ¹ 0 ï 63 Điều kiện: ííïï Î()k . ïïsin 2x ¹ 0 p îïï ïxk¹ îï 2 1 Phương trình =tan 3xxxxxkxkk = =+ =Î tan 3 tan 2 3 2pp () . cot 2x p Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x = kp không thỏa mãn x ¹ k . 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 31: Giải phương trình cos2xx tan= 0. é p é pp p êxk=+p êxk=+ A. xk=Î () k . B. ê 2 ()k Î . C. ê 42()k Î . D. 2 ê ê ëêxk= p ëêxk= p p xkk=+p () Î . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 62 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  63. Lời giải Chọn C p Điều kiện: cosxxkk¹ ¹ 0 +p () Î . 2 écos2x = 0 Phương trình cos2xx tan= 0 ê ê ëtanx = 0 é p é pp ê2xk=+p êxk=+ ()thoûa maõn ê 2 ê 42 ()k Î . ê ê ëêxk= p ëêxk= p()thoûa maõn Câu 32: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x = m có nghiệm. A. m £1. B. m ³-1. C. -£11.m £ D. m £-1. Lời giải Chọn C Với mọi x Î , ta luôn có -£1sin1x £ . Do đó, phương trình sin x = m có nghiệm khi và chỉ khi -£11.m £ Câu 33: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cosxm-= 0 vô nghiệm. A. m Î-¥-()();1 È 1; +¥ . B. m Î+¥()1; . C. m Î-[ 1;1] . D. m Î-¥-();1. Lời giải Chọn A Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a . Phương trình có nghiệm khi a £1. Phương trình vô nghiệm khi a >1. Phương trình cosx -= mxm 0 cos = . ém m 1.ê ê ëm >1 Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosxm=+ 1 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải Chọn C Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a . Phương trình có nghiệm khi a £1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 63 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  64. Phương trình vô nghiệm khi a >1. Do đó, phương trình cosxm=+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi m +£11 -11120 £mmm + £ - £ £ ¾¾¾mÎ Î { 2;1;0}. Câu 35: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình æöp cosç 2xm =÷ 2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S. èøç 3 ÷ A. T = 6. B. T = 3. C. T =-2. D. T =-6. Lời giải Chọn D æöpp æö Phương trình cosçç 2xm = ÷÷ 2 cos 2 x -=+ m 2. èøçç33÷÷ èø Phương trình có nghiệm -1213 £mm + £ - £ £- 1 ¾¾¾mÎ = ST{ 3; 2; 1} ¾¾ =-+-+-=-()()() 3 2 1 6. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 64 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  65. BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A. KIẾN THỨC LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at+= b 0 trong đó ab, là các hằng số ()a ¹ 0 và t là một hàm số lượng giác. Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng axbxcsin+= cos Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: abc222+³. Chia hai vế phương trình cho ab22+ , ta đựợc ab c sinxx+= cos . ab22++ ab 22 ab 22 + æöæö22 ççab÷÷ ab Do çç÷÷+=1 nên đặt =¾¾cosaa = sin . çç22÷÷ 22 22 22 èøèøççab++÷÷ ab ab++ ab Khi đó phương trình trở thành cc cosaa sinxx+= += sin cos sin() x a . ab22++ ab 22 3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 ++= bt c 0 trong đó abc, , là các hằng số ()a ¹ 0 và t là một hàm số lượng giác. Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. 4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x là phương trình có dạng axbxxcxsin22++= sin cos cos 0 Cách giải. ● Kiểm tra cosx = 0 có là nghiệm của phương trình. ● Khi cosx ¹ 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta thu được phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 65 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  66. axbxctan2 ++= tan 0. Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải. Đặc biệt. Phương trình dạng axbxxcxdsin22++= sin cos cos ta làm như sau: Phương trình +axbxxcxdsin22 sin cos += cos .1 +axbxxcxdxsin2222 sin cos += cos() sin + cos x -()adsin22 x + b sin x cos x +- () cd cos x = 0. 5) Phương trình chứa sinx cos x và sinx .cos x Định nghĩa. Phương trình chứa sinx cos x và sinx .cos x abxx()sinxx += cos + sin cos c 0 Cách giải. Đặt txx= sin cos (điều kiện -££22t ) Biểu diễn sinx .cos x theo t ta được phương trình cơ bản. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁO GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Giải phương trình 2cosx -= 3 0. Lời giải é p êxk=+2p p ê 6 Ta có 2cosxx-= 3 0 cos = cos ê () k Î . 6 ê p êxk=- + 2p ëê 6 Ví dụ 2: Giải phương trình 2sinx 1 0 Lời giải xk 2 1 6 Ta có: 2sinxxx 1 0 sin sin sin k  265 xk 2 6 æöp Ví dụ 3: Giải phương trình tanç 2x -+÷ 3 = 0 èøç 3 ÷ Lời giải æöpppp æö æöæö Ta có tançççç 2xxx-+÷÷÷÷ 3 = 0 tan 2 -=- 3 tan 2 -= tan - èøçççç3333÷÷÷÷ èø èøèø ppk p -=-+ = =22xkxkxkpp () Î . 33 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 66 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  67. sin B C A cos O D Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C,D. kpp2 Cách trắc nghiệm. Ta có xk== ¾¾ có 4 vị trí biểu diễn. 24 Ví dụ 4: Hỏi trên đoạn [0;2018p] , phương trình 3cotx -= 3 0 có bao nhiêu nghiệm? Lời giải pp Ta có cotxxxkk= 3 cot = cot =+p () Î . 66 p 1 Theo giả thiết, ta có 0£+kkpp £ 2018 ¾¾¾xap xi - £ £ 2017,833 66 3¾¾¾kÎ Îk { 0;1; ;2017} . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Phương trình 2sinx 1 0 có nghiệm là: xk 2 x k2 6 6 A. B. 7 7 x k2 x k2 6 6 xk 2 xk 6 6 C. D. 5 7 x k2 x k 6 6 Lời giải Chọn B 1 Ta có: 2sinxx 1 0 sin sin 26 xk 2 6 k 7 xk 2 6 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 67 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  68. xx Câu 2: Giải phương trình 2cos 1 sin 2 0 22 2 A. xkk 2, B. xkk 2, 3 3 2 C. xkk 4, D. xkk 4, 3 3 Lời giải Chọn D xx Vì 1sin1,  x sin20 22 Vậy phương trình tương đương xxx1 2cos 1 0 cos k 2 22223 2 xkk4, 3 Câu 3: Phương trình 2sinx 3 0có tập nghiệm là:   A.  kk2, . B. kk2,  . 6 3  5 2  C.  kkk2, 2, . D. kkk2, 2,  . 66 33 Lời giải xk 2 3 3 2sinxx 3 0 sin k . 2 2 xk 2 3 2  Vậy tập nghiệm của phương trình là: Sk 2, kk 2,  33 æöp Câu 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sinç 4x =÷ 1 0. èøç 3 ÷ p 7p p p A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 4 24 8 12 Lời giải Chọn C æöpppp æö1 æö Ta có 2 sinççç 4xxx = ÷÷÷ 1 0 sin 4 -= sin 4 -= sin èøççç33236÷÷÷ èø èø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 68 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  69. é pp éépppk ê42xk-=+ p êê42xk=+p x =+ ê 36 êê282 Îê êê()k . ê pp êê7p 7ppk ê42xk-=-+ppêê42xk=+p x =+ ëê 36 ëëêê6 24 2 ppkk pp1 p TH1. Với xkkx=+ ¾¾¾Cho> 0 + > >- 00. = = 82 82 4min 8 77ppkk pp 7 7 p TH2. Với xkkx=+¾¾¾Cho> 0 +> >- 00. = = 24 2 24 2 12min 24 p So sánh hai nghiệm ta được x = là nghiệm dương nhỏ nhất. 8 Câu 5: Giải phương trình 4sin2 x = 3. é p é p êxk=+2p êxk=+2p ê 3 ê 3 A. ê , ()k Î . B. ê , ()k Î . ê p ê 2p êxk=- + 2p êxk=+2p ëê 3 ëê 3 ïì ppk ïì kp ïx =+ ïx = C. í 33 ()k,. Î D. í 3 ()k,. Î ï ï îïk ¹ 3 îïk ¹ 3 Lời giải Chọn D 33 Ta có 4 sin22xxx= 3 sin = sin = . 42 é p êxk=+2p 3 p ê 3 Với sinxx= sin = sin ê () k Î . 23ê 2p êxk=+2p ëê 3 é p êxk=- + 2p 3 æöp ê 3 Với sinxx=- sin = sinç -÷ ê () k Î . 23èøç ÷ ê 4p êxk=+2p ëê 3 Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ). sin 2p p 3 3 B A cos O 2p p - - 3 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 69 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  70. Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm p này thành một họ nghiệm, đó là x = k . 3 ïì p ïxk= ïì kp ï 3 ïx = Suy ra nghiệm của phương trình ííï Î3 ()k,. ïïp ïïkl¹ p îk ¹ 3 îï 3 Câu 6: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3cosxm+-= 1 0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải Chọn C 1-m Ta có 3cosxm+-= 1 0 cos x = . 3 1-m Phương trình có nghiệm -1113130;1;2. £ £ - £mm £ + ¾¾¾mÎ Î{} 3 Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m . Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2108;2018] để phương trình mxcos+= 1 0 có nghiệm? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038. Lời giải Chọn A 1 Ta có mxcos+= 1 0 cos x =- . m 1 Phương trình có nghiệm -1 £- £ 1 mm ³ 1 ¾¾¾¾¾ mÎ Î{} 1;2;3; ;2018 . m mÎ-[]2018;2018 Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m . p Câu 8: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình ()mxm-=+2sin2 1 nhận x = làm 12 nghiệm. 231()+ A. m ¹ 2. B. m = . C. m =-4. D. m =-1. 32- Lời giải Chọn C p Vì x = là một nghiệm của phương trình ()mxm-=+2sin2 1 nên ta có: 12 22p m - ()mm-=+ =+ -=+ =-2.sin 1 mmmm 1 2 2 2 4. 12 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 70 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  71. Vậy m =-4 là giá trị cần tìm. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ()mxm++-=1sin 2 0 có nghiệm. 1 1 A. m £-1. B. m ³ . C. - -1. 2 2 Lời giải Chọn B m -2 Phương trình ()mxmmxmx++-= +=- =1 sin 2 0 () 1 sin 2 sin . m +1 m -2 Để phương trình có nghiệm -11 £ £ m +1 ìé ïïììmm 221 ï 1 ïï01£+ ³ 0 ïêm ³ ïïmm++11ïê 2 1 ³íííïïê m là giá trị cần tìm. ïïïm -23êm -111îï Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ()mxm-=+2sin2 1 vô nghiệm. éù æö 1 ç 1÷ A. m Î êú;2 . B. m Î-¥ç ;2;.÷ È() +¥ ëûêú2 èøç 2 æö1 æö1 C. m ÎÈ+¥ç ;2÷ () 2; . D. m Î+¥ç ;.÷ èøç2 ÷ èøç2 ÷ Lời giải Chọn D TH1. Với m = 2 , phương trình ()mxm-=+ =2sin2 1 0 3: vô lý. Suy ra m = 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm. m +1 TH2. Với m ¹ 2 , phương trình ()mxmx-=+ =2sin2 1 sin2 . m -2 é m +1 ê >1 ém > 2 m +ê1 m -2 ê Để phương trình ()* vô nghiệm Ï- []1;1ê ê1 . m -2 ê+m 1 ê là giá trị cần tìm. 2 Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 1. Phương pháp Cách 1 . Chia hai vế phương trình cho ab22 ta được: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 71 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  72. ab c (1) sin x cosx ab22 ab 22 ab 22 ab . Đặt: sin , cos 0, 2 phương trình trở thành: ab22 ab 22 cc sin .sinx cos .cosx cos(x ) cos ab22 ab 22  xk2(kZ) . Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c 1abc.222 ab22 Cách 2 x . Xét xk2 k có là nghiệm hay không? 22 x . Xét xk2cos0. 2 x2t1t 2 Đặt: ttan,thaysinx ,cosx , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1t 22 1t (b c)t2 2at c b 0 (3) Vì xk2bc0, nên (3) có nghiệm khi: 'a 222 (cb)0 a 222 b c. x Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan t . 2 0 Ghi chú 1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: ab222 c. 3/ Bất đẳng thức B.C.S: ya.sinxb.cosxab.sinxcosxab 22 2 2 22 sin x cosx a miny a22 b vaø maxy a 22 b tanx ab b 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải phương trình a)sinx 2cosx 5; b)sinx 3cosx 1; c)5cosx 3sinx 4 2. Giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 72 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  73. a) Ta thấy a22 b5c25 2 phương trình đã cho vô nghiệm. b) Chia hai vế của (1) cho ab222 , ta được : 131 1 sinx cosx sinxcos cosxsin 22 2 3 32 xk2xk2 36 2 sin x sin ,k 36 7 xk2 x2 k 36 6 7 Vậy nghiệm của phương trình (1) là x;xk2, k2 k 2 6 b) Chia hai vế của (1) cho a322 b4, ta được : 534 cosx sinx * 34 34 17 53 Đặt cos ,sin , 0; 34 34 2 44 Lúc đó : pt cos x x arccos k2 ,k 17 17 26 Ví dụ 2. Tìm nghiệm của phương trình cos7x 3sin7x 2 * thỏa mãn điều kiện x. 57 Giải Ta có : 13 2 * cos7x sin7x sin cos7x cos sin7x sin 22 26 6 4 sin 7x sin sin 7x sin 6464 5k2 7x k2 x 64 847 k,m 3 11 m2 7x m2 x 6484 7 Do 25k26 252k65 5847 7 5847784 26 kk x 57 211m26 2112m611 5847 7 5847784 mm Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 73 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  74. 75 5 k3 524 24 k2 k m1 711 11 m3 m2 524 24 m 52 35 59 Vậy nghiệm của phương trình (*) là x;x;x. 84 84 84 Ví dụ 3. Giải phương trình sin2x 1 6sinx cos2x . Định hướng: Chuyển cos2x sang vế trái, dùng công thức nhân đôi 1cos2x2sinx 2 . Lúc đó phương trình đưa về phương trình tích với sự xuất hiện của nhân tử chung là sinx Giải Ta có: sin2x 1 6sinx cos2x sin2x 6sinx 1 cos2x 0 2sinx cosx 3 2sin2 x 0 2sinx cosx 3 sinx 0 sin x 0 xk,kπ sin x cosx 3 (VN) Vậy nghiệm của phương trình là xk,k π . Ví dụ 4. Giải phương trình: 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4. Định hướng: Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái, nhóm 2sin2x 2cosx 2cosx 2sinx 1 , sử dụng công thức cos2x 1 2sin2 x để nhóm 2sin22 x 1 7sinx 4 2sin x 7sinx 3 sinx 3 2sinx 1 2 Chú ý rằng: nếu fx axbxcaxxxx 12 với x,x12 là nghiệm của phương trình fx 0 Giải Ta có: PT 4sin x.cosx 2cosx 2sin2 x 1 7sin x 4 0 2cosx 2sinx 1 2sin2 x 7sinx 3 0 2cosx 2sinx 1 sinx 3 2sinx 1 0 2sinx 1 sinx 2cosx 3 0 π 1 xk2 π sin x 6  2 (k ) 222 5π sin x 2cosx 3 0 (VN vì 1 2 3 ) xk2 π 6 ππ5 Vậy nghiệm của phương trinh là: xk2,xk2,k. ππ 66 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 74 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  75. Ví dụ 5. Giải phương trình: sin x 2sin x 1 cosx 2cosx 3 . Định hướng: Khai triển cả hai vế phương trình ta thấy vế trái xuất hiện 2sin2 x và vế phải xuất hiện 2cos2 x, như vậy nếu đặt 2 ra ngoài ta se được công thức nhân hai: 2cosx 22 sinx 2cos2x. Chuyển vế, phương trình đã cho trở thành: sin x 3 cosx 2cos2x . Giải Ta có: PT sinx 3 cosx 2 cos22 x sin x sin x 3 cosx 2cos2x 13 ππ sinx cosx cos2x sin x sin 2x 22 32 ππ52 π π x2xk2xk π 32 183 (k ) ππ5 π x2xk2xk2 ππ 32 6 52ππ 5 π Vậy phương trình có nghiệm là: xk;xk2,k π  . 18 3 6 Ví dụ 6. Giải phương trình : cos7xcos5x 3sin2x 1 sin7xsin5x * Định hướng : Ở cả hai vế phương trình đều xuất hiện 7x,5x . Chuyển vế ta được : cos7xcos5x sin7xsin5x cos 7x 5x cos2x Giải Ta có : * cos7xcos5x sin7xsin5x 3sin2x 1 cos 7x 5x 3sin2x 1 cos2x 3sin2x 1 1 2 Chia hai vế của phương trình (1) cho 1322 131 1 Ta được: cos2x sin2x cos cos2x sin sin2x 2223 32 xk cos 2x cos k2 333 xk 3 Vậy nghiệm của phương trình (*) là xk k,x k, 3 Ví dụ 7. Xác định m để phương trình 2sinx mcosx m 2 * có nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 75 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  76. Định hướng : Phương trình asinx bcosx ccó nghiệm khi abc.222 Giải Ta có : 2 (*) có nghiệm 2m22 m2 2m 22 m2m2m0 2 Vậy m0 thì phương trình đã cho có nghiệm. Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a)sin x m cosx 1 m 1 3 b) 2m 1 sinx 2m 1 cosx 2m2 2 2 Giải x a) Cách 1. Thay k ,k hay x k2 ,k vào (1). Ta có : 22 VT 1 0 m m, nên (1) không có nghiệm xk k2 , x 2t 1 t2 Đặt ttan . Ta có (1) trở thành: m1m 22 2 1t 1t 2t m mt22 1t mm t2t1* 22 t 2m 0 11 22m m . Nếu m0 thì 0* vô nghiệm 1 vô nghiệm b' . Nếu m0 thì 0 * có nghiệm kép tt 1 12 a x 1 có nghiệm k hay xk2 ,k 24 2 . Nếu m0 thì 0 * có nghiệm t1 2m hoặc t1 2m 1 có nghiệm là x 2arctan 12m2k k , Tóm lại : Nếu m0 thì (1) vô nghiệm Nếu m0 thì có nghiệm xk2 ,k 2 Nếu m0 thì (1) có nghiệm là x 2arctan 1 2m k2 ,,k x 2arctan 1 2m k2 Cách 2 (1) có dạng asinX bcosX c với a1,bm,c1,Xx Ta có : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 76 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  77. 2 Aa 2221 bc1m 2 1m 2m Nếu m0 thì Aab 0c222 (1) vô nghiệm Nếu m0:1 sinx1 x k2. k 2 Nếu m0 thì A0 a222 bc 1 có nghiệm Chia hai vế của phương trình (1) cho m12 1m1m Ta được: sinx cosx * mm22 11 m1 2 m11m Đặt cos , sin , cos . mm222 111 m * cos x cos x k2 hoặc xk2,k 3 b) (1) có dạng asinX bcosX c với a2m,b2m1,c2m 2 ,Xx. Ta có 2 22 a2m12m22 b8m2 1 2 2 22 39 42 c2m 4m 6m 24 2 222 4 211 2 (2) có nghiệm ac4m02m0 b2m 42 111 2m22 0 m m 242 1 Với m:2sinx1x k2, k 22 1 Với m:2cosx1xk2 .k 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2xx-= sin 2 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? p p 3p 5p A. Î S. B. Î S. C. Î S. D. Î S. 4 2 4 4 Lời giải Chọn C æöpp æö1 Phương trình += +=2cosçç 2xx÷÷ 1 cos 2 èøçç44÷÷ èø2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 77 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  78. é pp ê22xk+=+p éxk= p æöppê 44 ê += cosç 2xk÷ cosê ê p , Î . èøç 44÷ ê pp êxk=- + p ê22xk+=-+p êë 4 ëê 44 p 3p Xét nghiệm x =- +kp , với k = 1 ta được x = . 4 4 æöp Câu 2: Số nghiệm của phương trình sin 2xx+= 3 cos2 3 trên khoảng ç0; ÷ là? èøç 2 ÷ A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A 13 3æöp 3 Phương trình +sin 2xx cos2 = += sinç 2 x÷ 22 2èøç 32÷ é pp ê22xk+=+p éxk= p æöppê 33 ê += sinç 2xk÷ sinê ê p , Î . èøç 33÷ ê pp êxk=+p ê22xk+=-+ppëê 6 ëê 33 p 1 00<< <<¾¾¾kkp kÎ không có giá trị k thỏa mãn. 22 pp11 p 00.<+kkkxp < -<<¾¾¾kÎ = = 6263 6 Câu 3: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos22x -=+ sin 2xx 2 sin trên khoảng ()0;2p . 7p 21p 11p 3p A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 8 8 4 4 Lời giải Chọn C Phương trình = -=cos22xxx sin sin 2 2 cos2 xx sin 2 2 æöpp p += += =-+Îcosç 2xxkxkk÷ 1 2 2pp () . èøç 44÷ 8 é 7p êkx= 1 = p 117kÎ ê 8 Do 02<<xkkppp ¾¾ <-+ 0 < 2 << ¾¾¾ ê 888ê 15p êkx= =2 ëê 8 71511pp ¾¾ =T + = p. 884 æöp Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin5x += 3cos5xx 2sin7 trên khoảng ç0; ÷ là? èøç 2 ÷ A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 78 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  79. Chọn D 13 æöp Phương trình +sin 5x cos5xx = += sin 7 sinç 5 x÷ sin 7 x 22èøç 3÷ é p é p ê75xx=++ k 2p êxk=+p æöp ê 3 ê 6 =sin 7xx sinç 5 + ÷ ê ê () k Î . èøç 3 ÷ ê æöp ê ppk ê75xxk=-ppç +÷ + 2 ç ÷ êx =+ êë èø3 êë 18 6 pp11 p 00.<+kkkxp < -<<¾¾¾kÎ = = 6263 6 é p êkx= =0 ê 18 ê ppp18ê 2 p 01.<+kkkx < -<<¾¾¾kÎ = =ê 18 6 2 3 3ê 9 ê ê 7p êkx= =2 ëê 18 Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. æöæöpp Câu 5: Giải phương trình 3 cosççx ++÷÷ sinxx -= 2 sin 2 . èøèøçç22÷÷ é 5p é 7p êxk=+2p êxk=+2p ê 6 ê 6 A. ê , k Î . B. ê , k Î . ê pp2 ê pp2 êxk=+ êxk=- + ëê 18 3 ëê 18 3 é 5p é pp2 êxk=+2p êxk=+ ê 6 ê 18 3 C. ê , k Î . D. ê , k Î . ê 7p ê pp2 êxk=+2p êxk=- + ëê 6 ëê 18 3 Lời giải Chọn B æöp æöp Ta có cosçx +=-÷ sin x và sinçx -=-÷ cos x . èøç 2 ÷ èøç 2 ÷ Do đó phương trình -3sinx - cosxx = 2sin2 3sin xxx + cos =- 2sin2 31 æöpp æö +=- +=- +=-sinx cosxxx sin 2 sinçç÷÷ sin 2 xx sin sin() 2 x 22èøçç 6÷÷ èø 6 ééppp2 êêxxkxk+=-+22p =-+ êê6183 Îêê()k . êêpp5 êêxxkxk+=+pp22 + = 2 p ëëêê66 57pp Xét nghiệm xk=- -2'2pp ¾¾¾¾kk=-1' - = xk + . 66kkÎÎ , ' pp27 p Vậy phương trình có nghiệm xkxkkk=- +, = +'2p (),' Î . 18 3 6 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 79 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  80. Câu 6: Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x +=+ 3 cos7xx sin 7 3 cos9 x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? æöp é ppù é ppö éöpp Î-ç ÷ Î-ê - ú Î-ê - ÷ Î-ê - ÷ A. x0 ç ;0÷ . B. x0 ;. C. x0 ;.÷ D. x0 ;.÷ èøç 12 ëê 612ûú êë 36ø ëê 23ø Lời giải Chọn A Phương trình -sin 9x 3 cos9xx =- sin 7 3 cos7 x é pp ê97xxk-= -+ 2p éxk= p æöæöppê 33 ê -=- sinçç 9xx÷÷ sin 7 ê ê 5ppk èøèøçç33÷÷ê ppæö êx =+ ê972xxk-=-ppç -÷ + ê ç ÷ ë 48 8 ëê 33èø é kÎ kkpp< <¾¾¾00 =- =- kmax 1 x Cho x < 0 ê ¾¾¾¾ ê55ppk p. So sánh hai nghiệm ta được ê +< <-¾¾¾01kkxkÎ =- =- ëê 48 8 6max 48 ppæö nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x =- Îç - ;0÷ . 48èøç 12 ÷ Câu 7: Biến đổi phương trình cos3x -= sinxxx 3() cos - sin 3 về dạng sin()()ax+= b sin cx + d với b , æöpp d thuộc khoảng ç- ; ÷ . Tính bd+ . èøç 22÷ p p p p A. bd+= . B. bd+=. C. bd+=-. D. bd+=. 12 4 3 2 Lời giải Chọn D Phương trình +=+3sin3x cos3xx sin 3cos x 31 1 3 æöæöpp +=+ +=+sin 3xxxxx cos3 sin cos sinçç 3÷÷ sin x . 2222èøèøçç 6÷÷ 3 pp p Suy ra bd+= + =. 632 cosxx- 3 sin Câu 8: Giải phương trình = 0. 1 sin x - 2 p p A. xkk=+p, Î . B. xkk=+2,p Î . 6 6 7p 7p C. xkk=+2,p Î . D. xkk=+p, Î . 6 6 Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 80 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  81. ïì p ïxk¹+2p 11p ï 6 Điều kiện sinxxx-¹ 0 sin ¹ sin ¹ sin íï () k Î . 226ï 5p ïxk¹+2p îï 6 sin 5p p 6 6 cos O Hình 1 Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1). Phương trình -cosx 3 sinxxx = = 0 cos 3 sin pp = =cotxxxll 3 cot cot =+Îp () . 66 sin p 6 O cos Hình 2 p Biểu diễn nghiệm x =+lp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2. 6 p Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm x =+k2p . Do đó phương trình có nghiệm 6 7p xll=+2p () Î . 6 2sin2x + cos2x Câu 9: Hàm số y = có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2xx-+ cos2 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B 2sin2xx+ cos2 Ta có yyxyxy= +=-()2sin2 () 1cos2 3. sin 2xx-+ cos2 3 Điều kiện để phương trình có nghiệm -()()()yy2137250222 ++ ³- yyy2 +-£ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 81 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  82. 5 -11;0 £yy £ ¾¾¾yÎ Î-{} nên có 2 giá trị nguyên. 7 Câu 10: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos2xxxx++-= 3 sin 2 3 sin cos 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng? æöp é ppù æùpp æùpp Îç ÷ Î ê ú Îç ú Îç ú A. x0 ç0;÷ . B. x0 ;. C. x0 ç ;. D. x0 ç ;. èøç 12 ëê12 6 ûú èç63ûú èç32ûú Lời giải Chọn B 1331 Phương trình +cos2xxxx sin 2 +-= sin cos 1 22 22 æöæöpp ++-=sinçç 2xx÷÷ sin 1 . èøèøçç66÷÷ ppppp Đặt tx=- ¾¾ =+ xt22 x =+ t 2 x +=+ 2 t . 66362 æöp Phương trình trở thành ++= +=sinç 2tt÷ sin 1 cos2 tt sin 1 èøç 2 ÷ -= -=2 sin2 tt sin 0 sin tt() 2 sin 1 0. pp1 sinttkxk= = 0pp ¾¾ = + > >-¾¾¾ 0 kkÎ = = k 0 x . 66min 6 é pp1 p êtk=+2200.pp ¾¾ = xk + > >-¾¾¾ kkÎ = = k x 1 ê 63 6min 3 sin t = ê 2 ê 51p êtk=+2200.ppp ¾¾ =+ xk > >-¾¾¾ kkÎ = = k x p ëê 62min pppé ù Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x =Îê ;.ú 6126ëê ûú Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình æöpp æö sinççx ÷÷ 3 cosxm -= 2 vô nghiệm. èøçç33÷÷ èø A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. Lời giải Chọn C 2 ém ê ()() ê ëm >1 mÎ ¾¾¾¾mÎ-[]10;10 Î m { 10; 9; 8; ; - 2;2; ;8;9;10} ¾¾ có 18 giá trị. Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cosxx+= sin 2() m2 + 1 vô nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 82 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  83. A. m Î-¥-()();1 È 1; +¥ . B. m Î-[ 1;1] . C. m Î-¥+¥(); D. m Î-¥()();0 È 0; +¥ . Lời giải Chọn D 2 Phương trình vô nghiệm + mm 22() +> > ¹ 20 m 2 0 m 0. Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình ()mxmxm+-1sin cos =- 1 có nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Lời giải Chọn C ém ³ 0 Phương trình có nghiệm ++³- +mmmmm112222 40 ³ ê () () ê ëm £-4 mÎ ¾¾¾¾mÎ-[]10;10 Î m { 10; 9; 8; ; - 4;0;1;2; ;8;9;10} ¾¾ có 18 giá trị. Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2018;2018] để phương trình ()mxxx+-+=1sin2 sin2 cos2 0 có nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. Lời giải Chọn D 1cos2- x Phương trình +()mxx1sin2cos20 - + = 2 -2sin2xmxm +() 1 - cos2 =- - 1. Phương trình có nghiệm -()(2122 + -mm ) ³- ( - 144 ) 2 m £ m £ 1 mÎ ¾¾¾¾¾ mÎ-[]2018;2018 m Î{ -2018; - 2017; ;0;1} ¾¾ có 2020 giá trị. Dạng 3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1. Phương pháp Phương trình bậc hai đối với phương trình lương giác là phương trình có một trong 4 dạng sau: 1. asin2 x bsin x c 0 . Cách giải: tsinx,1t1 2. acos2 x bcosx c 0 . Cách giải: t cosx, 1 t 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 83 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  84. 3. atan2 x btanx c 0. Cách giải: ttanx,x k,k 2 4. acot2 x bcotx c 0. Cách giải: tcotx,xk,k 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2sin2 x 5cosx 1 0; b) tan2 x 1 3 tan x 3 0 c) tan22 x cot x 2 ; d) cot2 2x – 4cot2x 3 0 Hướng dẫn giải a) 2sin222 x 5cosx 1 0 2 1 cos x 5cosx 1 0 2cos x 5cos x 3 0 1 cos x 12 2 cosx x k2 ,k 23 cos x 3 b) Điều kiện: cosx 0 xk tan x 3 tan2 x 1 3 tan x 3 0 3 ,k tan x 1 xk 4 a) Điều kiện: sin 2x 0 Đặt ttanx 2 , phương trình đã cho trở thành 1 t20t2t10t1tanx1xk,k 22 t4 b) Điều kiện: sinx 0 1k xarccot3 2 cot 2x 3 22 cot 2x – 4cot2x 3 0 ,k cot 2x 1 k x 82 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau 1 a) cos2x 9cosx 5 0 ; b) 33tanx330 cos2 x Hướng dẫn giải 1 2 cos x 2 a) cos2x9cosx50 2cosx9cosx40 2 x k2,k 3 cos x 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 84 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  85. b) Điều kiện: cosx 0 1 3 3 tan x 1 3 0 tan2 x 3 3 tan x 3 2 0 cos2 x tan x 1 xk 4 ,k tan x 3 2 xarctan32 k Ví dụ 3. Xác định m để phương trình cosxx90* 2mcos 6m có nghiệm x; 22 Hướng dẫn giải Đặt tcosx. Với x0t1 22 Ta có tt2m32 2m 6m 9 0 hoặc t31 (loại) 3 Phương trình (*) có nghiệm x;02m31m2. 22 2 2 Ví dụ 4. Xác định m để phương trình 2cos x m 2 cosx m 0 * có đúng hai nghiệm x0; 2 Hướng dẫn giải Đặt tcosx,t1. với x0;t0;1  2 t1  0;1 2 Ta có: 2t m 2 t m 0 m t 2 m Để (*) có đúng hai nghiệm x0; thì 0;1 m 0;2 2 2 3. Bài tập trắc nghiệm éö p÷ 2 Câu 1: Hỏi trên ê0; ÷ , phương trình 2sinxx-+= 3sin 1 0 có bao nhiêu nghiệm? ëê 2 ø A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A é 1 êsin x = Phương trình 2 sin2 xx-+= 3sin 1 0 ê 2 ê ëêsinx = 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 85 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  86. é p êxk=+2p ê 6 é p ê êsinx = sin ê 5p =+Îê 6 êxkk2p () . ê ê 6 ê=sinx 1 ê ë ê p êxk=+2p ëê 2 é ppé 11 p êê02£+kkkxp < - <<¾¾¾kÎ = 0 = êê62126 6 êê pppêê551 Theo giả thiết 002£<xk êê £ +p < -<<-¾¾¾ kkkÎ ÎÆ . 26êê 21212 êê êêpp1 Î êê02£+k p < -<<¾¾¾kk0 k ÎÆ ëê 22ëê 4 é p÷ö Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên ê0; ÷ . ëê 2 ø Câu 2: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos2 xx++= 5cos 3 0 trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A écosx =- 1 ê Phương trình ++= 2cos2 xx 5cos 3 0 ê 3 êcos x =- ()loaïi ëê 2 =- =+Îcosxxkk 1pp 2() . Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. Câu 3: Cho phương trình cot2 3xx-+= 3cot 3 2 0. Đặt tx= cot 3 , ta được phương trình nào sau đây? A. tt2 -+=320. B. 3920.tt2 -+= C. tt2 -+=920. D. tt2 -+=620. Lời giải Chọn A Câu 4: Số nghiệm của phương trình 4sin2 2xx-+ 2() 1 2 sin2 += 2 0 trên ()0;p là? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B é ê 2 êsin 2x = Phương trình 4 sin2 2xx-+ 2() 1 2 sin 2 += 2 0ê 2 . ê 1 êsin 2x = ëê 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 86 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  87. é p é pp ê22xk=+p êxk=+p ¾¾¾()0;p = x 2 p ê 4 ê 88 sin 2x == sin ê ê . 24ê 33ppê 0;p 3 p ê22xkxk=+ppê =+¾¾¾() = x ëê 48ëê 8 é p é pp ê22xk=+p êxk=+¾¾¾p ()0;p = x 1 p ê 6 ê 12 12 sin 2x == sin ê ê . 26ê 55ppê p 5 p ê22xkxkx=+ppê =+¾¾¾()0; = ëê 61212ëê Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn. Câu 5: Số nghiệm của phương trình sin2 2xx-+= cos2 1 0 trên đoạn [-pp;4 ] là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C Phương trình sin22 2xx-+= += cos2 1 0 cos 2 xx cos2 2 0 écos2x = 1 ê = = =Îê cos2xxkxkk 1 2 2pp , . ëcos2x =- 2()loaïi Do xkkkÎ-[ pp;4] ¾¾ - p £ p £ 4 p - 1 £ £ 4 ¾¾¾kÎ Î-{ 1;0;1;2;3;4} . Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn. xx Câu 6: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2sin2 -= 3cos 0 trên đoạn [0;8p] . 44 A. T = 0. B. T = 8.p C. T = 16p . D. T = 4.p Lời giải Chọn B 22xxæö x x Phương trình 2sin-= = 3cos 0 2ç 1 cos÷ 3cos 0 44èøç 4÷ 4 é x 1 êcos = 2 xxê 42 x1 xp 2cos 3cos += 2 0ê = = cos cos cos 44ê x 4243 êcos=- 2()loaïi ëê 4 ééx pp44 p êê=+kxk28pp = + ¾¾¾¾xÎ[]0;8p = x êê43 3 3 420pp êê =+=T 8.p êêx pp420 p33 êê=- +kx28pp =- + k ¾¾¾¾xÎ[]0;8p = x ëëêê43 3 3 1 Câu 7: Số nghiệm của phương trình 2 ()31cotx -+=() 31 0 trên ()0;p là? sin x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 87 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133