Một số dạng toán và một số phương pháp tính tích phân hàm ẩn - Đào Văn Tiến

Nội dung text: Một số dạng toán và một số phương pháp tính tích phân hàm ẩn - Đào Văn Tiến

1. GV: ĐÀO VĂN TIẾN PHẦN I: LỜI NÓI ĐẦU Năm học 2016-2017, lần đầu tiên môn Toán cùng với các môn Địa lí, Lịch sử, Giáo dục Công dân thi với hình thức trắc nghiệm trong kì thi THPT Quốc gia. Đề thi trắc nghiệm Toán gồm 50 câu hỏi, thời gian làm bài 90 phút. Đề thi có phần kiểm tra kiến thức cơ bản, dùng để xét tốt nghiệp; và phần nâng cao, dùng để sàng lọc thí sinh trong tuyển sinh vào đại học cao đẳng. Như chúng ta đã biết kiểm tra đánh giá là khâu cuối cùng của quá trình dậy học. Sự thay đổi mang tính chất đột phá này của Bộ Giáo dục đã làm thay đổi ít nhiều đến cách dạy và học môn Toán ở trường THPT hiện nay. Qua việc nghiên cứu các đề minh họa, đề thi chính thức các năm 2017, 2018 và đề thi thử của các trường tôi nhận thấy đề Toán bây giờ nội dung kiến thức rất rộng không còn khuôn mẫu như đề thi tự luận trước đây, các câu hỏi ở mức độ kiểm tra kiến thức cơ bản thì khá đơn giản nhưng các câu hỏi ở mức đô vận dụng và vận dụng cao rất khó, hình thức hỏi rất đa dạng. Bên cạnh đó cách học của đa số học sinh bây giờ rất thụ động máy móc thấy câu hỏi lạ một chút thầy chưa dạy là không làm mà nghĩ ngay tới việc khoanh bừa. Nên để học trò đỡ bỡ ngỡ khi thi thì trong quá trình dạy học các thày cô phải khai thác triệt để các kiến thức đặt nhiều hình thức hỏi khác nhau và đặc biệt phải tích cực viết chuyên đề trao đổi với các thầy cô trong tổ chuyên môn để ngày càng nâng cao chất lượng mỗi bài giảng. Trong buổi sinh hoạt cụm chuyên môn này chúng ta cùng phát triển một lớp bài toán trong phần Nguyên Hàm Tích phân mà tương đối lạ với học sinh ‘’MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN’’. Chúng tôi rất mong quý thầy cô xem xét và đóng góp những ý kiến để buổi sinh hoạt đạt được chất lượng cao. Xin chân thành cảm ơn! GV: ĐÀO VĂN TIẾN NỘI DUNG CHÍNH PHẦN I: LỜI NÓI ĐẦU PHẦN II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHẦN III: HƯỚNG PHÁT TRIỂN VÀ ĐỊNH HƯỚNG MỚI VỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 5 2 Ví dụ 1: Cho f x dx = 10 . Kết quả é2 - 4f x ùdx bằng ò ( ) ò ëê ( )ûú 2 5 A. 34 . B. .3 6 C. . 40 D. . 32 Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2 Tacóé2 - 4f x ùdx = 2 dx - 4 f x dx ò ëê ( )ûú ò ò ( ) 5 5 5 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 1
2. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 5 5 = - 2x + 4 f x dx = - 2. 5 - 2 + 4.10 = 34. 2 ò ( ) ( ) 2 9 Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và F (x) là nguyên hàm của f (x) , biết ò f (x)dx = 9 và 0 F (0) = 3. Tính F (9) . A. .F (9) = - B.6 . C.F (9) = 6 F (9) = 12. D. .F (9) = - 12 Hướng dẫn giải Chọn C 9 9 Ta có: I = f (x)dx = F (x) = F (9)- F (0) = 9 Û F (9) = 12 . ò 0 0 Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ. 6 4 Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn ò f (x)dx = 10 và ò f (x)dx = 6 . Tính giá 0 2 2 6 trị của biểu thức P = ò f (x)dx + ò f (x)dx . 0 4 A. P = 4 .`. B. .P = 16 C. . P = D.8 . P = 10 Hướng dẫn giải Chọn A 6 2 4 6 Ta có ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx + ò f (x)dx 0 0 2 4 2 6 6 4 Þ P = ò f (x)dx + ò f (x)dx = ò f (x)dx - ò f (x)dx = 10 - 6 = 4 . 0 4 0 2 1 Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {0} , thỏa mãn f ¢(x) = , f (1) = a và f (- 2) = b . x 3 + x 5 Tính f (- 1)+ f (2) . A. .f (- 1)+ f (2) = - aB.- b. f (- 1)+ f (2) = a - b C. f (- 1)+ f (2) = a + b. D. .f (- 1)+ f (2) = b - a Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có f ¢ - x = = - = - f ¢ x nên f ¢ x là hàm số lẻ. ( ) 3 5 3 5 ( ) ( ) (- x) + (- x) x + x 2 - 1 2 Do đó ò f ¢(x)dx = 0 Û ò f ¢(x)dx = - ò f ¢(x)dx . - 2 - 2 1 Suy ra f (- 1)- f (- 2) = - f (2)+ f (1) Þ f (- 1)+ f (2) = f (- 2)+ f (1) = a + b . CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 2
3. GV: ĐÀO VĂN TIẾN Bài tập tương tự. 2 2 Câu 1: Cho I = f x dx = 3 . Khi đó J = é4f x - 3ùdx bằng ò ( ) ò ëê ( ) ûú 0 0 A. .2 B. 6. C. .8 D. . 4 4 4 4 Câu 2: Cho f x dx = 10 và g x dx = 5 . Tính I = é3f x - 5g x ùdx ò ( ) ò ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 2 2 2 A. I = 5. B. .I = 15 C. . I = D.- 5 . I = 10 9 0 9 Câu 3: Giả sử f x dx = 37 và g x dx = 16 . Khi đó, I = é2f x + 3g(x)ùdx bằng ò ( ) ò ( ) ò ëê ( ) ûú 0 9 0 A. I = 26. B. .I = 58 C. . I =D.1 4.3 I = 122 2 5 5 Câu 4: Nếu ò f (x)dx = 3 , ò f (x)dx = - 1 thì ò f (x)dx bằng 1 2 1 A. .- 2 B. 2. C. .3 D. . 4 2 3 3 Câu 5: Cho ò f (x)dx = 1 và ò f (x)dx = - 2 . Giá trị của ò f (x)dx bằng 1 2 1 A. .1 B. . - 3 C. - 1. D. .3 10 6 Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn é0;10ù và f x dx = 7 và f x dx = 3 . Tính ( ) ëê ûú ò ( ) ò ( ) 0 2 2 10 P = ò f (x)dx + ò f (x)dx . 0 6 A. .P = 7 B. . P =C.- 4 P = 4 . D. .P = 10 1 2 2 Câu 7: Cho ò f (x)dx = 2 , ò f (x)dx = 4 , khi đó ò f (x)dx = ? 0 1 0 A. 6. B. .2 C. . 1 D. . 3 1 3 3 Câu 8: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có ò f (x)dx = 2 ; ò f (x)dx = 6 . Tính I = ò f (x)dx . 0 1 0 A. I = 8 . B. .I = 12 C. . I = D.36 . I = 4 2 2 2 Câu 9: Cho f x dx = 2 và g x dx = - 1 . Tính I = éx + 2f x + 3g x ùdx bằng ò ( ) ò ( ) ò ëê ( ) ( )ûú - 1 - 1 - 1 11 7 17 5 A. .I = B. . I = C. . D. I = I = . 2 2 2 2 8 4 4 Câu 10: Biết ò f (x)dx = - 2 ; ò f (x)dx = 3 ; ò g(x)dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 3
4. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 8 4 A. f x dx = 1. B. . éf x + g x ùdx = 10 ò ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 4 1 8 4 C. . f x dx = - 5 D. . é4f x - 2g x ùdx = - 2 ò ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 4 1 Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán. x2 Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) liên tục trên (0;+ ¥ ) và thỏa ò f (t )dt = x.cospx . Tính f (4) . 0 2 3 1 A. .f (4) = 12B.3 . C.f . (4) = D. f (4) = f (4) = . 3 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: F (t ) = ò f (t )dt Þ F '(t ) = f (t ) x2 Đặt G (x) = ò f (t )dt = F (x 2)- F (0) 0 / Þ G ' x = éF x 2 ù = 2x.f x 2 (Tính chất đạo hàm hợp: f ' éu x ù= f ' u .u ' x ) ( ) ëê ( )ûú ( ) ëê ( )ûú ( ) ( ) x2 Mặt khác, từ gt: G (x) = ò f (t )dt = x.cospx 0 Þ G '(x) = (x.cospx)' = - xp sin px + cospx Þ 2x.f (x 2) = - xp sin px + cospx (1) Tính f ( 4ứng) với x = 2 1 Thay x = 2 vào (1) Þ 4.f (4) = - 2p sin 2p + cos2p = 1 Þ f (4) = 4 x æpö Ví dụ 6: Cho hàm số G (x) = t.cos(x - t ).dt . Tính G 'ç ÷ . ò ç2÷ 0 è ø æ ö æ ö æ ö æ ö çp÷ çp÷ çp÷ çp÷ A. .G 'ç ÷=B.- 1 G 'ç ÷= 1. C. .G 'ç ÷=D.0 . G 'ç ÷= 2 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ Hướng dẫn giải: Cách 1: Ta có: F (t ) = òt.cos(x - t )dt Þ F '(t ) = t.cos(x - t ) x Đặt G (x) = òt.cos(x - t )dt = F (x)- F (0) 0 / / æ ö é ù é ù çp÷ Þ G '(x) = F (x)- F (0) = F '(x)- F '(0) = x cos(x - x)- 0 = x ' = 1 Þ G 'ç ÷= 1 ëê ûú ëê ûú èç2ø÷ Chọn B CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 4
5. GV: ĐÀO VĂN TIẾN x Cách 2: Ta có G (x) = òt.cos(x - t )dt . Đặt u = t Þ du = dt , dv = cos(x - t )dx chọn 0 v = - sin(x - t ) x x x x Þ G (x) = - t.sin(x - t ) + sin(x - t )dt = sin(x - t )dt = cos(x - t ) = cos0 - cosx = 1- cosx 0 ò ò 0 0 0 æ ö çp÷ p Þ G '(x) = sin x Þ G 'ç ÷= sin = 1 . Chọn B èç2ø÷ 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ thỏa ì 1 ï f (0) = f ¢(0) = 1; íï . Tính f (x - 1)dx . ï f x + y = f x + f y + 3xy x + y - 1, " x,y Î ¡ . ò îï ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 7 A. . B. . - C. . D. . 2 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f ¢(x + y) = f ¢(y)+ 3x 2 + 6xy , " x Î ¡ . Cho y = 0 Þ f ¢(x) = f ¢(0)+ 3x 2 Þ f ¢(x) = 1+ 3x 2 Vậy f (x) = ò f ¢(x)dx = x 3 + x + C mà f (0) = 1Þ C = 1 suy ra f (x) = x 3 + x + 1 . 0 1 0 0 æ 4 2 ö 3 çx x ÷ 1 1 1 f (x - 1)dx = f (x)dx = (x + x + 1)dx = ç + + x÷ = - - + 1 = . ò ò ò ç 4 2 ÷ 4 2 4 0 - 1 - 1 è ø- 1 Bài tập tương tự. Câu 1: Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 / f ' x .g x dx = 1, f x .g' x dx = - 1 . Tính I = éf x .g x ù dx . ò ( ) ( ) ò ( ) ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 0 0 0 A. .I = - 2 B. I = 0 . C. .I = 3 D. . I = 2 x2 Câu 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên (0;+ ¥ ) và thỏa ò f (t )dt = x.cospx . Tính f (4) . 0 2 3 1 A. .f (4) = 12B.3 . C.f . (4) = D. f (4) = f (4) = . 3 4 4 x2 Câu 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên (0;+ ¥ ) và thỏa ò f (t )dt = x.cospx . Tính f (4) . 0 2 3 1 A. .f (4) = 12B.3 . C.f . (4) = D. f (4) = f (4) = . 3 4 4 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 5
6. GV: ĐÀO VĂN TIẾN x2 Câu 4: Cho hàm số G (x) = ò cos t .dt (x > 0 ). Tính G '(x) . 0 A. .G '(B.x) = x 2.cosx G '(x) = 2x.cosx . C. .G '(xD.) = . cosx G '(x) = cosx - 1 x Câu 5: Cho hàm số G (x) = ò 1+ t 2dt . Tính G '(x) . 1 x 1 A. . B. . 1+ x 2 C. . D. . (x 2 + 1) x 2 + 1 1+ x 2 1+ x 2 x Câu 6: Cho hàm số F (x) = ò sint 2.dt (x > 0 ). Tính F '(x) . 1 sin x 2sin x A. .s in x B. . C. . D. . sin x 2 x x x Câu 7: Tính đạo hàm của f (x) , biết f (x) thỏa òt.ef (t )dt = ef (x) . 0 1 1 A. .f '(x) = x B. . C. . f '(x)D.= x 2 + 1 f '(x) = f '(x) = . x 1- x x2 Câu 8: Cho hàm số y = f x liên tục trên é0;+ ¥ và f t dt = x.sin px . Tính f 4 . ( ) ëê ) ò ( ) ( ) ( ) 0 p - 1 p p 1 A. .f (p) =B. f (p) = . C. .f (p) = D. . f (p) = 4 2 4 2 3 é ù Câu 9: Cho hàm số y = f (x) liên tục, luôn dương trên ëê0;3ûú và thỏa mãn I = ò f (x)dx = 4 . Khi đó giá 0 3 1+ ln(f (x)) trị của tích phân K = ò(e + 4)dx là 0 A. .4 + 12e B. 12 + 14e. C. .3 e+ 14 D. . 14 + 3e Nhận xét :Đa phần những bài tập ở dạng này đều ở mức thông hiểu và vận dụng thấp nên học sinh có thể làm đúng nếu được luyện tập kĩ. DẠNG 2: TÍCH PHÂN HÀM ẨN MÀ Ở ĐÓ CÓ THỂ ĐƯA ĐƯỢC VỀ MỘT TRONG CÁC DẠNG SAU: f '(x) f '(x) = g(x), = g(x) é ùn ëêf (x)ûú (Trong đó g(x) là hàm số đã biết, n là số dương). 1 Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {1} thỏa mãn f ¢(x) = ,f (0) = 2017 , f (2) = 2018 . x - 1 Tính S = f (3)- f (- 1) . CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 6
7. GV: ĐÀO VĂN TIẾN A. S = 1. B. .S = ln 2 C. . D.S . = ln 4035 S = 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Ta có f (x) = f '(x)dx = dx = ln x - 1 + C . ò ò x - 1 ( ) ì ï f (x) = ln(x - 1)+ 2017 khi x 1 îï ( ) ( ) Do đó S = f (3)- f (- 1) = ln 2 + 2018 - ln 2 - 2017 = 1 . Cách 2: ïì 0 0 dx 1 ï f (0) - f (- 1) = f '(x)dx = = ln x - 1 |0 = ln (1) ï ò ò x - 1 - 1 2 Ta có: íï - 1 - 1 ï 3 3 dx ï f (3) - f (2) = f '(x)dx = = ln x - 1 |3= ln 2 (2) ï ò ò x - 1 2 îï 2 2 Lấy (1)+(2), ta được f (3) - f (2) + f (0) - f (- 1) = 0 Þ S= 1 . ïì 1ïü 3 æ2ö ï ï ¢ ç ÷ Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ í ý thỏa mãn f (x) = , f (0) = 1 và f ç ÷= 2 . Giá trị îï 3þï 3x - 1 èç3ø÷ của biểu thức f (- 1)+ f (3) bằng A. 3 + 5ln 2. B. .- 2 + 5lC.n 2 . D.4 .+ 5ln 2 2 + 5ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A ïì æ 1ö ï ç ÷ ï ln 3x - 1 + C1 khi x Î ç- ¥ ; ÷ 3 3 ï èç 3÷ø Cách 1: Từ f ¢(x) = Þ f (x) = ò dx= íï . 3x - 1 3x - 1 ï æ1 ÷ö ï ln 3x - 1 + C khi x Î ç ;+ ¥ ÷ ï 1 ç ÷ îï è3 ø ïì æ 1ö ïì f 0 = 1 ï ln 3x - 1 + 1 khi x Î ç- ¥ ; ÷ ï ( ) ïì 0 + C = 1 ïì C = 1 ï ç ÷ ï ï 1 ï 1 ï èç 3ø Ta có: í æ2ö Þ í Û í Þ f x = í . ï ç ÷ ï ï ( ) ï æ ö f ç ÷= 2 0 + C2 = 2 C2 = 2 1 ÷ ï ç ÷ îï îï ï ln 3x - 1 + 2 khi x Î ç ;+ ¥ ÷ îï è3ø ï ç ÷ îï è3 ø Khi đó: f (- 1)+ f (3) = ln 4 + 1+ ln 8 + 2 = 3 + ln 32 = 3 + 5ln 2 . Cách 2: Ta có ì 0 0 ï 0 3 0 1 ï f (0)- f (- 1) = f (x) = f ¢(x)dx = dx = ln 3x - 1 = ln (1) ï - 1 ò ò 3x - 1 - 1 4 ï - 1 - 1 ï 3 3 í æ2ö 3 3 3 ï ç ÷ ¢ ï f (3)- f ç ÷= f (x) 2 = f (x)dx = dx = ln 3x - 1 2 = ln 8 (2) ï èç3ø÷ ò ò 3x - 1 ï 3 2 2 3 îï 3 3 æ ö ç2÷ Lấy (2)- (1) , ta được: f (3)+ f (- 1)- f (0)- f ç ÷= ln 32 Þ f (- 1)+ f (3) = 3 + 5ln 2 . èç3ø÷ CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 7
8. GV: ĐÀO VĂN TIẾN Nhận xét 1: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học. é ù Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn ëê- 1;1ûú , thỏa mãn f (x)> 0, " x Î ¡ và f '(x)+ 2f (x) = 0. Biết f (1) = 1 , tính f (- 1) . A. .f (- 1) =B.e- .2 C. f (- 1) = e3 f (- 1) = e4 . D. .f (- 1) = 3 Hướng dẫn giải Chọn C Biến đổi: f '(x) 1 f '(x) 1 1 df (x) f ' x + 2f x = 0 Û = - 2 Û dx = - 2dx Û = - 4 Û ln f x 1 = - 4 ( ) ( ) ò ò ò ( ) - 1 f (x) - 1 f (x) - 1 - 1 f (x) f (1) f (1) ln = - 4 Û = e- 4 Û f (- 1) = f (1).e4 = e4 . f (- 1) f (- 1) 1 Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) ¹ 0 thỏa mãn điều kiện f ¢(x) = (2x + 3)f 2 (x) và f (0) = - . Biết rằng 2 a a tổng f (1)+ f (2)+ f (3)+ + f (2017)+ f (2018) = với a Î ¡ , b Î ¡ + và là phân số b ( ) b tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. . 1C. . D. a + b = 1010 b - a = 3029 . b b Hướng dẫn giải Chọn D f ¢(x) Ta có f ¢(x) = (2x + 3)f 2 (x) Û = 2x + 3 f 2 (x) f ¢(x) 1 Û dx = 2x + 3 dx Û - = x 2 + 3x + C . ò 2 ò( ) f (x) f (x) 1 Vì f (0) = - Þ C = 2 . 2 1 1 1 Vậy f (x) = - = - . (x + 1)(x + 2) x + 2 x + 1 1 1 1009 Do đó f (1)+ f (2)+ f (3)+ + f (2017)+ f (2018) = - = - . 2020 2 2020 Vậy a = - 1009 ; b = 2020 . Do đó b - a = 3029 . é ù Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x)> 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn ëê0;1ûú và thỏa mãn: x 1 g(x) = 1+ 2018ò f (t )dt , g(x) = f 2 (x) . Tính ò g(x)dx . 0 0 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 8
9. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. . 505 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A x Ta có g(x) = 1+ 2018ò f (t )dt Þ g¢(x) = 2018f (x) = 2018 g(x) 0 t t t g¢(x) g¢(x) t Þ = 2018 Þ dx = 2018 dx Þ 2 g x = 2018x ò ò ( ( )) 0 g(x) 0 g(x) 0 0 Þ 2( g(t ) - 1) = 2018t (do g(0) = 1 ) Þ g(t ) = 1009t + 1 1 1 æ1009 ö 1011 Þ g(t )dt = ç t 2 + t ÷ = . ò ç 2 ÷ 2 0 è ø0 é ù ¢ Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn ëê0;1ûú đồng thời thỏa mãn f (0) = 9 và 2 9f ¢¢ x + éf ¢ x - xù = 9. Tính T = f 1 - f 0 . ( ) ëê ( ) ûú ( ) ( ) 1 A. T. = 2B.+ .9 ln 2 C.T = 9 T = + 9ln 2. D. T. = 2 - 9ln 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 f ¢¢(x)- 1 1 Ta có 9f ¢¢ x + éf ¢ x - xù = 9 Þ 9 f ¢¢ x - 1 = - éf ¢ x - xù Þ - = . ( ) ëê ( ) ûú ( ( ) ) ëê ( ) ûú 2 éf ¢ x - xù 9 ëê ( ) ûú f ¢¢(x)- 1 1 1 x Lấy nguyên hàm hai vế.- dx = dx Þ = + C ò 2 ò éf ' x - xù 9 f ¢(x)- x 9 ëê ( ) ûú 1 9 9 Do f ¢(0) = 9 nên C = suy ra f ¢(x)- x = Þ f ¢(x) = + x 9 x + 1 x + 1 1 1 æ ö æ 2 ö ç 9 ÷ ç x ÷ 1 Vậy T = f (1)- f (0) = ç + x÷dx = ç9ln x + 1 + ÷ = 9ln 2 + . òèçx + 1 ø÷ ç 2 ÷ 2 0 è ø0 Nhận xét 1: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng. Bài tập tương tự:. 1 Câu 1: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {1} thỏa mãn f ¢(x) = , f (0) = 2017 , f (2) = 2018 . x - 1 Tính S = f (3)- f (- 1) . A. S = 1. B. .S = ln 2 C. . D.S . = ln 4035 S = 4 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 9
10. GV: ĐÀO VĂN TIẾN ïì 1ïü 2 Câu 2: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ íï ýï thỏa mãn f ¢(x) = và f (0) = 1 . Giá trị của biểu îï 2þï 2x - 1 thức f (- 1)+ f (3) bằng A. .4 + ln15 B. . 3C.+ ln15 2 + ln15. D. .ln15 ïì 1ïü 2 Câu 3: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ íï ýï thỏa mãn f ¢(x) = , f (0) = 1 và f (1) = 2 . Giá trị îï 2þï 2x - 1 của biểu thức f (- 1) + f (3) bằng A. .4 + ln 5 B. . 2 +C. ln15 3 + ln15. D. .ln15. Câu 4: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ thỏa mãn f ¢(x) = 2x + 1 và f (1) = 5 . Phương trình f (x) = 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S = log2 x1 + log2 x2 . A. S = 1. B. .S = 2 C. . S = 0D. . S = 4 ïì 1ïü 3 æ2ö ï ï ¢ ç ÷ Câu 5: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ í ý thỏa mãn f (x) = , f (0) = 1 và f ç ÷= 2 . Giá îï 3þï 3x - 1 èç3ø÷ trị của biểu thức f (- 1)+ f (3) bằng A. 3 + 5ln 2. B. .- 2 + 5lC.n 2 . D.4 .+ 5ln 2 2 + 5ln 2 4 Câu 6: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {- 2;2} và thỏa mãn f ¢(x) = ; f (- 3) = 0 ; f (0) = 1 x 2 - 4 và f (3) = 2 . Tính giá trị biểu thức P = f (- 4)+ f (- 1)+ f (4) . 3 5 5 A. .P = 3B.+ ln P = 3 + ln 3. C. .P = 2D.+ .ln P = 2 - ln 25 3 3 1 Câu 7: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {- 2;1} thỏa mãn f ¢(x) = ; f (- 3)- f (3) = 0 x 2 + x - 2 1 và f (0) = . Giá trị của biểu thức f (- 4)+ f (- 1)- f (4) bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. + ln 2. B. .1 + ln 80 C. . D. . 1+ ln 2 + ln 1+ ln 3 3 3 5 3 5 1 Câu 8: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {- 1;1} và thỏa mãn f ¢(x) = ; f (- 3)+ f (3) = 0 và x 2 - 1 æ ö æö ç 1÷ ç1÷ f ç- ÷+ f ç ÷= 2. Tính giá trị của biểu thức P = f (0)+ f (4) . èç 2ø÷ èç2ø÷ 3 3 1 3 1 3 A. .P = 2 +B.l n. C. P = 1+ ln P = 1+ ln . D. .P = ln 5 5 2 5 2 5 1 Câu 9: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ {± 1} thỏa mãn f ¢(x) = . Biết f (- 3)+ f (3) = 0 và x 2 - 1 æ ö æö ç 1÷ ç1÷ f ç- ÷+ f ç ÷= 2. Giá trị T = f (- 2)+ f (0)+ f (4) bằng: èç 2ø÷ èç2ø÷ CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 10
11. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T. = 2B.+ ln T = 1+ ln . C. T. =D.3 +. ln T = ln 2 9 2 5 2 5 2 5 1 Câu 10: Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên (0;+ ¥ ) thỏa mãn f (2) = và 15 f ¢(x)+ (2x + 4)f 2 (x) = 0 . Tính f (1)+ f (2)+ f (3) . 7 11 11 7 A. . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Câu 11: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên ¡ . Biết f 6 (x).f ¢(x) = 12x + 13 và f (0) = 2 . Khi đó phương trình f (x) = 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. .3 C. . 7 D. . 1 æ ö x - x ç 1÷ Câu 12: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ thỏa mãn f ¢(x) = e + e - 2 , f (0) = 5 và f çln ÷= 0 . èç 4ø÷ Giá trị của biểu thức S = f (- ln16)+ f (ln 4) bằng 31 9 5 A. .S = B. . S = C. S = . D. .f (0).f (2) = 1 2 2 2 é p ù Câu 13: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn ê0; ú , thỏa mãn f 0 = 3 và ( ) ê ú ( ) ë 2û é p ù f x .f ¢ x = cosx. 1+ f 2 x , " x Î ê0; ú . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của ( ) ( ) ( ) ê ú ë 2û ép p ù hàm số f x trên đoạn ê ; ú . ( ) ê ú ë6 2û 21 5 5 A. m = , M = 2 2 . B. m = , M = 3 . C. m = , M = 3 . 2 2 2 D. m = 3 , M = 2 2 . Câu 14: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f (x)> 0 , " x Î ¡ . Biết f (0) = 1 và f '(x) = 2 - 2x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) = m có hai nghiệm f (x) thực phân biệt. A. .m > e B. . 0 <C.m £ 1 0 < m < e. D. .1 < m < e DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: ta gặp ở bài toán đơn giản loại b b b b Cho é ù , tính . Hoặc cho , tính é ù . òu '(x).f ëêu(x)ûú.dx ò f (x).dx ò f (x).dx òu '(x).f ëêu(x)ûú.dx a a a a Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t = u(x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 11
12. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 4 2 Ví dụ 1: Choò f (x)dx = 16 . Tính ò f (2x)dx 0 0 A. .1 6 B. . 4 C. . 32 D. 8. Hướng dẫn giải Chọn D 2 f (2x)dx ò 1 Xét tích phân 0 . Đặt 2x = t Þ dx = dt . Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 2 thì t = 4 2 . 2 1 4 1 4 1 Do đó f (2x)dx = f (t )dt = f (x)dx = .16 = 8 . ò 2 ò 2 ò 2 0 0 0 2 4 f ( x ) Ví dụ 2: Choò f (x)dx = 2 . Tính I = ò dx bằng 1 1 x 1 A. .I = 1 B. . I = 2 C. I = 4 . D. .I = 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt t = x Þ dt = dx ; đổi cận: x = 1 Þ t = 1 , x = 4 Þ t = 2 2 x 4 f ( x ) 2 2 I = ò dx = ò f (t )2dt = 2ò f (t )dt = 2.2 = 4 . 1 x 1 1 p 16 f ( x ) 2 Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn ò dx = 6 và ò f (sin x)cosxdx = 3 . Tính 1 x 0 4 tích phân I = ò f (x)dx . 0 A. .I = - 2 B. I = 6. C. .I = 9 D. . I = 2 Hướng dẫn giải Chọn B 16 f ( x ) dx Xét I = ò dx = 6 , đặt x = t Þ = dt 1 x 2 x 4 4 6 Đổi cận: x = 1 Þ t = 1 ; x = 16 Þ t = 4 nên I = 2 f (t )dt = 6 Þ f (t )dt = = 3 . ò ò 2 1 1 p 2 J = ò f (sin x)cosxdx = 3, đặt sin x = u Þ cosxdx = du 0 p 1 Đổi cận: x = 0 Þ u = 0 ; x = Þ u = 1 Þ J = f (u)du = 3 2 ò 0 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 12
13. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 4 1 4 Vậy I = ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx = 3 + 3 = 6 . 0 0 1 1 2 Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa ò f (2x)dx = 2 và ò f (6x)dx = 14 . Tính 0 0 2 ò f (5 x + 2)dx . - 2 A. .3 0 B. 32 . C. .3 4 D. . 36 Hướng dẫn giải Chọn B 1 + Xét ò f (2x)dx = 2 . Đặt u = 2x Þ du = 2dx ; x = 0 Þ u = 0 ; x = 1 Þ u = 2 . 0 1 1 2 2 Nên 2 = f (2x)dx = f (u)du Þ f (u)du = 4 . ò 2 ò ò 0 0 0 2 + Xét ò f (6x)dx = 14 . Đặt v = 6x Þ dv = 6dx ; x = 0 Þ v = 0 ; x = 2 Þ v = 12 . 0 2 1 12 12 Nên 14 = f (6x)dx = f (v)dv Þ f (v)dv = 84 . ò 6 ò ò 0 0 0 2 0 2 + Xét ò f (5 x + 2)dx = ò f (5 x + 2)dx + ò f (5 x + 2)dx . - 2 - 2 0 0 * Tính I = f 5 x + 2 dx . 1 ò ( ) - 2 Đặt t = 5 x + 2 .Khi - 2 < x < 0 , t = - 5x + 2 Þ dt = - 5dx ; x = - 2 Þ t = 12 ; x = 0 Þ t = 2. 12 2 - 1 2 1 é ù 1 I = f (t )dt = ê f (t )dt - f (t )dt ú= (84 - 4) = 16. 1 5 ò 5 êò ò ú 5 12 ëê0 0 ûú 2 * Tính I = f 5 x + 2 dx . 1 ò ( ) 0 Đặt t = 5 x + 2 .Khi 0 < x < 2 , t = 5x + 2 Þ dt = 5dx ; x = 2 Þ t = 12 ; x = 0 Þ t = 2 . 12 2 1 12 1 é ù 1 I = f (t )dt = ê f (t )dt - f (t )dt ú= (84 - 4) = 16. 2 5 ò 5 êò ò ú 5 2 ëê0 0 ûú 2 Vậy ò f (5 x + 2)dx = 32 . - 2 Hoặc: Do hàm f (5 x + 2) là hàm số chẵn nên 2 0 ò f (5 x + 2)dx = 2ò f (5 x + 2)dx = 2.16 = 32 - 2 - 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 13
14. GV: ĐÀO VĂN TIẾN Bài tập tương tự:. 4 2 Câu 1: Choò f (x)dx = 16 . Tính ò f (2x)dx 0 0 A. .1 6 B. . 4 C. . 32 D. 8. 6 2 Câu 2: Nếu ò f (x)dx = 12 thì ò f (3x)dx bằng 0 0 A. .6 B. . 36 C. . 2 D. 4. 2 5 Câu 3: Cho ò f (x 2 + 1)xdx = 2 . Khi đó I = ò f (x)dx bằng: 1 2 A. .2 B. . 1 C. . - 1 D. 4. 1 Câu 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn ò f (x)dx = 9 . Tính tích phân - 5 2 éf 1- 3x + 9ùdx . ò ëê ( ) ûú 0 A. .2 7 B. 21. C. .1 5 D. . 75 9 4 Câu 5: Biết f (x) làm hàm liên tục trên ¡ và ò f (x)dx = 9 . Khi đó giá trị của ò f (3x - 3)dx là 0 1 A. .2 7 B. 3. C. .0 D. . 24 1 2 æx ö Câu 6: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa f (x)dx = 10 . Tính f ç ÷dx . ò ò ç2÷ 0 0 è ø 2 æx ö 5 2 æx ö 2 æx ö 2 æx ö A. . f çB.÷ dx = f ç ÷dx = 20 . C. . fD.ç . ÷dx = 10 f ç ÷dx = 5 ò ç2÷ 2 ò ç2÷ ò ç2÷ ò ç2÷ 0 è ø 0 è ø 0 è ø 0 è ø 5 2 Câu 7: Cho ò f (x)dx = 4 . Tính I = ò f (2x + 1)dx . - 1 - 1 5 3 A. I = 2. B. .I = C. . I = 4 D. . I = 2 2 5 Câu 8: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và ò f (x)dx = a , (a Î ¡ ) . Tích phân 3 2 I = ò f (2x + 1)dx có giá trị là 1 1 1 A. .I = a +B.1 . C. . I = 2a + 1 D. I = 2a I = a . 2 2 2 5 Câu 9: Choò f (x 2 + 1)xdx = 2 . Khi đó I = ò f (x)dx bằng 1 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 14
15. GV: ĐÀO VĂN TIẾN A. .2 B. . 1 C. . - 1 D. 4. 3 2 é Câu 10: Cho hàm số f (x) liên tục trên ëê1;+ ¥ ) và ò f ( x + 1)dx = 8 . Tích phân I = ò xf (x)dx 0 1 bằng: A. .I = 16 B. . I = 2C. . D.I = 8 I = 4 . 11 2 Câu 11: Biết ò f (x)dx = 18 . Tính I = ò x (2 + f (3x 2 - 1))dx . - 1 0 A. .I = 5 B. I = 7 . C. .I = 8 D. . I = 10 1 2 Câu 12: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và ò f (2x)dx = 8 . Tính I = ò xf (x 2)dx 0 0 A. .I = 4 B. . I = 16C. I = 8 . D. .I = 32 1 3 Câu 13: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có ò f (x)dx = 2; ò f (x)dx = 6 . Tính 0 0 1 I = ò f (2x - 1)dx - 1 2 3 A. .I = B. I = 4 . C. .I = D. . I = 6 3 2 2 4 é ù Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ëê0;4ûú và ò f (x)dx = 1 ; ò f (x)dx = 3. Tính 0 ; 0 1 ò f (3x - 1)dx - 1 4 A. .4 B. 2. C. . D. . 1 3 1 3 Câu 15: Cho f (x) là hàm số liên tục trên ¡ và ò f (x)dx = 4 , ò f (x)dx = 6 . Tính 0 0 1 I = ò f (2x + 1)dx . - 1 A. .I = 3 B. . I = 5 C. I = 6. D. .I = 4 1 2 Câu 16: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa ò f (2x)dx = 2 và ò f (6x)dx = 14 . Tính 0 0 2 ò f (5 x + 2)dx . - 2 A. .3 0 B. 32 . C. .3 4 D. . 36 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 15
16. GV: ĐÀO VĂN TIẾN p p 2 2 Câu 17: Cho tích phân I = ò cosx.f (sin x)dx = 8 . Tính tích phân K = ò sin x.f (cosx)dx . 0 0 A. .K = - 8 B. . K =C.4 K = 8. D. .K = 16 1 Câu 18: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ , thỏa mãn ò f (x)dx = 1 . Tính 0 p 4 I = ò(tan2+ 1).f (tan x)dx . 0 p p A. I = 1. B. .I = - 1 C. . I = D. . I = - 4 4 1 Câu 19: Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (2x) = 3f (x) , " x Î ¡ . Biết rằng ò f (x)dx = 1 . 0 2 Giá trị của tích phân I = ò f (x)dx bằng bao nhiêu? 1 A. I = 5. B. .I = 3 C. . I = 8 D. . I = 2 2 Câu 20: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f (2) = - 2 ; ò f (x)dx = 1 . Tính 0 4 tích phân I = ò f ¢( x )dx . 0 A. I = - 10. B. .I = - 5 C. . I = 0D. . I = - 18 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng b Tính ò f (x)dx , biết hàm số f (x) thỏa mãn : a A. f (x) + B.u¢. f (u)+ C. f (a + b - x)= g(x). Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng : + Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A,B,C . b b é ù + Nếu f (x) liên tục trên ëêa;bûú thì ò f (a + b - x)dx = ò f (x)dx a a ì b b ï u (a) = a 1 + Với íï thì f (x)dx = g(x)dx . ï u b = b ò A + B + C ò îï ( ) a a ì b b ï u (a) = b 1 + Với íï thì f (x)dx = g(x)dx . ï u b = a ò A - B + C ò îï ( ) a a + Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 16
17. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1 é ù 2 3 6 Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) liên tục trên ëê0;1ûú thỏa mãn f (x) = 6x f (x )- . Tính ò f (x)dx 3x + 1 0 A. .2 B. 4. C. .- 1 D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) 6 6 Biến đổi f (x) = 6x 2f (x 3)- Û f (x)- 2.3x 2.f (x 3) = - với A = 1 , B = - 2 . 3x + 1 3x + 1 1 1 1 - 6 Áp dụng công thức ta có: ò f (x)dx = ò dx = 4 . 0 1+ (- 2) 0 3x + 1 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) 6 1 1 1 1 Từ f (x) = 6x 2f (x 3)- Þ ò f (x)dx - 2ò 3x 2f (x 3)dx = - 6ò dx 3x + 1 0 0 0 3x + 1 Đặt u = x 3 Þ du = 3x 2dx ; Với x = 0 Þ u = 0 và x = 1 Þ u = 1 . 1 1 1 Khi đó ò 3x 2f (x 3)dx = ò f (u)du = ò f (x)dx thay vào (*) , ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ò f (x)dx - 2ò f (x)dx = - 6ò dx Û ò f (x)dx = 6ò dx = 4. 0 0 0 3x + 1 0 0 3x + 1 Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên é0;2ù và thỏa mãn điều kiện f x + f 2 - x = 2x . Tính giá trị của ëê ûú ( ) ( ) 2 tích phân I = ò f (x)dx . 0 1 4 A. .I = - 4 B. . I = C. . D.I = I = 2. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1:(Dùng công thức) 2 2 1 2 x 2 Với f (x)+ f (2 - x) = 2x ta có A = 1 ; B = 1 , suy ra: I = f (x)dx = 2x dx = ò 1+ 1 ò 2 0 0 0 = 2. Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2 Từ f (x)+ f (2 - x) = 2x Þ ò f (x)dx + ò f (2 - x)dx = ò 2xdx = 4 (*) 0 0 0 Đặt u = 2 - x Þ du = - dx ; Với x = 0 Þ u = 2 và x = 2 Þ u = 0 . 2 2 2 Suy ra ò f (2 - x)dx = ò f (u)du = ò f (x)dx . 0 0 0 2 2 Thay vào (*), ta được 2ò f (x)dx = 4 Û ò f (x)dx = 2 . 0 0 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 17
18. GV: ĐÀO VĂN TIẾN é ù f x + 2xf x 2 - 2 + 3f 1- x = 4x 3 Ví dụ 3: Xét hàm số f (x) liên tục trênëê- 1;2ûú và thỏa mãn ( ) ( ) ( ) . Tính 2 giá trị của tích phân I = ò f (x)dx . - 1 5 A. .I = 5 B. . I = C. I = 3 . D. .I = 15 2 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f (x)+ (2x)f (x 2 - 2)+ 3f (1- x) = 4x 3 . Ta có: ïì 2 ï u (- 1) = - 1 A = 1;B = 1;C = 3 và u = x - 2 thỏa mãn íï . Khi đó áp dụng công thức có: ï u 2 = 2 îï ( ) 2 2 1 2 x 4 I = f (x) = 4x 3dx = = 3. ò 1+ 1+ 3 ò 5 - 1 - 1 - 1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ f (x)+ 2xf (x 2 - 2)+ 3f (1- x) = 4x 3 . 2 2 2 2 Þ ò f (x)dx + ò 2x.f (x 2 - 2)dx + 3ò f (1- x)dx = ò 4x 3dx (*) - 1 - 1 - 1 - 1 +) Đặt u = x 2 - 2 Þ du = 2xdx ; với x = - 1 Þ u = - 1 và x = 2 Þ u = 2 . 2 2 2 Khi đó ò 2x.f (x 2 - 2)dx = ò f (u)du = ò f (x)dx (1) - 1 - 1 - 1 +) Đặt t = 1- x Þ dt = - dx ; Với x = - 1 Þ t = 2 và x = 2 Þ t = - 1 . 2 2 2 Khi đó ò f (1- x)dx = ò f (t )dt = ò f (x)dx (2) - 1 - 1 - 1 2 2 Thay (1),(2) vào (*) ta được: 5ò f (x)dx = 15 Þ ò f (x)dx = 3 . - 1 - 1 Bài tập tương tự:. é ù 4xf x 2 + 3f x - 1 = 1- x 2 Câu 1: Xét hàm số f (x) liên tục trên ëê0;1ûú và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) . Tích 1 phân I = ò f (x)dx bằng 0 p p p p A. .I = B. . I = C. I = . D. .I = 4 6 20 16 Câu 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên é0;2ù và thỏa mãn điều kiện f x + f 2 - x = 2x . Tính giá trị ëê ûú ( ) ( ) 2 của tích phân I = ò f (x)dx . 0 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 18
19. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1 4 A. .I = - 4 B. . I = C. . D.I = I = 2. 2 3 Câu 3: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn é0;1ù và thỏa mãn 2f x + 3f 1- x = 1- x . Tích phân ( ) ëê ûú ( ) ( ) 1 ò f (x)dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 é ù 2f x - 3f 1- x = x 1- x Câu 4: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn ëê0;1ûú và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) . 1 Tính tích phân I = ò f (x)dx . 0 1 4 1 4 A. .I = B. I = - . C. .I = - D. . I = 25 15 15 75 é ù 2 Câu 5: Hàm số f (x) liên tục trên ëê- 1;2ûú và thỏa mãn điều kiện f (x) = x + 2 + xf (3 - x ). Tính giá 2 trị của I = ò f (x)dx - 1 14 28 4 A. .I = B. I = . C. .I = D. . I = 2 3 3 3 1 Câu 6: Xét hàm số f (x) liên tục trên é0;1ù và thỏa mãn f (x)+ xf (1- x 2)+ 3f (1- x) = . Tính ëê ûú x + 1 1 giá trị của tích phân I = ò f (x)dx . 0 9 2 4 3 A. .I = ln 2B. I = ln 2 . C. .I = D. . I = 2 9 3 2 x 3 Câu 7: Cho hàm số y = f (x) và thỏa mãn f (x)- 8x 3f (x 4 )+ = 0 . Tích phân x 2 + 1 1 a - b 2 a b I = f (x)dx = với a,b,c Î ¢ và ; tối giản. Tính a + b + c ò c c c 0 A. 6. B. .- 4 C. . 4 D. . - 10 1 Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn é- ln 2;ln 2ù và thõa mãn f x + f - x = . Biết ( ) ê ú ( ) ( ) x ë û e + 1 ln2 ò f (x)dx = a ln 2 + bln 3 , với a,b Î ¡ . Tính giá trị của P = a + b . - ln2 1 A. P = . B. .P = - 2 C. . P D.= -. 1 P = 2 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 19
20. GV: ĐÀO VĂN TIẾN æ pö é p p ù Câu 9: Biết hàm số y = f çx + ÷ là hàm số chẵn trên đoạn ê- ; ú và ç ÷ ê ú èç 2ø÷ ë 2 2û p æ pö 2 f (x)+ f çx + ÷= sin x + cosx . Tính I = f (x)dx . ç 2÷ ò è ø 0 1 A. .I = 0 B. . I = 1 C. . ID.= I = - 1. 2 æ ö çp ÷ Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ , f (0) = 0 và f (x)+ f ç - x÷= sin x.cosx èç2 ø÷ p với x R . Giá trị của tích phân 2 xf ¢(x)dx bằng ò0 p 1 p 1 A. .- B. . C. . D. - . 4 4 4 4 x 2 Câu 11: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f (1+ 2x)+ f (1- 2x) = , " x Î ¡ . Tính x 2 + 1 3 tích phân I = f (x)dx . ò- 1 p p 1 p p A. I = 2 - . B. .I = 1- C. . D.I . = - I = 2 4 2 8 4 MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ a a a Nếu hàm f (x) CHẴN thì ò f (x)dx = 2ò f (x)dx 2. Nếu hàm f (x) LẺ thì ò f (x)dx = 0 - a 0 - a 0 f (- x)dx = 2 y = f x é- 4;4ù ò Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) là hàm lẻ và liên tục trên ëê ûú biết - 2 và 2 4 ò f (- 2x)dx = 4 I = ò f (x)dx 1 . Tính 0 . A. .I = - 10 B. I = - 6. C. .I = 6 D. . I = 10 Hướng dẫn giải Chọn B x x 2 1 2 a f (ax + b)dx = f (ax)dx f x dx = 0 ò a ò ò ( ) x x Cách1: Sử dụng công thức: 1 1 và tính chất - a với f x é- a;aù ( ) là hàm số lẻ trên đoạn ëê ûú . Áp dụng, ta có: 2 1 - 4 1 - 2 - 2 +) 4 = f (- 2x)dx = - f (x)dx = f (x)dx Û f (x)dx = 8 ò 2 ò- 2 2 ò- 4 ò- 4 1 0 0 2 2 +) 2 = f (- x)dx = - f (x) = f (x) Û f (x) = 2 ò ò2 ò0 ò0 - 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 20
21. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 4 - 2 0 4 Suy ra: 0 = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx ò- 4 ò- 4 ò- 2 ò0 æ 2 2 ö Û 0 = 8 + ç f (x)dx - f (x)dx÷+ I Û 0 = 8 + (0 - 2)+ I Û I = - 6 . èçò- 2 ò0 ÷ø 0 ò f (- x)dx = 2 Cách2:Xét tích phân - 2 . Đặt - x = t Þ dx = - dt .Đổi cận: khi x = - 2 thì t = 2 ; khi x = 0 thì t = 0 do đó 0 0 2 2 2 ò f (- x)dx = - ò f (t )dt = ò f (t )dt Þ ò f (t )dt = 2 Þ ò f (x)dx = 2 - 2 2 0 0 0 . y = f x f - 2x = - f 2x Do hàm số ( ) là hàm số lẻ nên ( ) ( ) . 2 2 2 ò f (- 2x)dx = - ò f (2x)dx Þ ò f (2x)dx = - 4 Do đó 1 1 1 . 2 ò f (2x)dx Xét 1 . 1 Þ dx = dt Đặt 2x = t 2 . Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2 ; khi x = 2 thì t = 4 do đó 2 1 4 4 4 f (2x)dx = f (t )dt = - 4 Þ f (t )dt = - 8 Þ f (x)dx = - 8 ò 2 ò ò ò 1 2 2 2 . 4 2 4 I = ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx Do 0 0 2 = 2 - 8 = - 6 . 1 f (2x) 2 Ví dụ 2: Cho hàm số chẵn y = f x liên tục trên ¡ và dx = 8 . Tính f x dx . ( ) ò x ò ( ) - 1 1+ 2 0 A. .2 B. . 4 C. . 8 D. 16. Hướng dẫn giải Chọn D 1 f (2x) 2 f (x) Ta có dx = 8 Û dx = 16 . ò 1+ 2x ò x - 1 - 2 1+ 2 t 2 f (x) - 2 f (- t ) - 2 2 f (t ) Đặt t = - x Þ dt = - dx , khi đó 16 = I = dx = - dt = dt . ò x ò - t ò t - 2 1+ 2 2 1+ 2 2 1+ 2 x 2 f (x) - 2 2 f (x) 2 2 2 Suy ra 2I = dx + dx = f x dx = 2 f x dx . Vậy f x dx = 16 . ò x ò x ò ( ) ò ( ) ò ( ) - 2 1+ 2 2 1+ 2 - 2 0 0 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 21
22. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1 é ù Ví dụ 3: Cho f (x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn ëê- 1; 1ûú và ò f (x)dx = 2 . Kết quả - 1 1 f (x) I = dx bằng ò x - 1 1+ e A. I = 1. B. .I = 3 C. . I = 2 D. . I = 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 f (x) 0 f (x) 1 f (x) I = dx = dx + dx = I + I ò x ò x ò x 1 2 - 1 1+ e - 1 1+ e 0 1+ e 0 f x Xét I dx.Đặt x = - t Þ dx = - dt đổi cận: x = 0 Þ t = 0 , x = - 1 Þ t = 1 1 x , 1 1 e 0 f (x) 1 et .f (x) 1 et .f (t ) 1 ex .f (x) I = - dt = dt . Lại có dt = dx . 1 ò - t ( ) ò t ò t ò x 1 1+ e 0 1+ e 0 1+ e 0 1+ e Suy ra: t t 1 f (x) 1 e .f (t ) 1 f (t ) 1 (1+ e ).f (t ) 1 1 1 I = dx = dt + dx = dt = f (t )dt = f (t )dt = 1 ò x ò t ò t ò t ò 2 ò - 1 1+ e 0 1+ e 0 1+ e 0 1+ e 0 - 1 . CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. Cho hàm số y = f x thỏa mãn g éf x ù= x và g t là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc ( ) ëê ( )ûú ( ) b nghịch biến) trên R . Hãy tính tích phân I = f (x)dx . òa Cách giải: Đặt y = f (x) Þ x = g(y) Þ dx = g¢(y)dy ì ï x = a ® g(y) = a Û y = a b b Đổi cận íï Suy ra I = f (x)dx = yg(y)dy ï x = b ® g y = b Û y = b òa òa îï ( ) 2 Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f 3 (x)+ f (x) = x, " x Î R . Tính I = f (x)dx ò0 3 1 5 A. .I = 2 B. . I = C. . D.I = I = . 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt y = f (x) Þ x = y 3 + y Þ dx = (3y2 + 1)dy ì 3 ï x = 0 ® y + y = 0 Û y = 0 Đổi cận íï ï x = 2 ® y 3 + y = 2 Û y = 1 îï 2 1 1 5 Khi đó I = f (x)dx = y (3y2 + 1)dy = (3y 3 + y)dy = . ò0 ò0 ò0 4 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 22
23. GV: ĐÀO VĂN TIẾN Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn 2f 3 (x)- 3f 2 (x)+ 6f (x) = x , " x Î ¡ . Tính tích 5 phân I = ò f (x)dx . 0 5 5 5 5 A. .I = B. I = . C. .I = D. . I = 4 2 12 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt y = f (x) Þ x = 2y 3 - 3y2 + 6y Þ dx = 6(y2 - y + 1)dy . Đổi cận: Với x = 0 Þ 2y 3 - 3y2 + 6y = 0 Û y = 0 và x = 5 Þ 2y 3 - 3y2 + 6y = 5 Û y = 1 . 1 1 1 5 Khi đó I = f (x)dx = y.6(y2 - y + 1)dy = 6 (y 3 - y2 + y)dy = . ò ò ò 2 0 0 0 Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn x + f 3 (x)+ 2f (x) = 1 , " x Î R . Tính 1 I = ò f (x)dx . - 2 7 7 7 5 A. I = . B. .I = C. . I = D. . I = 4 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt y = f (x) Þ x = - y 3 - 2y + 1 Þ dx = (- 3y2 - 2)dy . Đổi cận: Với x = - 2 Þ - y 3 - 2y + 1 = - 2 Û y = 1 ; x = 1 Þ - y 3 - 2y + 1 = 1 Û y = 0 . 0 7 Khi đó: I = y (- 3y2 - 2)dy = . ò 4 1 CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: b dx b - a Bài toán: Cho f (x).f (a + b - x) = k2 , khi đó I = = ò 2k a k + f (x) Chứng minh: ïì dt = - dx ï Đặt t = a + b - x Þ íï k2 và x = a Þ t - b ; x = b Þ t = a . ï f (x) = ï f t îï ( ) b dx b dx 1 b f (x)dx Khi đó I = = = . ò k + f x ò k2 k ò k + f x a ( ) a k + a ( ) f (t ) b dx 1 b f (x)dx 1 b 1 b - a 2I = + = dx = (b - a)Þ I = . ò k ò k ò k 2k a k + f (x) a k + f (x) a CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 23
24. GV: ĐÀO VĂN TIẾN é ù é ù Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên ëê0;1ûú . Biết f (x).f (1- x) = 1 với " x Î ëê0;1ûú . 1 dx Tính giá trí I = ò 0 1+ f (x) 3 1 A. . B. . C. .1 D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải 1 Chọn B (Áp dụng công thức cho a = 0,b = 1,k2 = 1 Þ I = ). 2 Ta giải tự luận theo lối CM f (x) 1 Ta có: 1+ f (x) = f (x)f (1- x)+ f (x) Þ = 1+ f (x) f (1- x)+ 1 1 dx Xét I = ò . Đặt t = 1- x Û x = 1- t Þ dx = - dt . Đổi cận: x = 0 Þ t = 1 ; 0 1+ f (x) x = 1 Þ t = 0 . 0 dt 1 dt 1 dx 1 f (x)dx Khi đó I = - ò = ò = ò = ò 1 1+ f (1- t ) 0 1+ f (1- t ) 0 1+ f (1- x) 0 1+ f (x) 1 dx 1 f (x)dx 1 1+ f (x) 1 1 Mặt khác + = dx = dx = 1 hay 2I = 1 . Vậy I = . ò ò ò 1+ f (t) ò 2 0 1+ f (x) 0 1+ f (x) 0 0 Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ , ta có f (x)> 0 và f (0).f (2018 - x) = 1 . Giá trị của tích phân 2018 dx I = ò bằng 0 1+ f (x) A. .I = 2018 B. . I =C.0 I = 1009. D. 4016 Hướng dẫn giải Chọn C 2018 1 2018 - 0 Ta có I = dx = = 1009 . ò 2.1 0 1+ f (x) Ví dụ 3: Cho hàm số y = f x có đạo hàm, liên tục trên R và f x > 0 khi x Î é0;5ù Biết ( ) ( ) ëê ûú. 5 dx f (x).f (5 - x) = 1 tính tích phân I = ò . , 0 1+ f (x) 5 5 5 A. .I = B. . I = C. I = . D. .I = 10 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x = 5 - t Þ dx = - dt , x = 0 Þ t = 5 ; x = 5 Þ t = 0 0 dt 5 f (t )dt 1 5 5 I = - ò = ò (do f (5 - t ) = ).Þ 2I = ò dt = 5 Þ I = . 5 1+ f (5 - t ) 0 1+ f (t ) f (t ) 0 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 24
25. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 3 Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f (4 - x) = f (x) . Biết ò xf (x)dx = 5 . Tính 1 3 tích phân ò f (x)dx . 1 5 7 9 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = 4 - x Þ dt = - dx và x = 1 Þ t = 3 ; x = 3 Þ t = 1 . Khi đó: 3 3 3 3 5 = ò xf (x)dx = ò(4 - t )f (4 - t )dt = ò(4 - x)f (4 - x)dx = ò(4 - x)f (x)dx . 1 1 1 1 3 3 3 5 Suy ra: 10 = xf (x)dx + (4 - x)f (x)dx = 4 f (x)dx = . ò ò ò 2 1 1 1 Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡và f (x)> khi0 x [0; a] (a > ).0 Biết a dx f (x).f (a - x) = 1, tính tích phân I = ò . 0 1+ f (x) a a a A. I = . B. .I = 2a C. . I = D. . I = 2 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn A a dx I = ò (1) Đặt t = a - x Þ dt = - dx . Đổi cận: 0 1+ f (x) 0 dt a 1 a 1 Þ I = ò- = ò dt = ò dx (2) (Tích phân xác định a 1+ f (a - t ) 0 1+ f (a - t ) 0 1+ f (a - x) không phụ thuộc vào biến số tích phân) a é ù ê 1 1 ú (1) + (2) Þ 2I = ê + údx ò ê1+ f x 1+ f a - x ú 0 ë ( ) ( )û 1+ f (a - x)+ 1+ f (x) 2 2 + f (a - x)+ f (x) a = dx = ò dx = òdx = a 1+ f (x).f (a - x)+ f (x)+ f (a - x) 0 2 + f (a - x)+ f (x) 0 a Þ I = 2 CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. é ù é ù Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn ëê1;4ûú , đồng biến trên đoạn ëê1;4ûú và thỏa mãn 4 2 3 đẳng thức x + 2x.f (x) = éf ¢(x)ù ," x Î é1;4ù . Biết rằng f (1) = , tính I = f (x)dx ? ëê ûú ëê ûú 2 ò 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 25
26. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1186 1174 1222 1201 A. I = . B. .I = C. . D.I =. I = 45 45 45 45 Hướng dẫn giải Chọn A 2 f ¢(x) Ta có x + 2x.f x = éf ¢ x ù Þ x. 1+ 2f x = f ¢ x Þ = x ," x Î é1;4ù . ( ) ëê ( )ûú ( ) ( ) ëê ûú 1+ 2f (x) f ¢(x) df (x) Suy ra ò dx = ò xdx + C Û ò dx = ò xdx + C 1+ 2f (x) 1+ 2f (x) 2 æ2 3 4ö ç 2 ÷ ç x + ÷ - 1 2 3 3 4 èç3 3ø÷ Þ 1+ 2f (x) = x 2 + C . Mà f (1) = Þ C = . Vậy f (x) = . 3 2 3 2 4 1186 Vậy I = f (x)dx = . ò 45 1 f 3 x - x2- 1 2x Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn 3f ¢(x).e ( ) - = 0 và f (0) = 1 . f 2 (x) 7 Tích phân ò x.f (x)dx bằng 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C f 3 x - x2- 1 2x f 3 x 2 Ta có 3f ¢(x).e ( ) - = 0 Û 3f 2 (x).f ¢(x).e ( ) = 2x.ex + 1 f 2 (x) f 3(x) 2 Suy ra e = ex + 1 + C . Mặt khác, vì f (0) = 1 nên C = 0 . 3 2 Do đó ef (x) = ex + 1 Û f 3 (x) = x 2 + 1 Û f (x) = 3 x 2 + 1 . 7 7 7 7 3 2 1 3 2 2 3 é 2 3 2 ù 45 Vậy x.f (x)dx = x. x + 1dx = x + 1d(x + 1) = ê(x + 1) x + 1ú = . ò ò 2 ò 8 ë û 8 0 0 0 0 1 Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) = x 4 + 4x 3 - 3x 2 - x + 1 ," x Î ¡ . Tính I = ò f 2 (x).f ¢(x)dx . 0 7 7 A. .2 B. . - 2 C. . - D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = f (x) Þ dt = f ¢(x)dx . Đổi cận: x = 0 Þ t = f (0) = 1 , x = 1 Þ t = f (1) = 2 . 2 2 t 3 8 1 7 Khi đó I = t 2dt = = - = . ò 3 3 3 3 1 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 26
27. GV: ĐÀO VĂN TIẾN Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;1) và f (x) ¹ 0 , " x Î (0;1) . Biết rằng æ1ö æ 3÷ö ç ÷ ç ÷ ¢ f ç ÷= a , f ç ÷= b và x + xf (x) = 2f (x)- 4 , " x Î (0;1) . Tính tích phân èç2ø÷ èç 2 ø÷ p 3 sin2 x.cosx + 2sin 2x I = dx theo a và b . ò 2 p f (sin x) 6 3a + b 3b + a 3b - a 3a - b A. .I = B. . C. . I = D. I = I = . 4ab 4ab 4ab 4ab Hướng dẫn giải Chọn D Với " x Î (0;1) ta có: x + xf ¢(x) = 2f (x)- 4 Û x + 4 = 2f (x)- xf ¢(x) Þ x 2 + 4x = 2xf (x)- x 2f ¢(x) ¢ 2 2 ¢ 2 æ 2 ö x + 4x 2xf (x)- x f (x) x + 4x ç x ÷ Û = Û = ç ÷ . 2 2 2 ç ÷ f (x) f (x) f (x) èçf (x)ø÷ p p 3 sin2 x.cosx + 2sin 2x 3 sin2 x.cosx + 4sin x.cosx Tính I = dx = dx ò 2 ò 2 p f (sin x) p f (sin x) 6 6 p 1 p 3 Đặt t = sin x Þ dt = cosxdx , đổi cận x = Þ t = , x = Þ t = . 6 2 3 2 2 æ ö 2 3 ç 3÷ æ1ö 3 ç ÷ ç ÷ 2 2 2 2 ç ÷ ç ÷ t + 4t t èç 2 ÷ø èç2÷ø 3 1 3a - b Ta có I = dt = = - = - = . ò 2 æ ö æö 4b 4a 4ab 1 f (t ) f (t ) 1 ç 3÷ ç1÷ f ç ÷ f ç ÷ 2 2 ç ÷ ç2÷ èç 2 ø÷ è ø Ví dụ 5: Cho hàm số f liên tục, f (x)> - 1 , f (0) = 0 và thỏa f ¢(x) x 2 + 1 = 2x f (x)+ 1 . Tính f ( 3). A. .0 B. 3. C. .7 D. . 9 Hướng dẫn giải Chọn B f ¢(x) 2x Ta có f ¢(x) x 2 + 1 = 2x f (x)+ 1 Û = f (x)+ 1 x 2 + 1 3 f ¢(x) 3 2x 3 3 3 Û ò dx = ò dx Û f (x)+ 1 = x 2 + 1 Û f (x)+ 1 = 1 2 0 0 0 0 f (x)+ 1 0 x + 1 Û f ( 3)+ 1 - f (0)+ 1 = 1 Û f ( 3)+ 1 = 2 Û f ( 3) = 3. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 27
28. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 5 Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và ò f (x)dx = 4 , f (5) = 3 , f (2) = 2 . Tính 2 2 I = ò x 3f ¢(x 2 + 1)dx 1 A. 3. B. .4 C. . 1 D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = x 2 + 1Þ dt = 2xdx . 1 5 x = 1 Þ t = 2; x = 2 Þ t = 5 . Khi đó I = (t - 1)f ¢(t )dt . 2 ò 2 Đặt u = t - 1 Þ du = dt ; dv = f ¢(t )dt,chọn v = f (t ) . 5 1 1 5 1 I = (t - 1)f (t ) - f (t )dt = 4f (5)- f (2) - 2 = 3 . 2 2 ò 2( ) 2 2 f 2 x - 1 é ù ( ) ln x Ví dụ 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn ëê1;4ûú và thỏa mãn f (x) = + . Tính tích phân x x 4 I = ò f (x)dx . 3 A. .I = 3B.+ 2ln2 2 I = 2ln2 2. C. .I = ln2 2 D. . I = 2ln 2 Hướng dẫn giải Chọn B é ù 4 4 4 4 êf (2 x - 1) ln x ú f (2 x - 1) ln x Ta có f (x)dx = ê + údx = dx + dx . ò ò ê x ú ò ò x 1 1 ê x ú 1 x 1 ë û 4 f (2 x - 1) Xét K = ò dx . 1 x t + 1 dx Đặt 2 x - 1 = t Þ x = Þ = dt . 2 x 3 3 Þ K = ò f (t )dt = ò f (x)dx . 1 1 4 4 ln x 4 ln2 x Xét M = dx = ln xd(ln x) = = 2ln2 2 . ò x ò 2 1 1 1 4 3 4 Do đó ò f (x)dx = ò f (x)dx + 2ln2 2 Þ ò f (x)dx = 2ln2 2 . 1 1 3 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 28
29. GV: ĐÀO VĂN TIẾN b b òu(x).f '(x).dx òu '(x).f (x).dx a hoặc a . 1 1 Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) thỏa mãn ò(x + 1)f '(x)dx = 10 và 2f (1)- f (0) = 2 . Tính I = ò f (x)dx . 0 0 A. .I = 8 B. I = - 8. C. .I = 4 D. . I = - 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 A = ò(x + 1)f '(x)dx Đặt u = x + 1 Þ du = dx , dv = f '(x)dx chọn v = f (x) 0 1 1 1 1 1 Þ A = (x + 1).f (x) - f (x)dx = 2f (1) - f (0) - f (x)dx = 2 - f (x)dx = 10 Þ f (x)dx = - 8 0 ò ò ò ò 0 0 0 0 5 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x 3 + 3x + 1) = 3x + 2, " x Î ¡ . Tính I = ò x.f ¢(x)dx . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. .- 1761 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C ì ì 5 ï u = x ï du = dx 5 Đặt íï Þ íï Þ I = xf (x) - f (x)dx . ï dv = f ¢ x dx ï v = f x 1 ò îï ( ) îï ( ) 1 ïì 5 3 ï f (5) = 5 (x = 1) Từ f (x + 3x + 1) = 3x + 2 Þ íï , suy ra I = 23 - f (x)dx. ï f 1 = 2 x = 0 ò îï ( ) ( ) 1 ïì 2 3 ï dt = (3x + 3)dx Đặt t = x + 3x + 1 Þ íï ï f t = 3x + 2 îï ( ) Đổi cận: Với t = 1 Þ 1 = x 3 + 3x + 1 Û x = 0 và t = 5 Þ x 3 + 3x + 1 = 5 Û x = 1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I = 23 - f (x)dx = 23 - (3x + 2)(3x 2 + 3)dx = ò ò 4 1 0 1 Ví dụ 3: Cho hàm số f x thỏa f 0 = f 1 = 1 . Biết ex éf x + f ' x ùdx = ae + b . Tính biểu thức ( ) ( ) ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 0 Q = a2018 + b2018 . A. .Q = 8 B. . Q = 6C. . D.Q = 4 Q = 2. Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 A = ex éf x + f ' x ùdx = ex f x dx + ex f ' x dx ò ëê ( ) ( )ûú ò ( ) ò ( ) 0 1044442 44443 10444442 444443 A1 A2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 29
30. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 1 A = ex f x dx 1 ò ( ) 0 1 1 Đặt u = f (x) Þ du = f '(x)dx , dv = exdx chọn v = ex Þ A = ex .f (x) - ex f '(x)dx 1 0 ò 10444442 444443 A2 1 1 Vậy A = ex f (x) - A + A = ex f (x) = e.f (1)- f (0) = e - 1 0 2 2 0 ïì a = 1 ï 2018 2018 Þ í Þ a + b = 1+ 1 = 2 ï b = - 1 îï Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f ¢(x)- 2018f (x) = 2018.x 2017.e2018x với mọi x Î ¡ và f (0) = 2018. Tính giá trị f (1). A. f (1) = 2019e2018 . B. .f C.(1) . = D.20 .18.e- 2018 f (1) = 2018.e2018 f (1) = 2017.e2018 Hướng dẫn giải Chọn A f ¢(x)- 2018.f (x) Ta có: f ¢(x)- 2018f (x) = 2018.x 2017.e2018x Û = 2018.x 2017 e2018x 1 f ¢(x)- 2018.f (x) 1 Û dx = 2018.x 2017dx 1 ò 2018x ò ( ) 0 e 0 1 f ¢(x)- 2018.f (x) 1 1 Xét I = dx = f ¢ x .e- 2018x dx - 2018.f x .e- 2018x dx ò 2018x ò ( ) ò ( ) 0 e 0 0 1 ïì ïì ¢ - 2018x ï u = f (x) ï du = f (x)dx Xét I = 2018.f (x).e dx . Đặt íï Þ íï . 1 ò ï dv = 2018.e- 2018x dx ï v = - e- 2018x 0 îï îï 1 Do đó I = f x . - e- 2018x 1 + f ¢ x .e- 2018x dx Þ I = f 1 .e- 2018x - 2018 1 ( ) ( ) 0 ò ( ) ( ) 0 - 2018x 2018 1 2018 Khi đó (1) Û f (1).e - 2018 = x 0 Þ f (1) = 2019.e . 1 Ví dụ 5: Cho hàm số y = f x với f 0 = f 1 = 1 . Biết rằng ex éf x + f ¢ x ùdx = ae+ b Tính ( ) ( ) ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 0 Q = a2017 + b2017 . A. .Q = 220B.17 +. 1 C.Q = 2 Q = 0. D. .Q = 22017 - 1 Hướng dẫn giải Chọn C ì ì ï u = f (x) ï du = f ¢(x)dx Đặt íï Þ íï . ï dv = ex dx ï v = ex îï îï 1 1 1 2 ex éf (x)+ f ¢(x)ùdx = ex f (x) - ex f ¢(x)dx + ex f ¢(x)dx = ef (1)- f (0) = e- 1. ò ëê ûú 1 ò ò 0 0 0 Do đó a = 1 , b = - 1 . CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 30
31. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 2017 Suy ra Q = a2017 + b2017 = 12017 + (- 1) = 0 . Vậy Q = 0 . Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f ¢(0).f ¢(2) ¹ 0 và 2 g(x)f ¢(x) = x (x - 2)ex . Tính giá trị của tích phân I = ò f (x).g¢(x)dx ? 0 A. .- 4 B. . e- 2 C. 4. D. .2 - e Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g(x)f ¢(x) = x (x - 2)ex Þ g(0) = g(2) = 0 (vì f ¢(0).f ¢(2) ¹ 0 ) 2 2 2 2 I = f (x).g¢(x)dx = f (x)dg(x)= (f (x).g(x)) - g(x).f ¢(x)dx ò ò 0 ò 0 0 0 2 = - ò(x 2 - 2x)ex dx = 4. 0 Bài tập tương tự:. 2 ¢ é ù Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) liên tục trên ëê0;2ûú và f (2) = 3 , ò f (x)dx = 3 . Tính 0 2 ò x.f ¢(x)dx . 0 A. .- 3 B. 3. C. .0 D. . 6 1 1 Câu 2: Cho hàm số f (x) thỏa mãn ò(x + 1)f '(x)dx = 10 và 2f (1)- f (0) = 2 . Tính I = ò f (x)dx . 0 0 A. .I = 8 B. I = - 8. C. .I = 4 D. . I = - 4 2 Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 2 1 , f 2x 4 dx 1 . 1 0 Tính xf x dx . 2 e f (x) Câu 4: Cho hàm số f (x) liên tục trong đoạn é1;eù , biết dx = 1 , f (e) = 1 . Khi đó ëê ûú ò x 1 e I = ò f ¢(x).ln xdx bằng 1 A. .I = 4 B. . I = 3 C. . ID.= 1 I = 0 . æ ö çπ ÷ Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (x)+ f ç - x÷= sin x.cosx , với èç2 ø÷ π 2 mọi x Î R và f (0) = 0 . Giá trị của tích phân ò x.f ¢(x)dx bằng 0 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 31
32. GV: ĐÀO VĂN TIẾN π 1 π 1 A. .- B. . C. . D. - . 4 4 4 4 y = f x 5 Câu 6: Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn é0;5 ùvà f 5 = 10 , xf ¢ x dx = 30 . ëê ûú ( ) ò ( ) 0 5 Tính ò f (x)dx . 0 A. 20. B. .- 30 C. . - 20 D. . 70 f é ù Câu 7: Cho hai hàm số liên tục và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn ëê1;2ûú . Biết rằng 3 2 67 2 F (1) = 1, F (2) = 4 , G (1) = , G (2) = 2 và f (x)G (x)dx = . Tính F (x)g(x)dx 2 ò 12 ò 1 1 11 145 11 145 A. . B. .- C. . - D. . 12 12 12 12 1 Câu 8: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên é0;1ù thỏa mãn x éf ¢ x - 2ùdx = f 1 . Giá trị của ( ) ëê ûú ò ëê ( ) ûú ( ) 0 1 I = ò f (x)dx bằng 0 A. .- 2 B. . 2 C. - 1. D. .1 Hướng dẫn giải. 2 2 é ù ¢ Câu 9: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn ëê1;2ûú và ò(x - 1)f (x)dx = a . Tính ò f (x)dx theo 1 1 a và b = f (2) . A. b- a . B. .a - b C. . a + b D. . - a - b 2 Câu 10: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và f (2) = 16 , ò f (x)dx = 4 . Tính tích phân 0 1 I = ò x.f ¢(2x)dx . 0 A. .I = 13 B. . I = 1C.2 . D. I = 20 I = 7 . p p 2 2 Câu 11: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn ò sin x.f (x)dx = f (0) = 1 . Tính I = ò cosx.f ¢(x)dx . 0 0 A. .I = 1 B. . I = 0 C. I = 2. D. .- 2 Câu 12: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (- x)+ 2018f (x) = 2x sin x . Tính p 2 I = ò f (x)dx ? p - 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 32
33. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 2 2 2 4 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 2 4 æx ö Câu 13: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và f (2) = 16 , f (x)dx = 4 . Tính I = xf ¢ç ÷dx . ò ò ç2÷ 0 0 è ø A. .I = 12 B. I = 112. C. .I = 28 D. . I = 144 PHẦN III: HƯỚNG PHÁT TRIỂN VÀ ĐỊNH HƯỚNG MỚI VỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f ¢(x)- 2018f (x) = 2018.x 2017.e2018x với mọi x Î ¡ và f (0) = 2018. Tính giá trị f (1). A. f (1) = 2019e2018 . B. .f C.(1) . = D.20 .18.e- 2018 f (1) = 2018.e2018 f (1) = 2017.e2018 Hướng dẫn giải Chọn A f ¢(x)- 2018.f (x) Ta có: f ¢(x)- 2018f (x) = 2018.x 2017.e2018x Û = 2018.x 2017 e2018x 1 f ¢(x)- 2018.f (x) 1 Û dx = 2018.x 2017dx 1 ò 2018x ò ( ) 0 e 0 1 f ¢(x)- 2018.f (x) 1 1 Xets I = dx = f ¢ x .e- 2018x dx - 2018.f x .e- 2018x dx ò 2018x ò ( ) ò ( ) 0 e 0 0 1 ïì ïì ¢ - 2018x ï u = f (x) ï du = f (x)dx Xét I = 2018.f (x).e dx . Đặt íï Þ íï . 1 ò ï dv = 2018.e- 2018x dx ï v = - e- 2018x 0 îï îï 1 Do đó I = f x . - e- 2018x 1 + f ¢ x .e- 2018x dx Þ I = f 1 .e- 2018x - 2018 1 ( ) ( ) 0 ò ( ) ( ) 0 - 2018x 2018 1 2018 Khi đó (1) Û f (1).e - 2018 = x 0 Þ f (1) = 2019.e . Ví dụ 2: Suy ra. Cho hàm số y = f (x)liên tục trên ¡ \ {0; - 1} thỏa mãn điều kiện f (1) = - 2ln 2 và x (x + 1).f ¢(x)+ f (x) = x 2 + x . Giá trị f (2) = a + bln 3, với a,b Î ¡ . Tính a2 + b2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Hươngd dẫn giải Chọn B x 1 x Từ giả thiết, ta có x x + 1 .f ¢ x + f x = x 2 + x Û .f ¢ x + f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x + 1 (x + 1) x + 1 ¢ é x ù x Û ê .f x ú = , với " x Î ¡ \ 0; - 1 . ê ( )ú { } ëx + 1 û x + 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 33
34. GV: ĐÀO VĂN TIẾN x x x Suy ra .f (x) = dx hay .f (x) = x - ln x + 1 + C . x + 1 ò x + 1 x + 1 x Mặt khác, ta có f (1) = - 2ln 2 nên C = - 1 . Do đó .f (x) = x - ln x + 1 - 1 . x + 1 2 3 3 3 3 Với x = 2 thì .f (2) = 1- ln 3 Û f (2) = - ln 3 . Suy ra a = và b = - . 3 2 2 2 2 9 Vậy a2 + b2 = . 2 Nhận xét : + Đây là hai bài toán khó dùng để lựa chọn HSG. Hai bài toán này không chỉ khó với học 2018x sinh mà còn khó với cả giáo viên bởi lẽ việc nghĩ ra cách chia cả hai vế cho e ở VD1 và 2 chia hai vế cho(x + 1) ở VD2 sau đó biến đổi và tính tích phân là không hề tự nhiên và thuyết phục. + Nếu xét về bản chất thì đây là toán tính giá trị nghiệm của PTVP tuyến tính cấp 1 nên ta hoàn toàn có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước giải tổng quát của PTVP tuyến tính cấp 1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Dạng Phương trình: Tìm hàm f (x) thỏa mãn: .f '(x) + p(x).f (x) = q(x) Cách giải: B1: Tìm P(x) = ò p(x)dx B2: Nhân hai vế phương trình cho eP(x) ta được f '(x) eP(x) + p(x).eP(x) f (x) = q(x) eP(x) (*). ' Với chú ý vế trái của (*) là đạo hàm của f (x)eP(x) nên ta có (f (x)eP(x) ) = q(x)eP(x) B3: Lấy tích phân hai vế ta được f (x)eP(x) = òq(x)eP(x)dx . Từ đó suy ra .f (x) Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f ¢(x)- 2018f (x) = 2018.x 2017.e2018x với mọi x Î ¡ và f (0) = 2018. Tính giá trị f (1). A. f (1) = 2019e2018 . B. .f C.(1) . = D.20 .18.e- 2018 f (1) = 2018.e2018 f (1) = 2017.e2018 Hướng dẫn giải B1: P(x) = - ò 2018dx = - 2018x B2: Nhân hai vế với e- 2018x ta được ' f ¢(x)e- 2018x - 2018e- 2018x f (x) = 2018.x 2017 Þ (f (x)e- 2018x ) = 2018.x 2017 B3: Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 1 f (x)e- 2018x |1 = 2018x 2017dx Þ f (1) = 2019e2018 ( ) 0 ò0 Ví dụ 2: Suy ra. Cho hàm số y = f (x)liên tục trên ¡ \ {0; - 1} thỏa mãn điều kiện f (1) = - 2ln 2 và x (x + 1).f ¢(x)+ f (x) = x 2 + x . Giá trị f (2) = a + bln 3, với a,b Î ¡ . Tính a2 + b2 . CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 34
35. GV: ĐÀO VĂN TIẾN 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Hướng dẫn giải 1 Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát f ¢(x)+ f (x) = 1 x (x + 1) 1 x B1: P(x) = dx = ln . (ta chỉ cần xét x>0) ò x(x + 1) x + 1 B2: Nhân hai vế cho eP(x) ta được ' x 1 x æ x ö x f ¢ x . + f x = Þ çf (x). ÷ = ( ) 2 ( ) ç ÷ x + 1 (x + 1) x + 1 èç x + 1ø x + 1 B3: Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta có 2 æ ö 2 2 ç x ÷ x 3 3 3 çf (x). ÷ = dx = (x - ln(x + 1)) Þ f (2) = - ln 3 . Suy ra a = và ç x + 1÷ ò1 x + 1 1 2 2 2 è ø1 3 b = - . 2 9 Vậy a2 + b2 = . 2 Ví dụ 3: Trong những hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 1 3f (x) + xf '(x) ³ x 2018 . Giá trị nhỏ nhất của I = ò f (x)dx là 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. 2019.2021 2018.2021 2020.2021 2017.2021 Hướng dẫn giải 3 + 3f (x) + xf '(x) ³ x 2018 Û f '(x) + f (x) ³ x 2017,x ¹ 0 x + P(x) = 3ln x Þ eP(x) = x 3 . ' + Nhân hai vế của (*) cho x3 ta được x 3f '(x) + 3x 2f (x) ³ x 2019 Þ (x 3f (x)) ³ x 2020 , đúng é ù " x Î ëê0;1ûú t t t 2021 3 2020 1 2021 t é ù + Lấy tích phân từ 0 đến hai vế có (x f (x)) ³ x dx = x = , " t Î ê0;1ú 0 ò 2021 2021 ë û 0 0 t 2018 1 1 t 2018 1 Þ f (t) ³ Þ f (t)dt ³ = . Chọn A 2021 ò ò 2021 2019.2021 0 0 Nhận xét : Với những kiến thức đơn giản này thì học sinh khá giỏi hoàn toàn có thể tiếp cận được cũng như phần toán Xác suất ngày xưa cũng không có ở chương trình THPT. Bài tập tương tự:. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 35
36. GV: ĐÀO VĂN TIẾN Câu 1: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn f '(x) + f (x) = 2xe- x , " x Î ¡ và f (0) = 3 . Giá trị của f (2) bằng 6 5 4 3 A. . B. . C. . D. . e2 e2 e2 e2 Câu 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn f '(x) + 2xf (x) = 4x, " x Î ¡ và f (0) = 1 . Giá trị của f (1) bằng 2e + 1 e + 1 2e + 2 e + 1 A. . B. . C. . D. . e e e 2e Câu 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn f '(x) + 2xf (x) = e- x , " x Î ¡ và f (0) = 0 . Giá trị của f (1) bằng - 1 1 1 A. .e 2 B. . C. . D. . e e2 e Câu 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn f '(x) + cosx. f (x) = e- sinx , " x Î ¡ và f (0) = 1 . Giá p trị của f ( ) bằng 2 p + 1 p + 2e p + 2e p + 2 A. . B. . C. . D. . 2e e 2e 2e 2. Phương trình hàm hợp Dạng phương trình: f (u(x)) = v(x) , trong đó u(x) là hàm số đơn điệu (hoặc đồng biến hoặc b nghịch biến). Tính ò f (x)dx . a Cách giải: Đặt t = u(x) Þ du = u'(x)dx, f (t) = v(x) Þ f (t)dt = u'(x) v(x)dx . Đổi cận và lấy tích phân. 10 Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và f (x 3 + 2x - 2) = 3x - 1 . Tính I = ò f (x)dx ta được. 1 135 153 125 135 I = I = I = A. I = . B. . 2 C. . D. 4 4 4 Hướng dẫn giải Đặt t = x 3 + 2x - 2 Þ dt = (3x + 2)dx, f (t) = 3x - 1 10 2 135 t = 1 Þ x = 1,t = 10 Þ x = 2 Þ I = f (t)dt = (3x 2 + 2)(3x - 1)dx = . ò ò 4 1 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ ẨN 36