›
›
›

Một số bài tập nâng cao về Số phức

docx 40 trang thaodu 7710
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số bài tập nâng cao về Số phức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxmot_so_bai_tap_nang_cao_ve_so_phuc.docx

Nội dung text: Một số bài tập nâng cao về Số phức

  1. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HOC: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC PHẲNG – ÁP DỤNG VÀO SỐ PHỨC. 1) Bài toán 1: Cho điểm M di động trên đường thẳng d. A là điểm cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MA. Chú ý: A *) MA nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng d. *) min MA d A;d d M H Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 2 3i . 2 5 z a) Tìm giá trị nhỏ nhất của . min z 5 4 2 b) Tìm z khi z nhỏ nhất. z i 5 5 Hướng dẫn giải: Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . Giả thiết z 2 i z 2 3i 2x y 2 0 M : 2x y 2 0 . 4 2 Gọi H là hình chiếu của O trên H ; Với O là gốc tọa độ. 5 5 z OM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng . 2 5 4 2 Do đó min z z i 5 5 5 Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i z 1 i . 5 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 2i . min P 2 1 b) Tìm z khi P nhỏ nhất. z 1 i 2 Hướng dẫn giải: Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . Giả thiết z 3 2i z 1 i 8x 6y 11 0 M :8x 6y 11 0 2 2 P z 3 2i x 3 y 2 AM với A 3; 2 . 1
  2. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 1 Gọi H là hình chiếu của O trên H 1; 2 AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng . 5 1 Do đó min P z 1 i 2 2 2) Bài toán 2: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R. A là điểm cố định. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MA. Chú ý: Gọi B, C là các giao điểm của đt AI với đường tròn (C) và AC AB. *) MA lớn nhất khi và chỉ khi M =C. MA nhỏ nhất khi và chỉ khi M =B. *) min MA AI R ; Max MA AI R Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 6 2i 10 . a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính P M m . M 3 10; m 10 b) Tìm z khi z nhỏ nhất .z 3 i c) Tìm z khi z lớn nhất. z 9 3i Hướng dẫn giải: Gọi E x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . 2 2 2 2 z 6 2i 10 x 6 y 2 10 E T : x 6 y 2 10 Phương trình đường thẳng OI : x 3y 0 với I(6;2) là tâm của (T). đường thẳng OI cắt (T) tại hai điểm A(3;1), B(9;3). z OE nhỏ nhất khi và chỉ khi E=A(3;1) và m OA 10 z 3 i z OE lớn nhất khi và chỉ khi E=B(9;3) và M OB 3 10 z 9 3i Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . 2
  3. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 5 a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 3 i . 2 25 5 Tính P M m . M ; m 2 2 5 b) Tìm z khi z 3 i nhỏ nhất . z 1 i 2 5 c) Tìm z khi z 3 i lớn nhất. z 7 5i 2 Hướng dẫn giải: Gọi E x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . z 3 2i 5 x 3 2 y 2 2 25 E T : x 3 2 y 2 2 25 5 5 z 3 i AE với A 3; 2 2 Phương trình đường thẳng AI : 3x 4y 1 0 với I(3;2) là tâm của (T). đường thẳng AI cắt (T) tại hai điểm B(-1;-1), C(7;5) 5 AE nhỏ nhất khi và chỉ khi E=B(-1;-1) và m z 1 i 2 25 AE lớn nhất khi và chỉ khi E=C(7;5) và M z 7 5i 2 Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . 1 a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 i . 2 15 5 Tính P M m . M ; m 2 2 1 b) Tìm z khi z 1 i nhỏ nhất . z 1 i 2 1 c) Tìm z khi z 1 i lớn nhất. z 7 5i 2 3) Bài toán 3: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R1 ; Điểm N di động trên đường tròn (T) tâm K, bán kính R2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MN. 3
  4. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Chú ý: Trường hợp hai đường tròn ngoài nhau: *) MN lớn nhất khi và chỉ khi M=A và N=B. MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M=C và N=D. A, B, C, D là giao của đường thẳng IK với hai đường tròn (C) và (T) – Hình vẽ. *) min MA IK R1 R2 Max MA IK R1 R2 Các trường hợp khác xét tương tự. Bài tập 1. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 2i 5 ; z2 6 2i 2 5 a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z2 z1 . Tính P M m . M 7 5; m 5 b) Tìm z , z khi z z nhỏ nhất .z i; z 2 1 2 2 1 1 2 c) Tìm z1, z2 khi z2 z1 lớn nhất. z1 4 3i; z2 10 4i Hướng dẫn giải: Gọi E x; y là điểm biểu diễn số phức z1 x yi . 2 2 2 2 z1 2 2i 5 x 2 y 2 5 E T1 : x 2 y 2 5 T1 có tâm I1 2;2 , bán kính R1 5 Gọi F x; y là điểm biểu diễn số phức z2 x yi . 2 2 2 2 z2 6 2i 2 5 x 6 y 2 20 F T2 : x 6 y 2 20 T2 có tâm I2 6; 2 , bán kính R2 2 5 Phương trình đường thẳng I1I2 : x 2y 2 0 . đường thẳng I1I2cắt T1 tại hai điểm A(0;1), B(-4;3) và cắt T2 tại hai điểm C(2;0), D(10;-4). z z EF nhỏ nhất bằng m 5 khi và chỉ khi z i; z 2 2 1 1 2 z z EF lớn nhất bằng M 7 5 khi và chỉ khi z 4 3i; z 10 4i 2 1 1 2 Bài tập 2. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 2i 2 ; z2 2 i 2 2 a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z2 z1 . Tính P M m . M 6 2; m 0 b) Tìm z , z khi z z nhỏ nhất . z z i 1 2 2 1 1 2 4
  5. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 c) Tìm z , z khi z z lớn nhất. z 2 3i; z 4 3i 1 2 2 1 1 2 Bài tập 3. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 2 ; z2 2 i 2 2 a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z2 z1 . Tính P M m . M 4 2; m 0 b) Tìm z , z khi z z nhỏ nhất . z z i 1 2 2 1 1 2 c) Tìm z , z khi z z lớn nhất. z i; z 4 3i 1 2 2 1 1 2 4) Bài toán 4: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R; Điểm N di động trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN. Chú ý: Trường hợp đường thẳng và đường tròn không có điểm chung: Gọi H là hình chiếu của I trên d và A, B là các giao điểm của IH với đường tròn (C) với HA<HB. *) MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với A và N trùng với H. *) min MN d I;d R . Trường hợp đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì .min MN 0 5 7 Bài tập 1. Cho các số phức z , z thỏa mãn z 1 2i 10; z 5i z 2 i ; 1 2 1 2 2 2 2 a) Tính giá trị nhỏ nhất của P z2 z1 . min P 10 b) Tìm z , z khi P nhỏ nhất . z 2 i; z 3 4i 1 2 1 2 Hướng dẫn giải: Gọi E x; y là điểm biểu diễn số phức z1 x yi . 2 2 2 2 z1 1 2i 10 x 1 y 2 10 E T : x 1 y 2 10 Gọi F x; y là điểm biểu diễn số phức z2 x yi . 5 7 z 5i z 2 i x 3y 15 0 F : x 3y 15 0 2 2 2 2 Đường thẳng d qua I và vuông góc với có phương trình 3x y 5 0 với I(-1;2) là tâm của (T). đường thẳng d cắt T tại hai điểm A(-2;-1), B(0;5) và cắt tại H(-3;-4). z z EF nhỏ nhất bằng AH 10 khi và chỉ khi z 2 i; z 3 4i 2 1 1 2 5
  6. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 35 29 Bài tập 2. Cho các số phức z , z thỏa mãn z 3 i z 1 i ; z 3 2i 5 1 2 1 4 1 4 2 a) Tính giá trị nhỏ nhất của P z2 z1 . min P 5 b) Tìm z , z khi P nhỏ nhất . z 5 4i; z 1 i 1 2 1 2 3 1 Bài tập 3. Cho các số phức z , z thỏa mãn z 2i z 1 i ; z 1 2i 10 1 2 1 2 1 2 2 a) Tính giá trị nhỏ nhất của P z2 z1 . min P 0 b) Tìm z , z khi P nhỏ nhất . z z 2 i 1 2 1 2 5) Bài toán 5: Cho điểm A di động trên đường tròn (T) tâm I, bán kính R; Điểm B di động trên đường thẳng sao cho góc giữa AB và bằng không đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn AB. Chú ý: Trường hợp đường thẳng và đường tròn (T) không có điểm chung: Gọi H là hình chiếu của A trên . AH Ta có: AB sin AB lớn nhất (nhỏ nhất) khi và chỉ khi AH lớn nhất (nhỏ nhất). MaxAH d I; R MaxAB ; sin sin minAH d I; R minAB sin sin Các trường hợp đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì xét tương tự. Bài tập 1: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2 2i 2 , z2 5 z2 1 6i và z z 1 2 là số thực. Gọi M, m lầ lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z z . 1 5i 1 2 Tính M+m. Hướng dẫn giải: 6
  7. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 . A thuộc đường tròn (T) tâm I(2;2) , bán kính R 2 . B thuộc đường thẳng : 2x 3y 3 0 . z1 z2 AB .  z1 z2 k k ¡ z1 z2 k 1 5i AB cùng phương với u 1; 5 1 5i Vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là n 5;1 1 cos ; AB Góc giữa và AB bằng 450 2 AH Gọi H là hình chiếu của A trên AB 2AH sin 450 MaxAB 2 d I; R 2 13 2 ; minAB 2 d I; R 2 13 2 M m 2 26 z z Bài tập 2: Cho z là số phức, z là số thực thỏa mãn z 2i 1 và 1 2 là số thực. 1 2 1 1 i Gọi M, m lầ lượt là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của z1 z2 . Tính M+m. (M+m= 4 2 ) 7
  8. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 z z Bài tập 3: Cho các số phức z , z thỏa mãn z 3 4i 1 , z 1 z i và 1 2 1 2 1 2 2 2 i là số thực. Gọi M, m lầ lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 . zTính2 M+m. (M+m=14 5 ) 6) Bài toán 6: Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB (MA+MB=AB). C là điểm cố định. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MC. Chú ý: Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB. Trường hợp H thuộc đoạn AB: *) MC nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H. MC lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với A hoặc B. *) min MC d C; AB Max MC maxCA,CB Trường hợp H không thuộc đoạn AB: min MC minCA,CB Max MC maxCA,CB Bài tập 1 (MH - 2017): Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 i . Tính P M m A. P 13 73 5 2 2 73 C. P 5 2 2 73 5 2 73 B. P D. P 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi E(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z=x+yi. Ta có: z 2 i x 2 2 y 1 2 EA với A(-2;1). z 4 7i x 4 2 y 7 2 EB với B(4;7). z 1 i x 1 2 y 1 2 EC với C(1;-1). z 2 i z 4 7i 6 2 EA EB 6 2 AB E thuộc đoạn AB. Dễ thấy (vẽ hình) hình chiếu của C cũng thuộc đoạn AB. Do đó EC nhỏ nhất khi E là 5 2 hình chiếu của C trên đoạn AB m d C, AB và M maxCA,CB 73 2 5 2 2 73 P 2 Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3i z 4 i 5 . 8
  9. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 3 2i . Tính P M m M 10, m 1 P 1 10 Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 3 4i 5 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 4i . Tính P M m M 4 5; m 10 Bài tập 4. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 2i 3 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 3 i . a) Tính P M m2 M 5, m 5 b) Tìm z khi z 3 i đạt giá trị lớn nhất. z 2 i c) Tìm z khi z 3 i đạt giá trị nhỏ nhất. z 2 i 7) Bài toán 7: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R. A, B là hai điểm cố định. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB2 . Chú ý: Trường hợp đt AB và đường tròn (C) không có điểm chung: Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Đường thẳng IH cắt đường tròn tại hai điểm C, D với CH<DH. Ta có: AB2 AB2 P MA2 MB2 2MH 2 2CH 2 2 2 AB2 AB2 P MA2 MB2 2MH 2 2DH 2 2 2 *) P nhỏ nhất khi và chỉ khi M=C. P lớn nhất khi và chỉ khi M=D. 2 2 AB 2 AB *) min P 2CH 2 2 IH R 2 2 2 2 AB 2 AB Max P 2DH 2 2 IH R 2 2 Trường hợp đt AB và đường tròn (C) có điểm chung xét tương tự. Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 9 6i 2 z 5 10i 2 . 9
  10. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 a) Tính T M m M 466, m 66 b) Tìm z khi P đạt giá trị lớn nhất. z 5 i c) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z 3 5i Hướng dẫn giải: Gọi E x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . 2 2 2 2 z 1 2i 5 x 1 y 2 25 E £ : x 1 y 2 25 tâm I(1;-2), bán kính R=5. Gọi A(-9;-6), B(-5;-10) và H là trung điểm của đoạn AB H(-7;-8). P z 9 6i 2 z 5 10i 2 EA2 EB2 Phương trình đường thẳng IH: 3x 4y 11 0 . Đường thẳng IH cắt £ tại hai điểm C(-3;-5), D(5;1) . 2 2 2 2 AB AB P z 9 6i z 5 10i EA2 EB2 2EH 2 2CH 2 66 2 2 P nhỏ nhất bằng m 66 khi và chỉ khi z 3 5i AB2 P 2DH 2 466 lớn nhất bằng M 466 khi và chỉ khi z 5 i 2 T M m 532 Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 2 i 2 z 3 2i 2 . a) Tính T M m M 66, m 26 b) Tìm z khi P đạt giá trị lớn nhất. z 4 3i c) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z 2 i 8) Bài toán 8: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R. A, B là hai điểm cố định sao cho IA=IB (giả thiết IA=IB ẩn trong bài toán). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P MA MB . 10
  11. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Chú ý: Gọi H là trung điểm của AB, ta có: P2 2 MA2 MB2 4MH 2 AB2 *) P lớn nhất khi và chỉ khi M=D. C, D là giao của đt IH với đường tròn (C). *) MaxP 4DH 2 AB2 4 IH R 2 AB2 Bài tập 1. (MH-2018) Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm z khi P z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. MaxP 10 2 z 6 4i Hướng dẫn giải: Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z =x+yi. z 4 3i 5 M T : x 4 2 y 3 2 5, tâm I(4;3), bán kính R=5 P z 1 3i z 1 i MA MB với A(-1;3), B(1;-1). Gọi H là trung điểm của AB H 0;1 . Phương trình đường thẳng IH : x 2y 2 0 IH cắt (T) tại hai điểm C(2;2), D(6;4). Ta có: P2 2 MA2 MB2 4MH 2 AB2 4DH 2 AB2 200 P 10 2 MaxP 10 2 z 6 4i Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm z khi P z 2 i z 6 3i đạt giá trị lớn nhất. MaxP 2 65 z 5 5i Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . Tìm z khi P z 1 i z 2 2i đạt giá trị lớn nhất. MaxP 2 29 z 4 3i 9) Bài toán 9: Cho A(-c;0), B(c;0) với AB 2c 0 . Điểm M di động sao cho MA MB 2a 2c . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MC 11
  12. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 với C là điểm cố định trên trục tọa độ. Chú ý: * Tập hợp các điểm M thỏa mãn y.c.b.t là elip 2 2 x y 2 2 2 có phương trình: 2 2 1 b a c . a b * MC đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với đỉnh của elip. Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 6 . Tính M+m. Hướng dẫn giải: Gọi P(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z=x+yi; A(-4;0), B(4;0), Ta có: x2 y2 z 4 z 4 10 PA PB 10 P E : 1. 25 9 (E) có hai đỉnh trên trục hoành là C(-5;0), D(5;0). z 6 PH với H(6;0). Do đó M 11 z 5; m 1 z 5 . M m 12 . Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 6i . Tính M+m. M 6 7, m 6 7 M m 12 Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 z 2 4 2 . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z và z . Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN (với O là gốc tọa độ). x2 y2 Hướng dẫn giải: M, N thuộc elip 1 . S xy . 8 4 OMN x2 y2 x2 y2 1 2 S 2 2 MaxS 2 2 8 4 8 4 OMN 10)Bài toán 10: Cho hai điểm A, B cố định với AB 2c 0 . Điểm M di động sao cho MA MB 2a 2c . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MC Với C là điểm cố định trên đường thẳng AB hoặc trên đường trung trực của đoạn AB. Nhận xét 1: (Điểm M di động trên elip không chính tắc) 12
  13. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Từ giả thiết của bài toán suy ra điểm M di động trên elip (E) có; - Hai tiêu điểm là A và B. - Độ dài trục lớn là 2a; Độ dài trục nhỏ là 2b với b2 a2 c2 Vẽ hình và từ hình vẽ ta tính được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MC Ví dụ: Cho các số phức z thỏa mãn z 2 2i z 6 2i 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 8 4i . Tính M+m. Hướng dẫn giải: Gọi E(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z=x+yi, ta có: z 2 2i z 6 2i 6 2 EA EB 6 2 với A(2;2), B(6;-2) E thuộc elip có đô dài trục lớn bằng 6 2 Đường thẳng AB có phương trình: x+y-4=0. P z 8 4i EC , với C(8;-4) thuộc đt AB. Kết hợp hình vẽ ta suy ra: M 7 2 , m 2 M m 8 2 Nhận xét 2: Bài toán 9 không phổ biến, vì trong chương trình toán phổ thông, phần kiến thức về elip không chính tắc đã được giảm tải. Các bài tập tương tự chủ yếu xét trong trường hợp đặc biệt: Cho hai điểm A, B cố định với AB 2c 0 . Điểm M di động sao cho MA MB 2a 2c . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MH Với H là trung điểm đoạn AB. Giải bài toán trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị lớn nhất và sử dụng công thức trung tuyến kết hợp bất đẳng thức BCS để tìm giá trị nhỏ nhất. 13
  14. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3i z 3 i 4 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i . Tính M+m. Hướng dẫn giải bài tập 1: *) Ta có: 4 5 z 1 3i z 3 i z 1 3i z 3 i 2z 2 4i 2P P 2 5 M 2 5 . *) Gọi E(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z, ta có: P z 1 2i EH với H(1;2); 4 5 z 1 3i z 3 i EA EB với A(-1;3), B(3;1) H là trung điểm của AB. 2 4 5 EA EB 2 2 EA2 EB2 4EH 2 AB2 4EH 2 20 4P2 20 P 15 m 15 M m 2 5 15 Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3i z 5 i 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 i . Tính M+m. M 3 2; m 10 M m 3 2 10 2 2 Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn iz iz 4 . Gọi M, m lần lượt là giá 1 i i 1 trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z . Tính M+m. M 2; m 2 Hướng dẫn giải: Gọi E(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z, 2 2 Ta có: iz iz 4 iz 1 i iz 1 i 4 1 i i 1 x 1 2 y 1 2 x 1 2 y 1 2 4 EA EB 4 với A 1;1 ; B 1; 1 Giải tiếp tương tự bài tập 1. 11)Bài toán 11: Cho điểm M di động trên đường thẳng (d). A, B là hai điểm cố định không thuộc (d). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA MB . 14
  15. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 a) Nếu A và B thuộc hai nửa mặt phẳng với bờ (d) thì P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M d  AB . Khi đó min P AB . b) Nếu A và B cùng thuộc nửa mặt phẳng với bờ (d) thì gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d), ta có: P MA MB MA' MB A' B *) P nhỏ nhất khi và chỉ khi M=C. C là giao của A’B với (d). *) min P A' B . Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 và biểu thức P z 2 z 6 2i a) Tính giá trị nhỏ nhất của P. 6 16 b) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z i 5 5 Hướng dẫn giải: Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z=x+yi, ta có: z 2 i z 1 x y 2 0 M d : x y 2 0 P z 2 z 6 2i MA MB , với A(2;0), B(6;2) là hai điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d), suy ra A’(-2;4). 6 16 min P A' B 2 17 z i 5 5 Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 và biểu thức P z 2 z 2 6i a) Tính giá trị nhỏ nhất của P. min P 2 13 2 12 b) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z i 5 5 15
  16. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 i z 1 3i và biểu thức P z 3 3i z 7 i a) Tính giá trị nhỏ nhất của P. min P 2 26 b) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z 2 2i 12)Bài toán 12: Cho hai đường tròn ngoài nhau C1 I, R1 ; C2 K, R2 và đường thẳng d không có điểm chung với hai đường tròn đã cho. M là điểm thay đổi trên d; N, P lần lượt là các điểm thay đổi trên C1 , C2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=MN+MP. a) Xét trường hợp hai đường tròn thuộc b) Xét trường hợp hai đường tròn cùng hai nửa mặt phẳng bờ d: thuộc nửa mặt phẳng bờ d: Gọi A, A’ là giao của đường thẳng IK với Gọi C1 ' là đường tròn đối xứng với C1 16
  17. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 C . B, B’ là giao của đường thẳng IK qua d. 1 Gọi A, A’ là giao của đường thẳng IK với với C . C là giao của đường thẳng IK 2 C ' . B, B’ là giao của đường thẳng IK với với d. (xem hình vẽ) 1 Ta có: C2 . C là giao của đường thẳng IK với d. minT AB IK R1 R2 M  C , (xem hình vẽ). Ta có: N  A, P  B minT AB IK R1 R2 , Bài tập 1. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 5 4i 2, z2 7 2i 1 và số phức z a bi thỏa mãn 14a 12b 33 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . P z z z z 1 Min P 7 1 2 Hướng dẫn giải: 2 2 Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z1 x yi M T1 : x 5 y 4 4 2 2 Gọi N x; y là điểm biểu diễn số phức z2 x yi N T2 : x 7 y 2 1 T có tâm I 5;4 , bán kính R 2 , T có tâm I 7; 2 , bán kính R 1 1 1 1 1 2 2 Gọi E là điểm biểu diễn số phức z a bi E :14x 12y 33 0 P z z1 z z2 1 EM EN 1 T và T cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ . 1 1 Gọi T là đường tròn đối xứng với T qua T : x 5 2 y 4 2 4 3 1 3 T có tâm I 2; 2 , bán kính R 2 . 3 3 3 Min P EM EN 1 I2 I3 R1 R2 1 7 . Bài tập 2. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 5i 2, z2 6 4i 2 2 và số phức z a bi thỏa mãn 5a b 7 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . P z z1 z z2 Min P 5 2 13)Bài toán 13: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R. A, B là hai điểm cố định nằm ngoài (C) và thỏa mãn IA=kR (ĐK này ẩn trong bài toán). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA kMB . 17
  18. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Trong đoạn IA ta lấy điểm K sao cho R=kIK, Hai tam giác IMA và IKM đồng dạng MA IA k MA k.KM KM IM P MA kMB k MK MB kKB *) P nhỏ nhất khi và chỉ khi M=M1. M1 là giao của đoạn KB với (C). *) min P kKB . Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 và biểu thức P z 5 2i 2 z 2i a) Tính giá trị nhỏ nhất của P. min P 4 5 b) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z 1 Hướng dẫn giải: Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi M T : x 1 2 y 2 2 4 Tâm I(1;2), bán kính R=2. P z 5 2i 2 z 2i MA 2MB Với A 5;2 , B 0; 2 và IA=2R. Trong đoạn IA ta lấy điểm K sao cho R=2IK, K(2;2). Hai tam giác IMA và IKM đồng dạng MA IA 2 MA 2.KM KM IM P MA 2MB 2 MK MB 2KB *) P nhỏ nhất khi và chỉ khi M=C(1;0). M1 là giao của đoạn KB với (C). *) min P 2KB 4 5 z 1 . 18
  19. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 và biểu thức P z 9 3 z 1 6i a) Tính giá trị nhỏ nhất của P. min P 6 10 b) Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. z 3i 14)Bài toán 14: Số giao điểm của đường thẳng và đường tròn; Số giao điểm của hai đường tròn. Bài tập 1. (THPT QG 2017): 1) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 i 2 2 và z 1 2 là số thuần ảo ? z 2) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 13 và là số thuần ảo ? z 2 z 3) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 5 và là số thuần ảo ? z 4 4) Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z 1 và z 3 i m . Tìm số phần tử của S. Nhận xét: Có thể giải bài tập này theo hai cách. Cách 1: Đưa về biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc hai 2 ẩn. Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học. Hướng dẫn giải: 1) Gọi M x; y là điểm biểu diễn của z x yi . z 2 i 2 2 x 2 2 y 1 2 8 M C tâm I(-2;1), BK R 2 2 . 2 2 2 2 2 x 1 y 0 * z 1 x 1 y 2 x 1 yi là số thuần ảo khi và chỉ khi x 1 y 0 ĐK ( ) luôn thỏa mãn, vì nếu x=1 thì M không thuộc (C). Nếu y=0 thì từ (*) suy ra x=1. 2 2 x y 1 0 d1 x 1 y 0 x y 1 0 d2 Khoảng cách từ I đến d1 bằng 2 2 R d1 và (C) có một điểm chung. Khoảng cách từ I đến d2 bằng 2 R d2 và (C) có hai điểm chung. Vậy có ba só phức thỏa mãn ycbt. 2.3) Giải tương tự - Giao của hai đường tròn. 4) Gọi M x; y là điểm biểu diễn của z x yi , ta có: 2 2 2 z.z 1 z 1 M T1 : x y 1 tâm O(0;0), bán kính R1 =1. m 0 z 3 i m 2 2 M T2 tâm I 3; 1 , R m x 3 y 1 m2 2 19
  20. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z 1 và z 3 i mkhi và chỉ khi hai đường m 1 OI 2 m 1 tròn tiếp xúc với nhau m 1 OI 2 m 3 2 Bài tập 2. (MH 2019) Có bao nhiêu số phứcz thỏa mãn z 2 z z 4 và z 1 i z 3 3i ? A. .4 B. 3 . C. .1 D. . 2 Hướng dẫn giải: Nhận xét: Có thể giải bài tập này theo hai cách. Cách 1: Đưa về biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc hai 2 ẩn. Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học. Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z x yi x; y ¡ . 2 2 2 2 2 2 2 x y 4x 4 0, x 0 x 2 y 8 T1 z 2 z z 4 x y 4 x 4 x2 y2 4x 4 0, x 0 2 2 x 2 y 8 T2 . 2 2 2 2 z 1 i z 3 3i x 1 y 1 x 3 y 3 4x 8y 16 x 2y 4 V Đường thẳng V cắt đường tròn T1 tại 2 điểm phân biệt A(-2;0), B và cắt T2 tại 2 điểm phân biệt B, C với B khác C. Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện. 15)Một số bài toán khác Bài tập 1. (Thi thử THPT QG Nam Định 2018) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 6 , z2 2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , iz2 . Biết rằng 0 2 2 R MON 60 . Tính giá trị của T z1 9z2 . 20
  21. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Hướng dẫn giải: Ta có: z1 6 M C1 tâm O(0;0), bán kính R=6. iz2 i z2 z2 . Do đó z2 2 iz2 2 N C2 tâm O bán kính R=2. Gọi P, E lần lượt là điểm biểu diễn của số phức 3iz2 và z1 3iz2 , suy ra P là giao của tia ON với C1 , E là điểm sao cho OMEP là hình bình hành. 2 2 T z1 9z2 2 2 z1 3iz2 z1 3iz2 z1 3iz2 z1 3iz2 z1 3iz2 OE.MP Vì R MON 600 nên tam giác OMP đều cạnh bằng 6. T 6 3.6 36 3 2 2 Bài tập 2. Cho các số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z1 2z1z2 2z2 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 . Tính R OMN . Hướng dẫn giải: 2 2 z1 1 i z2 Ta có: z1 2z1z2 2z2 0 z1 2 z2 z1 1 i z2 z 1 i z z z iz 1 2 2 1 2 z z z Và 2 1 2 z1 1 i z2 z2 z1 iz2 2 2 2 OM 2 MN 2 ON 2 z z z z 2 cosR OMN 1 2 2 1 2OM.MN 2 z1 z2 z1 2 R OMN 450 Bài tập 3. Cho A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn các số phức z A , z B khác 0 thoả mãn: 2 2 z A z B z A z B . Chọn mệnh đề đúng: A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB cân, không đều. C. Tam giác OAB vuông tại A. D. Tam giác OAB vuông tại B. 21
  22. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Hướng dẫn giải: 1 z 1 i 3 z 1 2 2 2 2 Ta có: z z z z 0 z z OA OB 1 1 2 2 1 1 2 z 1 i 3 z 1 2 2 1 1 z 1 i 3 z z z 1 i 3 z 1 2 2 2 1 2 2 z z z AB OB Và 1 1 2 1 2 z 1 i 3 z z z 1 i 3 z 1 2 2 2 1 2 2 Tam giác ABC đều. Bài tập 4. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 8 và z1 z2 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z1 z2 . Hướng dẫn giải: Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 . Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Ta có: z1 z2 8 2OI 8 OI 4 (O là gốc tọa độ) và z1 z2 6 MN 6 . MN 2 OM 2 ON 2 2OI 2 50 2 P z1 z2 OM ON P2 2 OM 2 ON 2 100 P 10 Vậy MaxP 10 22
  23. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: Bất đẳng thức tam giác: z1 z2 z1 z2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 kz2 , k 0 z1 z2 z1 z2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 kz2 , k 0 z1 z2 z1 z2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 kz2 , k 0 z1 z2 z1 z2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 kz2 , k 0 Bài tập 1. Cho số phức z thỏa mãn z2 3 2 z . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M+m. Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT tam giác, ta có: 2 z z2 3 z2 3 z 2 3 z 2 2 z 3 0 z 3 . Với z 3i thì dấu “=” xảy ra M 3 2 Tương tự: 2 z z2 3 3 z2 3 z z 2 2 z 3 0 z 1 Với z i thì dấu “=” xảy ra m 1 M m 4 Bài tập 2. Cho số phức z thỏa mãn .z2 4z 1 2 2i Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M+m. Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT tam giác, ta có: z 2 4z 1 2 2i 4 z 1 2 2i 4 z 3 z 2 4 z 3 0 z 3 z 3 Với z 1 2 2 i thì dấu “=” xảy ra m 3 z 2 4z 1 2 2i 4 z 3 z 2 4 z 3 0 z 2 7 z 2 7 2 7 4 2 2 14 Với z i thì dấu “=” xảy ra M 2 7 3 3 M m 5 7 Bài tập 3. Cho số phức z thỏa mãn z2 2z 2 z 1 i . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 2 5i . Tính M+m. Hướng dẫn giải: Ta có : z2 2z 2 z 1 i z 1 i z 1 i z 1 i z 1 i 1 P z 2 5i z 1 i 3 4i z 1 i 3 4i 1 5 6 8 1 MaxP 6 z i 5 5 23
  24. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 P z 2 5i z 1 i 3 4i 3 4i z 1 i 5 1 4 2 9 min P 4 z i 5 5 M m 10 Ghi chú : Dạng bài tập 3 và bài tập 4 sau đây có thể giải bằng phương pháp hình học. Tuy nhiên giải theo phương pháp đại số sẽ nhanh gọn hơn. Bài tập 4. Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 1 i . Tính M+m. Hướng dẫn giải: P x 1 y 1 i x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 i z 1 i P z 1 i z 2 3i 3 4i 3 4i z 2 3i 5 1 4 MinP 4 P z 1 i z 2 3i 3 4i 3 4i z 2 3i 5 1 6 MaxP 6 M m 10 Bài tập 5. Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a)P z 1 2 z 1 . b) P z 1 3 z 1 Hướng dẫn giải: a) P2 12 22 z 1 2 z 1 2 5.4 P 2 5 2 2 2 2 2 2 z 1 z 1 a 1 b a 1 b 4 b) P2 12 32 z 1 2 z 1 2 10.4 P 2 10 Bài tập 6. Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P z3 3z z z z Hướng dẫn giải: Gọi z=a+bi. Ta có: zvà.z 1 z z 1 z z 2a 2 2 P z3 3z z z 2 a z2 2z.z z 1 2 a z z 1 2 a 4a2 1 2 a 2 1 3 3 3 1 15 P 2 a min P a , b 2 4 4 4 4 4 2z i Bài tập 7. Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 2 iz 2z i 2w i Hướng dẫn giải: Đặt w a bi z 2 iz 2 wi 24
  25. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 z 1 2w i 2 wi a2 b2 1 w 1 MaxA 1 Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn 2z z z i . Tìm số phức có phần thực không âm 1 sao cho đạt giá trị lớn nhất. z 1 Hướng dẫn giải: Đặt z a bi a 0 . Ta có 2z z z i b 4a2 2 1 1 1 z z a2 b2 2 2 2 4 2 1 2 3 7 7 1 7 Ta có: a b 16a 3a 4a 4 8 64 64 z 8 1 7 6 1 Max z i z 8 8 8 10 Bài tập 9. (MH - 2017): Xét các số phức z thỏa mãn 1 2i z 2 i . z Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 3 1 1 3 A. B. C.z 2 D. z 2 z z 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đặt m z 0 . *) Biến đổi hệ thức giả thiết về hệ thức có dạng hai số phức bằng nhau *) Suy ra môđun của hai số phức đó bằng nhau, ta được phương trình đại số ẩn m. *) Giải PT ẩn m ta tìm được m. 10.z 3 2 2 gt 1 2i z 2 i 1 2i z 10.z 2 z i z z 2 1 2i m3 10.z 2m2 m2i m3 2m2 m3 2m2 i 10.z 2 2 m3 2m2 m3 2m2 10.m 2m4 8m2 10 0 m 1. Bài tập 10. Tìm môđun của số phức z, biết z 4 1 i z 4 3z i Hướng dẫn giải: Giải tương tự bài tập 9. Đặt m z 0 . z 4 1 i z 4 3z i 1 3i z m 4 m 4 i 10m m 4 2 m 4 2 m 2 Bài tập 11. (THPT QG 2018) Có bao nhiêusố phức z thỏa mãn: 25
  26. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 a)z z 4 i 2i 5 i z b) z z 3 i 2i 4 i z c) z z 6 i 2i 7 i z d) z z 5 i 2i 6 i z Hướng dẫn giải: Giải tương tự bài tập 9. a) Đặt m z 0 . z z 4 i 2i 5 i z m 5 i z 4m m 2 i 1 m m 5 2 1 16m2 m 2 2 m4 10m3 9m2 4m 4 0 3 2 m 1 m 1 m 9m 4 0 3 2 m 9m 4 0 2 PT (2) có hai nghiệm không âm phân biệt khác 1 (Khảo sát hàm số bậc 3). Từ (1), ta thấy mỗi giá trị của m, có đúng một số phức z thỏa mãn. Vậy có ba số phức thỏa mãn y.c.b.t. Bài tập 12. (MH - 2017): Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn: z 2 i z 1 i 0 và z 1 . Tính P a b . Hướng dẫn giải: Giải tương tự bài tập 9. Đặt m z 1 . z 2 i z 1 i 0 z m 2 m 1 i 2 2 2 m 1 m m 2 m 1 m 6m 5 0 z 3 4i P 7 m 5 Bài tập 13. (MH - 2017): Cho các số phức z thỏa mãn z 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w= 3 4i z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r=4 B. r=5 C. r=20 D. r=22 Hướng dẫn giải: Cách 1. Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức w=x+yi. Ta có : w= 3 4i z i w i 3 4i z w i 3 4i z 20 x2 y 1 2 400 r 20 . Cách 2. Gọi z a bi a2 b2 16 x 3a 4b 2 2 Gọi w x yi x y 1 25.16 r 20 y 1 4a 3b 26
  27. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ SỐ PHỨC ĐẶC BIỆT Một số số phức đặc biệt về lũy thừa: i, 1 i, 1 i 2 Bài tập 1. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z z 2 0 . 2018 Tìm phần ảo của số phức w i z1 i z2 Hướng dẫn giải: 1 7 z i 2 2 2 PT z z 2 0 1 7 z i 2 2 1 2 7 1 2 7 i z1 i z2 i i 1 i 2 2 2 2 w 1 i 2018 2i 1009 21009 i phần ảo của số phức w là 21009 1 5i Bài tập 2. Gọi z , z là các nghiệm của phương trình z 2 z i 0 . 1 2 2 3i 2019 2019 Tính môđun của số phức w , biết w z1 z2 . w 2 Hướng dẫn giải: Giải tương tự bài tập 14. Lưu ý rút gọn hệ số của PT bằng cách thực hiện phép chia số phức , sau đó mới giải phương trình. Bài tập 3. a) Tính mô đun của số phức z 1 i i2 i3 i2018 . b) Tìm phần thực của số phức z 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 2019 . i i3 i5 i7 i2017 c) Tìm phần ảo của số phức z 1 i3 i6 i9 i2019 Hướng dẫn giải: 504 4 2 1 i2019 1 i i .i 1 i a) z 1 i i2 i3 i2018 i z 1 1 i 1 i 1 i b) z 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 2019 1010 2020 2 1010 1 1 i 1 1 i 1 2i 1 21010 z 1 1 21010 i 1 1 i i i i 1010 z 1 1 2 i 27
  28. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 2018 i 1 i 2i c) i i3 i5 i7 i2017 i 1 i2 2 1 i2019 1 i 1 i3 i6 i9 i2019 1 1 i3 1 1 i i3 i5 i7 i2017 z i 1 i3 i6 i9 i2019 1 1 1 Bài tập 4. Cho số phức z i 1 i 2 i 2 i 3 i 2017 i 2018 1 Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức z i 2018 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z i 1 i 2 i 2 i 3 i 3 i 4 i 2017 i 2018 i 1 i 2018 1 1 1 i z i 2018 i 1 2 1 1 1 Bài tập 5. Cho số phức z i 1 i 3 i 3 i 5 i 2017 i 2019 1 Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức 2z i 2019 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2z i 1 i 3 i 3 i 5 i 5 i 7 i 2017 i 2019 i 1 i 2019 1 1 1 i 2z i 2019 i 1 2 28
  29. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC KẾT HỢP VỚI NHỊ THỨC NEWTON 0 2 4 6 2018 2020 Bài tập 1. Tính tổng: S C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 Hướng dẫn giải: 2020 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2020 2020 Ta có: 1 i C2020 C2020i C2020i C2020i C2020i C2020i C2020 i 0 1 2 3 4 5 2018 2019 2020 C2020 C2020i C2020 C2020i C2020 C2020i C2020 C2020 i C2020 0 2 4 6 2018 2020 1 3 5 2019 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 i 1010 Mặt khác: 1 i 2020 1 i 2 2i 1010 21010 1010 0 2 4 6 2018 2020 1 3 5 2019 2 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 i 0 2 4 6 2018 2020 1010 S C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 2 Bài tập 2. Tính các tổng sau: 1 3 5 7 2019 a)S C2020 3C2020 5C2020 7C2020 2019C2020 2 4 6 8 2020 b) T 2C2020 4C2020 6C2020 8C2020 2020C2020 Hướng dẫn giải: 2020 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2020 2020 Ta có: 1 x C2020 C2020 x C2020 x C2020 x C2020 x C2020 x C2020 x Lấy đạo hàm hai vế, ta được: 2019 1 2 3 2 4 3 5 4 2020 2019 2020 1 x C2020 2C2020 x 3C2020 x 4C2020 x 5C2020 x 2020C2020 x Với x i , ta có: 2019 1 2 3 2 4 3 5 4 2020 2019 2020 1 i C2020 2C2020i 3C2020i 4C2020i 5C2020i 2020C2020 i 1 3 5 2019 2 4 6 2020 C2020 3C2020 5C2020 2019C2020 2C2020 4C2020 6C2020 2020C2020 i Mặt khác: 1009 2020 1 i 2019 2020 1 i 2 1 i 2020 2i 1009 1 i 2020.21009 i 1 i 2020.21009 2020.21009 i 1 3 5 2019 2 4 6 2020 C2020 3C2020 5C2020 2019C2020 2C2020 4C2020 6C2020 2020C2020 i 2020.21009 2020.21009 i S 2020.21009 T 2020.21009 Nhận xét: Từ các bài tập 1 và 2 ở trên, ta có thể xây dựng rất nhiều hệ thức khác bằng cách: Từ khai triển Newton của 1 x n , ta thực hiện các phép biến đổi như: nâng bậc cho đa thức hai vế hoặc lấy đạo hàm cấp 2, sau đó thay giá trị cụ thể cho x bởi một số phức đặc biệt, cuối cùng là đồng nhất hai số phức ở hai vế ta nhận được hệ thức mong muốn. 29
  30. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Câu 1 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 2 3i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . 2 5 5 4 5 4 A. min z B. min z C. min z D. min z 5 5 5 5 Câu 2 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 2 3i . Tìm z khi z nhỏ nhất. 4 2 4 2 4 2 4 2 A. z i B. z i C. z i D. z i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 3 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i z 1 i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 2i . 3 5 A. min P 3 B. min P C. min P 2 D. min P 2 2 Câu 4 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i z 1 i . Tìm z khi P z 3 2i nhỏ nhất. 1 1 1 1 A. z  i B. z  1 i C. z  1 i D. z  1 i 2 2 2 2 Câu 5 : Cho các số phức z thỏa mãn z 6 2i 10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M m . A. M m 3 10 B. M m 4 10 C. M m 10 D. M m 6 10 Câu 6 : Cho các số phức z thỏa mãn z 6 2i 10 . Tìm z khi z nhỏ nhất . A. z 3 i B. z 3 i C. z 3 i D. z 9 3i Câu 7 : Cho các số phức z thỏa mãn z 6 2i 10 . Tìm z khi z lớn nhất. A. z 9 3i B. z 9 3i C. z 9 3i D. z 3 i Câu 8 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 5 P z 3 i . Tính M m . 2 15 A. M m 10 B. M m 15 C. M m 20 D. M m 2 Câu 9 : 5 Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . Tìm z khi P z 3 i nhỏ nhất . 2 A. z 1 i B. z 1 i C. z 1 i D. z 7 5i Câu 10 : 5 Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . Tìm z khi P z 3 i lớn nhất. z 7 5i 2 30
  31. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 A. z 1 i B. z 7 5i C. z 7 5i D. z 7 5i Câu 11 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 1 P z 1 i . Tính M m . 2 15 A. M m 20 B. M m C. M m 5 D. M m 10 2 Câu 12 : 1 Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . Tìm z khi P z 1 i nhỏ nhất . 2 A. z 7 5i B. z 1 i C. z 1 i D. z 1 i Câu 13 : 1 Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 5 . Tìm z khi P z 1 i lớn nhất. 2 A. z 7 5i B. z 7 5i C. z 1 i D. z 7 5i Câu 14 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 2i 5 ; z2 6 2i 2 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z2 z1 . Tính M m . A. M m 8 5 B. M m 7 5 C. M m 6 5 D. M m 35 Câu 15 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 2i 5 ; z2 6 2i 2 5 . Tìm z1 z2 khi P z2 z1 nhỏ nhất . A. z1 z2 1 2i B. z1 z2 2 i C. z1 z2 6 i D. z1 z2 i Câu 16 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 2i 5 ; z2 6 2i 2 5 Tìm z1 z2 khi P z2 z1 lớn nhất. A. z1 z2 2 i B. z1 z2 4 3i C. z1 z2 6 i D. z1 z2 10 4i Câu 17 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 2i 2 ; z2 2 i 2 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z z . Tính M m . 2 1 A. M m 4 B. M m 3 2 C. M m 0 D. M m 6 2 Câu 18 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 2i 2 ; z2 2 i 2 2 . Tìm z1 z2 khi P z2 z1 nhỏ nhất . A. z1 z2 i B. z1 z2 2 i C. z1 z2 2i D. z1 z2 2 Câu 19 : z1, z2 Cho các số phức thỏa mãn z1 1 2i 2 ; z2 2 i 2 2 . Tìm z1 z2 khi P z2 z1 lớn nhất A. z1 z2 2i B. z1 z2 2 C. z1 z2 2 3i D. z1 z2 4 3i Câu 20 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 2 ; z2 2 i 2 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z2 z1 . Tính M m . A. M m 4 2 B. M m 0 C. M m 3 2 D. M m 2 2 Câu 21 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 2 ; z2 2 i 2 2 . Tìm z1 z2 khi P z2 z1 nhỏ nhất . 31
  32. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 A. z1 z2 2i B. z1 z2 i C. z1 z2 3 i D. z1 z2 4 2i Câu 22 : Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 1 2 ; z2 2 i 2 2 . Tìm z1 z2 khi P z2 z1lớn nhất. A. z1 z2 2i B. z1 z2 4 2i C. z1 z2 4 3i D. z1 z2 3 i Câu 23 : 5 7 Cho các số phức z , z thỏa mãn z 1 2i 10; z 5i z 2 i ; Tính giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 2 2 2 của P z2 z1 . A. min P 2 5 B. min P 2 10 C. min P 10 D. min P 5 Câu 24 : 5 7 Cho các số phức z , z thỏa mãn z 1 2i 10; z 5i z 2 i ; Tìm z z khi 1 2 1 2 2 2 2 1 2 P z z nhỏ nhất . 2 1 A. z1 z2 2 i B. z1 z2 5 5i C. z1 z2 3 4i D. z1 z2 5 5i Câu 25 : 35 29 Cho các số phức z , z thỏa mãn z 3 i z 1 i ; z 3 2i 5 . Tính giá trị nhỏ nhất 1 2 1 4 1 4 2 của P z2 z1 . 5 A. min P 5 B. min P C. min P 10 D. min P 5 2 2 Câu 26 : 35 29 Cho các số phức z , z thỏa mãn z 3 i z 1 i ; z 3 2i 5 . Tìm z z khi 1 2 1 4 1 4 2 1 2 P z z nhỏ nhất . 2 1 A. z1 z2 6 5i B. z1 z2 5 4i C. z1 z2 1 i D. z1 z2 6 5i Câu 27 : 3 1 Cho các số phức z , z thỏa mãn z 2i z 1 i ; z 1 2i 10 . Tính giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 1 2 2 của P z2 z1 . A. min P 0 B. min P 2 C. min P 5 D. min P 10 Câu 28 : 3 1 Cho các số phức z , z thỏa mãn z 2i z 1 i ; z 1 2i 10 . Tìm z z khi 1 2 1 2 1 2 2 1 2 P z z nhỏ nhất . 2 1 A. z1 z2 2 i B. z1 z2 4 2i C. z1 z2 0 D. z1 z2 4 2i Câu 29 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 i . Tính P M m 5 2 2 73 5 2 73 A. P 13 73 B. P C. P 5 2 2 73 D. P 2 2 Câu 30 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3i z 4 i 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 3 2i . Tính P M m . 32
  33. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 A. P 10 B. P 11 C. P 1 10 D. P 11 Câu 31 : các số phức z thỏa mãn z 2 i z 3 4i 5 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 4i . Tính P M m A. M m 5 4 2 B. M m 10 C. M m 4 5 D. M m 6 5 Câu 32 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 2i 3 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 3 i . Tính P M m2 2 A. P 5 5 B. P 5 5 C. P 30 D. P 10 Câu 33 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 2i 3 5 . Tìm z khi z 3 i đạt giá trị lớn nhất. A. z 1 3i B. z 2 i C. z 3 i D. z 2 i Câu 34 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 2i 3 5 . Tìm z khi z 3 i đạt giá trị nhỏ nhất. z 2 i A. z 2 i B. z 1 2i C. z 2 i D. z 3 i Câu 35 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 . 2 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 9 6i z 5 10i . Tính M m A. M m 466 B. M m 532 C. M m 66 D. M m 466 66 Câu 36 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 . 2 2 Tìm z khi P z 9 6i z 5 10i đạt giá trị lớn nhất. A. z 5 i B. z 3 5i C. z 1 5i D. z 5 i Câu 37 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 . 2 2 Tìm z khi P z 9 6i z 5 10i đạt giá trị nhỏ nhất. A. z 5 i B. z 3 5i C. z 3 5i D. z 3 5i Câu 38 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . 2 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 2 i z 3 2i . Tính M m . A. M m 5 2 B. M m 66 C. M m 92 D. M m 50 Câu 39 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . 2 2 Tìm z khi P z 2 i z 3 2i đạt giá trị lớn nhất. A. z 2 i B. z 4 3i C. z 3 4i D. z 4 3i Câu 40 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . 33
  34. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 2 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 2 i z 3 2i . Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. A. z 2 i B. z 1 2i C. z 4 3i D. z 2 i Câu 41 : Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm z khi P z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. z 6 4i B. z 6 4i C. z 6 4i D. z 4 6i Câu 42 : Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm giá trị lớn nhất của P z 1 3i z 1 i A. MaxP 20 B. MaxP 10 2 C. MaxP 4 5 D. MaxP 2 10 Câu 43 : Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm z khi P z 2 i z 6 3i đạt giá trị lớn nhất. A. z 5 5i B. z 5 5i C. z 5 5i D. z 4 3i Câu 44 : Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm giá trị lớn nhất của P z 2 i z 6 3i . A. MaxP 2 65 B. MaxP 3 65 C. MaxP 65 D. MaxP 2 5 Câu 45 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . Tìm z khi P z 1 i z 2 2i đạt giá trị lớn nhất. A. z 3 4i B. z 4 3i C. z 4 3i D. z 4 3i Câu 46 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P z 1 i z 2 2i 7 2 A. MaxP 116 B. MaxP C. MaxP 2 29 D. MaxP 3 2 2 Câu 47 : Cho các số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 6 . Tính M+m. A. M m 12 B. M m 11 C. M m 13 D. M m 10 Câu 48 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 6i . Tính M+m. A. M m 6 2 7 B. M m 12 C. M m 2 7 D. M m 12 7 Câu 49 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 z 2 4 2 . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z và z . Gọi S là giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN. Tính S. A. S 2 B. S 4 2 C. S 2 2 D. S 2 Câu 50 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3i z 3 i 4 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i . Tính M+m. A. M m 5 5 B. M m 15 C. M m 2 5 D. M m 5 2 3 34
  35. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Câu 51 : 2 2 Cho các số phức z thỏa mãn iz iz 4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1 i i 1 nhất của biểu thức P z . Tính M+m. A. M m 2 2 B. M m 2 2 C. M m 4 2 D. M m 2 Câu 52 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 và biểu thức P z 2 z 6 2i Tính giá trị nhỏ nhất của P. A. min P 2 5 B. min P 2 17 C. min P 4 17 D. min P 5 5 Câu 53 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 và biểu thức P z 2 z 6 2i Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. 6 16 16 6 A. z 6 2i B. z 2 i C. z i D. z i 5 5 5 5 Câu 54 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 và biểu thức P z 2 z 2 6i Gọi m là giá trị nhỏ nhất của P. Tính m. A. m 2 13 B. m 4 13 C. m 13 D. m 2 17 Câu 55 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 và biểu thức P z 2 z 2 6i Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. 12 2 2 12 A. z 2 6i B. z i C. z i D. z 2 i 5 5 5 5 Câu 56 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 i z 1 3i và biểu thức P z 3 3i z 7 i Gọi m là giá trị nhỏ nhất của P. Tính m. A. m 26 B. m 2 26 C. m 4 13 D. m 104 Câu 57 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 i z 1 3i và biểu thức P z 3 3i z 7 i Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. A. z 2 2i B. z 2 2i C. z 3 i D. z 1 3i Câu 58 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 5 4i 2, z2 7 2i 1 và số phức z a bi thỏa mãn 14a 12b 33 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z1 z z2 A. minP 3 2 B. minP 6 C. minP 6 D. minP 6 2 Câu 59 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 5i 2, z2 6 4i 2 2 và số phức z a bi thỏa mãn 5a b 7 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z1 z z2 A. 10 2 B. 2 5 C. 5 2 D. 3 2 Câu 60 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 5i 2 2, z2 4 2i 3 2 và số phức z a bi thỏa mãn a 2b 4 0 . Tìm số phức  z z z khi P z z z z đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 A.  1 3i B.  1 3i C.  4i D.  6i Câu 61 : 2 4 Cho các số phức z , z thỏa mãn z i 2, z 5 3i 2 2 và số phức z a bi thỏa mãn 1 2 1 5 5 2 a 2b 4 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z1 z z2 35
  36. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 A. 7 2 B. 4 2 C. 2 2 D. 3 2 Câu 62 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 i 1, z2 3 2i 2 và số phức z a bi thỏa mãn 5a 2b 4 0 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z1 z z2 . Tính m . A. m 2 B. m 3 C. m 2 2 D. m 5 Câu 63 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 5 4i 2, z2 7 2i 1 và số phức z a bi thỏa mãn 14a 12b 33 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . P z z1 z z2 1. Tính m . A. m 9 B. m 6 C. m 7 D. m 10 Câu 64 : Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 5i 2, z2 6 4i 2 2 và số phức z a bi thỏa mãn 5a b 7 0 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z1 z z2 . Tính m . A. m 3 10 B. m 8 2 C. m 6 2 D. m 5 2 Câu 65 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 và biểu thức P z 5 2i 2 z 2i Tính giá trị nhỏ nhất của P. A. min P 4 5 B. min P 2 5 C. min P 5 2 D. min P 10 Câu 66 : Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 và biểu thức P z 5 2i 2 z 2i Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. A. z i B. z 1 C. z 1 i D. z 1 i Câu 67 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 và biểu thức P z 9i 3 z 1 6i Tính giá trị nhỏ nhất của P. A. min P 6 5 B. min P 3 10 C. min P 6 10 D. min P 8 10 Câu 68 : Cho các số phức z thỏa mãn z 3 và biểu thức P z 9i 3 z 1 6i Tìm z khi P đạt giá trị nhỏ nhất. A. z 3 B. z 3 i C. z 3i D. z 3i Câu 69 : z z Cho các số phức z , z thỏa mãn z 2 2i 2 , z 5 z 1 6i và 1 2 là số thực. Gọi 1 2 1 2 2 1 5i M, m lầ lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 . Tính T=M+m. A. T 2 26 B. T 26 2 2 C. T 26 2 2 D. T 4 26 Câu 70 : Cho các số phức z thỏa mãn z 2 2i z 6 2i 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 8 4i . Tính M+m. A. M m 8 2 B. M m 7 2 C. M m 2 D. M m 14 Câu 71 : z z Cho z là số phức, z là số thực thỏa mãn z 2i 1 và 1 2 là số thực. Gọi M, m lầ lượt là 1 2 1 1 i giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 . Tính M+m. A. M+m= 2 2 B. M+m= 4 2 C. M+m= 6 2 D. M+m= 4 2 Câu 72 : z z Cho các số phức z , z thỏa mãn z 3 4i 1 , z 1 z i và 1 2 là số thực. Gọi M, m 1 2 1 2 2 2 i 36
  37. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 lầ lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 . Tính M+m. A. M+m=5 14 B. M+m=8 5 C. M+m=14 5 D. M+m=16 5 Câu 73 : Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 6 , z2 2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 0 2 2 z1 , iz2 . Biết rằng R MON 60 . Tính giá trị của T z1 9z2 . A. T 36 2 B. T 24 3 C. T 36 3 D. T 18 Câu 74 : 2 2 Cho các số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z1 2z1z2 2z2 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 . Tính R OMN . A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 Câu 75 2 2 : Cho A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn các số phức z A , z B khác 0 thoả mãn: z A z B z A z B . Chọn mệnh đề đúng: A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB cân, không đều. C. Tam giác OAB vuông tại A. D. Tam giác OAB vuông tại B. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z2 3 2 z . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M+m. A. M m 4 B. M m 3 C. M m 2 D. M m 1 Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z2 4z 1 2 2i . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M+m. A. M m 4 B. M m 5 7 C. M m 2 7 D. M m 3 Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z2 2z 2 z 1 i . Tìm giá trị lớn nhất của P z 2 5i . A. MaxP 5 B. MaxP 4 C. MaxP 1 D. MaxP 6 Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z2 2z 2 z 1 i . Tìm số phức z sao cho biểu thức P z 2 5i đạt giá trị lớn nhất . 8 1 8 1 8 1 8 1 A. z i B. z i C. z i D. z i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P z 1 i . A. MinP 13 1 B. MinP 13 C. MinP 13 1 D. MinP 2 13 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P z 1 i đạt giá trị nhỏ nhất . 3 2 3 2 A. z 2 3 i B. z 2 3 i 13 13 13 13 37
  38. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 3 2 3 2 C. z 2 3 i D. z 2 3 i 13 13 13 13 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2 z 1 . A. MaxP 2 5 B. MaxP 2 5 C. MaxP 2 5 D. MaxP 2 5 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 3 z 1 . A. MaxP 2 10 B. MaxP 2 10 C. MaxP 2 10 D. MaxP 2 10 Câu 9: Tìm số phức z có phần ảo dương sao cho z 1 và biểu thức P z 1 2 z 1 đạt giá trị lớn nhất. 3 4 3 4 4 3 4 3 A. z i B. z i C. z i D. z i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 10: Tìm số phức z có phần ảo dương sao cho z 1 và biểu thức P z 1 3 z 1 đạt giá trị lớn nhất. 3 4 3 4 4 3 4 3 A. z i B. z i C. z i D. z i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P z3 3z z z z . 3 1 4 A. min P B. min P C. min P 2 D. min P 4 2 3 Câu 12: 2z i Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.A 2 iz A. Max A 2 B. Max A 1 C. Max A 0 D. Max A 5 Câu 13: 1 Cho số phức z thỏa mãn 2z z z i . Tìm số phức có phần thực không âm sao cho đạt giá trị z lớn nhất. 1 6 6 1 6 1 6 1 A. z i B. z i C. z i D. z i 8 8 8 8 8 8 8 8 Câu 14: 1 Cho số phức z thỏa mãn 2z z z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . z 1 6 1 8 1 7 1 7 A. Max B. Max C. Max D. Max z 8 z 7 z 8 z 64 Câu 15: 10 Xét các số phức z thỏa mãn 1 2i z 2 i . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? z 3 1 1 3 A. z 2 B. z 2 C. z D. z 2 2 2 2 Câu 16: Tìm môđun của số phức z, biết z 4 1 i z 4 3z i 1 A. z 2 B. z 1 C. z D. z 4 2 Câu 17: (THPT QG 2018) Có bao nhiêusố phức z thỏa mãn: z z 4 i 2i 5 i z 38
  39. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 18: (THPT QG 2018) Có bao nhiêusố phức z thỏa mãn: z z 3 i 2i 4 i z A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 19: (THPT QG 2018) Có bao nhiêusố phức z thỏa mãn: z z 6 i 2i 7 i z A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 20: (THPT QG 2018) Có bao nhiêusố phức z thỏa mãn: z z 5 i 2i 6 i z A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 21: (MH - 2017): Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn: z 2 i z 1 i 0 và z 1 . Tính P a b . A. P 5 B. P 1 C. P 3 D. P 7 Câu 22: 2 Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z z 2 0 . 2018 Tìm phần ảo của số phức w i z1 i z2 A. 21009 B. 21009 C. 22018 D. 22018 Câu 23: 1 5i Gọi z , z là các nghiệm của phương trình z 2 z i 0 . 1 2 2 3i 2019 2019 Tính môđun của số phức w , biết w z1 z2 . 2019 A. w 1 B. w 2 C. w 22019 D. w 2 Câu 24: Tính mô đun của số phức z 1 i i2 i3 i2018 . A. z 1 B. z 0 C. z 2 D. z 2 2 3 2019 Câu 25: Tìm phần thực của số phức z 1 i 1 i 1 i 1 i . A. 1 B. -1 C. 0 D. 1 21010 Câu 26: i i3 i5 i7 i2017 Tìm phần ảo của số phức z 1 i3 i6 i9 i2019 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 Câu 27: 1 1 1 Cho số phức z i 1 i 2 i 2 i 3 i 2017 i 2018 1 Tìm modun của số phức w z i 2018 2 A. w 1 B. w 2 C. w D. w 2 2 39
  40. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019 Câu 28: 1 1 1 Cho số phức z i 1 i 3 i 3 i 5 i 2017 i 2019 1 Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức w 2z i 2019 2 A. w 2 B. w 1 C. w 2 D. w 2 Câu 29 : 0 2 4 6 2018 2020 Tính tổng: S C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 A. S 21010 B. S 21010 C. S 22020 D. S 0 Câu 30 : 1 3 5 7 2019 Tính tổng: S C2020 3C2020 5C2020 7C2020 2019C2020 A. S 2020.21009 B. S 2020.21009 C. S 2020.21010 D. S 2020.21010 Câu 31 : Tính tổng: T 2C 2 4C 4 6C 6 8C8 2020C 2020 2020 2020 2020 2020 2020 A. T 2020.21010 B. T 2020.21009 C. T 2020.21009 D. T 2020.21010 40